Phân phối mẫu · AP Statistics

Chương 5 · Phân phối mẫu

một thống kê biến thiên như thế nào

Một thống kê tính từ một mẫu ngẫu nhiên thay đổi từ mẫu này sang mẫu khác. Phân phối mẫu của nó cho biết thay đổi bao nhiêu và theo quy luật nào.

Bảng trên cùng là một tổng thể: số cuốn sách mà mỗi học sinh của một trường lớn đã đọc trong mùa hè năm ngoái. Nó lệch phải, với trung bình μ = 2.54 cuốn và độ lệch chuẩn σ = 2.41 cuốn.

Mỗi lần chọn ngẫu nhiên mười học sinh (màu đỏ). Trung bình của chúng, x̄, là điểm mà hình nón giữ cân bằng cho chúng, và nó rơi xuống biểu đồ chấm bên dưới. Sau 120 mẫu, các trung bình có tâm là 2.45, gần μ, và độ lệch chuẩn chỉ là 0.80. Phân bố của chúng đối xứng hơn nhiều so với tổng thể.

Chương này nói về phân bố đó: vì sao các mẫu khác nhau, mô hình chuẩn cho biết điều gì về chúng, và tâm, độ phân tán, hình dạng của phân phối mẫu của p̂ và x̄, riêng lẻ và dưới dạng hiệu. Đây là nền tảng cho mọi khoảng tin cậy và kiểm định ở các đơn vị kiến thức sau.

5.1 · Vì sao mẫu của tôi không giống mẫu của bạn?

biến thiên mẫu

Các mẫu ngẫu nhiên khác nhau từ cùng một tổng thể cho các giá trị khác nhau của một thống kê. Đây là biến thiên mẫu, và nó không phải là sai sót.

4 mẫu đầu tiên gồm 10 học sinh từ phần mở đầu, và các trung bình của chúng:

\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}

mẫu	số sách đã đọc	x̄
1	0, 0, 0, 2, 2, 5, 0, 4, 2, 3	1.8
2	8, 0, 2, 0, 4, 1, 0, 2, 6, 1	2.4
3	0, 7, 2, 0, 1, 5, 3, 3, 0, 0	2.1
4	5, 1, 0, 1, 3, 0, 6, 1, 0, 8	2.5

Không mẫu nào khớp đúng với trung bình tổng thể, μ = 2.54; mỗi mẫu lệch chỉ do ngẫu nhiên. Học sinh nào được chọn là ngẫu nhiên, nên thống kê cũng ngẫu nhiên.

Sự biến thiên này có quy luật. Qua nhiều mẫu, các giá trị của x̄ tập trung quanh μ, và mẫu càng lớn thì càng tập trung chặt hơn. Biết quy luật đó, ta có thể nói kết quả mẫu có thể lệch khỏi giá trị thật bao xa, và do đó một kết quả có đáng ngạc nhiên hay không.

Chọn ngẫu nhiên làm cho quy luật này dự đoán được. Một mẫu thuận tiện, như các học sinh trong một lớp, có thể lần nào cũng lệch về cùng một phía, và không công thức nào cho biết lệch bao nhiêu.

5.1 · Có phải chỉ do ngẫu nhiên?

ước lượng xác suất bằng mô phỏng

Một mô phỏng bắt chước một quá trình ngẫu nhiên nhiều lần. Tỉ lệ số lần lặp mà một sự kiện xảy ra ước lượng xác suất của nó.

Hội đồng thị trấn khẳng định rằng một nửa cử tri, p = 0.5, ủng hộ một công viên mới. Trong một mẫu ngẫu nhiên gồm 40 cử tri, có 26 người trả lời có: p̂ = 0.650. Nếu khẳng định đúng, kết quả này có cao hơn mức mà ngẫu nhiên dễ tạo ra không?

Mô hình. Mỗi cử tri trả lời có với xác suất 0.5 (tung đồng xu, hoặc chọn một chữ số ngẫu nhiên: 0–4 là có, 5–9 là không). Một lần thử gồm 40 cử tri; ghi lại p̂. Lặp lại 100 lần. Hình sẽ chạy mô phỏng: bóng đỏ là có.

Kết quả. 4 trong 100 mẫu mô phỏng cho p̂ ≥ 0.650, nên xác suất ước lượng là 4/100 = 0.04. (Giá trị nhị thức chính xác là 0.040.)

Kết luận. Nếu một nửa cử tri ủng hộ công viên, kết quả cao ít nhất như thế chỉ xảy ra khoảng 4% số lần. Điều đó hiếm gặp, nên mẫu cho một số bằng chứng rằng hơn một nửa ủng hộ. Nó không chứng minh khẳng định sai: những kết quả khó xảy ra vẫn có thể xảy ra.

Một lần chạy thứ hai của 100 sẽ cho số đếm hơi khác. Lặp lại nhiều lần hơn cho ước lượng xác suất tốt hơn.

5.2 · Phân phối chuẩn, nhìn lại

diện tích và các giá trị cắt

Với phân phối chuẩn, xác suất là diện tích dưới đường cong. Hãy chuẩn hóa, rồi tìm diện tích.

Khối lượng táo từ một vườn cây xấp xỉ chuẩn, với μ = 150 g và σ = 12 g. Điểm z cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn:

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

Một diện tích. Tỉ lệ táo nặng từ 140 g đến 165 g là bao nhiêu?

\begin{aligned} z_1 &= \frac{140 - 150}{12} = -0.83 \\ z_2 &= \frac{165 - 150}{12} = 1.25 \\ P(140 < X < 165) &= P(-0.83 < Z < 1.25) \\ &= 0.692 \end{aligned}

Khoảng 69.2% số táo (màu đỏ). Trên 165 g có 0.106 số táo.

Một ngưỡng. Quả táo phải nặng bao nhiêu để thuộc 10% nặng nhất? Giá trị z có diện tích 0.90 phía dưới là 1.28, nên x = 150 + 1.28 × 12 = 165.4 g (màu xanh).

Trong bài thi, hãy trình bày lời giải: nêu tên phân phối và các tham số của nó, cận và diện tích cần tìm, hoặc vẽ phác có ghi nhãn. Chỉ ghi cú pháp máy tính, như normalcdf(…), thì không được điểm.

5.2 · Tham số và thống kê

một số cố định và một số ngẫu nhiên

Tham số mô tả một tổng thể; thống kê mô tả một mẫu. Thống kê được dùng để ước lượng tham số.

	tham số	thống kê
trung bình	μ	x̄
độ lệch chuẩn	σ	s
tỉ lệ	p	p̂

Khối lượng trung bình của tất cả táo trong vườn, μ = 150 g (màu xanh), là một tham số: một số cố định, thường không biết. Một mẫu ngẫu nhiên gồm 8 quả táo cho x̄ = 159.1 g và s = 17.0 g: đó là các thống kê. Mẫu tiếp theo cho x̄ = 150.8 g.

Vì mẫu là ngẫu nhiên, một thống kê là một biến ngẫu nhiên. Phân phối xác suất của nó, tức các giá trị nó nhận trên mọi mẫu có thể có cùng cỡ, là phân phối mẫu của nó.

Để phân biệt: hãy hỏi con số đó đến từ toàn bộ tổng thể (tham số) hay từ dữ liệu đang có (thống kê). Tham số dùng chữ cái Hy Lạp, hoặc p; thống kê dùng chữ cái Latinh, hoặc có dấu mũ.

5.3 · Định lí giới hạn trung tâm

các giá trị trung bình tiến về phân phối chuẩn

Định lí giới hạn trung tâm (CLT): khi n đủ lớn, phân phối mẫu của x̄ xấp xỉ chuẩn, bất kể hình dạng của tổng thể.

Hình lấy 400 mẫu ngẫu nhiên cho mỗi cỡ từ tổng thể lệch ở phần mở đầu và vẽ các trung bình của chúng:

n	trung bình của các x̄	độ lệch chuẩn của các x̄	σ/√n
2	2.64	1.79	1.71
10	2.53	0.77	0.76
30	2.53	0.43	0.44

Ba điều đồng thời đúng. Tâm vẫn ở μ = 2.54. Độ phân tán giảm như σ/√n. Và hình dạng thay đổi: với n = 2 các trung bình vẫn lệch phải, với n = 30 đường cong chuẩn màu đỏ khớp với chúng rất sát.

\mu_{\bar{x}} = \mu \qquad \sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

Thế nào là đủ lớn phụ thuộc vào tổng thể: càng lệch thì n càng phải lớn. Quy tắc kinh nghiệm của AP là n ≥ 30.

Một lỗi thường gặp: CLT nói về phân phối của x̄, không phải của dữ liệu. Một mẫu lớn từ tổng thể lệch trông cũng lệch; chính các trung bình của nhiều mẫu như vậy mới chồng lên nhau thành hình chuẩn.

5.4 · Ước lượng điểm chệch và không chệch

độ chính xác của điểm nhắm và độ tập trung

Một thống kê dùng để ước lượng một tham số là ước lượng điểm. Nó là ước lượng không chệch khi trung bình của phân phối mẫu bằng tham số đó.

Mỗi tấm bia là một ước lượng. Tâm bia màu xanh là tham số; mỗi mũi phi tiêu là giá trị ước lượng từ một mẫu ngẫu nhiên.

Độ chệch nói về tâm. Hai ước lượng ở hàng trên có tâm trùng với tâm bia: không chệch. Hai ước lượng ở hàng dưới lệch về một phía, hết mẫu này đến mẫu khác: chệch.

Độ biến thiên nói về độ phân tán: các giá trị ước lượng tản ra bao xa giữa các mẫu. Hai ước lượng bên trái ít biến thiên, hai ước lượng bên phải biến thiên nhiều. Ước lượng tốt nhất (màu đỏ) có độ chệch thấp và độ biến thiên thấp.

x̄ là ước lượng không chệch của μ và p̂ là ước lượng không chệch của p: trong 5.3, x̄ có tâm tại μ ở mọi n. Giá trị lớn nhất của mẫu là ước lượng chệch của giá trị lớn nhất của tổng thể: nó không bao giờ lớn hơn, và thường nhỏ hơn.

Mẫu lớn hơn làm giảm độ biến thiên, không làm giảm độ chệch. Từ 5.3, độ lệch chuẩn của x̄ giảm từ 0.77 khi n = 10 xuống 0.43 khi n = 30. Nhưng một phương pháp chệch, như khảo sát tự nguyện trả lời, vẫn chệch dù có bao nhiêu người trả lời: nó chỉ trượt chính xác hơn mà thôi.

5.5 · Phân phối mẫu của p̂

tâm p, độ lệch chuẩn √(p(1 − p)/n)

Tỉ lệ mẫu p̂ có phân phối mẫu với trung bình p và độ lệch chuẩn giảm dần khi n tăng.

Trong một khu học chánh có 8,000 học sinh, 35% đi bộ đến trường (hạt đỏ). Hình lấy các mẫu ngẫu nhiên gồm 50 học sinh và thả p̂ của mỗi mẫu vào biểu đồ chấm.

\begin{aligned} \mu_{\hat{p}} &= p = 0.35 \\ \sigma_{\hat{p}} &= \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \\ &= \sqrt{\frac{0.35(0.65)}{50}} = 0.0675 \end{aligned}

	trung bình của p̂	độ lệch chuẩn của p̂
100 mẫu mô phỏng	0.353	0.0657
các công thức	0.35	0.0675

Diễn giải độ lệch chuẩn. Trong các mẫu ngẫu nhiên gồm 50 học sinh của khu này, tỉ lệ mẫu học sinh đi bộ thường lệch khoảng 0.067 so với tỉ lệ thật, 0.35.

Vì n nằm dưới dấu căn, cỡ mẫu tăng gấp bốn thì độ lệch chuẩn giảm một nửa: các mẫu 200 sẽ cho 0.0337.

5.5 · Khi p̂ xấp xỉ chuẩn

điều kiện 10% và điều kiện số lượng lớn

Hai điều kiện cho phép ta dùng các công thức và mô hình chuẩn cho p̂. Hãy kiểm tra cả hai, trong ngữ cảnh, trước khi tính toán.

Điều kiện 10%. Khi lấy mẫu không hoàn lại, các lần chọn gần như độc lập nếu n ≤ 10% tổng thể. Ở đây 50 ≤ 0.10(8,000) = 800, nên có thể dùng σ_p̂ = 0.0675.

Điều kiện số đếm lớn. Phân phối mẫu xấp xỉ chuẩn khi np ≥ 10 và n(1 − p) ≥ 10. Ở đây 50(0.35) = 17.5 và 50(0.65) = 32.5: cả hai đều không nhỏ hơn 10. Với số đếm nhỏ hơn, phân phối bị lệch, xa đầu gần hơn, 0 hoặc 1.

Một xác suất. Khả năng một mẫu 50 có ít nhất 45% người đi bộ là bao nhiêu?

\begin{aligned} z &= \frac{0.45 - 0.35}{0.0675} = 1.48 \\ P(\hat{p} \ge 0.45) &= P(Z \ge 1.48) = 0.069 \end{aligned}

Phần đuôi được tô. Trong 100 mẫu mô phỏng, có 7 mẫu có p̂ ≥ 0.45: 0.07, gần với mô hình.

Trong các điều kiện này hãy dùng p, là tham số, chứ không dùng p̂: phân phối mẫu thuộc về tỉ lệ thật.

5.6 · Hiệu của các tỉ lệ mẫu

so sánh hai nhóm theo tỉ lệ

Với hai mẫu ngẫu nhiên độc lập, hiệu p̂₁ − p̂₂ có phân phối mẫu riêng, với tâm tại p₁ − p₂.

Khu 1 là khu ở mục 5.5: 35% đi bộ; các mẫu cỡ 50. Ở khu 2, 25% đi bộ; các mẫu cỡ 60. Mỗi cặp mẫu cho một hiệu (thanh đỏ), được thả vào biểu đồ chấm.

\begin{aligned}\mu_{\hat{p}_1 - \hat{p}_2} &= p_1 - p_2 = 0.10 \\ \sigma_{\hat{p}_1 - \hat{p}_2} &= \sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1} + \frac{p_2(1-p_2)}{n_2}} \\ &= \sqrt{\frac{0.35(0.65)}{50} + \frac{0.25(0.75)}{60}} = 0.0876\end{aligned}

Các phương sai cộng lại, ngay cả với một hiệu: hai nguồn ngẫu nhiên độc lập làm hiệu biến thiên nhiều hơn mỗi nguồn riêng lẻ. Độ lệch chuẩn không cộng; phương sai mới cộng.

Điều kiện. Các mẫu ngẫu nhiên độc lập; mỗi mẫu chiếm dưới 10% tổng thể của nó; và cả bốn số đếm đều không nhỏ hơn 10: 17.5, 32.5, 15, 45. Khi đó phân phối mẫu xấp xỉ chuẩn.

Một xác suất. Mẫu của khu 2 cho tỉ lệ cao hơn thường xuyên đến mức nào?

\begin{aligned} z &= \frac{0 - 0.10}{0.0876} = -1.14 \\ P(\hat{p}_1 - \hat{p}_2 < 0) &= P(Z < -1.14) = 0.127 \end{aligned}

Khoảng 13% số lần, dù khu 1 thật sự có nhiều người đi bộ hơn. Trong hình, 11 trong 100 hiệu nằm dưới 0.

5.7 · Phân phối mẫu của x̄

tâm μ, độ lệch chuẩn σ/√n

Trung bình mẫu x̄ có phân phối mẫu với trung bình μ và độ lệch chuẩn σ/√n.

\mu_{\bar{x}} = \mu \qquad \sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{12}{\sqrt{9}} = 4\ \text{g}

Với những quả táo của vườn, N(150, 12), khối lượng trung bình của một mẫu ngẫu nhiên 9 quả có độ lệch chuẩn 4 g: đường cong đỏ, hẹp bằng một phần ba của tổng thể.

Dạng phân phối. Nếu tổng thể chuẩn thì x̄ chuẩn với mọi n. Nếu không, định lí giới hạn trung tâm làm cho x̄ xấp xỉ chuẩn khi n ≥ 30. Với mẫu nhỏ từ tổng thể lệch hoặc chưa biết, cả hai đều không đúng, và không thể tính theo phân phối chuẩn. Công thức độ lệch chuẩn cũng cần điều kiện 10%.

Một xác suất. Một quả táo nặng hơn 155 g có z = (155 − 150)/12 = 0.42. Trung bình của 9 quả vượt 155 g có z = (155 − 150)/4 = 1.25:

\begin{aligned} P(X > 155) &= P(Z > 0.42) = 0.338 \\ P(\bar{x} > 155) &= P(Z > 1.25) = 0.106 \end{aligned}

Một quả táo nặng là chuyện thường; một mức trung bình nặng của 9 quả thì không, vì trong mẫu các quả nhẹ và nặng bù trừ cho nhau. Lỗi phổ biến nhất là chia cho σ khi câu hỏi nói về x̄.

5.8 · Hiệu của các trung bình mẫu

so sánh hai nhóm theo trung bình

Với các mẫu ngẫu nhiên độc lập từ hai tổng thể, x̄₁ − x̄₂ có trung bình μ₁ − μ₂, và phương sai của nó bằng tổng hai phương sai.

Táo giống A nặng N(150, 12) gam và giống B nặng N(140, 10). Lấy ngẫu nhiên 9 quả A và 16 quả B rồi so sánh trung bình của chúng (thanh đỏ trên bảng phía trên).

\begin{aligned}\mu_{\bar{x}_1 - \bar{x}_2} &= \mu_1 - \mu_2 = 150 - 140 = 10\ \text{g} \\ \sigma_{\bar{x}_1 - \bar{x}_2} &= \sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}} \\ &= \sqrt{\frac{12^2}{9} + \frac{10^2}{16}} = 4.72\ \text{g}\end{aligned}

Dạng phân phối. Cả hai tổng thể đều chuẩn, nên hiệu cũng chuẩn. Nếu không, mỗi mẫu cần n ≥ 30 để dùng định lí giới hạn trung tâm. Mỗi mẫu cũng phải chiếm dưới 10% tổng thể của nó, và các mẫu độc lập với nhau.

Một xác suất. Mẫu B có khối lượng trung bình nặng hơn với khả năng bao nhiêu?

\begin{aligned} z &= \frac{0 - 10}{4.72} = -2.12 \\ P(\bar{x}_A - \bar{x}_B < 0) &= P(Z < -2.12) = 0.017 \end{aligned}

Hiếm: với các cỡ mẫu này, giống nặng hơn hầu như luôn cho trung bình nặng hơn. Mẫu nhỏ hơn sẽ làm đường cong đỏ rộng hơn và vùng tô lớn hơn.