平均の推測 · AP Statistics · Atlas of Statistics

第7章 · 平均の推測

μ に関する t 手法

標本平均は母平均のよい推定値ですが、あくまで推定値です。平均の推測は、標本だけを使って、その推定がどれほどよいかを示します。

この図はシミュレーションなので、今回は真の値がわかっています。母平均 μ = 250、標準偏差 5 の母集団です。大きさ 10 の無作為標本を何度も取り、各標本だけから区間 x̄ ± t*·s/√n をつくります。

区間は標本ごとに動きます。20 個のうち 19 個が μ を含み、外れたものは赤で示されます。長い目で見ると 95% が含み、これが「95% 信頼」の意味です。

この章の内容：なぜ z ではなく t なのか（7.1）、1つの平均に対する信頼区間と有意性検定（7.2～7.5、対応のあるデータを含む）、2つの平均の差に対する同様の手法（7.6～7.9）、そして手法の選び方（7.10）。

7.1 · t 分布

誤差を心配すべき？

x̄ を標準化するには σ が必要ですが、実際にはほとんどの場合わかりません。そこで標本の s を代わりに使うと、z よりもばらつきの大きい統計量になります。これが t 分布に従います。

無作為標本では、x̄ の平均は μ、標準偏差は σ/√n です。σ の代わりに s を使うと、x̄ の標準誤差は s/√n となり、次のようになります。

t = \frac{\bar{x} - \mu}{s/\sqrt{n}}, \qquad df = n - 1

s も標本ごとに変わり、小さい標本では小さくなりすぎることがよくあります。そのため、t は z よりも 0 から大きく離れやすくなります。t 分布は 0 を中心とする左右対称の釣り鐘型で、標準正規分布より裾が厚くなっています。形は自由度で決まります。df が大きくなると、s が σ をより正確に表すようになり、曲線は正規分布に近づきます。

df	2	5	10	15	30	100	∞ (z)
95% の t*	4.303	2.571	2.228	2.131	2.042	1.984	1.960

図では、df = 4 のとき P(|t| > 2) = 0.116 で、z の場合は 0.046 です。小さい標本で z* = 1.96 を使うと、区間が狭くなりすぎます。つまり、μ を含む頻度が主張より低くなります。t* はそれを補正します。

誤りは常に起こりえます。区間が μ を外すことがあります。検定が正しい帰無仮説を棄却する（第1種の誤り）ことも、誤った帰無仮説を棄却しない（第2種の誤り）こともあります。方法からわかるのは、誤りがどれくらいの頻度で起こるかであり、今回起こったかどうかではありません。

7.2 · μ の信頼区間

統計量 ± (臨界値)(標準誤差)

1標本 t 区間は、1つの無作為標本から母平均 μ を推定します。

コーヒーマシンは 250 mL を注ぐように設定されています。無作為に選んだ 16 杯の量 (mL) は次のとおりです。

244.3	248.9	253.8	247.8	246.1	248.6	247.2	243.3
250.6	248.3	245.3	243.7	254.8	251.9	243.4	245.6

x̄ = 247.73 mL、s = 3.60 mL です。df = 15 のとき、信頼度 95% の t* は 2.131 です。

\begin{aligned}\bar{x} \pm t^*\frac{s}{\sqrt{n}} &= 247.73 \pm 2.131\cdot\frac{3.60}{\sqrt{16}} \\ &= 247.73 \pm 1.92 \\ &= (245.81,\ 249.64)\ \text{mL}\end{aligned}

図では、青い球が x̄、濃い棒が左右に標準誤差1つ分、赤い棒が区間全体で、左右に t* 個分の標準誤差を表します。

文脈に沿って解釈しましょう。245.81 mL から 249.64 mL までの区間が、このマシンが注ぐすべてのカップの真の平均量を含んでいると、95% の信頼度で言えます。

誤差の範囲 t*·s/√n は、信頼度が高いほど大きくなり（90%：±1.58、99%：±2.65）、n が大きいほど 1/√n のように小さくなります。標本が4倍になると、誤差の範囲は半分になります。

7.2 · 条件の確認

無作為性、10%、そして正規性または大きな標本

A t interval or test is only trustworthy when three conditions hold. State each, in context, before computing.

Random. The data come from a random sample or a randomized experiment.

10%. When sampling without replacement, n ≤ 10% of the population, so the observations are close to independent.

Normal/Large sample. The population is approximately normal, or n ≥ 30. If n < 30 and the population’s shape is unknown, graph the sample: there must be no strong skew and no outliers.

The figure has three samples on one scale.

	n	the sample	Normal/Large?
A	12	roughly symmetric, no outliers	yes
B	12	strongly skewed right, 1 outlier	no
C	40	skewed right	yes, n ≥ 30

In B, Q₁ = 2.40 and Q₃ = 6.15, so anything above 6.15 + 1.5(3.75) = 11.78 is an outlier: 13.7 is. With only 12 values, x̄ and s are pulled by it, and the t procedure is not safe. C is skewed too, but with 40 values the central limit theorem makes the sampling distribution of x̄ close to normal.

For the coffee cups, 16 < 30, but their dotplot shows no strong skew or outliers, so the interval of 7.2 stands.

7.3 · 区間で主張を正当化する

μ のもっともらしい値

信頼区間は、μ のもっともらしい値を示す。区間の外にある主張値はもっともらしくない。区間の中にあるものはもっともらしいが、証明されたわけではない。

この機械の製造元は、平均で 250 mL を注ぐと主張している。95% 区間の 245.81 から 249.64 mL は 250（青い線）を含まない。もっともらしい値はすべてそれより下にある。この区間は、機械が平均で 250 mL より少なく注ぐという説得力のある証拠になる。

信頼度 99% では、区間は 245.07 から 250.38 mL である。これは 250 を含むので、この水準では主張はもっともらしい。信頼度を高くすると区間は広がり、除外される値は少なくなる。

「95% 信頼できる」の意味。最初の図のように、この方法は、起こりうるすべての無作為標本の 95% で μ を捉える。この1つの区間は、μ を捉えているか、いないかのどちらかで、どちらかはわからない。

よくある間違い。

「μ が 245.81 と 249.64 の間にある確率は 95% である。」違う：μ は固定されていて、確率は方法についてのものである。
「カップの 95% は 245.81 から 249.64 mL の量が入っている。」違う：区間は平均についてのもので、ずっとばらつきの大きい個々のカップについてのものではない。
「250 は 99% 区間に入っているので、平均は 250 である。」違う：それはもっともらしい多くの値の1つにすぎない。

7.4 · μ の検定の設定

母平均に関する仮説

1標本 t 検定は、母平均の主張値 μ₀ に反する説得力のある証拠を標本が与えるかどうかを調べます。

品質検査員は、マシンが目標からどちらの方向にであれずれているかを調べます。

H_0\!: \mu = 250 \qquad H_a\!: \mu \ne 250

ここで μ は、このマシンが注ぐすべてのカップの真の平均量 (mL) です。仮説は母数 μ についてのもので、x̄ についてではなく、データを見る前に決めます。量が足りないことだけが問題なら、H_a: μ < 250 は片側仮説になります。

有意水準 α = 0.05 も事前に決めます。これは第1種の誤り、つまり H₀ が真のときにそれを棄却する確率です。

条件は区間の場合と同じです。無作為標本であること。16 杯が注がれた全カップの 10% 未満であること。16 < 30 なので、標本に強い歪みや外れ値がないこと。

この検定が答える問いは次のとおりです。標本平均 247.73 mL（青）は 250 より小さい。標準誤差で数えて、偶然だけで説明するのが考えにくいほど、十分に小さいだろうか。

7.5 · μ の検定の実施

t 統計量とその p 値

検定統計量は、x̄ が μ₀ から標準誤差いくつ分離れているかを表します。p値は、H₀ が真だと仮定したとき、少なくともその程度に極端な結果が得られる確率です。

\begin{aligned}t &= \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}} = \frac{247.73 - 250}{3.60/\sqrt{16}} \\ &= -2.53, \quad df = 15\end{aligned}

H_a: μ ≠ 250 では両側の裾を数えます（赤）。p値 = 2P(t ≤ −2.53) = 0.023 です。

文脈に沿って結論を述べましょう。0.023 < α = 0.05 なので、H₀ を棄却します。このマシンが注ぐすべてのカップの真の平均量が 250 mL ではないという、説得力のある証拠があります。

p値の解釈：真の平均が 250 mL だと仮定すると、16 杯の無作為標本で、標本平均が 250 から 247.73 mL 以上離れる（どちらの方向でも）ことが偶然だけで起こる確率は 0.023 です。

この検定は、250 を除外した 7.3 の 95% 区間と一致します。α = 0.05 の両側検定は、95% 区間が除外する値をちょうど棄却します。α = 0.01 では、250 が 99% 区間に入るので、棄却しません。

棄却しないことは H₀ が真であることを示しません。証拠が説得力をもたないというだけです。

7.5 · 対応のあるデータ

差の1つの標本

各個体を2回測定した場合や、個体が対応のあるペアになっている場合は、差を分析します。差は1つの標本になるので、1標本の t 手法が使えます。

無作為に選ばれた 12 人の生徒が、短期講座の前後に読む速さのテスト（1分あたりの語数）を受けます。図では、各生徒が、前（灰色）から後（黒）までを結ぶ棒で表されています。棒は0から始まるようにスライドし、その長さが差 d = 後 − 前になります。

前	208	135	209	170	169	245	195	160	230	207	212	195
後	213	133	229	183	177	260	203	171	226	231	223	205
d	5	−2	20	13	8	15	8	11	−4	24	11	10

x̄_d = 9.92、s_d = 8.01。H₀: μ_d = 0 を対立仮説 H_a: μ_d > 0 に対して検定します。ここで μ_d は、このような生徒の真の平均の伸びです。

\begin{aligned}t &= \frac{\bar{x}_d - 0}{s_d/\sqrt{n}} = \frac{9.92}{8.01/\sqrt{12}} \\ &= 4.29, \quad df = 11\end{aligned}

p値 = 0.0006：この講座が読む速さの平均を高めるという説得力のある証拠があります。μ_d の95%信頼区間は、1分あたり 4.83 語から 15.00 語です（赤）。

条件は差について確認します。無作為標本であること、12 がこのような生徒全体の10%未満であること、そして 12 < 30 なので、差のドットプロットに強い歪みや外れ値がないことです。

7.6 · μ₁ − μ₂ の信頼区間

2つの独立な標本

2つの母集団（または2つの処理）の平均を比べるには、μ₁ − μ₂ の2標本 t 区間を使います。

ある検証者が、同じ懐中電灯で2つのブランドの電池を無作為標本で試します（点灯時間、単位は時間）。

	n	x̄ (h)	s (h)
ブランドA	14	11.94	1.27
ブランドB	12	10.68	1.07

\begin{aligned}SE &= \sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}} \\ &= \sqrt{\frac{1.27^2}{14} + \frac{1.07^2}{12}} = 0.460 \\[4pt] &(\bar{x}_1 - \bar{x}_2) \pm t^*\,SE \\ &= 1.26 \pm 2.064(0.460) \\ &= (0.31,\ 2.21)\ \text{h}\end{aligned}

自由度。テクノロジーでは専用の式を使い、ここでは df = 24.0 となるので、t* = 2.064 です。使わない場合は、小さいほうの n − 1 = 11、t* = 2.201 を保守的に選びます。区間はやや広くなり、(0.25, 2.27) です。どちらを使ったかを必ず書きましょう。

条件：独立な2つの無作為標本（または無作為割り当てで作った2つの群）であること。各 n が母集団の10%以下であること。各 n ≥ 30、またはどちらの標本にも強い歪みや外れ値がないこと。

解釈：0.31 時間から 2.21 時間の区間は、電池の平均寿命の真の差（ブランドA − ブランドB）を捉えていると、95%の信頼度で言えます。

7.7 · μ₁ − μ₂ に関する主張の正当化

0はどこに入るか？

平均の差では、注目する値はたいてい0、つまり差がないことです。0が区間の外にあれば、その区間は差があるという説得力のある証拠になります。

主張1：ブランドAのほうが平均して長持ちする。0.31 から 2.21 時間までのどの値も正なので、0はもっともらしくありません。μ_A − μ_B > 0、つまりブランドAのほうが平均して長持ちするという説得力のある証拠があります。

主張2：ブランドAは平均して少なくとも 2 時間長持ちする。2 は区間の中にあるのでもっともらしいですが、それよりずっと小さい 0.31 までの値もそうです。この区間は、この主張を支持する説得力のある証拠にも、反対する証拠にもなりません。

符号は引き算の順序とあわせて読みましょう。A − B が 0.31 から 2.21 というのは、B − A が −2.21 から −0.31 というのと同じ内容です。

結論は、標本を取った母集団の平均についてのものです。データが無作為化実験から得られたものなら因果関係についても言えますが、無作為標本からでは言えません。

7.8 · μ₁ − μ₂ の検定の設定

対応あり？ 2標本？

まず、データがどのように得られたかを判断します。各個体に2回の測定がある場合や対応のあるペアの場合は、差に対する対応のある t 検定を使い、独立な2つの群の場合は2標本 t 検定を使います。

独立な2つの群の場合：

\begin{aligned}&H_0\!: \mu_1 - \mu_2 = 0 \\ &H_a\!: \mu_1 - \mu_2 > 0,\ < 0 \text{ or } \ne 0\end{aligned}

文脈に沿って μ₁ と μ₂ を定義し、どちらからどちらを引くかを述べます。ペアの場合、母数は平均の差 μ_d ただ1つです。

なぜ重要か。7.5 の読む速さのデータを、誤って独立な2標本として扱った場合：

	SE	t	p値
対応あり（正しい）	2.31	4.29	0.0006
2標本（誤り）	13.30	0.75	0.232

平均も差 9.92 も同じです。しかし、生徒どうしの違い（s ≈ 1分あたり 31 語）は、1人の生徒の変化（s_d = 8.01）よりはるかに大きいのです。2標本の分析では、この生徒間のばらつきをすべて雑音として数えますが、ペアにすればそれが取り除かれます。図では、青い区間が誤った分析、赤い区間が正しい分析です。

2標本の手法では群が独立である必要もありますが、1人の生徒の前後の得点は独立ではありません。

7.9 · μ₁ − μ₂ の検定の実施

2標本 t 検定

検定統計量は、標本平均の差から H₀ のもとでの値を引き、標準誤差の何個分かで表したものです。

7.6 の検証者は、ブランドAのほうが長持ちするかどうかを事前に問いました。H₀: μ_A − μ_B = 0、H_a: μ_A − μ_B > 0 で、各 μ はこの懐中電灯でのそのブランドの真の平均寿命、有意水準は α = 0.05 です。

\begin{aligned}t &= \frac{(\bar{x}_A - \bar{x}_B) - 0}{\sqrt{\dfrac{s_A^2}{n_A} + \dfrac{s_B^2}{n_B}}} \\ &= \frac{11.94 - 10.68}{0.460} = 2.74\end{aligned}

df = 24.0（テクノロジー）のとき、p値は P(t ≥ 2.74) = 0.0057 で、赤い裾の部分です（隅に拡大表示）。保守的な df = 11 では 0.0096 です。どちらでも0.05未満です。

結論：H₀ を棄却します。この懐中電灯では、ブランドAの電池はブランドBより平均して長持ちするという説得力のある証拠があります。

2つの標準偏差をプールしてはいけません。AP のコースでは上のプールしない標準誤差を使います。また、1標本検定を2回行って比べるのもいけません。問いは差についてなので、手法も差に対するものでなければなりません。

7.10 · 手法の選択

選択し、実行し、伝える

作業の大半は手法の選択にあります。順に考えましょう。どんな母数か、標本はいくつか、推定か検定か。

平均か比率か。量的データ（各個体の測定値）なら平均 μ と t を使います。質的データ（はい・いいえ）なら比率 p と z を使います（第6章）。平均で t を使うのは、σ を s で推定するからです。

1標本か、対応ありか、2標本か。対応のあるデータは差の1標本です。独立な2標本や2つの処理群には、2標本の手法を使います。

区間か検定か。「推定する」や「どのくらい」は区間を求め、「説得力のある証拠があるか」は検定を行います。

手法	標準誤差	df
1標本 t	s/√n	n − 1
対応あり t	s_d/√n	n − 1（ペア数）
2標本 t	√(s₁²/n₁ + s₂²/n₂)	テクノロジー、または小さいほうの n − 1

そして伝えます。4つのステップで行います。State（述べる）：文脈に沿って母数と仮説（または信頼水準）を述べる。Plan（計画）：手法を挙げ、無作為性、10%条件、正規性または大標本を確認する。Do（実行）：統計量、df、p値または区間を求める。Conclude（結論）：文脈に沿って α と結びつけて結論を述べ、デザインが許す以上のことは主張しない。