標本分布 · AP Statistics · Atlas of Statistics

第5章 · 標本分布

統計量がどうばらつくか

無作為標本から計算した統計量は、標本ごとに変わります。その標本分布は、どれだけ、どのようなパターンで変わるかを表します。

上の盤は母集団で、大規模な学校の全生徒が去年の夏に読んだ本の冊数です。右に歪んでおり、平均は μ = 2.54 冊、標準偏差は σ = 2.41 冊です。

一度に10人の生徒を無作為に選びます（赤）。その平均 x̄ は円錐がつり合う位置で、下のドットプロットに落ちます。120 個の標本を取ると、平均の中心は 2.45 で μ に近く、標準偏差はわずか 0.80 です。平均の山は母集団よりずっと対称に近い形です。

この章では、標本がなぜ異なるのか、正規モデルがそれらについて何を表すのか、そして p̂ と x̄ の標本分布の中心・ばらつき・形を、単独の場合も差の場合も扱います。これらは、この先の単元のすべての信頼区間と検定の土台になります。

5.1 · なぜ私の標本はあなたの標本と違うのか？

標本変動

同じ母集団から無作為標本を取っても、統計量の値は標本ごとに異なります。これが標本変動で、誤りではありません。

冒頭の例から、10 人の生徒の最初の 4 個の標本と、その平均です。

\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}

標本	読んだ本の冊数	x̄
1	0, 0, 0, 2, 2, 5, 0, 4, 2, 3	1.8
2	8, 0, 2, 0, 4, 1, 0, 2, 6, 1	2.4
3	0, 7, 2, 0, 1, 5, 3, 3, 0, 0	2.1
4	5, 1, 0, 1, 3, 0, 6, 1, 0, 8	2.5

母平均 μ = 2.54 とぴったり一致する標本はありません。どれも偶然だけでずれています。誰が選ばれるかは無作為なので、統計量も無作為に決まります。

この変動にはパターンがあります。多くの標本では、x̄ の値は μ の周りに集まり、標本が大きいほどより密に集まります。このパターンがわかれば、標本の結果が真の値からどれくらい離れていそうかが言えて、結果が意外かどうかも判断できます。

無作為抽出があるからこそ、このパターンは予測できます。1つのクラスの生徒のような便宜的標本は、毎回同じ方向にずれる可能性があり、どれだけずれるかを示す公式はありません。

5.1 · ただの偶然か？

シミュレーションで確率を推定する

シミュレーションは、偶然に左右される過程を何度も模倣します。何かが起こった繰り返しの割合が、その確率の推定値になります。

ある町議会は、有権者の半分、p = 0.5 が新しい公園に賛成だと主張しています。40 人の有権者の無作為標本で、26 人が賛成と答えました：p̂ = 0.650。主張が正しいとき、これは偶然で簡単に起こる範囲を超えているでしょうか？

モデル。各有権者は確率 0.5 で賛成と答えます（コイン投げ、またはランダムな数字：0〜4 が賛成、5〜9 が反対）。1回の試行は 40 人で、p̂ を記録します。これを 100 回繰り返します。図がそれを実行します。赤い球は賛成です。

結果。100 個のシミュレーション標本のうち 4 個が p̂ ≥ 0.650 となったので、推定確率は 4/100 = 0.04 です。（二項分布の正確な値は 0.040 です。）

結論。有権者の半分が公園に賛成なら、これ以上高い結果が出るのは約 4% にすぎません。これは珍しいので、この標本は半数より多くが賛成であるという証拠になります。ただし主張が誤りだと証明するものではありません。起こりにくい結果も実際に起こります。

100 をもう一度実行すると、数はわずかに変わります。繰り返しを増やすほど、確率の推定は良くなります。

5.2 · 正規分布を見直す

面積と境界値

正規分布では、確率は曲線の下の面積です。標準化してから、面積を求めます。

ある果樹園のリンゴの重さは、μ = 150 g、σ = 12 g のほぼ正規分布です。z 値は、ある値が平均から標準偏差いくつ分離れているかを表します。

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

面積。重さが 140 g から 165 g の間のリンゴは、全体のどれだけの割合でしょうか？

\begin{aligned} z_1 &= \frac{140 - 150}{12} = -0.83 \\ z_2 &= \frac{165 - 150}{12} = 1.25 \\ P(140 < X < 165) &= P(-0.83 < Z < 1.25) \\ &= 0.692 \end{aligned}

リンゴの約 69.2% です（赤）。165 g より重いものは、その 0.106 です。

境界値。重い方から10%に入るには、リンゴはどれだけ重い必要があるでしょうか？下側の面積が 0.90 になる z は 1.28 なので、x = 150 + 1.28 × 12 = 165.4 g です（青）。

試験では、解答の過程を示します。分布とそのパラメータ、境界値と求める面積、またはラベル付きの図を書いてください。normalcdf(…) のような電卓の構文だけでは点がもらえません。

5.2 · 母数と統計量

固定された数と確率的に変わる数

母数は母集団を表し、統計量は標本を表します。統計量は母数を推定するために使います。

	母数	統計量
平均	μ	x̄
標準偏差	σ	s
比率	p	p̂

この果樹園のすべてのリンゴの平均の重さ μ = 150 g（青）は母数で、固定された1つの値であり、たいていは未知です。8 個のリンゴの無作為標本では x̄ = 159.1 g、s = 17.0 g となりました。これらは統計量です。次の標本では x̄ = 150.8 g でした。

標本は無作為なので、統計量は確率変数です。同じ大きさのすべての可能な標本について、統計量がとる値の確率分布を、その標本分布といいます。

見分け方：その数が母集団全体から得られたもの（母数）か、手元のデータから得られたもの（統計量）かを考えます。母数にはギリシャ文字か p を使い、統計量にはローマ字かハット記号を使います。

5.3 · 中心極限定理

平均は正規分布に近づく

中心極限定理（CLT）：n が十分大きいとき、母集団の形に関係なく、x̄ の標本分布はほぼ正規分布になります。

図では、冒頭の右に歪んだ母集団から、各サイズで 400 個の無作為標本を取り、その平均をプロットします。

n	x̄ の平均	x̄ の SD	σ/√n
2	2.64	1.79	1.71
10	2.53	0.77	0.76
30	2.53	0.43	0.44

3つのことが同時に成り立ちます。中心は μ = 2.54 のままです。ばらつきは σ/√n のように小さくなります。そして形が変わります。n = 2 では平均はまだ右に歪んでいますが、n = 30 では赤い正規曲線がよく当てはまります。

\mu_{\bar{x}} = \mu \qquad \sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

どれだけ大きければ十分かは母集団によります。歪みが大きいほど、n を大きくする必要があります。AP の目安は n ≥ 30 です。

よくある間違い：CLT は x̄ の分布についての定理で、データの分布についてのものではありません。歪んだ母集団からの大きな標本は、やはり歪んで見えます。正規の形に積み上がるのは、そうした標本を多数取ったときの平均です。

5.4 · 偏りのある点推定と偏りのない点推定

ねらいと精度

母数を推定するために使う統計量が点推定量です。その標本分布の平均が母数に等しいとき、不偏であるといいます。

それぞれの的が1つの推定量です。青い的の中心が母数で、各ダーツは1つの無作為標本からの推定値です。

偏りは中心についてのものです。上の2つの推定量は的の中心に集まるので、不偏です。下の2つは標本ごとに一方にずれて当たるので、偏りがあります。

ばらつきは広がりについてのものです。推定値が標本ごとにどれだけ散らばるかを表します。左の2つはばらつきが小さく、右の2つは大きいです。最良の推定量（赤）は、偏りもばらつきも小さいものです。

x̄ は μ の不偏推定量で、p̂ は p の不偏推定量です。5.3 では、どの n でも x̄ は μ を中心にしていました。標本の最大値は母集団の最大値に対して偏りがあります。それより大きくなることはなく、たいていは小さくなるからです。

標本を大きくするとばらつきは減りますが、偏りは減りません。5.3 では、x̄ の SD は n = 10 の 0.77 から n = 30 の 0.43 に下がりました。しかし自発的回答調査のような偏りのある方法は、何人が答えても偏ったままです。外れ方がより正確になるだけです。

5.5 · p̂ の標本分布

中心 p、ばらつき √(p(1 − p)/n)

標本比率 p̂ の標本分布は、平均が p で、標準偏差は n が大きくなるにつれて小さくなります。

8,000 人の生徒がいる学区で、35% が徒歩通学です（赤いビーズ）。図では 50 人の生徒の無作為標本を取り、各標本の p̂ をドットプロットに落とします。

\begin{aligned} \mu_{\hat{p}} &= p = 0.35 \\ \sigma_{\hat{p}} &= \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \\ &= \sqrt{\frac{0.35(0.65)}{50}} = 0.0675 \end{aligned}

	p̂ の平均	p̂ の SD
100 個のシミュレーション標本	0.353	0.0657
公式	0.35	0.0675

SD の解釈。この学区から 50 人の生徒を無作為に選ぶと、徒歩通学の標本比率は、真の比率 0.35 から、ふつう約 0.067 ずれます。

n は平方根の中にあるため、標本の大きさを4倍にすると SD は半分になります。200 人の標本なら 0.0337 になります。

5.5 · p̂ がほぼ正規分布になるとき

10%条件と大きな度数の条件

p̂ について公式と正規モデルを使うには、2つの条件が必要です。計算の前に、文脈に沿って両方を確認しましょう。

10%条件。非復元抽出では、n ≤ 母集団の10% のとき、抽出は独立とみなせるほど近くなります。ここでは 50 ≤ 0.10(8,000) = 800 なので、σ_p̂ = 0.0675 を使えます。

大きな度数の条件。np ≥ 10 かつ n(1 − p) ≥ 10 のとき、標本分布はほぼ正規分布になります。ここでは 50(0.35) = 17.5、50(0.65) = 32.5 で、どちらも10以上です。度数が小さいと、分布は近いほうの端（0 または 1）から離れる向きにゆがみます。

確率。50 の標本で、徒歩通学者が少なくとも 45% である確率はどのくらいでしょうか。

\begin{aligned} z &= \frac{0.45 - 0.35}{0.0675} = 1.48 \\ P(\hat{p} \ge 0.45) &= P(Z \ge 1.48) = 0.069 \end{aligned}

色をつけた裾の部分です。シミュレーションした 100 個の標本のうち、7 個が p̂ ≥ 0.45 でした：0.07。モデルに近い値です。

この条件の確認では、p̂ ではなく母数 p を使います。標本分布は真の比率に属しているからです。

5.6 · 標本比率の差

比率で2つの群を比べる

独立な2つの無作為標本では、差 p̂₁ − p̂₂ に固有の標本分布があり、その中心は p₁ − p₂ です。

地区1は5.5の地区です：35% が徒歩通学で、標本の大きさは 50。地区2では 25% が徒歩通学で、標本の大きさは 60。標本の組ごとに差（赤いバー）が得られ、ドットプロットに落ちます。

\begin{aligned}\mu_{\hat{p}_1 - \hat{p}_2} &= p_1 - p_2 = 0.10 \\ \sigma_{\hat{p}_1 - \hat{p}_2} &= \sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1} + \frac{p_2(1-p_2)}{n_2}} \\ &= \sqrt{\frac{0.35(0.65)}{50} + \frac{0.25(0.75)}{60}} = 0.0876\end{aligned}

差であっても、分散は足し算します。偶然の要因が独立に2つあるので、差はどちらか1つだけの場合よりばらつきます。足せるのは標準偏差ではなく分散です。

条件。独立な無作為標本であること。それぞれが母集団の10%未満であること。4つの度数がすべて10以上であること：17.5, 32.5, 15, 45。このとき標本分布はほぼ正規分布になります。

確率。地区2の標本のほうが比率が高くなるのは、どのくらいの頻度でしょうか。

\begin{aligned} z &= \frac{0 - 0.10}{0.0876} = -1.14 \\ P(\hat{p}_1 - \hat{p}_2 < 0) &= P(Z < -1.14) = 0.127 \end{aligned}

地区1のほうが実際には徒歩通学者が多いのに、約 13% の確率でそうなります。図では、11 個 / 100 個の差が0を下回りました。

5.7 · x̄ の標本分布

中心 μ、ばらつき σ/√n

標本平均 x̄ の標本分布は、平均が μ、標準偏差が σ/√n です。

\mu_{\bar{x}} = \mu \qquad \sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{12}{\sqrt{9}} = 4\ \text{g}

果樹園のリンゴが N(150, 12) に従うとき、無作為に選んだ 9 個の平均重量の標準偏差は 4 g です。赤い曲線で、母集団の3分の1の幅です。

形。母集団が正規分布なら、x̄ はどんな n でも正規分布です。そうでなければ、n ≥ 30 のとき中心極限定理により x̄ はほぼ正規分布になります。ゆがんだ母集団や不明な母集団から小さい標本をとる場合は、どちらも成り立たず、正規分布での計算は正当化できません。標準偏差の公式にも10%条件が必要です。

確率。155 g を超えるリンゴ1個は z = (155 − 150)/12 = 0.42 です。9 個の平均が 155 g を超える場合は z = (155 − 150)/4 = 1.25 です：

\begin{aligned} P(X > 155) &= P(Z > 0.42) = 0.338 \\ P(\bar{x} > 155) &= P(Z > 1.25) = 0.106 \end{aligned}

重いリンゴ1個はよくありますが、9 個の平均が重いことはまれです。標本の中で軽いリンゴと重いリンゴが打ち消し合うからです。よくある間違いは、x̄ についての問いなのに σ で割ってしまうことです。

5.8 · 標本平均の差

平均で2つの群を比べる

2つの母集団からの独立な無作為標本では、x̄₁ − x̄₂ の平均は μ₁ − μ₂、分散は2つの分散の和です。

品種Aのリンゴの重さは N(150, 12) g、品種Bは N(140, 10) です。Aを 9 個、Bを 16 個無作為に選び、平均を比べます（上の板の赤いバー）。

\begin{aligned}\mu_{\bar{x}_1 - \bar{x}_2} &= \mu_1 - \mu_2 = 150 - 140 = 10\ \text{g} \\ \sigma_{\bar{x}_1 - \bar{x}_2} &= \sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}} \\ &= \sqrt{\frac{12^2}{9} + \frac{10^2}{16}} = 4.72\ \text{g}\end{aligned}

形。どちらの母集団も正規分布なので、差も正規分布です。そうでなければ、中心極限定理のために各標本で n ≥ 30 が必要です。各標本は母集団の10%未満で、標本どうしは独立でなければなりません。

確率。Bの標本の平均のほうが重くなる確率はどのくらいでしょうか。

\begin{aligned} z &= \frac{0 - 10}{4.72} = -2.12 \\ P(\bar{x}_A - \bar{x}_B < 0) &= P(Z < -2.12) = 0.017 \end{aligned}

まれです。この標本の大きさでは、重いほうの品種のほうがほぼ必ず平均も重くなります。標本が小さければ、赤い曲線は広がり、色をつけた面積は大きくなります。