平均數的推論

第 7 章 · 平均數的推論

μ 的 t 程序

樣本平均數是母體平均數的良好估計,但終究只是估計。平均數的推論告訴我們它有多好,而且只用樣本本身。

這張圖是模擬,所以難得知道真相:母體平均數 μ = 250,標準差為 5。一次又一次地抽取大小為 10 的隨機樣本,並只靠每個樣本建立一個區間,x̄ ± t*·s/√n。

區間會隨著樣本而移動。這 20 個區間中有 19 個涵蓋 μ;沒有涵蓋的那個以紅色表示。長期來看,有 95% 的區間會涵蓋它,這就是「95% 信心」的意思。

本章內容:為什麼用 t 而不是 z(7.1);單一平均數的信賴區間與顯著性檢定(7.2–7.5),包括成對資料;兩個平均數之差的同類方法(7.6–7.9);以及如何選擇適當的方法(7.10)。

7.1 · t 分布

我該擔心誤差嗎?

要把 x̄ 標準化,我們需要 σ,但我們幾乎never知道它。用樣本的 s 取代它,得到的統計量比 z 變動更大:它服從 t 分布。

對隨機樣本而言,x̄ 的平均數為 μ,標準差為 σ/√n。以 s 代替 σ,則 x̄ 的標準誤為 s/√n,而且

s 也會隨樣本而變,而且在小樣本中常常偏小,所以 t 比 z 更常落在遠離 0 的地方。t 分布以 0 為中心,對稱,呈鐘形,尾部比標準常態分布更厚。它的自由度決定其形狀:隨著 df 增大,s 對 σ 的估計更準確,曲線也趨近常態分布。

圖中:當 df = 4 時,P(|t| > 2) = 0.116,而 z 為 0.046。若在小樣本中使用 z* = 1.96,區間會太窄:它們涵蓋 μ 的頻率低於宣稱的水準。t* 修正了這一點。

錯誤永遠可能發生。區間可能沒有涵蓋 μ;檢定可能拒絕為真的虛無假設(型 I 錯誤),或未能拒絕為假的虛無假設(型 II 錯誤)。這些方法能告訴我們發生的頻率,卻不能告訴我們這一次有沒有發生。

7.2 · μ 的信賴區間

統計量 ± (臨界值)(標準誤)

單一樣本 t 信賴區間利用一組隨機樣本來估計母體平均數 μ。

一台咖啡機設定每杯倒出 250 mL。隨機抽取 16 杯,容量如下(mL):

x̄ = 247.73 mL,s = 3.60 mL。自由度 df = 15,95% 信心水準下的 t* = 2.131。

圖中藍色球是 x̄,深色桿向左右各延伸一個標準誤,紅色桿代表整個區間:向左右各延伸 t* 個標準誤。

用情境解釋:我們有 95% 的信心,從 245.81 到 249.64 mL 的區間涵蓋了這台機器所倒出所有杯子的真實平均容量。

誤差界限 t*·s/√n 會隨信心水準增加而變大(90%:±1.58;99%:±2.65),並隨 n 增加而按 1/√n 縮小:樣本數變為四倍,誤差界限減半。

7.2 · 檢查條件

隨機、10% 條件,以及常態或大樣本

只有在三個條件都成立時,t 區間或檢定才可信。計算之前,先用情境逐一說明每個條件。

隨機。資料來自隨機抽樣或隨機分派實驗。

10%。不放回抽樣時,n ≤ 母體的 10%,這樣各觀測值才接近獨立。

常態/大樣本。母體近似常態,或 n ≥ 30。若 n < 30 且母體形狀未知,就畫出樣本圖:不能有明顯偏態,也不能有離群值。

圖中在同一刻度上有三組樣本。

在 B 中,Q₁ = 2.40,Q₃ = 6.15,所以任何高於 6.15 + 1.5(3.75) = 11.78 的值都是離群值:13.7 就是。只有 12 個數值時,x̄ 和 s 會被它拉動,t 程序就不安全。C 也是偏態,但有 40 個數值,中央極限定理使 x̄ 的抽樣分布接近常態。

就咖啡杯而言,16 < 30,但點圖顯示沒有明顯偏態或離群值,所以 7.2 的區間成立。

7.3 · 用區間來說明論點

μ 的合理數值

信賴區間給出 μ 的合理數值。落在區間外的宣稱值不合理;落在區間內的值雖然合理,但未被證明。

機器製造商宣稱平均每杯倒出 250 mL。95% 區間 245.81 到 249.64 mL 不包含 250(藍線)。所有合理的值都低於它:此區間提供了有說服力的證據,顯示這台機器平均倒出的量少於 250 mL。

在 99% 信心水準下,區間是 245.07 到 250.38 mL。它確實包含 250,所以在這個水準下該宣稱是合理的。信心愈高,區間愈寬,被排除的值也愈少。

「95% 有信心」的意思。此方法在所有可能的隨機樣本中,有 95% 會涵蓋 μ,就像開頭那張圖所示。這一個區間要嘛涵蓋 μ,要嘛沒有;我們不知道是哪一種。

常見錯誤。

• 「μ 介於 245.81 和 249.64 之間的機率是 95%。」不對:μ 是固定的;機率屬於方法。
• 「95% 的杯子容量介於 245.81 和 249.64 mL 之間。」不對:區間針對的是平均數,不是單一杯子,單一杯子的變異大得多。
• 「250 在 99% 區間內,所以平均數就是 250。」不對:它只是許多合理值中的一個。

7.4 · 建立 μ 的檢定

關於母體平均數的假設

單一樣本 t 檢定探討樣本是否提供有說服力的證據,來反對母體平均數的宣稱值 μ₀。

品管人員檢查機器是否偏離目標,不論偏高或偏低:

其中 μ 是這台機器所倒出所有杯子的真實平均容量(mL)。假設針對的是母數 μ,絕不是 x̄,而且要在看資料之前先決定。如果只在意倒不滿,H_a: μ < 250 就是單尾。

顯著水準 α = 0.05 也要事先決定:它是犯第一型錯誤的機率,也就是在 H₀ 為真時拒絕它。

條件與區間相同:隨機樣本;16 杯少於所倒出所有杯子的 10%;樣本沒有明顯偏態或離群值,因為 16 < 30。

這個檢定要回答的問題:樣本平均數 247.73 mL(藍色)低於 250。以標準誤計算,它低得夠多,使得單靠機遇不太可能解釋嗎?

7.5 · 進行 μ 的檢定

t 統計量與其 p 值

檢定統計量計算 x̄ 與 μ₀ 相差幾個標準誤。p 值是在 H₀ 為真時,出現至少同樣極端結果的機率。

對於 H_a: μ ≠ 250,兩側尾部都要算(紅色):p 值 = 2P(t ≤ −2.53) = 0.023。

用情境下結論。因為 0.023 < α = 0.05,所以我們拒絕 H₀。有說服力的證據顯示,這台機器所倒出所有杯子的真實平均容量不是 250 mL。

解釋 p 值:假設真實平均數是 250 mL,在 16 杯的隨機樣本中,單靠機遇得到與 250 相差至少 247.73 mL(任一方向)的樣本平均數,其機率為 0.023。

此檢定與 7.3 的 95% 區間一致,該區間排除了 250:α = 0.05 的雙尾檢定,恰好會拒絕 95% 區間所排除的值。在 α = 0.01 時,我們不會拒絕,因為 250 落在 99% 區間內。

未能拒絕絕不表示 H₀ 為真;它只說明證據不夠有說服力。

7.5 · 成對資料

一組差值樣本

當每個個體被測量兩次,或個體成對配對時,要分析差值:它們是一組樣本,可以使用單一樣本 t 程序。

隨機選出 12 名學生,在一個短期課程前後各做一次閱讀速度測驗(每分鐘字數)。圖中每位學生是一根桿,連接前測(灰色)與後測(黑色)。桿會滑動到從 0 開始,長度即差值 d = 後測 − 前測:

x̄_d = 9.92,s_d = 8.01。檢定 H₀: μ_d = 0 對 H_a: μ_d > 0,其中 μ_d 是像這樣的學生的真實平均進步量。

p 值 = 0.0006:有說服力的證據顯示該課程提高了平均閱讀速度。μ_d 的 95% 區間是每分鐘 4.83 到 15.00 字(紅色)。

條件要對差值檢查:隨機樣本,12 < 所有此類學生的 10%,而且因為 12 < 30,差值的點圖不能有明顯偏態或離群值。

7.6 · μ₁ − μ₂ 的信賴區間

兩個獨立樣本

要比較兩個母體(或兩種處理)的平均數,使用 μ₁ − μ₂ 的雙樣本 t 信賴區間。

一位評測者用同一支手電筒,對兩個品牌的電池各做隨機抽樣測試(照明時數):

自由度。使用科技工具的公式,此處得到 df = 24.0,所以 t* = 2.064。若不用該公式,保守的做法是取較小的 n − 1 = 11,t* = 2.201:區間稍寬,為(0.25, 2.27)。要說明你用的是哪一種。

條件:兩組獨立的隨機樣本(或由隨機分派形成的兩組);每個 n ≤ 其母體的 10%;每個 n ≥ 30,或兩組樣本都沒有明顯偏態或離群值。

解釋:我們有 95% 的信心,從 0.31 到 2.21 小時的區間涵蓋了電池壽命平均數的真實差異(品牌 A 減品牌 B)。

7.7 · 用區間說明關於 μ₁ − μ₂ 的論點

0 落在哪裡?

對於平均數差,要找的值通常是 0:表示沒有差異。如果 0 不在區間內,這個區間就提供了有說服力的證據,顯示兩者有差異。

論點 1:A 牌電池的平均壽命較長。從 0.31 到 2.21 小時之間的每個值都是正的,所以 0 不是可信的值:有說服力的證據顯示 μ_A − μ_B > 0,也就是 A 牌電池的平均壽命較長。

論點 2:A 牌電池的平均壽命至少多 2 小時。2 在區間內,所以是可信的值,但遠低於它的值也一樣可信,低至 0.31。這個區間並未提供有說服力的證據支持這個論點(也沒有反對它)。

要依照相減的順序來判讀正負號。A − B 從 0.31 到 2.21,與 B − A 從 −2.21 到 −0.31 是同一個說法。

這個結論談的是被抽樣母體的平均數。如果資料來自隨機化實驗,結論也會涉及因果關係;如果來自隨機抽樣,則不會。

7.8 · 建立 μ₁ − μ₂ 的檢定

成對還是雙樣本?

先判斷資料是如何產生的。每個個體有兩次測量,或是配對資料,要對差值做成對 t 檢定;兩個獨立組別則要做雙樣本 t 檢定。

對於兩個獨立組別:

要在情境中定義 μ₁ 和 μ₂,並說明是哪一個減去哪一個。對於配對資料,參數是單一的平均差 μ_d。

為什麼重要。7.5 的閱讀速度,若被錯誤地當成兩個獨立樣本:

平均數相同,差值也相同,都是 9.92。但學生彼此之間的差異(s ≈ 31 字/分鐘)遠大於任何一位學生自己的變化(s_d = 8.01)。雙樣本分析把學生之間的所有差異都當成雜訊;配對則能消除它。圖中藍色區間是錯誤的分析,紅色是正確的。

雙樣本程序還要求各組彼此獨立,而同一位學生的前後分數並不獨立。

7.9 · 進行 μ₁ − μ₂ 的檢定

雙樣本 t 檢定

檢定統計量是樣本平均數的差,減去它在 H₀ 下的值,再以標準誤為單位來計算。

7.6 的評論者事先就想知道 A 牌電池是否壽命較長。H₀:μ_A − μ_B = 0,H_a:μ_A − μ_B > 0,其中每個 μ 是該品牌電池在這支手電筒中的真實平均壽命,顯著水準 α = 0.05。

以 df = 24.0(使用科技工具)計算,p 值為 P(t ≥ 2.74) = 0.0057,即紅色尾部(在角落放大);若用保守的 df = 11,則為 0.0096。兩種算法都小於 0.05。

結論:拒絕 H₀。有說服力的證據顯示,在這支手電筒中,A 牌電池的平均壽命比 B 牌長。

不要合併兩個標準差:AP 課程使用上面的未合併標準誤。也不要分別做兩個單樣本檢定再比較:問題是關於差值,所以程序也必須針對差值。

7.10 · 選擇適當的程序

選擇、執行與表達

大部分的功夫在於選擇。依序問:是什麼參數、有幾個樣本、要估計還是檢定?

平均數還是比例?量化資料(每個個體有一個測量值)對應平均數 μ 與 t。類別資料(是或否)對應比例 p 與 z(第 6 章)。平均數使用 t,是因為 σ 是以 s 來估計的。

單樣本、成對,還是雙樣本?配對資料是由差值構成的一個樣本。兩個獨立樣本或兩個處理組,則使用雙樣本程序。

區間還是檢定?「估計」或「多少」要用區間;「是否有說服力的證據」要用檢定。

接著表達,分四步:陳述:在情境中說明參數與假設(或信賴水準);計畫:指出所用程序,並檢查隨機性、10% 條件與常態/大樣本條件;執行:算出統計量、df 與 p 值或區間;結論:在情境中說明,連結到 α,且不要超出研究設計所能支持的範圍。