確率と確率変数 · AP Statistics

第4章 · 確率と確率変数

偶然を数える

偶然は1回ごとには予測できませんが、長い目で見れば予測できます。確率は、その長期的な振る舞いを扱う数学です。

図では、各ボールが 10 段のピンの間を落ちていきます。ピンごとに、左へ行くか右へ行くかは同じ確率です。だから、次のボールがどこに落ちるかは誰にも言えません。

それでも 240 個のボールは、予測できる形に積み重なります。赤い印は、ボールが落ちる前に計算した各ビンの期待される高さです。中央の3つのビンには、ボールの 65.6% が入るはずです。実際には 240 個中 164 個、つまり 68.3% が入りました。

この章では、あるパターンがただの偶然かどうかを考え、シミュレーションで確率を推定し、確率を組み合わせる規則（余事象、「または」、「かつ」、条件付き確率、独立性）を作ります。続いて、結果を数に変えます。確率変数には、平均と標準偏差をもつ分布があり、これらは決まった方法で組み合わせられます。何度も出てくる分布は2つあります。二項分布（図の盤）と幾何分布です。

4.1 · ランダムなパターンとそうでないパターン

ただの偶然？

ランダムな過程は、偶然によって結果を生み出します。連なりや固まりもその一部なので、ランダムなデータにパターンがあっても、意味があるとは限りません。

図の一方の格子は、公正なコインを 50 回投げた結果です。もう一方は、ランダムに見せようとして人が書いたものです。人は連なりを避けるので、それで見破られます。

	実際の試行	作り物
heads	19	25
H ↔ T の切り替え	25	35
最長の連	5	3

公正なコインでは、1回投げるごとに、次が切り替わる確率は 1/2 です。だから切り替わりはおよそ 24.5 回が普通です。作り物の列は 35 回、本物は 25 回切り替わっています。

偶然だけで、どのくらいの頻度でこうなるのでしょうか。公正なコインを 50 回投げるセットを 10,000 回シミュレーションしたところ（棒グラフ）、82% で5回以上の連がありました。最長の連が 3 以下だったのは 2.0% だけです。裏が 5 回続くのは普通のことです。珍しいのは、作り物の列のほうです。

つまり、バスケットボール選手の連続成功や、ある町での病気の集中は、それだけでは何の証拠にもなりません。まず、偶然だけでそのようなパターンがどのくらいの頻度で起こるかを考えましょう。この問いは、このコースの残りの部分にも通じています。

4.2 · シミュレーションによる確率の推定

長期的な相対度数

ある結果の確率とは、非常に長い反復の中でその結果が起こる割合のことです。

大数の法則。偶然の過程を何度も繰り返すほど、ある結果の相対度数はその確率に近づきます。図の1回目の試行では、最初の 10 回のうち6の目が 4 回（0.400）、50 回のうち 14 回（0.280）、600 回のうち 95 回（0.158）でした。どの試行も初めはふらつきますが、やがて 1/6 ≈ 0.167 の近くに落ち着きます。

これは長期的な振る舞いについてだけの話です。サイコロには記憶がありません。6が出なかった後でも、6が出やすくなるわけではありません。初めのずれは修正されるのではなく、その後の多くの試行に埋もれていくのです。

シミュレーションは、偶然の過程を模倣して確率を推定します。

1. 乱数を使って1回の試行をどう模倣するかを説明する。2. 何を記録するかを決める。3. 多数の試行を行う。4. 相対度数を推定値とする。

例。サイコロを4回振って、少なくとも1回6が出る確率はいくらでしょうか。1回の試行：1から6までの乱整数を4つ作り、それぞれを1回の目とします。どれかが6かどうかを記録します。最初の 6 回の試行：

trial	1	2	3	4	5	6
rolls	2 2 4 4	5 5 1 4	5 4 5 6	2 1 4 6	6 6 2 4	5 2 5 3
6の目？	no	no	yes	yes	yes	no

1000 回の試行のうち 539 回で6が出たので、推定値は 0.539 です。正確な値（4.3）は 1 − (5/6)⁴ = 0.518 です。試行を増やせば、平均して推定値はこの値に近づきます。乱数表を使うときは、1–6 を目に対応させ、0、7、8、9 は飛ばします。

4.3 · 確率入門

標本空間、事象、余事象

偶然の過程の標本空間 S は、起こりうるすべての結果の集合です。事象は結果の集合で、その確率は0から1までの数です。

サイコロを2つ振ります。標本空間には 6 × 6 = 36 通りの結果があり、図ではタイル1枚ずつに対応します。どれも同様に確からしい結果です。結果が同様に確からしいとき、

P(A) = \frac{\text{number of outcomes in } A}{\text{number of outcomes in } S}

事象 A「和が7」には、6 通りの結果（赤）があります：(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)。よって P(A) = 6/36 = 0.167 です。順序は重要で、(1, 6) と (6, 1) は別の結果です。

どの事象でも 0 ≤ P(A) ≤ 1 で、P(S) = 1 です。S の中の何かは必ず起こります。確率0の事象は決して起こらず、確率1の事象は必ず起こります。

余事象 A^C は、A が起こらない事象です。A と A^C は共通の結果をもたず、合わせると S を埋めるので、

P(A^C) = 1 - P(A) = 1 - \tfrac{6}{36} = \tfrac{30}{36}

「少なくとも1つ」は、余事象を使うと手早く求められます。P(少なくとも1つ6) = 1 − P(6が1つもない) = 1 − 25/36 = 11/36 です。一番上の行と右端の列のタイルを数えると、11 枚あります。

4.4 · 排反事象

同時に起こらない事象

2つの事象が同時には起こらないとき、それらは互いに排反（背反）であるといいます。P(A ∩ B) = 0 です。

記号について：A ∩ B（「A かつ B」）は両方が起こる事象、A ∪ B（「A または B」）は少なくとも一方が起こる事象です。ベン図では、長方形が標本空間で、ここでは面積を縮尺どおりに描いています。各領域の面積がその確率です。

献血者の ABO 式血液型は、次の4つのどれかです。

type	O	A	B	AB
probability	0.44	0.42	0.10	0.04

「A型」と「B型」は互いに排反です。両方である人はいません（AB型は独立した別の型です）。2つの円は重ならないので、面積はそのまま足し算になります。

\begin{aligned}P(A \cup B) &= P(A) + P(B) \\ &= 0.42 + 0.10 = 0.52\end{aligned}

図のダーツはランダムに落ちるので、ある領域に落ちる割合はその面積に近づきます。A または B に入る割合は 0.52 に近づきます。残りの O または AB の確率は 0.48 = 1 − 0.52 です。

このように確率を足せるのは、事象が互いに排反のときだけです。重なる場合は、重なりが2回数えられてしまいます（4.6）。

4.5 · 条件付き確率

Bが起きたときのAの確率

条件付き確率 P(A | B) は、B が起こったという条件のもとで A が起こる確率です。B がわかると、標本空間は B に縮みます。

ある調査で、500 人のドライバーに、過去1か月に運転中にメッセージを送ったことがあるかを尋ねました。

	texted	しなかった	total
16–24	72	48	120
25歳以上	95	285	380
total	167	333	500

ドライバーを1人ランダムに選びます。T を「送った」、Y を「16–24歳」とします。P(T) = 167/500 = 0.334 です。ところが、そのドライバーが16–24歳だとわかっているなら、その行だけを数えます。

\begin{aligned}P(T \mid Y) &= \frac{P(T \cap Y)}{P(Y)} = \frac{72/500}{120/500} \\ &= \frac{72}{120} = 0.600\end{aligned}

右の図は、それぞれの行を別々に示しています。若いドライバーでは 0.60 が送っていて、年上のドライバーでは 0.25 です。

順序が大切です。P(Y | T) = 72/167 = 0.431 です。送ったドライバーのうち、43.1% が若者でした。分子は同じで、分母は「条件として与えられたもの」になります。

定義を変形すると乗法定理 P(A ∩ B) = P(B) · P(A | B) になります。P(T ∩ Y) = 0.24 × 0.60 = 0.144 = 72/500 です。

4.5 · 樹形図

枝に沿って掛け、枝をまたいで足す

偶然の過程がいくつかの段階で起こるとき、樹形図は各段階の結果を枝として表します。ある経路の確率は、それに沿った確率の積です。

集団の 4% がある病気をもっています。スクリーニング検査は、病気のある人の 90% で陽性になり、病気のない人の 10% でも陽性になります。2段目の枝は条件付き確率で、0.9 は P(+ | 病気) です。

path	probability	1000人あたり
疾患あり、+	0.04 × 0.9 = 0.036	36
疾患あり、−	0.04 × 0.10 = 0.004	4
疾患なし、+	0.96 × 0.1 = 0.096	96
疾患なし、−	0.96 × 0.90 = 0.864	864

陽性になる経路は2つあります。これらは互いに排反なので、確率は足せます。P(+) = 0.036 + 0.096 = 0.132 です。

ある人が陽性でした。その人が病気（C）である確率はいくらでしょうか。

P(C \mid +) = \frac{P(C \cap +)}{P(+)} = \frac{0.036}{0.132} = 0.273

約 27% にすぎません。1000人のうち、真の陽性は 36 人、偽の陽性は 96 人です。病気はまれなので、多数の健康な人の中の少数の誤りが、患者の数を上回るのです。図では 400 人をランダムに樹形図へ送ります。赤と青の葉に注目してください。

4.6 · 独立事象と和事象

加法定理と、一方がわかっても他方について何もわからないとき

一方が起こったと知っても、もう一方の確率が変わらないとき、事象 A と B は独立であるといいます：P(A | B) = P(A)。

ある学校では、生徒の 35% が AP Statistics (S) を、25% が AP Biology (B) を履修し、10% が両方を履修しています。2つの円は重なっています。

加法定理。 P(S) と P(B) を足すと、重なり（赤）を2回数えてしまうので、1回分を引きます：

\begin{aligned}P(S \cup B) &= P(S) + P(B) \\ &\quad - P(S \cap B) \\ &= 0.35 + 0.25 - 0.10 \\ &= 0.50\end{aligned}

したがって、どちらも履修していない生徒は 0.50 です。互いに排反な事象では P(A ∩ B) = 0 となり、この定理は 4.4 の式になります。

独立性の確認。 P(S | B) = 0.10/0.25 = 0.40 ですが、P(S) = 0.35 です。生物を履修していると分かると、統計を履修している確率は上がるので、S と B は独立ではありません。別の形でも確かめられます。独立なら P(S ∩ B) は P(S) · P(B) = 0.0875 に等しいはずですが、実際は 0.10 です。

独立な事象に限り、乗法定理は P(A ∩ B) = P(A) · P(B) となります。2つの別々のさいころは独立です：P(両方とも6) = 1/6 × 1/6 = 1/36。

この2つの考え方を混同しないでください。確率が正の排反事象は、決して独立ではありません。一方が起これば、もう一方の確率は 0 になるからです。4.5 では、P(メールした | 16–24) = 0.600 ≠ P(メールした) = 0.334 なので、メールの利用と年齢層は独立ではありません。

4.7 · 確率変数と確率分布

結果を数で表す

確率変数は、偶然に左右される試行の結果に応じて数値をとります。その確率分布は、とりうる値とその確率を表します。

X を、ある町で無作為に選んだ世帯が所有する車の台数とします。X は離散型で、とびとびの値をとります。

x	0	1	2	3	4
P(X = x)	0.08	0.32	0.38	0.15	0.07
P(X ≤ x)	0.08	0.40	0.78	0.93	1.00

正しい分布では、どの確率も 0 以上 1 以下で、合計は 1 になります。図の棒は P(X = x) です。黒い階段は累積確率 P(X ≤ x) で、左から棒を足したものです。

言葉づかいに注意して読みましょう：

P(X ≥ 2)、「2台以上」：0.38 + 0.15 + 0.07 = 0.60、または 1 − P(X ≤ 1) = 1 − 0.40。
P(X > 2)、「2台より多い」：0.22、2 は含みません。
P(1 ≤ X ≤ 3) = P(X ≤ 3) − P(X ≤ 0) = 0.93 − 0.08 = 0.85。

赤い点は無作為に選んだ世帯で、これまでの各値の割合を示します。抽出が増えるにつれ、棒に近づいていきます。これも大数の法則です。確率分布とは、値が長期的に示すパターンなのです。

4.8 · 確率変数の平均と標準偏差

つり合いの点と、そこからの典型的な距離

確率変数の平均（期待値）μ_X は、長期的な平均の値です。標準偏差 σ_X は、その値が平均から離れる典型的な距離です。

各値に、その確率で重みをつけます：

\begin{aligned}\mu_X &= \sum x_i P(x_i) \\ &= 0(0.08) + 1(0.32) + 2(0.38) \\ &\quad + 3(0.15) + 4(0.07) = 1.81 \\ \sigma_X &= \sqrt{\textstyle\sum (x_i - \mu_X)^2 P(x_i)} \\ &= \sqrt{1.0339} = 1.017\end{aligned}

平均はヒストグラムのつり合いの点（赤いくさび）です。X がとりうる値である必要はありません。車を 1.81 台もつ世帯はありません。

文脈の中で。「多くの世帯を無作為に選ぶと、1世帯あたりの車の台数の平均はおよそ 1.81 台になる。」「無作為に選んだ世帯の車の台数は、平均 1.81 から、典型的には約 1.02 台ばらつく。」

分散は σ²_X = 1.0339 です。近道の式でも同じ値になります：Σx²P(x) − μ² = 4.31 − 1.81² = 1.0339。

軸の下の黒いボールは、これまでに選んだすべての世帯の平均です。ふらふら動いたあと、μ に落ち着きます。平均についての大数の法則です。

4.9 · 確率変数の組み合わせ

一次変換：Y = a + bX

確率変数に定数を足すと、平均だけがずれ、ばらつきは変わりません。定数を掛けると、平均もばらつきも定数倍になります。

ルーレットを1回まわします。止まった数 X の分布は次のとおりです：

x	1	2	3	4
P(X = x)	0.4	0.3	0.2	0.1

μ_X = 2、σ_X = 1 です。参加費は $7 で、賞金は出た数の $3 倍です。純利得は Y = 3X − 7 ドルです。

\begin{aligned}\mu_{a+bX} &= a + b\mu_X \\ \sigma_{a+bX} &= |b|\,\sigma_X \\ \mu_Y &= 3(2) - 7 = -1 \\ \sigma_Y &= 3(1) = 3\end{aligned}

図では2段階で考えます。3 を掛けると、棒の間隔が 3 倍に広がり、平均も標準偏差も3倍になります。7 を引くと、すべての棒が 7 だけ下にずれ、平均は動きますが、ばらつきは変わりません。どちらの操作でも棒の高さは変わらないので、形は同じままです。

文脈の中で。 何回も遊ぶと、1回あたり平均 $1 の損になります。お金が増えるのは X ≥ 3 のときだけで、P(Y > 0) = 0.3 です。

分散は b² 倍になります：σ²_Y = 3² × 1 = 9。定数を足すと中心（平均、中央値、四分位数）が変わり、定数を掛けると中心とすべてのばらつきの指標（標準偏差、四分位範囲、範囲）が変わります。

4.9 · 確率変数の和と差

平均は足せる。独立なら分散も足せる

和の平均は、平均の和です。変数が独立なら、和の分散も差の分散も、分散の和になります。

ルーレット（前のページの X）をまわし、公正なさいころ（Y、平均 3.5、標準偏差 1.708）を振ります。まわすことと振ることは独立です。合計 T = X + Y の分布は赤で示され、すべての結果の組を足して求めます。

\begin{aligned}\mu_{X+Y} &= \mu_X + \mu_Y = 2 + 3.5 = 5.5 \\ \sigma^2_{X+Y} &= \sigma^2_X + \sigma^2_Y \\ &= 1.000 + 2.917 = 3.917 \\ \sigma_{X+Y} &= \sqrt{3.917} = 1.979\end{aligned}

標準偏差は足せません：1 + 1.71 = 2.71 は大きすぎます。標準偏差は直角三角形の辺のように組み合わさります（図の右側）。

差。 D = Y − X の平均は 3.5 − 2 = 1.5 で、分散はやはり σ²_X + σ²_Y なので、σ_D = 1.979 です。ランダムな量を引くと、ばらつきは増えます。減ることはありません。

平均の規則は、どんな確率変数でも成り立ちます。分散の規則には独立性が必要です。また、2回のルーレット X₁ + X₂ は 2X と同じではありません。その標準偏差は √2 σ_X ですが、2X の標準偏差は 2σ_X です。

正規分布する変数。 独立な正規確率変数の和や差は正規分布に従います。リレーの2区間にかかる時間（分）が N(24, 1.5) と N(26.5, 2) とします。合計は N(50.5, 2.5) で、√(1.5² + 2²) = 2.5 です。P(合計 < 48) = P(z < −1.00) = 0.1587。

4.10 · 二項分布の入門

n回の試行での成功回数を数える

二項確率変数は、決まった回数の独立な試行のうち、成功の回数を数えます。各試行の成功確率は同じです。

4つの条件（BINS）を確かめます：Binary（二値）：各試行は成功か失敗。Independent（独立）：試行は独立。決まった試行回数 Number：n。Same（同一）：どの試行でも成功確率 p が同じ。

ボードでは、各くぎが1回の試行で、「右」が成功です：n = 10、p = 0.5。X は右に進んだ回数で、ボールが入る箱の番号です。箱 6 に入るには、10 本のくぎのうち 6 本で右に進む必要があります。そのような経路の確率はそれぞれ (1/2)¹⁰ で、経路は C(10, 6) = 210 通りあります：

\begin{aligned}P(X = x) &= \binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x} \\ P(X = 6) &= \tbinom{10}{6}(0.5)^{6}(0.5)^{4} \\ &= \tfrac{210}{1024} = 0.205\end{aligned}

箱 6 には、ボールの 240 × 0.205 ≈ 49 が入るはずですが、実際は 47 でした。

文脈の中で。 ある選手はフリースローを 70% の確率で決め、10 本打ちます。これらは独立とみなします。決めた本数 X は、n = 10、p = 0.7 の二項分布に従います。

P(X = 8) = C(10, 8)(0.7)⁸(0.3)² = 0.2335。
P(X ≥ 8) = 1 − P(X ≤ 7) = 1 − 0.6172 = 0.3828：「少なくとも」は余事象の累積確率を使います。

二項分布ではない例：カードを戻さずに引く場合（試行が独立でない）、最初に表が出るまでの投げた回数を数える場合（n が決まっていない。これは 4.12）。

4.11 · 二項分布のパラメータ

μ = np, σ = √(np(1 − p))

二項分布は、2つのパラメータ n と p で決まります。平均と標準偏差は、この2つから求められます。

\mu_X = np \qquad \sigma_X = \sqrt{np(1-p)}

このボードでは、μ = 10(0.5) = 5、σ = √(10 × 0.5 × 0.5) = 1.58 です。平均から 1σ 以内にある階級 4, 5, 6 に、確率の 0.656 が入ります。

これは 4.9 の規則がそのままはたらいた結果です。X は 10 回の独立な試行の和で、各試行は確率 p で 1、それ以外は 0 をとります。1回の試行の平均は p、分散は p(1 − p) です。平均は足し算でき、分散も足し算できます。

文脈の中で。フリースローでは、μ = 10(0.7) = 7、σ = √(10 × 0.7 × 0.3) = 1.45 です。「10 本のフリースローを何セットも繰り返すと、平均して 7 本成功する。成功数は 7 から、おおよそ 1.45 程度ばらつく。」

分布の形。p = 0.5 のとき、分布は左右対称です。p が 0 や 1 に近いと分布は歪みますが、n が大きくなるほど歪みは小さくなります。np ≥ 10 かつ n(1 − p) ≥ 10 のとき、分布は正規分布に近くなります。これは単元5で使います。

10%条件。非復元抽出では、試行が従属になります。標本が母集団の 10% 以下なら、従属性はわずかで、二項モデルはそのまま使えます。

4.12 · 幾何分布

最初の成功までの試行

幾何確率変数は、成功確率が毎回同じ独立な試行で、最初の成功までの試行回数（成功した回を含む）を数えます。

あるシリアルのブランドは、箱の 20% に景品を入れています。景品が出るまで箱を1つずつ開け、開けた箱の数を X とします。試行回数は決まっていないので、X は二項分布に従いません。x 回目で初めて成功する（x = 1, 2, 3, …）には、最初の x − 1 回がすべて失敗でなければなりません。

\begin{aligned}P(X = x) &= (1-p)^{x-1}p \\ P(X = 3) &= (0.8)^{2}(0.2) = 0.128\end{aligned}

棒の高さは前の棒の 0.8 倍になるので、分布は常に右に裾を引き、最も起こりやすい値は常に 1 です。

P(X ≤ 3) = 1 − P(最初の 3 個に景品なし) = 1 − 0.8³ = 0.488。
P(X > 5) = 0.8⁵ = 0.328：最初の5個の箱がすべて外れの場合です。

\begin{aligned}\mu_X &= \frac{1}{p} = 5 \\ \sigma_X &= \frac{\sqrt{1-p}}{p} = \frac{\sqrt{0.8}}{0.2} = 4.47\end{aligned}

文脈の中で。「これを何度も繰り返すと、景品を見つけるのに平均して 5 個の箱を開けることになる。」図では試行を次々に再生します。赤い箱が出るまで箱が開き、そのあとボールがその回の X を示します。