比率の推測

第6章 · 比率の推測

p の区間推定と検定

標本比率は母比率を推定します。推測は、それをどこまで信頼できるかを教えてくれます。

図では、ある都市から無作為に50個の標本、各500人の成人を取り出します。この都市では、割合 p = 0.60 の人が新しい自転車レーンに賛成です。図は p を知っていますが、実際の調査では決してわかりません。

各標本から、それぞれのp̂（点）と、そのまわりの 95% 信頼区間（棒）が得られます。縦線が p です。50個の区間のうち47個がそれをまたいでいて、3個が赤で示され、はずれています。

この章では、これらの区間を作り、「95% 信頼できる」が何を意味し、何を意味しないかを説明します。次に問いを逆にします。有意性検定は、p の主張値が正しいとしたとき、標本が意外なものかどうかを問い、その判断がどんな誤りを生みうるかを考えます。最後に、2つの比率の差について、同じ2つの道具を使います。

6.1 · なぜ正規分布なのか

p̂ の標本分布

標本比率は標本ごとに変わります。標本が十分大きければ、その分布はほぼ正規分布になるので、正規モデルでどの結果が珍しいかが分かります。

図では、p = 0.1 の母集団から無作為標本を抽出し、各標本の p̂ をヒストグラムに入れていきます。左は20の標本、右は200の標本です。赤い曲線が正規モデルです。

p̂ は p を中心にしています。つまり不偏推定量です。n が大きくなるとばらつきは小さくなります。σ は n = 20 で 0.067、n = 200 で 0.021 です。標本が10倍になると、ばらつきは √10 分の1になります。

大きな数の条件。np ≥ 10 かつ n(1 − p) ≥ 10 のとき、形はほぼ正規分布になります。n = 20 では np = 2 で、ヒストグラムは右に歪んで0に寄り、正規曲線は面積の6.8%を0未満に置いてしまいますが、p̂ はそこに行けません。n = 200 では np = 20、n(1 − p) = 180 で、曲線はよく合います。

10%条件。σ の式は観測が独立であることを前提にしています。非復元抽出では、標本が母集団の10%以下なら、ほぼ成り立ちます。

例。n = 200 のとき、p̂ ≥ 0.15 となる確率はどれくらいでしょう。z = (0.15 − 0.1)/0.0212 = 2.36、P(Z ≥ 2.36) = 0.0092 です。0.1 をこれほど上回る標本は、偶然だけではきわめて珍しいといえます。

6.2 · 信頼区間の作り方

統計量 ± (臨界値)(標準誤差)

信頼区間は、p のもっともらしい値の範囲を示します。標本の p̂ に誤差の範囲を足し引きしたものです。

ある都市の大人500人の無作為標本で、290人が新しい自転車レーンに賛成なので、p̂ = 290/500 = 0.580 です。p の1標本 z 区間は次のとおりです。

95%では z* = 1.960 です。標準正規分布の中央95%は −1.960 と 1.960 の間にあります。標準誤差では、未知の p の代わりに p̂ を使います。誤差の範囲は z* × SE = 0.043 です。

なぜうまくいくのか。標本の95%では、p̂ は p から 1.96σ 以内に入ります（青い帯）。入っているときは、p̂ の両側に SE の1.96倍だけ広げた区間が p を含みます。図では、標本6が帯の外にあり、その区間は外れています。

試験では、手順の名前を書き、条件を確認し、計算し、区間を文脈に沿って述べます。

6.2 · 誤差の限界と標本の大きさ

標本抽出の前に n を決める

誤差の範囲は n が大きくなると小さくなりますが、ゆっくりで、1/√n のように減ります。調査を計画するときは、先に誤差の範囲を決め、n について解きます。

p* は p の推測値です。手がかりがなければ p* = 0.5 を使います。p*(1 − p*) = 0.25 と最大になるので、p がどんな値でも、求めた n で足ります。

例。95%信頼で、誤差の範囲を0.03以下にするには：

よって n = 1068 です。必ず切り上げます。1067 では、誤差の範囲が0.03をわずかに超えてしまいます。予備調査の推定値 p* = 0.2 を使うと、683で足ります（青い曲線）。

誤差の範囲を半分にするには、標本が4倍必要です。n は平方根の中にあるからです。

誤差の範囲が扱うのは、無作為抽出による偶然のばらつきだけです。カバレッジ不足、無回答、誘導的な質問によるかたよりについては何も語りません。

6.3 · 信頼区間の解釈

「95%信頼できる」が意味することと、意味しないこと

区間は p についての主張です。信頼水準は、その区間をつくった方法についての主張です。

区間。「0.537から0.623までの区間は、自転車レーンに賛成するこの都市の全大人の真の比率を捉えていると、95%の信頼をもって言える。」母数を、文脈に沿って示します。

信頼水準。「500人の無作為標本を何度も取り、それぞれから95%区間をつくれば、区間の約95%が真の比率を捉える。」図では50個中47個が捉えています。赤い3個は外れていて、それを知らせるものは何もありませんでした。

誤り：「p が0.537と0.623の間にある確率は95%である。」p は固定された値で、この区間はそれを捉えているか、いないかのどちらかです。また、大人の95%や標本比率の95%についての主張でもありません。

主張の根拠づけ。区間の中のどの値も、p のもっともらしい値です。

もっともらしいことは、証明されたことではありません。区間は p = 0.60 を示すわけではなく、0.60 を否定できないことを示すだけです。

6.3 · 信頼水準と幅

信頼度を上げると幅が広がり、データを増やすと幅が戻る

信頼水準が高いほど大きな z* が必要になり、区間は広くなります。標本が大きいと標準誤差が小さくなり、区間も狭くなります。

すべて同じ p̂ = 0.58 からつくっています。図では、赤い区間が80.0%から99.5%まで水準を変えながら動きます。青い区間は標本が4倍で、誤差の範囲は半分です。

99%区間は p をより高い頻度で捉えますが、言えることは少なくなります。高い信頼度と狭い区間を両方ほしいなら、標本を大きくします。

信頼水準はデータを見る前に決めます。ある1つの区間が正しい確率ではありません。水準も n も、区間の中心は変えません。中心は p̂ です。

6.4 · 検定の設定

仮説と条件、p₀ を使って

有意性検定は、p についての主張に反する説得力のある証拠が標本から得られるかどうかを調べる。

ある携帯電話メーカーは、製品の 25% が2年以内に修理を必要とすると言っている。消費者団体は、それより多いのではないかと疑っている。このメーカーの携帯電話から無作為に抽出した 400 台のうち、118 台が修理を必要とした：p̂ = 0.295。

ここで p は、このメーカーのすべての携帯電話のうち、2年以内に修理を必要とするものの母比率である。帰無仮説 H₀ は「0.25 と違いはない」という主張であり、対立仮説 H_a は、団体が証拠を見つけたいと考えていることである。仮説は母数 p についてのものであり、p̂ についてのものではない。また、データを見る前に設定する。

H_a は、問いに方向があるときは片側（> または <）、どんな違いでも問題になるときは両側（≠）にする。

大きな度数の確認には p₀ を使い、p̂ は使わない。検定は、H₀ が真だと仮定したときに何が起こるかを調べるからである。図は p = 0.25 から大きさ 400 の標本を 200 個抽出したものである。標本は、中心が 0.25、標準偏差が 0.0217 の正規曲線のまわりに積み上がる。

6.5 · p値の解釈

H₀ が真だとしたら、どれほど意外か

p値とは、H₀ が真であると仮定したとき、観測された統計量と同じか、それより H_a の方向に極端な統計量が得られる確率である。

図では、p = 0.25 で抽出した 200 個の標本のうち 5 個が 0.295 以上になった。その割合は 0.025 で、正規モデルの 0.019 に近い。

文脈で述べると：「このメーカーの全携帯電話の 25% が修理を必要とすると仮定すると、携帯電話 400 台の無作為標本で、偶然だけで標本比率が 0.295 以上になる確率は 0.019 である。」

p値が小さいということは、H₀ が真ならそのデータはめったに起こらないということであり、H₀ に反する証拠になる。p値が大きいときは、H₀ のもとでよく起こるデータであり、それに反する証拠はない。

誤り：H₀ が真である確率でも、結果が偶然起きた確率でもない。p値は H₀ を仮定して計算する。

両側の H_a では、両方の裾を数える。p値は |z| より外側の面積の2倍になる。

6.6 · 検定の結論

p値を α と比べる

データを見る前に、有意水準 α を決める。p値が α より小さければ H₀ を棄却し、そうでなければ H₀ を棄却しない。

α = 0.05 のとき：0.019 < 0.05 なので、H₀ を棄却する。「p値 0.019 は α = 0.05 より小さいので、H₀ を棄却する。このメーカーの全携帯電話の 25% より多くが2年以内に修理を必要とするという、説得力のある証拠がある。」

α = 0.01 のとき：0.019 > 0.01 なので、H₀ を棄却しない。「25% より多くが修理を必要とするという、説得力のある証拠はない。」

「H₀ を受け入れる」とは決して言わない。主張に反する証拠が見つからなくても、それが真であることを示したことにはならない。

検定統計量でも同じ判断ができる。z が臨界値を超えたら棄却する。α = 0.05 の片側では z* = 1.645、0.01 では 2.326 である。図では α を 0.005 から 0.1 まで動かす。青い領域は z* より外側で、z = 2.08 を通過するところで判断が切り替わる。

p値が α を下回る結果を、その水準で統計的に有意という。有意であることは、大きいことや重要であることと同じではない。

6.7 · 誤りと検出力

第1種の過誤、第2種の過誤、そして検出力

検定には2通りの誤りがある。検出力とは、偽の H₀ を正しく見抜く確率である。

文脈で言うと、第1種の過誤とは、実際は 25% なのに携帯電話の 25% より多くが修理を必要とすると結論することである。メーカーは不当に非難される。第2種の過誤とは、実際にある超過を見逃すことである。所有者は修理代を払い続ける。

真の値が p = 0.3 だとする。α = 0.05 のとき、検定は p̂ > 0.2856 で棄却する。n = 400 では：

検出力は高くなるのは、標本が大きいとき（図のように曲線が細くなる）、α が大きいとき（α = 0.1、n = 400 では 0.834）、真の p が p₀ から遠いときである。α を下げると第1種の過誤は減るが β は増える。n が一定なら、この2つはトレードオフになる。

6.8 · 差の区間推定

独立な2つの標本による p̂₁ − p̂₂

2つの比率を比べるには、その差を推定する：(p̂₁ − p̂₂) ± z* × SE。

10代 400 人と成人 500 人の独立な無作為標本で、主にソーシャルメディアからニュースを得ていると答えたのは、10代が 248 人、成人が 255 人だった。p̂₁ = 0.62、p̂₂ = 0.51で、差は 0.11 である。

足し合わせるのは分散であり、標準誤差ではない。独立な2つの推定値の差は、どちらの推定値よりもばらつきが大きい。

どちらを群1にするか明示すること。順序で符号が決まる。成人から10代を引くと (-0.175, -0.045) になる。

6.9 · 差についての主張の根拠づけ

0 は p₁ − p₂ のもっともらしい値か？

区間に 0 が含まれなければ、2つの比率が異なるという説得力のある証拠がある。0 が含まれれば、そうした証拠はない。

文脈で述べると：「0.045 から 0.175 までの区間が、主にソーシャルメディアからニュースを得ている人の割合の真の差（10代から成人を引いたもの）を含むと、95% の信頼度で言える。」

区間のどの値も 0 より大きいので、成人よりも10代の方がその割合が大きいという説得力のある証拠がある。その差は 4.5 から 17.5 パーセントポイントの間である。

より小さな研究。10代 100 人と成人 100 人で同じ p̂ を使うと、(-0.027, 0.247)（青）になる。0 が区間に含まれる。差が 0 であることもありうるので、このデータは差があるという説得力のある証拠にはならない。

これは差がないという証拠ではない。この区間は、0.25 ほどの大きな差も許容している。標本を大きくすると区間は狭くなる。

区間がすべて負なら、p₁ < p₂ の証拠になる。0 を含む区間は、α = 1 − C の両側検定で棄却しないという結論と同じである。

6.10 · 2標本検定の設定

H₀：差なし、そしてプールした比率

2標本 z 検定は、2つの標本比率の差が、偶然で生じる差より大きいかどうかを調べる。

ある実験で、300 人のボランティアを無作為に割り当てた。150 人はテキストメッセージのリマインダーを受け取り、150 人は受け取らなかった。リマインダーを受けた群では 87 人がインフルエンザの予防接種を受け（0.58）、そうでない群では 66 人が受けた（0.44）。

ここで p₁ と p₂ は、リマインダーがある場合とない場合に予防接種を受ける真の比率である。

プール。H₀ は2つの比率が等しいと述べている。そこで検定は、両群をまとめて、その共通の値を1つ推定する。これがプールした（合わせた）比率である。図では2つの群が合わさり、接種した人が両群にならされる：

6.11 · 2標本検定の実行

z、p値、そして文脈での結論

検定統計量は、観測された差が標準誤差の何個分にあたるかを表す。標準誤差は p̂_c から計算する。

p値 = P(Z ≥ 2.43) = 0.0076。図の赤い裾の部分である。

結論。「p値 0.0076 は α = 0.05 より小さいので、H₀ を棄却する。テキストメッセージのリマインダーによって、この志願者たちのような人々のインフルエンザ予防接種を受ける比率が高まるという、説得力のある証拠が得られた。」

無作為割り付けにより、結論は因果について述べることができる。ただし志願者は無作為標本ではないので、結論が及ぶのは彼らと似た人々だけである。

検定では、H₀ が p₁ = p₂ と述べているので、合併する。区間ではそのような仮定をしないので、合併しない。