比例的推論

第 6 章 · 比例的推論

p 的區間與檢定

樣本比例可以估計母體比例。推論則告訴我們該相信它到什麼程度。

圖中從一個城市抽取 50 個隨機樣本,每個樣本有 500 位成年人,該城市支持新設自行車道的比例為 p = 0.60。圖形知道 p;真實的調查卻永遠不知道。

每個樣本各有自己的 p̂(一個圓點),以及圍繞它的 95% 信賴區間(一根桿)。垂直線是 p。50 個區間中有 47 個涵蓋了它;3 個以紅色標示,沒有涵蓋。

本章會建立這些區間,並說明「95% 信心」代表什麼、不代表什麼。接著把問題倒過來:顯著性檢定要問的是,如果宣稱的 p 值為真,這個樣本是否會令人意外,以及這個決定可能犯哪些錯誤。最後,把同樣兩種工具用在兩個比例之差上。

6.1 · 為什麼要用常態?

p̂ 的抽樣分布

樣本比例會隨樣本不同而變動。當樣本夠大時,其分布近似常態,因此可以用常態模型判斷哪些結果不尋常。

圖中從 p = 0.1 的母體隨機抽取樣本,每個樣本的 p̂ 會落入直方圖:左邊是大小為 20 的樣本,右邊是大小為 200 的樣本。紅色曲線是常態模型。

p̂ 的中心在 p:它是不偏估計量。其離散程度會隨 n 增大而縮小:n = 20 時 σ 為 0.067,n = 200 時為 0.021。樣本變為 10 倍,離散程度變為原來的 1/√10。

大數量條件。當 np ≥ 10 且 n(1 − p) ≥ 10 時,分布形狀近似常態。當 n = 20,np = 2:直方圖右偏並堆積在 0 附近,常態曲線有 6.8% 的面積落在 0 以下,而 p̂ 不可能小於 0。當 n = 200,np = 20 且 n(1 − p) = 180:曲線擬合良好。

10% 條件。σ 的公式假設各觀測值獨立。進行不放回抽樣時,只要樣本不超過母體的 10%,這個假設就足夠接近成立。

範例。當 n = 200,p̂ ≥ 0.15 的可能性有多大?z = (0.15 − 0.1)/0.0212 = 2.36,P(Z ≥ 2.36) = 0.0092。樣本比例比 0.1 高出這麼多,單靠機遇是非常不尋常的。

6.2 · 建構信賴區間

統計量 ± (臨界值)(標準誤)

信賴區間給出 p 的一個合理值範圍:樣本的 p̂,加減一個誤差界限。

隨機抽取某城市 500 位成人:有 290 位支持新的自行車道,所以 p̂ = 290/500 = 0.580。p 的單一樣本 z 區間:

95% 時 z* = 1.960:標準常態分布中間 95% 位於 −1.960 與 1.960 之間。標準誤以 p̂ 取代未知的 p。誤差界限為 z* × SE = 0.043。

為什麼可行。在 95% 的樣本中,p̂ 落在 p 的 1.96σ 範圍內(藍色帶)。只要如此,以 p̂ 為中心、左右各 1.96 個 SE 的區間就會涵蓋 p。圖中,樣本 6 落在帶外,它的區間就沒有涵蓋到。

在考試中,要寫出所用的方法、檢查條件、完成計算,並在情境中說明區間。

6.2 · 誤差界限與樣本大小

抽樣前先決定 n

誤差界限會隨 n 增大而縮小,但很慢:大約與 1/√n 成正比。規劃調查時,先決定誤差界限,再解出 n。

p* 是對 p 的猜測值。若沒有任何依據,就用 p* = 0.5:這會使 p*(1 − p*) = 0.25,是它的最大值,因此不論 p 實際是多少,算出的 n 都夠用。

範例。在 95% 信賴水準下,誤差界限至多為 0.03:

所以 n = 1068。一律無條件進位:1067 會使誤差界限略大於 0.03。若用前導研究的估計值 p* = 0.2,則 683 就夠了(藍色曲線)。

誤差界限減半,需要四倍的樣本:n 在平方根之下。

誤差界限只涵蓋隨機抽樣的機遇變異。對於涵蓋不足、無回應或誘導式問題所造成的偏誤,它完全沒有說明。

6.3 · 解讀信賴區間

「95% 信心」是什麼意思,又不是什麼意思

區間是關於 p 的陳述。信賴水準則是關於產生這個區間的方法的陳述。

區間。「我們有 95% 的信心,從 0.537 到 0.623 的區間涵蓋了該城市所有支持自行車道的成人的真實比例。」要在情境中指出母體參數。

信賴水準。「如果我們多次抽取大小為 500 的隨機樣本,並各自建立 95% 區間,大約有 95% 的區間會涵蓋真實比例。」圖中,50 個區間中有 47 個涵蓋;3 個紅色的沒有涵蓋,而且沒有任何跡象事先警告我們。

不能說:「p 介於 0.537 與 0.623 之間的機率是 95%。」p 是固定的;這個區間不是涵蓋它,就是沒有涵蓋。它也不是指 95% 的成人,或 95% 的樣本比例。

為主張提供佐證。區間內的每個值都是 p 的合理值。

合理不等於已證明:區間並不能顯示 p = 0.60,只表示不能排除 0.60。

6.3 · 信賴水準與區間寬度

信心越高,區間越寬;資料越多,可以把寬度換回來

信賴水準越高,需要的 z* 越大,區間也就越寬。樣本越大,標準誤越小,區間也就越窄。

全都來自同一個 p̂ = 0.58。圖中紅色區間從 80.0% 掃到 99.5% 的各個水準;藍色區間的樣本是四倍,誤差界限則是一半。

99% 的區間更常涵蓋 p,但提供的資訊較少。想要同時有高信心與窄區間,就需要更大的樣本。

信賴水準是在取得資料之前選定的;它不是某一個特定區間正確的機率。不論水準或 n 如何改變,區間的中心都不變:p̂。

6.4 · 設定檢定

假設與條件,使用 p₀

顯著性檢定要問的是:樣本是否提供了令人信服的證據,反對某個關於 p 的主張。

某手機廠商宣稱,25% 的手機會在兩年內需要維修。一個消費者團體懷疑比例更高。隨機抽取該廠商 400 支手機,其中 118 支需要維修:p̂ = 0.295。

其中 p 是該廠商所有手機在兩年內需要維修的比例。虛無假設 H₀ 是「與 0.25 沒有差異」的主張;對立假設 H_a 是該團體希望找到證據支持的內容。假設是關於母體參數 p,絕不是關於 p̂,而且要在看到資料之前就設定好。

當問題有方向時,H_a 是單尾(> 或 <);當任何差異都重要時,則是雙尾(≠)。

大數量條件使用 p₀,而不是 p̂:檢定計算的是 H₀ 為真時會發生什麼。圖中從 p = 0.25 抽取 200 個大小為 400 的樣本;它們堆積在常態曲線周圍,曲線的中心為 0.25,標準差為 0.0217。

6.5 · 解讀 p 值

如果 H₀ 為真,結果有多令人意外

p 值是在假設 H₀ 為真的前提下,得到至少與觀察到的統計量一樣極端(依 H_a 的方向)之結果的機率。

在圖中,以 p = 0.25 抽出的 200 個樣本中,有 5 個達到 0.295 或更高:比例為 0.025,與常態模型的 0.019 很接近。

放回情境:「假設該廠牌所有手機中有 25% 需要維修,那麼在 400 支手機的隨機樣本中,單靠機遇得到樣本比例 0.295 或更高的機率為 0.019。」

p 值很小,表示若 H₀ 為真,這樣的資料很少見:這是反對 H₀ 的證據。p 值很大,表示這樣的資料正是 H₀ 常會產生的:沒有反對它的證據。

不是:H₀ 為真的機率,也不是結果由機遇造成的機率。p 值是在假設 H₀ 成立下算出來的。

若為雙尾 H_a,要計入兩側尾部:p 值是 |z| 之外面積的兩倍。

6.6 · 下檢定結論

比較 p 值與 α

在取得資料之前,先選定顯著水準 α。若 p 值小於 α,就拒絕 H₀;否則,就無法拒絕 H₀。

在 α = 0.05 時:0.019 < 0.05,所以拒絕 H₀。「因為 p 值 0.019 小於 α = 0.05,我們拒絕 H₀。我們有具說服力的證據顯示,該廠牌所有手機中,有超過 25% 在兩年內需要維修。」

在 α = 0.01 時:0.019 > 0.01,所以無法拒絕 H₀。「我們沒有具說服力的證據顯示有超過 25% 需要維修。」

絕不說「接受 H₀」:找不到反對某個主張的證據,並不能證明它為真。

用檢定統計量也能做出相同的決定:當 z 超過臨界值時就拒絕,α = 0.05 單尾時 z* = 1.645,0.01時為 2.326。圖中 α 從 0.005 變化到 0.1;藍色區域在 z* 之外,當它越過 z = 2.08 時,決定就會翻轉。

p 值低於 α 的結果,稱為在該水準下具統計顯著性。顯著不等於很大或很重要。

6.7 · 錯誤與檢定力

第一型錯誤、第二型錯誤與檢定力

檢定可能以兩種方式出錯。檢定力是指當 H₀ 為假時,檢定能正確拒絕它的機率。

放回情境:第一型錯誤是斷定有超過 25% 的手機需要維修,但實際上只有 25%;廠商因此被冤枉。第二型錯誤是沒有發現真實存在的過高比例;車主繼續為維修付費。

假設真實情況是 p = 0.3。在 α = 0.05 時,當 p̂ > 0.2856 檢定就拒絕。當 n = 400:

檢定力會提高,當樣本變大(曲線變窄,如圖所示)、α 變大(在 α = 0.1 且 n = 400 時,0.834),以及真實的 p 離 p₀ 更遠。降低 α 會減少第一型錯誤,但會提高 β:在固定的 n 下,兩者互相消長。

6.8 · 差異的信賴區間

p̂₁ − p̂₂,來自兩個獨立樣本

要比較兩個比例,就估計它們的差:(p̂₁ − p̂₂) ± z* × SE。

獨立隨機抽取 400 位青少年與 500 位成人:有 248 位青少年與 255 位成人表示主要從社群媒體獲得新聞。p̂₁ = 0.62,p̂₂ = 0.51,差為 0.11。

相加的是變異數,不是標準誤:兩個獨立估計值的差,變動比任何一個都大。

要說明哪一組是第 1 組。順序決定正負號:成人減青少年會得到 (-0.175, -0.045)。

6.9 · 為關於差異的主張提供依據

0 是 p₁ − p₂ 的合理值嗎?

若 0 在區間之外,資料就提供了具說服力的證據,顯示兩個比例不同。若 0 在區間之內,則沒有。

放回情境:「我們有 95% 的信心,從 0.045 到 0.175 的區間涵蓋了主要從社群媒體獲得新聞者的比例之真實差(青少年減成人)。」

區間內每個值都大於 0,所以有具說服力的證據顯示,青少年中這樣做的比例高於成人:高出約 4.5 到 17.5 個百分點。

較小的研究。同樣的 p̂,但樣本為 100 位青少年與 100 位成人,得到 (-0.027, 0.247)(藍色)。0 在區間內:差為 0 是合理的,所以這些資料並未提供具說服力的證據顯示有差異。

這並不是說沒有差異的證據:該區間也容許差大到 0.25。樣本越大,區間越窄。

完全為負的區間,會是 p₁ < p₂ 的證據。含有 0 的區間,與在 α = 1 − C 的雙尾檢定中無法拒絕是相同的結論。

6.10 · 設定雙樣本檢定

H₀:沒有差異,以及合併比例

雙樣本 z 檢定探討的是:兩個樣本比例之間的差,是否大於機遇所能造成的。

在一項實驗中,300 位志願者被隨機分派:150 位收到簡訊提醒,150 位沒有。提醒組中有 87 人接種流感疫苗(0.58),其他組有 66 人(0.44)。

其中 p₁ 與 p₂ 分別是有提醒與沒有提醒時會接種流感疫苗的真實比例。

合併。H₀ 認為兩個比例相同,所以檢定用兩組合在一起,估計那個共同的值,稱為合併(綜合)比例。圖中兩組合併,接種者在兩組間均勻分布:

6.11 · 進行雙樣本檢定

z、p 值,以及放回情境的結論

檢定統計量以標準誤為單位,衡量觀察到的差,而標準誤是用 p̂_c 算出的。

p 值 = P(Z ≥ 2.43) = 0.0076,即圖中的紅色尾部。

結論。「因為 p 值 0.0076 小於 α = 0.05,我們拒絕 H₀。我們有具說服力的證據顯示,簡訊提醒會提高像這些志願者一樣的人接種流感疫苗的比例。」

隨機分派使結論可以談因果。但志願者不是隨機樣本,所以結論只適用於和他們相似的人。

檢定時要合併,因為 H₀ 認為 p₁ = p₂。區間則不要合併,因為區間沒有這樣的假設。