蒐集資料

第 3 章 · 蒐集資料

樣本、實驗與偏誤

資料能告訴你什麼,取決於它們是怎麼蒐集的。好的樣本讓你能代表整個母體發言;好的實驗讓你能談因果關係。

圖中是一所有 200 名學生的學校,每人一顆球。深色的是有駕照的學生:共 87 人,比例為 0.435。做調查的人不會知道這個數字,只能詢問一個樣本。

電腦隨機抽出 20 名學生(紅色),他們擁有駕照的比例 p̂ 會落到點圖上。每個樣本的答案都不同,但這些答案會聚集在真實值附近。

本章談的是如何取得可信的資料:如何選擇測量對象、樣本會在哪些地方出錯、如何設計實驗,以及每種研究能得出哪些結論。

3.1 · 統計學簡介

我們蒐集的資料,說的是實話嗎?

資料會有變異。從同一個母體抽出的兩個隨機樣本,得到的答案並不相同,而統計學正是研究這種變異的學問。

40 個樣本(每個樣本大小為 20)所得到的 p̂ 值,從 0.25 到 0.60。沒有任何一次做錯:這就是抽樣變異,也就是隨機樣本的機遇變異。這些值集中在 0.434 附近,接近真實的 0.435,而它們的標準差是 0.107。

所以,單一樣本的答案只是估計值,並不是真相。在相信一個數字之前,先問它是怎麼得來的:

前兩個問題是本章的內容。最後一個則是本課程其餘的部分:結果是否大於隨機變異合理產生的程度。

3.2 · 研究規劃簡介

母體、樣本與普查

母體是你想了解的整個群體。樣本是你實際測量的那一部分。

要明確說出母體:「這所學校的全部 200 名學生」,而不是「青少年」。結論只能推及被抽樣的那個母體。

普查是測量母體中的每一個成員。對一所學校來說可以做到;對一個國家來說既緩慢又昂貴,有些問題甚至不可能做到(把每個燈泡都測試到壞掉,就沒有可賣的了)。選得好的樣本更便宜、更快,而且通常已經夠用。

母數是描述母體的數值;統計量則描述樣本,並用來估計母數:

母數通常未知且固定;統計量則是已知的,並且隨樣本不同而變動。比例是 p 和 p̂;平均數是 μ 和 x̄。

推論到母體。只有當樣本是從該母體中隨機選出時,結果才能由樣本推廣到母體。隨手找來的人所提供的資料,只能描述那些人。

3.2 · 觀察性研究與實驗

旁觀,或是動手介入

觀察研究記錄受試者原本的行為,不改變任何事。實驗則刻意施加處理,並測量反應。

考試前喝咖啡有幫助嗎?同樣的 24 名學生被分組兩次。深色的球代表睡了 8 小時以上。

上圖:觀察研究。學生自己選擇。疲倦的學生會去喝咖啡,所以咖啡組 12 人中有 3 人休息充足,另一組 12 人中有 9 人。如果兩組成績不同,是因為咖啡還是因為睡眠?我們無法分辨。

睡眠是干擾變數:它與解釋變數(咖啡)有關聯,又會影響反應(成績),所以兩種效應無法分開。

下圖:實驗。由隨機洗牌決定,睡眠沒有發言權:休息充足的人數分別為 7 和 5。隨機分派傾向於使其他所有變數在各組之間達到平衡,不論是你知道的還是你不知道的。

所以,觀察研究可以顯示關聯,但絕不能顯示因果關係。回溯性研究回頭查看過去的紀錄;前瞻性研究則向前追蹤受試者,邊進行邊記錄。抽樣調查也是觀察研究。

整章的規則:要推論到母體,需要隨機抽樣;要得出因果結論,需要隨機分派。

3.3 · 隨機抽樣與資料蒐集

簡單隨機樣本

大小為 n 的簡單隨機樣本(SRS)的選取方式,是使母體中每一組 n 個個體,成為樣本的機會都相同。

使用亂數表:

1. 編號:給每位學生一個不同的三位數編號,從 001 到 200。
2. 讀取:每次讀三個數字。
3. 跳過 000、大於 200 的數字和重複的數字,直到選出 20 位學生。

最先選出的 7 位學生是 149, 048, 179, 026, 028, 064, 131。沿著亂數表繼續讀,115 組三位數就能選出全部 20 位。這個樣本中,20 人裡有 9 人有駕照:p̂ = 0.45。

使用亂數產生器:產生 1 到 200 的整數,忽略重複,直到有 20 個。或者把每個名字寫在相同的紙條上,在帽子裡充分攪勻,抽出 20 張。

以人為對象的抽樣是不放回的:一旦被選中,學生就不能再被選。放回抽樣則把每個人放回去,所以可能被抽到兩次。

在 SRS 中,每位學生被選中的機會是 n/N = 20/200 = 0.1。不過,個體機會均等還不夠:下一頁的方法讓每位學生有相同的 0.1,但並非每一組 20 人都有可能出現。

3.3 · 分層、集群與系統抽樣

機率,一步一步來

其他隨機方法分階段運用機遇。每一種都可能比 SRS 更便宜,或更精確。

分層隨機抽樣。把母體分成由相似個體組成的群,即層;從每一層各抽一個 SRS,再合併起來。這裡的層是年級,每個年級 5 名學生。

層內的個體應該相似,層與層之間則應不同,就像這裡的各年級一樣。這樣每個年級都能在樣本中占有應有的份額,而且估計值在不同樣本間的變動,會比相同大小的 SRS 更小。這一次得到 p̂ = 0.35。

集群抽樣。把母體分成群,通常依位置劃分(教室、街道、箱子):即集群。隨機選出幾個集群,並調查其中的每一個人。這裡是 25 個輔導班中選出 3 個,共 24 名學生:p̂ = 0.417。當每個集群內部混合多樣,像母體的縮小版時,集群抽樣效果最好;它的好處在於成本,每個集群只需拜訪一次。

不要混淆:分層抽樣是從每一層取一部分;集群抽樣是從部分集群取全部。

系統隨機抽樣。從名單中每隔 k 個取一個個體,起點在前 k 個中隨機選取。這裡 k = 200/20 = 10,起點是 8:第 8, 18, 28、…、198 位學生,得到 p̂ = 0.35。這種方法很快,除非名單每隔 k 個位置就重複某種規律,否則都沒問題。

3.4 · 抽樣可能出現的問題

偏誤的種類

如果抽樣方法系統性地偏向某些結果,它就是有偏差的:在許多樣本中,它的統計量總是朝同一個方向偏離母數。

學校的入口網站只列出 10 到 12 年級,9 年級還沒有在名單上。實際用來抽樣的名單稱為抽樣架構,把母體的一部分排除在外就是涵蓋不足。在這份名單上,150 人中有 85 人有駕照,即 0.567,而全校是 0.435,所以從這份名單抽出的樣本會高估該比例。

未回應的問題在於被選中的人卻不回答;自願回應的問題則在於根本沒被選中的人卻自己回答了。

考試時,要指出是哪一種偏差,說明它在這個情境中如何產生,並說明它把估計值推向哪個方向以及原因。

3.4 · 偏誤與變異性

偏離目標,以及分散

偏誤與變異性是不同的缺陷。偏誤是方法的缺陷;抽樣變異性則是每個隨機樣本都會有的。

每種方法各抽 Forty 個樣本,母體參數 p = 0.435 以藍色表示:

上:以 p 為中心:無偏誤,但答案分散。中(紅色):從入口網站名單中抽樣,它們的中心接近 0.60。每個樣本都朝同一個方向偏離;這就是偏誤。下:樣本大小為 80,以 p 為中心,離散程度不到樣本大小為 20 時的一半。

較大的隨機樣本能降低變異性,但對偏誤沒有幫助:從入口網站名單中抽 80 名學生,中心一樣會接近 0.567,只是更集中。消除偏誤的方法是更好的方法;降低變異性的方法是更大的樣本。

常見的錯誤:「樣本太小,所以有偏誤」。小的隨機樣本是有變異性,不是有偏誤。

3.5 · 實驗設計簡介

實驗單位、處理、因子與反應變數

實驗是刻意對受試對象施加某種處理,並測量他們的反應。

咖啡因能加快反應速度嗎?24 位志願者各服下一顆藥丸,等待後,在燈亮時按下按鍵。

若有兩個因子,處理就是各水準的組合:咖啡因(有、無)與睡眠(4 h、8 h)會形成 2 × 2 = 4 種處理。

志願者被隨機分成兩組,每組 12 人:這是完全隨機設計。對照組服用安慰劑,顯示沒有處理時會發生什麼。平均反應時間:咖啡因組 235.1 ms,安慰劑組 260.8 ms。

這些志願者並不是任何母體的隨機樣本:實驗幾乎都是找願意參加的人。這會限制結果能推論的範圍(3.7)。

3.5 · 實驗設計的原則

比較、隨機分派、控制、重複

設計良好的實驗建立在四項原則上。

1. 比較。至少要有兩種處理,或一種處理加一個對照組。沒有未服用咖啡因的反應時間,服用後的反應時間就沒有意義。

2. 隨機分派。以機率決定各單位接受哪種處理。這能使影響反應的其他變數(睡眠、年齡、練習)在各組之間達到平衡,因此剩下的差異是來自處理或機率,而不是干擾。

3. 控制。讓每個單位的其他條件都相同:相同的時段、相同的螢幕、相同的說明。這樣能排除變異與干擾的來源。

4. 重複。每組要有足夠的單位,使組間因機率造成的差異趨於相互抵消。每組只有一位志願者,什麼結果都可能出現。

安慰劑與盲法。人們只要被處理就會有反應:這是安慰劑效應。安慰劑是看起來與真正處理相同的假處理,讓兩組有相同的期待。在單盲實驗中,受試者(或測量者)不知道誰接受哪種處理;在雙盲實驗中,兩者都不知道。

描述隨機分派(常見的考試題型):把志願者編號 1 到 24,將號碼寫在相同的紙條上,放進帽子裡混合後抽出 12 張;這些人服用咖啡因,其餘服用安慰劑。要說明如何做、用什麼做,以及誰接受哪種處理。

3.6 · 選擇實驗設計

完全隨機設計與隨機區集設計

完全隨機設計是把所有單位隨機分派到各處理。隨機區集設計則先把相似的單位分成區集,再在每個區集內隨機分派。

習慣喝咖啡的人,對多一劑咖啡因可能幾乎沒有反應。若剛好大部分這類人都被分到咖啡因組,效果看起來就會比較小。因此依咖啡習慣分區集:

每個區集都是一個小型的完全隨機實驗,處理在各區集內進行比較。由咖啡習慣造成的變異被排除在比較之外,因此對處理效果的估計更精確。

要依你預期會影響反應的變數分區集。區集之於實驗,就如同分層之於抽樣:先把相似的單位分組,再在各組內運用機率。區集是在隨機分派之前就形成的,而且區集不是處理。

「能控制的就控制,無法控制的就分區集,其餘的就隨機化。」

3.6 · 配對設計

兩個一組的區集

配對設計是在成對且非常相似的單位上比較兩種處理,或讓同一個單位接受兩種處理。

這裡 12 位志願者各在不同日子測試兩次,每種藥丸各一次。以擲硬幣決定順序:7 人先服咖啡因,5 人先服安慰劑。人會因練習而變快,所以固定順序會使咖啡因的效果與練習的效果混在一起;隨機決定順序則能使兩者平衡。

分析使用的是差值,即安慰劑減去咖啡因,每位志願者一個:平均數 11.2 ms,標準差 14.7 ms。每位志願者都是自己的對照,因此人與人之間反應時間的巨大差異就被消除了。

配對也可以是兩個高度相近的單位:雙胞胎、一塊田的兩半、分數相同的兩位學生。這時以擲硬幣決定這一對中誰接受哪種處理。

3.7 · 推論與實驗

差異是否具統計顯著性?

當處理組之間的差異大到無法合理地只用隨機分派的機率來解釋時,這個差異就具有統計顯著性。

在咖啡因實驗中(3.5):

即使咖啡因沒有作用,兩組各 12 人之間仍會有些微差異,取決於誰剛好被分到哪一組。差異有多大?假設每位志願者無論服哪種藥丸,反應時間都相同。把這 24 個時間再隨機分成兩組,每組 12 個,並計算平均數的差。重複 100 次。

單靠機率產生的差異範圍從 -25.2 到 19.7 ms,中心接近 0;100 次中有 none 次與 25.7 ms 一樣大。因此這麼大的差異不太可能單靠機率發生:它具有統計顯著性,並提供了令人信服的證據,顯示咖啡因會縮短像這些志願者一樣的人的反應時間。

顯著的意思是「不太可能只是機率」,而不是「很大」或「很重要」。而差異不顯著,也不表示處理沒有效果;可能只是研究規模太小,看不出來。

3.7 · 推論的範圍

研究設計讓你能下什麼結論

隨機抽樣讓你能將結論推論到樣本所來自的母體。隨機分派讓你能下因果結論。兩者各司其職。

咖啡因實驗(亮色):志願者,隨機分派。咖啡因使反應變快,但只適用於和這些志願者相似的人。

駕照調查:全校的簡單隨機樣本,不施加處理。樣本的比例可估計全校的比例;無法說明因果。

讓學生自行選擇的咖啡研究(3.2):兩者皆無。它只顯示這些學生之間的關聯性,而睡眠可能是原因。

常見錯誤:認為對志願者進行的隨機化實驗適用於所有人;認為大型隨機調查可以得出因果。大樣本不能取代隨機分派,隨機分派也不能取代隨機抽樣。