Xác suất và biến ngẫu nhiên · AP Statistics

Chương 4 · Xác suất và biến ngẫu nhiên

đếm các lần ngẫu nhiên

Không thể dự đoán kết quả của từng trường hợp ngẫu nhiên, nhưng có thể dự đoán về lâu dài. Xác suất là toán học của cái "lâu dài" đó.

Trong hình, mỗi quả bóng rơi qua 10 hàng chốt. Ở mỗi chốt, bóng đi sang trái hoặc phải với khả năng như nhau, nên không ai nói được quả tiếp theo sẽ rơi vào đâu.

Thế mà 240 quả bóng lại chất thành một hình dạng có thể dự đoán được. Các dấu đỏ là chiều cao kì vọng ở mỗi ô, được tính trước khi có quả bóng nào rơi. Ba ô ở giữa sẽ chứa 65.6% số bóng; thực tế chúng chứa 164 trên 240, tức 68.3%.

Chương này đặt câu hỏi khi nào một quy luật chỉ là do ngẫu nhiên, ước lượng xác suất bằng mô phỏng, và xây dựng các quy tắc kết hợp xác suất: biến cố bù, "hoặc", "và", xác suất có điều kiện và tính độc lập. Sau đó, chương biến các kết quả thành số. Một biến ngẫu nhiên có phân phối với giá trị trung bình và độ lệch chuẩn, và chúng kết hợp với nhau theo những cách cố định. Hai phân phối xuất hiện lặp đi lặp lại: phân phối nhị thức (chính là bảng trong hình) và phân phối hình học.

4.1 · Các mẫu hình ngẫu nhiên và không ngẫu nhiên

chỉ là ngẫu nhiên thôi sao?

Một quá trình ngẫu nhiên tạo ra các kết quả một cách ngẫu nhiên. Các chuỗi liên tiếp và các cụm là một phần của những gì nó tạo ra, nên một quy luật trong dữ liệu ngẫu nhiên không nhất thiết có ý nghĩa gì.

Một lưới trong hình là 50 lần tung một đồng xu cân đối. Lưới còn lại do một người viết ra, cố làm cho trông ngẫu nhiên. Người ta tránh các chuỗi liên tiếp, và điều đó làm lộ ra:

	các lần tung thật	bịa ra
heads	19	25
số lần đổi H ↔ T	25	35
chuỗi dài nhất	5	3

Sau mỗi lần tung đồng xu cân đối, lần tiếp theo đổi mặt với xác suất 1/2, nên khoảng 24.5 lần đổi mặt là điển hình. Dãy bịa ra đổi mặt 35 lần; dãy thật 25 lần.

Chỉ do ngẫu nhiên thì điều này xảy ra thường xuyên đến mức nào? Trong 10,000 bộ mô phỏng, mỗi bộ 50 lần tung đồng xu cân đối (các cột), 82% có chuỗi dài từ 5 lần trở lên. Chỉ có 2.0% có chuỗi dài nhất từ 3 lần trở xuống. Chuỗi 5 lần sấp là bình thường. Dãy bịa ra mới là dãy bất thường.

Vì vậy, chuỗi ghi điểm của một cầu thủ bóng rổ, hay một cụm ca bệnh trong một thị trấn, tự nó không là bằng chứng của điều gì. Trước hết hãy hỏi: ngẫu nhiên thuần túy tạo ra một quy luật như vậy thường xuyên đến mức nào? Câu hỏi đó xuyên suốt phần còn lại của khóa học.

4.2 · Ước lượng xác suất bằng mô phỏng

tần suất tương đối dài hạn

Xác suất của một kết quả là tỉ lệ số lần nó xảy ra trong một chuỗi lặp lại rất dài.

Luật số lớn. Khi một quá trình ngẫu nhiên được lặp lại ngày càng nhiều lần, tần suất tương đối của một kết quả tiến gần hơn đến xác suất của nó. Trong hình, lượt chạy 1 có 4 mặt sáu trong 10 lần tung đầu tiên (0.400), 14 trong 50 (0.280) và 95 trong 600 (0.158). Mọi lượt chạy đều dao động ở đoạn đầu rồi ổn định quanh 1/6 ≈ 0.167.

Đây chỉ là phát biểu về lâu dài. Xúc xắc không có trí nhớ: sau một chuỗi không ra mặt sáu, mặt sáu cũng không dễ xuất hiện hơn. Các độ lệch ban đầu không được bù lại; chúng bị át đi bởi rất nhiều lần tung sau đó.

Mô phỏng bắt chước một quá trình ngẫu nhiên để ước lượng xác suất:

1. Mô tả cách bắt chước một lượt bằng số ngẫu nhiên. 2. Nêu rõ cần ghi lại điều gì. 3. Chạy nhiều lượt. 4. Lấy tần suất tương đối làm giá trị ước lượng.

Ví dụ. Xác suất để có ít nhất một mặt sáu trong bốn lần tung xúc xắc là bao nhiêu? Một lượt: bốn số nguyên ngẫu nhiên từ 1 đến 6, mỗi số là một lần tung. Ghi lại xem có số nào bằng 6 hay không. 6 lượt đầu tiên:

trial	1	2	3	4	5	6
rolls	2 2 4 4	5 5 1 4	5 4 5 6	2 1 4 6	6 6 2 4	5 2 5 3
mặt sáu chấm?	no	no	yes	yes	yes	no

Trong 1000 lượt, có 539 lượt có mặt sáu: giá trị ước lượng là 0.539. Giá trị chính xác (4.3) là 1 − (5/6)⁴ = 0.518. Trung bình, càng nhiều lượt thì giá trị ước lượng càng gần giá trị này. Với bảng chữ số ngẫu nhiên, dùng 1–6 cho các mặt và bỏ qua 0, 7, 8 và 9.

4.3 · Nhập môn xác suất

không gian mẫu, biến cố và biến cố bù

Không gian mẫu S của một quá trình ngẫu nhiên là tập hợp mọi kết quả có thể có của nó. Một biến cố là một tập các kết quả, và xác suất của nó là một số từ 0 đến 1.

Tung hai xúc xắc. Không gian mẫu có 6 × 6 = 36 kết quả, mỗi kết quả là một ô trong hình, tất cả đều đồng khả năng. Khi các kết quả đồng khả năng,

P(A) = \frac{\text{number of outcomes in } A}{\text{number of outcomes in } S}

Biến cố A, "tổng bằng 7", có 6 kết quả (màu đỏ): (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1). Vậy P(A) = 6/36 = 0.167. Thứ tự quan trọng: (1, 6) và (6, 1) là các kết quả khác nhau.

Mọi biến cố đều có 0 ≤ P(A) ≤ 1, và P(S) = 1: luôn có một kết quả nào đó trong S xảy ra. Biến cố có xác suất 0 không bao giờ xảy ra; biến cố có xác suất 1 luôn xảy ra.

Biến cố bù A^C là biến cố A không xảy ra. A và A^C không có kết quả chung và hợp lại lấp đầy S, nên

P(A^C) = 1 - P(A) = 1 - \tfrac{6}{36} = \tfrac{30}{36}

Biến cố bù là cách nhanh để tính "ít nhất một". P(ít nhất một mặt sáu) = 1 − P(không có mặt sáu) = 1 − 25/36 = 11/36: đếm các ô ở hàng trên cùng và cột bên phải, có 11 ô.

4.4 · Các biến cố xung khắc

các biến cố không thể xảy ra cùng nhau

Hai biến cố là xung khắc (rời nhau) khi chúng không thể cùng xảy ra: P(A ∩ B) = 0.

Kí hiệu: A ∩ B (“A và B”) là biến cố cả hai cùng xảy ra; A ∪ B (“A hoặc B”) là biến cố có ít nhất một trong hai xảy ra. Trong biểu đồ Venn, hình chữ nhật là không gian mẫu, và ở đây diện tích được vẽ đúng tỉ lệ: diện tích mỗi miền chính là xác suất của nó.

Nhóm máu ABO của một người hiến máu là một trong bốn loại:

type	O	A	B	AB
probability	0.44	0.42	0.10	0.04

Các biến cố “nhóm A” và “nhóm B” xung khắc: không ai có cả hai (nhóm AB là một nhóm riêng). Các hình tròn của chúng không chồng lên nhau, nên diện tích chỉ cần cộng lại:

\begin{aligned}P(A \cup B) &= P(A) + P(B) \\ &= 0.42 + 0.10 = 0.52\end{aligned}

Các mũi tên phi trong hình rơi ngẫu nhiên, nên tỉ lệ rơi vào một miền tiến gần đến diện tích của miền đó: tỉ lệ rơi vào A hoặc B tiến gần đến 0.52. Phần còn lại, O hoặc AB, có xác suất 0.48 = 1 − 0.52.

Chỉ cộng xác suất theo cách này khi các biến cố xung khắc. Nếu chúng có thể chồng lên nhau, phần chung sẽ bị đếm hai lần (4.6).

4.5 · Xác suất có điều kiện

xác suất của A, biết B

Xác suất có điều kiện P(A | B) là xác suất A xảy ra, biết rằng B đã xảy ra. Biết B làm không gian mẫu thu hẹp lại thành B.

Một cuộc khảo sát hỏi 500 người lái xe xem họ có nhắn tin khi đang lái xe trong tháng vừa qua hay không:

	texted	không	total
16–24	72	48	120
từ 25 tuổi trở lên	95	285	380
total	167	333	500

Chọn ngẫu nhiên một người lái xe. Gọi T là “đã nhắn tin” và Y là “tuổi 16–24”. P(T) = 167/500 = 0.334. Nhưng biết người lái xe thuộc độ tuổi 16–24, ta chỉ xét hàng đó:

\begin{aligned}P(T \mid Y) &= \frac{P(T \cap Y)}{P(Y)} = \frac{72/500}{120/500} \\ &= \frac{72}{120} = 0.600\end{aligned}

Hình bên phải cho thấy riêng từng hàng: 0.60 số người lái xe trẻ đã nhắn tin, so với 0.25 ở nhóm lớn tuổi hơn.

Thứ tự rất quan trọng. P(Y | T) = 72/167 = 0.431: trong số những người lái xe đã nhắn tin, 43.1% là người trẻ. Tử số vẫn như cũ; mẫu số là phần đã cho biết.

Viết lại định nghĩa, ta có quy tắc nhân, P(A ∩ B) = P(B) · P(A | B): P(T ∩ Y) = 0.24 × 0.60 = 0.144 = 72/500.

4.5 · Sơ đồ cây

nhân dọc theo các nhánh, cộng giữa các nhánh

Khi một quá trình ngẫu nhiên diễn ra theo nhiều giai đoạn, sơ đồ cây thể hiện các kết quả của từng giai đoạn thành các nhánh. Xác suất của một đường đi là tích các xác suất dọc theo đường đó.

4% dân số mắc một bệnh. Một xét nghiệm sàng lọc cho kết quả dương tính ở 90% số người mắc bệnh, và ở 10% số người không mắc bệnh. Các nhánh của giai đoạn thứ hai là xác suất có điều kiện: 0.9 là P(+ | bệnh).

path	probability	trên 1000 người
có bệnh, +	0.04 × 0.9 = 0.036	36
có bệnh, −	0.04 × 0.10 = 0.004	4
không bệnh, +	0.96 × 0.1 = 0.096	96
không bệnh, −	0.96 × 0.90 = 0.864	864

Có hai đường đi dẫn đến xét nghiệm dương tính. Chúng xung khắc, nên xác suất của chúng được cộng lại: P(+) = 0.036 + 0.096 = 0.132.

Một người có kết quả dương tính. Xác suất người đó mắc bệnh (C) là bao nhiêu?

P(C \mid +) = \frac{P(C \cap +)}{P(+)} = \frac{0.036}{0.132} = 0.273

Chỉ khoảng 27%. Trong 1000 người có 36 ca dương tính thật và 96 ca dương tính giả: bệnh hiếm, nên vài sai sót trong số đông người khỏe mạnh nhiều hơn số ca bệnh. Hình cho 400 người đi xuống sơ đồ cây một cách ngẫu nhiên; hãy quan sát các lá màu đỏ và xanh.

4.6 · Các biến cố độc lập và hợp của các biến cố

quy tắc cộng, và khi nào biết một biến cố không cho biết gì về biến cố kia

Hai biến cố A và B là độc lập nếu biết một biến cố đã xảy ra không làm thay đổi xác suất của biến cố kia: P(A | B) = P(A).

Ở một trường, 35% học sinh học AP Statistics (S), 25% học AP Biology (B) và 10% học cả hai. Các hình tròn chồng lên nhau.

Quy tắc cộng. Cộng P(S) và P(B) thì phần chung (màu đỏ) bị đếm hai lần, nên phải trừ đi một lần:

\begin{aligned}P(S \cup B) &= P(S) + P(B) \\ &\quad - P(S \cap B) \\ &= 0.35 + 0.25 - 0.10 \\ &= 0.50\end{aligned}

Vậy 0.50 học sinh không học môn nào. Với các biến cố xung khắc, P(A ∩ B) = 0, và quy tắc trở thành quy tắc ở 4.4.

Kiểm tra tính độc lập. P(S | B) = 0.10/0.25 = 0.40, nhưng P(S) = 0.35. Biết một học sinh học Sinh học làm tăng khả năng em đó học Thống kê, nên S và B không độc lập. Cách kiểm tra khác: nếu độc lập thì P(S ∩ B) phải bằng P(S) · P(B) = 0.0875, chứ không phải 0.10.

Chỉ với các biến cố độc lập, quy tắc nhân mới trở thành P(A ∩ B) = P(A) · P(B). Hai con xúc xắc riêng biệt là độc lập: P(cả hai đều ra sáu) = 1/6 × 1/6 = 1/36.

Đừng nhầm lẫn hai khái niệm này. Các biến cố xung khắc (có xác suất dương) không bao giờ độc lập: nếu một biến cố xảy ra, xác suất của biến cố kia giảm xuống 0. Ở 4.5, P(đã nhắn tin | 16–24) = 0.600 ≠ P(đã nhắn tin) = 0.334, nên việc nhắn tin và nhóm tuổi không độc lập.

4.7 · Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất

kết quả dưới dạng số

Biến ngẫu nhiên nhận các giá trị số phụ thuộc vào kết quả của một quá trình ngẫu nhiên. Phân phối xác suất của nó cho biết các giá trị có thể có và xác suất của chúng.

Gọi X là số xe ô tô mà một hộ gia đình được chọn ngẫu nhiên trong một thị trấn sở hữu. X là rời rạc: nó nhận một danh sách các giá trị riêng biệt.

x	0	1	2	3	4
P(X = x)	0.08	0.32	0.38	0.15	0.07
P(X ≤ x)	0.08	0.40	0.78	0.93	1.00

Một phân phối hợp lệ có mọi xác suất nằm giữa 0 và 1, và tổng của chúng bằng 1. Trong hình, các cột là P(X = x). Các bậc màu đen là xác suất tích lũy P(X ≤ x), tức là các cột cộng dồn từ bên trái.

Hãy đọc kĩ cách diễn đạt:

P(X ≥ 2), “ít nhất hai”: 0.38 + 0.15 + 0.07 = 0.60, hoặc 1 − P(X ≤ 1) = 1 − 0.40.
P(X > 2), “nhiều hơn hai”: 0.22, không tính giá trị 2.
P(1 ≤ X ≤ 3) = P(X ≤ 3) − P(X ≤ 0) = 0.93 − 0.08 = 0.85.

Các chấm đỏ là các hộ gia đình được chọn ngẫu nhiên: tỉ lệ của mỗi giá trị tính đến lúc này. Khi số lần chọn tăng lên, chúng ổn định dần về các cột. Đây lại là luật số lớn: phân phối xác suất là quy luật lâu dài của các giá trị.

4.8 · Trung bình và độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên

điểm cân bằng, và khoảng cách điển hình tính từ điểm đó

Trung bình (kì vọng) μ_X của một biến ngẫu nhiên là giá trị trung bình lâu dài của nó. Độ lệch chuẩn σ_X là khoảng cách điển hình của các giá trị so với trung bình đó.

Mỗi giá trị được nhân với xác suất của nó:

\begin{aligned}\mu_X &= \sum x_i P(x_i) \\ &= 0(0.08) + 1(0.32) + 2(0.38) \\ &\quad + 3(0.15) + 4(0.07) = 1.81 \\ \sigma_X &= \sqrt{\textstyle\sum (x_i - \mu_X)^2 P(x_i)} \\ &= \sqrt{1.0339} = 1.017\end{aligned}

Trung bình là điểm cân bằng của biểu đồ tần suất (cái nêm màu đỏ). Nó không nhất thiết là giá trị mà X có thể nhận: không hộ nào sở hữu 1.81 xe.

Trong ngữ cảnh. “Nếu chọn ngẫu nhiên nhiều hộ gia đình, số xe trung bình mỗi hộ sẽ khoảng 1.81.” “Số xe của một hộ gia đình được chọn ngẫu nhiên thường chênh lệch so với trung bình 1.81 khoảng 1.02 xe.”

Phương sai là σ²_X = 1.0339. Một công thức tắt cho cùng kết quả: Σx²P(x) − μ² = 4.31 − 1.81² = 1.0339.

Dưới trục, quả bóng đen là trung bình của tất cả các hộ gia đình đã được chọn cho đến lúc này. Nó dao động, rồi ổn định về μ: luật số lớn, áp dụng cho trung bình.

4.9 · Kết hợp các biến ngẫu nhiên

phép biến đổi tuyến tính: Y = a + bX

Cộng một hằng số vào một biến ngẫu nhiên làm dịch chuyển trung bình và giữ nguyên độ phân tán. Nhân với một hằng số thì nhân cả hai.

Một vòng quay được quay một lần. X, số mà vòng quay dừng lại, có phân phối như sau:

x	1	2	3	4
P(X = x)	0.4	0.3	0.2	0.1

μ_X = 2 và σ_X = 1. Chi phí chơi là $7, và giải thưởng là $3 nhân với số đó. Lợi nhuận ròng là Y = 3X − 7 đô la.

\begin{aligned}\mu_{a+bX} &= a + b\mu_X \\ \sigma_{a+bX} &= |b|\,\sigma_X \\ \mu_Y &= 3(2) - 7 = -1 \\ \sigma_Y &= 3(1) = 3\end{aligned}

Hình thực hiện qua hai bước. Nhân với 3 làm các cột cách xa nhau gấp 3 lần: trung bình và độ lệch chuẩn đều tăng gấp ba. Trừ đi 7 trượt mọi cột xuống 7: trung bình thay đổi, độ phân tán thì không. Cả hai bước đều không làm thay đổi chiều cao, nên hình dạng vẫn giữ nguyên.

Trong ngữ cảnh. Sau nhiều ván chơi, trung bình người chơi mất $1 mỗi ván. Người chơi chỉ thắng tiền khi X ≥ 3: P(Y > 0) = 0.3.

Phương sai được nhân với b²: σ²_Y = 3² × 1 = 9. Cộng một hằng số làm thay đổi tâm (trung bình, trung vị, tứ phân vị); nhân thì làm thay đổi tâm và mọi số đo độ phân tán (độ lệch chuẩn, khoảng tứ phân vị, khoảng biến thiên).

4.9 · Tổng và hiệu của các biến ngẫu nhiên

trung bình thì cộng lại; với các biến độc lập, phương sai cũng cộng lại

Trung bình của một tổng bằng tổng các trung bình. Khi các biến độc lập, phương sai của một tổng, và của một hiệu, bằng tổng các phương sai.

Quay vòng quay (X, từ trang trước) và gieo một con xúc xắc cân đối (Y, trung bình 3.5, độ lệch chuẩn 1.708). Lần quay và lần gieo độc lập với nhau. Tổng T = X + Y có phân phối màu đỏ, tìm được bằng cách cộng mọi cặp kết quả.

\begin{aligned}\mu_{X+Y} &= \mu_X + \mu_Y = 2 + 3.5 = 5.5 \\ \sigma^2_{X+Y} &= \sigma^2_X + \sigma^2_Y \\ &= 1.000 + 2.917 = 3.917 \\ \sigma_{X+Y} &= \sqrt{3.917} = 1.979\end{aligned}

Độ lệch chuẩn không cộng được: 1 + 1.71 = 2.71 là quá lớn. Chúng kết hợp như các cạnh của một tam giác vuông (bên phải hình).

Hiệu. D = Y − X có trung bình 3.5 − 2 = 1.5, và phương sai của nó vẫn là σ²_X + σ²_Y, nên σ_D = 1.979. Trừ đi một lượng ngẫu nhiên làm tăng độ biến thiên; không bao giờ làm giảm nó.

Quy tắc về trung bình đúng với mọi biến ngẫu nhiên. Quy tắc về phương sai cần tính độc lập. Và hai lần quay X₁ + X₂ không bằng 2X: độ lệch chuẩn của nó là √2 σ_X, trong khi 2X có độ lệch chuẩn 2σ_X.

Biến chuẩn. Tổng hoặc hiệu của các biến ngẫu nhiên chuẩn độc lập là biến chuẩn. Hai chặng của một cuộc chạy tiếp sức mất N(24, 1.5) và N(26.5, 2) phút. Tổng thời gian là N(50.5, 2.5), với √(1.5² + 2²) = 2.5. P(tổng < 48) = P(z < −1.00) = 0.1587.

4.10 · Giới thiệu về phân phối nhị thức

đếm số lần thành công trong n phép thử

Một biến ngẫu nhiên nhị thức đếm số lần thành công trong một số cố định các phép thử độc lập, mỗi phép thử có cùng xác suất thành công.

Kiểm tra bốn điều kiện (BINS): Binary, mỗi phép thử là thành công hoặc thất bại; các phép thử Independent (độc lập); một Number (số) phép thử cố định, n; cùng một xác suất thành công Same, p, ở mọi phép thử.

Trên bảng, mỗi chiếc đinh là một phép thử và “sang phải” là thành công: n = 10, p = 0.5. X, số lần sang phải, chính là ngăn mà quả bóng rơi vào. Để rơi vào ngăn 6, quả bóng phải sang phải ở 6 trong 10 chiếc đinh. Mỗi đường đi như vậy có xác suất (1/2)¹⁰, và có C(10, 6) = 210 đường như thế:

\begin{aligned}P(X = x) &= \binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x} \\ P(X = 6) &= \tbinom{10}{6}(0.5)^{6}(0.5)^{4} \\ &= \tfrac{210}{1024} = 0.205\end{aligned}

Ngăn 6 sẽ nhận khoảng 240 × 0.205 ≈ 49 quả bóng; thực tế nó nhận 47.

Trong ngữ cảnh. Một cầu thủ ném phạt trúng 70% và ném 10 lần, ta coi các lần ném là độc lập. X, số lần trúng, là biến nhị thức với n = 10, p = 0.7.

P(X = 8) = C(10, 8)(0.7)⁸(0.3)² = 0.2335.
P(X ≥ 8) = 1 − P(X ≤ 7) = 1 − 0.6172 = 0.3828: “ít nhất” dùng xác suất tích lũy của biến cố đối.

Không phải nhị thức: rút bài không hoàn lại (các phép thử không độc lập); đếm số lần tung đến khi ra mặt ngửa đầu tiên (không có n cố định: đó là mục 4.12).

4.11 · Các tham số của phân phối nhị thức

μ = np, σ = √(np(1 − p))

Một phân phối nhị thức được xác định bởi hai tham số, n và p. Trung bình và độ lệch chuẩn của nó suy ra từ hai tham số này.

\mu_X = np \qquad \sigma_X = \sqrt{np(1-p)}

Với bảng đinh, μ = 10(0.5) = 5 và σ = √(10 × 0.5 × 0.5) = 1.58. Các ngăn cách trung bình không quá một σ, 4, 5, 6, chứa 0.656 xác suất.

Đây là các quy tắc của mục 4.9 đang được áp dụng. X là tổng của 10 phép thử độc lập, mỗi phép thử nhận giá trị 1 với xác suất p và 0 trong trường hợp còn lại. Một phép thử có trung bình p và phương sai p(1 − p). Trung bình cộng được, phương sai cũng vậy.

Trong ngữ cảnh. Với các lần ném phạt, μ = 10(0.7) = 7 và σ = √(10 × 0.7 × 0.3) = 1.45. “Qua nhiều đợt 10 lần ném phạt, cô ấy trúng trung bình 7 lần; số lần trúng thường lệch khỏi 7 khoảng 1.45.”

Dạng phân phối. Với p = 0.5, phân phối đối xứng. Khi p gần 0 hoặc 1, nó lệch, và càng ít lệch khi n tăng. Khi np ≥ 10 và n(1 − p) ≥ 10, nó gần với phân phối chuẩn, điều mà chương 5 sử dụng.

Điều kiện 10%. Lấy mẫu không hoàn lại làm các phép thử phụ thuộc nhau. Nếu mẫu chiếm không quá 10% tổng thể, sự phụ thuộc là nhỏ và mô hình nhị thức vẫn tốt.

4.12 · Phân phối hình học

số phép thử cho đến lần thành công đầu tiên

Một biến ngẫu nhiên hình học đếm số phép thử cho đến và bao gồm lần thành công đầu tiên, trong các phép thử độc lập có cùng xác suất thành công.

Một hãng ngũ cốc bỏ quà vào 20% số hộp. Mở từng hộp một cho đến khi tìm thấy quà; X là số hộp đã mở. Không có số phép thử cố định, nên X không phải biến nhị thức. Để thành công lần đầu ở phép thử thứ x (x = 1, 2, 3, …), x − 1 phép thử đầu tiên phải thất bại:

\begin{aligned}P(X = x) &= (1-p)^{x-1}p \\ P(X = 3) &= (0.8)^{2}(0.2) = 0.128\end{aligned}

Mỗi cột bằng 0.8 lần cột trước nó, nên phân phối luôn lệch phải, và giá trị có khả năng nhất luôn là 1.

P(X ≤ 3) = 1 − P(không có quà trong 3 hộp đầu) = 1 − 0.8³ = 0.488.
P(X > 5) = 0.8⁵ = 0.328: cả năm hộp đầu đều thất bại.

\begin{aligned}\mu_X &= \frac{1}{p} = 5 \\ \sigma_X &= \frac{\sqrt{1-p}}{p} = \frac{\sqrt{0.8}}{0.2} = 4.47\end{aligned}

Trong ngữ cảnh. “Nếu lặp lại nhiều lần, trung bình phải mở 5 hộp để tìm được quà.” Hình chạy hết lần này đến lần khác: các hộp mở ra cho đến hộp màu đỏ, rồi quả bóng đánh dấu giá trị X của lần đó.