傾きの推測

第9章 · 傾きの推測

その傾向は本物か？

最小二乗直線は1つの標本を表します。推測では、その直線が母集団全体の直線について何を語るかを考えます。

先生が生徒 18 人を無作為に選び、テストのための勉強時間と得点を記録します。全体としては、時間が長いほど得点は高くなっています。でも、この傾向は本物でしょうか。それともこれほど小さな標本でも偶然に現れるのでしょうか。

この図では、答えがわかっている母集団をつくります。黒い線は母回帰直線で、各勉強時間での平均得点を表します。各 x で、得点は直線のまわりに正規分布します（青い曲線）。各生徒の得点は、その勉強時間での曲線から抽出されます。

赤い線は標本にあてはめた直線で、傾きは b = 2.247、母集団の傾きは β = 2.5 です。実際には β はわからず、手もとにあるのは b だけです。

この章では、モデルを示し、b が標本ごとにどうばらつくかを見て、条件を確認し、β の信頼区間をつくり、β = 0 かどうかを検定し、コンピューター出力から読み取り、最後にこの科目のすべての手法から適切なものを選びます。

9.1 · 母集団の回帰モデル

どの x でも y は正規分布

傾きの推測では、次のモデルを仮定します。各 x の値で、応答 y は正規分布し、中心は一本の直線上にあり、ばらつきは同じです。

α、β、σ は母数です。母回帰直線の切片と傾き、そしてその直線のまわりの y の標準偏差で、どの x でも同じです。標本からは、それぞれを統計量で推定します。

β は、学校全体の生徒について、勉強時間が1時間増えるごとの得点の平均の変化です。ここでは β = 2.5 で、3 時間の平均は 57.5、5 時間では 62.5 です。

s は残差から σ を推定したものです。先に2つの数（a と b）を推定したので、n − 2 で割ります。

この章のどの検定にも共通する問いは、点は本当に直線上に並んでいるのか、それとも β が 0 でも b のような傾きが偶然現れるのか、ということです。

9.1 · 標本の傾きはばらつく

b の標本分布

同じ母集団から別の標本をとると、別の直線、別の傾きになります。起こりうるすべての標本の傾きが作る分布が b の標本分布です。

この図では、同じ 18 個の勉強時間はそのままに、新しい得点を 100 回抽出します。あてはめた各直線（赤、のち灰色）は真の直線のまわりで少しずつ違う傾きになり、各傾きがドットプロットに落ちます。

モデルが成り立つとき、b の標本分布は正規分布で、中心は β（b は不偏推定量）、標準偏差は次のとおりです。

ここで σ_x は x の値の標準偏差（n で割ったもの）です。100 個の傾きの平均は 2.47、標準偏差は 0.83 で、2.5 と 0.81 に近い値です。

b のばらつきが小さくなる条件：直線まわりの散らばりが小さい（σ が小さい）、x の広がりが大きい（σ_x が大きい）、標本が大きい、の3つです。x の値を広げるほうが、集めるより直線をしっかり定められます。

σ はわからないので s で置き換え、σ_x√n を s_x√(n − 1) で置き換えます。これが傾きの標準誤差で、これで標準化すると自由度 n − 2 の t 分布になります。

9.2 · 推測の条件

LINER：線形・独立・正規・等分散・無作為

区間も検定も、モデルがあてはまるときにだけ信頼できます。計算の前に、データで5つの条件を確認します。

18 人の生徒について見ると、残差プロット（中央）は 0 のまわりの模様のない帯で、曲がりも扇形もないので、線形と等分散の条件は満たされています。残差のヒストグラム（右）は山が1つで強い歪みはなく、最大の残差は 21.2、約 2.2 s で、極端な外れ値ではありません。生徒は無作為標本で、18 ≤ 学校の生徒 950 人の 10% です。

よくある間違い。正規性は x や y ではなく残差で確認します。ここでは、歪んだ残差プロットを許す「n ≥ 30」の規則はありません。残差プロットが曲がっていれば、傾きは適切な要約ではありません。どんな区間でも直せません。

9.2 · 回帰の出力を読む

Coef、SE Coef、T、P、S、R-Sq

ソフトウェアは回帰の結果を標準的な表で出力します。この章で必要な数はすべてその中にあります。

Coef（係数）。Constant の行が切片 a、説明変数の名前の行が傾き b です。

Hours の SE Coef は SE_b = 0.883 です。T = Coef/SE Coef = 2.55 は、H₀: β = 0 の検定統計量です。P = 0.022 はその両側P値です。

S = s = 9.834：実際の得点は、予測得点から typically 約 9.8 点ずれます。R-Sq = r²：得点の変動の 28.8% は、勉強時間による線形モデルで説明されます。したがって r = +√0.288 = 0.537 で、傾きと同じく正です。

傾きの解釈：勉強時間が1時間増えるごとに、予測得点は約 2.247 点上がります。

よくある間違い。Constant の行の T と P は α = 0 の検定で、調べる価値がほとんどありません。S は SE_b ではありません。R-Sq(adj) はこの科目では必要ありません。

9.2 · 傾きの信頼区間

b ± t*·SE_b、自由度 n − 2

β の信頼区間は、標本の傾きに誤差の範囲（許容誤差）を加減したものです。

計算する。n = 18、df = 16、信頼度95%のとき t* = 2.120 です。出力から：

結論。この学校の生徒について、テストの得点と勉強時間の関係を表す母集団の回帰直線の傾きは、0.375 から 4.119 までの区間に含まれると95%の確信をもって言えます。つまり、勉強時間が1時間増えるごとに、平均点は 0.38 点から 4.12 点の間で上がります。

信頼度は手法についてのものです。標本を繰り返し取ると、この方法で作った区間のうち約95%が β を含みます。右の図では、25 個の標本のうち 25 個中 24 個の区間が含んでいます。ある1つの区間は、β を含むか含まないかのどちらかです。

図では信頼度を80%から99%まで動かします。信頼度が高いほど t* は大きくなり、区間は広くなります。99%では t* = 2.921 で、区間は (−0.332, 4.826) です。

完全な解答では、手順（傾きの t 区間）を示し、条件を確認し、計算を行い、文脈に沿って結論を述べます。

9.3 · 区間で主張を正当化する

主張された傾きは、もっともらしい値に含まれるか

信頼区間の内側の値は、β のもっともらしい値です。区間の外にある主張値は、その主張に反する証拠になります。

関係はあるか。β = 0 なら、勉強時間が変わっても平均点は変わりません。つまり直線的な関係はありません。0 は95%区間 (0.375, 4.119) に含まれず、区間内の値はすべて正です。したがって、β > 0 という説得力のある証拠があります。母集団では、勉強時間が長いほど平均点が高くなります。

99%では区間は (−0.332, 4.826) です。0 を含むので、この水準では 0 がもっともらしく、関係がないとは言い切れません。

ある主張。ある塾は、勉強を1時間増やすごとに平均 5 点上がると言っています。5 は両方の区間より上にあるので、この主張に反する説得力のある証拠があります。真の傾きはもっと小さいようです。

C% 区間と、有意水準 α = 1 − C の両側検定は一致します。β₀ が区間の外にあるときに限り、検定は β = β₀ を棄却します。区間はさらに、傾きがどのくらい大きいかももっともらしい範囲で示します。

よくある間違い。区間の内側の値は、もっともらしいだけで、証明されたわけではありません。「0 が区間に入っているから関係はない」は誤りです。また、「β が区間に入っている確率は95%」も誤りです。β は固定された値で、95%は手法が β を捉える割合です。

9.4 · 傾きの検定を設定する

H₀: β = 0。対立仮説は、示したい内容で立てる

傾きの有意性検定は、標本の傾きが仮説の値（通常は 0）から離れすぎていて、偶然とは言えないかどうかを調べます。

仮説は母集団の傾き β についてのもので、b についてではありません：

H₀: β = 0 は、直線的な関係がないこと、つまり y の平均がどの x でも同じであることを表します。β は文脈の中で定義します。「この学校の全生徒について、テストの得点と勉強時間の関係を表す母集団の回帰直線の傾き」のようにします。H_a は、データを見る前に、問題文から選びます。

先生は、得点と勉強時間に直線的な関係が少しでもあるかを知りたいので、H_a: β ≠ 0、α = 0.05 とします。手順は傾きの t 検定で、LINER 条件は同じです（9.2 で確認します）。

なぜ検定が必要か。右は H₀ の世界です。真の直線は水平で、標本は私たちと同じ勉強時間、同じばらつきでそこから取られます。それでも、当てはめた直線は偶然に傾きます。そのような標本 200 個のうち、3 個が私たちの傾きと同じくらい急でした（どちら向きでも）。割合は 2.247 です。H₀ が正しければ、私たちの傾きはめずらしいものです。

H₀ は、主張された傾きなど、別の値 β = β₀ でもかまいません。検定は、0 の代わりに β₀ を使うだけで同じです。

9.5 · 傾きの検定を実行する

t = (b − β₀)/SE_b、P 値は t 分布から求める

検定統計量は、標本の傾きが仮説の傾きから標準誤差何個分離れているかを表します。

ここで df = n − 2 = 16 です。出力では T = 2.55 と表示されます。これは丸める前の b と SE_b から求めたもので、どちらを使ってもかまいません。

P 値は、H₀ が正しいとき、これと同じかそれ以上に外れた t が得られる確率です。H_a は両側なので、両方の裾を数えます。P = 2P(t ≥ 2.55) = 0.022 で、出力の表示と一致します。図では、9.4 の帰無標本の t 値が t 曲線の上に落ちていきます。200 個のうち 4 個、つまり 0.020 が赤い裾に入ります。

解釈。母集団で勉強時間と得点に直線的な関係がないと仮定すると、偶然だけで、標本の傾きが 0 から 2.247 以上離れる確率は 0.022 です。

結論。P = 0.022 < α = 0.05 なので、H₀ を棄却します。この学校の生徒について、勉強時間とテストの得点には直線的な関係があるという説得力のある証拠があります。

よくある間違い。「H₀ を受け入れる」とは言いません。「棄却できない」と言います。P 値は H₀ が正しい確率ではありません。また、この生徒たちは自分で勉強時間を決めました。これは観察研究なので、関連は示せても、たくさん勉強すると得点が高くなる（原因になる）とは言えません。原因を支持できるのは、無作為化実験だけです。

9.5 · 片側検定、ほかの主張、誤り

出力の P が答えでないとき

出力の T と P は、β = 0 の両側検定という1つの問いに答えています。ほかの問いには、もう少し手順が必要です。

片側検定。H_a: β > 0 のとき、P 値は片側の裾です。b が H_a の予想する側にあれば、表示された P を半分にします：0.022/2 = 0.0110。b が反対側にあるときは、P 値はその値を 1 から引いたもので、H_a を支持する証拠はありません。

別の β₀。塾の主張を検定するには、H₀: β = 5、H_a: β < 5 として、t を手計算します：

df = 16 で、真の傾きは 5 より小さいという強い証拠があります。9.3 の区間が示したとおりです。

検定と区間は一致する。P = 0.022 < 0.05 で、95%区間は 0 を含みません。P = 0.022 > 0.01 で、99%区間は 0 を含みます。

誤り。ここでの第一種の誤りは、母集団では関係がないのに、勉強時間と得点に直線的な関係があると結論することです。その確率は α です。第二種の誤りは、実際にある関係を見逃すことです。標本が大きいほど、x のばらつきが大きいほど、α が大きいほど、第二種の誤りは起こりにくくなります。

9.6 · 推測の手法を選ぶ

問いに合う手法を選ぼう

この科目のどの手順も、1種類の問いに答えます。データについての3つの問いで、使う手順が決まります。

1. 何を測ったか。個体ごとのカテゴリー（比率、度数）、1つの数値（平均）、または個体ごとの2つの数値（傾き）。2. 標本や群はいくつか。対応はあるか。3. 推定か検定か。「どのくらい大きい…」や「推定せよ…」は区間を、「説得力のある証拠はあるか…」は検定を求めています。

問題文の手がかり：「比率」「パーセント」→ z、「平均」→ t、カテゴリー変数どうしの「関係」→ χ²、量的変数どうしの「関係」→ 傾き。

よくある間違い。対応のあるデータを2標本として分析すること（同じ人を2回測ったものは対応があります）。同質性と独立性を混同すること。これは、標本が複数か1つかという設計で決まります。相関の問いには、χ² 検定ではなく傾きの検定が必要です。