カイ二乗検定

第8章 · カイ二乗検定

度数と期待度数の比較

カイ二乗検定では、各カテゴリーの度数が、仮説の予測から偶然だけでは説明できないほど離れていないかを調べます。

あるキャンディー会社は、袋の中身が 24% blue, 20% orange, 16% green, 14% yellow, 13% red, 13% brown だと言っています。200 個入りの袋を1つ数えます（黒い棒）。主張が正しければ、青はおよそ 200 × 0.24 = 48 個のはずです（青い影）。他の色も同様です。

ぴったり一致する袋はありません。赤い棒がそのずれ、つまり観測 − 期待です。各ずれを2乗して期待度数で割り、それらを積み上げて1つの数にしたものがカイ二乗統計量 χ² = 12.11 です。

χ² が小さければ度数は主張に近く、大きければ離れています。この章では、どこからが大きすぎるのかを調べます。1つの変数を主張された分布と比べる場合（適合度検定）と、二元表の場合（同質性と独立性）を扱います。

8.1 · 結果は予想外か？

偶然だけで起こること

無作為標本はばらつきます。結果を判断するには、主張が正しいときに偶然だけで生じる結果と比べます。

この図では、主張どおりの配合から、200 個入りの袋を無作為に 300 袋分つくります。シミュレーションした各袋（左）は期待度数から少しずれ、その χ² がドットプロットの1つの点になります。

主張が正しくても χ² が 0 になることはなく、たいてい数単位の値になります。この 300 個の値の平均は 4.99 です。300 個のうち 10 個（赤）だけが実際の袋の 12.11 に達し、その割合は 0.033 です。

これがあらゆる検定の考え方です。主張が正しいとしたら、少なくともこれくらい極端な結果はどれくらいの頻度で起こるか。めったに起こらないなら、その結果は主張に反する統計的に有意な証拠です。よく起こるなら、データは主張を疑う理由にならず、それは主張が正しいという証明ではありません。

灰色の曲線は、点が近づいていく χ² 分布です。これを使えば、シミュレーションせずに確率を求められます（8.3）。

8.2 · 適合度検定の設定

仮説、期待度数、条件

カイ二乗適合度検定は、1つのカテゴリカル変数の分布が、主張された分布と一致するかどうかを検定します。

仮説は母集団の比率についてのもので、標本の度数についてではありません。

H₀：p_青 = 0.24、p_オレンジ = 0.2、… 、p_茶 = 0.13（主張された分布は正しい）。
H_a：少なくとも1つの比率が主張と異なる。

H_a は「すべてが異なる」ではなく、方向も示しません。

期待度数は n × p_i で、H₀ から求めます。

合計は n = 200 になります。整数でなくてもかまいません。丸めないでください。

条件。無作為性：無作為標本（または無作為化実験）であること。10%：非復元抽出では n ≤ 母集団の 10%（200 個は、この会社の全キャンディーの 10% よりはるかに少ない）。大きな度数：すべての期待度数が 5 以上であること。ここでは最小で 26 です。確認するのは観測度数ではなく、期待度数です。

8.3 · カイ二乗統計量

2乗したずれを、期待度数で割って調整したもの

χ² 統計量は、すべてのカテゴリーについて、観測と期待のずれの2乗を期待度数で割ったものを合計します。

ずれの合計は常に 0 になるので、そのままでは足せません。2乗すればどのずれも効いてきます。E で割ると、期待が小さいほどずれが重く扱われます。期待 20 のうち 10 外れるほうが、期待 200 のうち 10 外れるより重大です。

自由度はカテゴリー数 − 1 です。df = 6 − 1 = 5。5つの度数がわかれば、6つ目は合計から決まります。

最大の寄与は、データと主張がもっとも食い違う所を示します。12.11のうち blue、4.08で、観測 34 に対し期待 48 です。主張より blue のキャンディーが少ないことになります。

8.3 · p値と結論

裾の奥へどれだけ入ったか

p値は、その検定の df の χ² 曲線のもとで、観測された χ² 以上の部分の面積です。大きな値が H₀ に反する証拠なので、検定では常に右側の裾を見ます。

8.1 のシミュレーションでは 0.033 となり、ほぼ同じ答えでした。

解釈。この会社の主張する分布が正しいと仮定すると、200 個のキャンディーの無作為標本で、偶然だけで χ² が 12.11 以上になる確率は 0.033 です。

結論。p = 0.033 < α = 0.05 なので、H₀ を棄却します。この会社のキャンディーの色の分布が主張と異なるという、説得力のある証拠があります。

技術を使わず表を使う場合：df = 5、裾の確率 0.05 の臨界値は χ²* = 11.07（青）です。12.11 > 11.07 なので、p < 0.05 です。

p が α より大きければ、結論は「分布が異なるという説得力のある証拠はない」となります。「主張は正しい」や「H₀ を受け入れる」とは言いません。また、χ² 検定では分布がどちら向きにずれているかはわかりません。それには最大の寄与を見ます。

8.3 · カイ二乗分布

自由度ごとに1つある分布族

χ² 分布は、自由度ごとに1つある確率密度曲線の族です。

χ² は2乗の和なので、どの分布も 0 以上の値だけをとります。どれも右に裾が長い形です。平均は df で、df ≥ 2 のときピークは df − 2 にあります。

df が大きくなると、曲線は右へ動き、広がり、歪みも小さくなります（赤い曲線は df = 1 から 12 まで変化します）。カテゴリーが多いほど和の項が増えるので、H₀ が真でも、より大きな χ² が期待されます。

したがって、同じ χ² でも、ある df では強い証拠になり、別の df ではまったく証拠にならないことがあります。上側の臨界値は次のとおりです。

大まかな目安：df に近い χ² は普通の値です。このキャンディーの 12.11 は、df の 5 の2倍を超えています。

χ² 分布は、この統計量の真の標本分布の近似にすぎません。すべての期待度数が 5 以上のときに精度が高く、そのためこの条件が重要です。

8.4 · 分割表の期待度数

周辺度数から

二元表（分割表）では、各期待度数は「行の合計×列の合計÷表全体の合計」で求めます。

成人 400 人を無作為に抽出し、年齢層と主なニュース源で分類しました。観測度数と、括弧内の期待度数です。

なぜこうなるのか。全体では、成人 400 人のうち 144 人（36%）が online でニュースを得ています。年齢層が関係ないなら、18–34 の成人 134 人でも同じ割合になるはずです。134 × 144/400 = 48.24。

期待度数の周辺度数（合計）は、観測度数のものと同じです。図では1マスずつ求めます。赤いふたが期待度数、青いタイルがその元になる2つの合計です。

小数はそのまま残しましょう。期待度数は多数の標本にわたる平均であり、実際に観測される度数ではありません。

8.5 · 同質性か、独立性か？

調査の設計で決まる

同じ二元表でも、2通りの設計から得られることがあります。どちらの設計かによって、使う検定が決まります。

等質性（左）：複数の母集団（または実験の群）から別々に無作為標本を取り、1つのカテゴリー変数を記録します。ここでは年齢層ごとに標本を取り、それぞれの人にニュース源をたずねます。行の合計は設計で決まります。

H₀：ニュース源の分布は3つの年齢層すべてで同じ。H_a：ニュース源の分布は3つの年齢層で同じではない。

独立性（右）：1つの母集団から1つの無作為標本を取り、各個人について2つのカテゴリー変数を記録します。固定されているのは表全体の合計だけで、各年齢層に何人入るかは偶然に左右されます。

H₀：成人において、年齢層とニュース源に関連はない（独立である）。H_a：関連がある（独立ではない）。

計算は同じです。期待度数、χ²、df、p値を求めます。どちらも条件は同じで、無作為標本（または無作為割り当て）であること、各標本が母集団の10%以下であること、すべての期待度数が5以上であることです。

8.6 · 分割表の検定を実行する

χ² と df = (r − 1)(c − 1)

二元表では、χ² はすべてのマスについて (O − E)²/E を足し合わせたもので、df = (行数 − 1)(列数 − 1) です。

ニュース源の標本は、2つの変数をもつ1つの標本です。そこで、α = 0.05 で独立性の検定を行います。

H₀：成人において、年齢層と主なニュース源は独立である。H_a：両者には関連がある。

条件。無作為標本であること。400 は全成人の10%未満であること。最小の期待度数は 35.6 で、5以上であること。

各マスの寄与（赤い柱）：

なぜ (r − 1)(c − 1) なのか：周辺度数が固定されていると、表の 2 × 2 の部分を埋めれば、ほかのすべてのマスは合計から決まるからです。

寄与が最も大きいのは、18–34, online（5.15：観測 64、期待 48.2）と、18–34、print（4.10：観測 24、期待 36.2）です。若い成人はオンラインに偏り、紙媒体から離れています。

8.6 · 文脈に沿った結論

関連の証拠であり、原因ではない

p値は、自由度 df = (r − 1)(c − 1) のカイ二乗分布の曲線の下で、χ² より外側の面積である。結論は、母集団について、文脈に沿って述べる。

結論。p = 0.0046 < α = 0.05 なので、H₀ を棄却する。成人において、年齢層と主なニュース源の間に関連があるという説得力のある証拠がある。

棄却値による方法では：df = 4 のとき χ²* = 9.49 で、15.06 > 9.49 である。

原因ではない。これは観察研究である。検定でわかるのは関連であり、年齢がニュース源の選択を引き起こすかどうかはわからない。原因を示せるのは、処理群間の同質性を検定した無作為化実験だけである。

同じ度数が3つの別々の標本から得られたのであれば、結論は次のようになる：ニュース源の分布は3つの年齢層で異なるという説得力のある証拠がある。

よくある間違い。仮説を標本について書く。度数の代わりに百分率を使う。期待度数ではなく観測度数を確認する。df = rc − 1 とする。p が大きいときに H₀ が真だと結論する。

8.7 · Selecting a procedure

比率の z か、χ² か

カテゴリーデータでは、標本がいくつか、変数がいくつか、カテゴリーがいくつかで手法を選びます。

z の手法は推定ができ、信頼区間を与え、片側の H_a（「より大きい」）も使えます。χ² 検定は検定だけで、H_a に方向はありません。

2群・2カテゴリーでは、両側 H_a の2標本 z 検定と、χ² 等質性検定は同じp値になります（χ² = z²）。

まず設計を読みましょう。標本はどう取られ、各個人について何が記録されたのか。図では、各設計がデータに残す形を示し、問いごとに1つ選びます。