Statistics · AP Statistics
Thu thập dữ liệu
mẫu, thí nghiệm và sai lệch
Dữ liệu cho bạn biết điều gì phụ thuộc vào cách chúng được thu thập. Một mẫu tốt cho phép bạn nói thay cho cả tổng thể; một thí nghiệm tốt cho phép bạn nói về quan hệ nhân quả.
Hình là một trường có 200 học sinh, mỗi em một quả bóng. Những quả bóng tối màu là học sinh có bằng lái xe: 87 em, chiếm tỉ lệ 0.435. Người làm khảo sát sẽ không biết con số này. Họ sẽ hỏi một mẫu.
Máy tính chọn ngẫu nhiên 20 học sinh (màu đỏ), và tỉ lệ có bằng lái của các em, p̂, rơi xuống biểu đồ chấm. Mỗi mẫu cho một kết quả khác nhau, nhưng các kết quả tụ lại quanh giá trị thật.
Chương này nói về việc có được dữ liệu đáng tin: cách chọn đối tượng đo, những cách một mẫu bị sai lệch, cách thiết kế một thí nghiệm, và mỗi loại nghiên cứu cho phép rút ra kết luận nào.
dữ liệu chúng ta thu thập có nói lên sự thật không?
Dữ liệu có biến thiên. Hai mẫu ngẫu nhiên từ cùng một tổng thể cho kết quả khác nhau, và thống kê là môn nghiên cứu sự biến thiên đó.
40 mẫu, mỗi mẫu gồm 20, cho các giá trị của p̂ từ 0.25 đến 0.60. Không mẫu nào làm sai: đây là biến thiên mẫu, sự thay đổi do ngẫu nhiên của các mẫu ngẫu nhiên. Các giá trị tập trung quanh 0.434, gần với giá trị thật 0.435, và độ lệch chuẩn của chúng là 0.107.
Vì vậy kết quả của một mẫu chỉ là một ước lượng, không phải sự thật. Trước khi tin một con số, hãy hỏi nó được tạo ra như thế nào:
| câu hỏi | vì sao quan trọng |
|---|
| Ai được đo, và họ được chọn như thế nào? | Chỉ có mẫu ngẫu nhiên mới đại diện cho tổng thể. |
| Có áp dụng phương pháp xử lí nào không, và ai quyết định ai nhận nó? | Chỉ có phân công ngẫu nhiên mới cho thấy quan hệ nhân quả. |
| Đo cái gì, và câu hỏi được đặt ra như thế nào? | Câu hỏi gợi ý hoặc phép đo kém sẽ gây hiểu lầm, dù mẫu được chọn thế nào. |
| Chỉ riêng ngẫu nhiên có thể giải thích kết quả không? | Luôn có một ít biến thiên; một quy luật phải lớn hơn mức do ngẫu nhiên tạo ra. |
Hai câu đầu là nội dung của chương này. Câu cuối là phần còn lại của khóa học: một kết quả có lớn hơn mức biến thiên ngẫu nhiên có thể tạo ra hay không.
tổng thể, mẫu và điều tra toàn bộ
Tổng thể là toàn bộ nhóm bạn muốn tìm hiểu. Mẫu là phần của nó mà bạn thực sự đo.
Hãy nêu tổng thể thật chính xác: “tất cả 200 học sinh của trường này”, chứ không phải “thanh thiếu niên”. Kết luận chỉ áp dụng cho tổng thể đã được lấy mẫu.
Điều tra toàn bộ đo mọi thành viên của tổng thể. Với một trường thì làm được; với cả một quốc gia thì chậm và tốn kém, và với một số câu hỏi thì không thể (thử mọi bóng đèn cho đến khi hỏng thì chẳng còn cái nào để bán). Một mẫu được chọn tốt rẻ hơn, nhanh hơn, và thường là đủ tốt.
Tham số là một số mô tả tổng thể; thống kê mẫu mô tả một mẫu, và được dùng để ước lượng tham số:
Tham số thường không biết và cố định; thống kê mẫu thì biết được và thay đổi từ mẫu này sang mẫu khác. Tỉ lệ là p và p̂; trung bình là μ và x̄.
Suy rộng. Một kết quả chỉ có thể mở rộng từ mẫu ra tổng thể nếu mẫu được chọn ngẫu nhiên từ tổng thể đó. Dữ liệu lấy từ những người tiện tay chỉ mô tả chính những người đó.
quan sát, hoặc tác động
Nghiên cứu quan sát ghi lại những gì đối tượng vốn đã làm, không thay đổi điều gì. Thí nghiệm chủ động áp dụng một phương pháp xử lí và đo đáp ứng.
Uống cà phê trước khi kiểm tra có giúp ích không? Cùng 24 học sinh được chia nhóm hai lần. Các quả bóng sẫm màu là học sinh ngủ từ 8 giờ trở lên.
Trên: quan sát. Học sinh tự chọn. Học sinh mệt thường tìm đến cà phê, nên nhóm uống cà phê có 3 trên 12 người ngủ đủ, còn nhóm kia có 9 trên 12. Nếu hai nhóm có điểm khác nhau, đó là do cà phê hay do giấc ngủ? Chúng ta không thể biết.
Giấc ngủ là một biến gây nhiễu: nó có liên hệ với biến giải thích (cà phê) và ảnh hưởng đến đáp ứng (điểm số), nên không thể tách riêng hai tác động.
Dưới: thí nghiệm. Một lần xáo trộn ngẫu nhiên quyết định việc phân nhóm, giấc ngủ không có vai trò gì: 7 và 5 người ngủ đủ. Phân nhóm ngẫu nhiên có xu hướng cân bằng mọi biến khác giữa các nhóm, cả những biến bạn biết lẫn những biến bạn không biết.
Vì vậy nghiên cứu quan sát có thể cho thấy một mối liên hệ, nhưng không bao giờ cho thấy quan hệ nhân quả. Nghiên cứu hồi cứu xem lại các hồ sơ trong quá khứ; nghiên cứu tiền cứu theo dõi các đối tượng về phía trước và ghi chép trong quá trình đó. Khảo sát mẫu cũng là nghiên cứu quan sát.
Quy tắc cho cả chương: muốn khái quát cho tổng thể cần chọn mẫu ngẫu nhiên; muốn kết luận quan hệ nhân quả cần phân nhóm ngẫu nhiên.
mẫu ngẫu nhiên đơn giản
Một mẫu ngẫu nhiên đơn (SRS) có kích thước n được chọn sao cho mọi tập hợp gồm n cá thể của tổng thể đều có cùng khả năng trở thành mẫu.
Với bảng chữ số ngẫu nhiên:
1. Đánh số mỗi học sinh bằng một số có ba chữ số khác nhau, từ 001 đến 200.
2. Đọc các chữ số theo từng nhóm ba.
3. Bỏ qua 000, các số lớn hơn 200 và các số lặp lại, cho đến khi chọn đủ 20 học sinh.
| 14904 | 88119 | 15775 | 17904 | 80263 | 20028 | 06413 | 17966 | 25544 |
| chữ số | 149 | 048 | 811 | 915 | 775 | 179 | 048 | 026 | 320 | 028 | 064 | 131 | 796 | 625 | 544 |
|---|
| ✓ | ✓ | – | – | – | ✓ | rep. | ✓ | – | ✓ | ✓ | ✓ | – | – | – |
|---|
7 học sinh đầu tiên được chọn là 149, 048, 179, 026, 028, 064, 131. Đọc tiếp dọc theo bảng, 115 nhóm ba chữ số cho đủ 20 học sinh. Trong mẫu này có 9 trong 20 học sinh có bằng lái: p̂ = 0.45.
Với bộ tạo số ngẫu nhiên: tạo các số nguyên từ 1 đến 200, bỏ qua các số lặp lại, cho đến khi có 20 số. Hoặc viết mỗi tên lên một mảnh giấy giống hệt nhau, trộn đều trong một chiếc mũ rồi rút 20.
Mẫu gồm người được lấy không hoàn lại: một học sinh đã được chọn thì không thể được chọn lần nữa. Lấy có hoàn lại là trả từng cá thể về, nên một cá thể có thể được chọn hai lần.
Trong một SRS, xác suất mỗi học sinh được chọn là n/N = 20/200 = 0.1. Tuy nhiên, các cá thể có cơ hội bằng nhau thì chưa đủ: các phương pháp ở trang sau cho mỗi học sinh cùng một 0.1, nhưng không phải tập hợp 20 học sinh nào cũng có thể xảy ra.
ngẫu nhiên, từng bước
Các phương pháp ngẫu nhiên khác dùng yếu tố ngẫu nhiên theo từng giai đoạn. Mỗi phương pháp có thể rẻ hơn SRS, hoặc chính xác hơn.
Mẫu ngẫu nhiên phân tầng. Chia tổng thể thành các nhóm gồm những cá thể giống nhau, gọi là các tầng; lấy một SRS từ mỗi tầng rồi gộp lại. Ở đây các tầng là các khối lớp, mỗi khối lấy 5 học sinh.
| khối | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|
| có bằng lái | 2 trong 50 | 12 trong 50 | 30 trong 50 | 43 trong 50 |
|---|
Các tầng nên giống nhau bên trong và khác nhau giữa các tầng, như các khối lớp ở đây. Khi đó mỗi khối có phần của mình trong mẫu, và ước lượng ít thay đổi giữa các mẫu hơn so với một SRS cùng cỡ. Mẫu này cho p̂ = 0.35.
Mẫu cụm. Chia tổng thể thành các nhóm, thường theo vị trí (phòng, đường phố, thùng): các cụm. Chọn ngẫu nhiên một số cụm và lấy tất cả mọi người trong đó. Ở đây chọn 3 trong 25 nhóm cố vấn, lấy cả 24 học sinh trong đó: p̂ = 0.417. Mẫu cụm hiệu quả nhất khi mỗi cụm đa dạng, như một bản thu nhỏ của tổng thể; lợi thế của chúng là chi phí, chỉ cần một lần đến mỗi cụm.
Đừng nhầm lẫn: mẫu phân tầng lấy một số cá thể từ mọi tầng; mẫu cụm lấy tất cả cá thể từ một số cụm.
Mẫu ngẫu nhiên hệ thống. Lấy cá thể thứ k trong danh sách, bắt đầu từ một vị trí ngẫu nhiên trong k cá thể đầu. Ở đây k = 200/20 = 10, và vị trí bắt đầu là 8: các học sinh 8, 18, 28, …, 198, cho p̂ = 0.35. Cách này nhanh, và không sao trừ khi danh sách lặp lại một quy luật cứ sau k vị trí.
các loại sai lệch
Một phương pháp chọn mẫu bị chệch nếu nó thiên vị một số kết quả một cách có hệ thống: qua nhiều mẫu, thống kê của nó luôn lệch khỏi tham số theo cùng một hướng.
Cổng thông tin của trường chỉ liệt kê khối 10 đến 12; khối 9 chưa có trong đó. Danh sách thực sự dùng để lấy mẫu gọi là khung lấy mẫu, và việc bỏ một phần của tổng thể ra khỏi khung là thiếu bao phủ. Trong danh sách này có 85 trong 150 học sinh có bằng lái, tức 0.567, so với 0.435 của cả trường, nên các mẫu lấy từ đó sẽ ước lượng cao hơn tỉ lệ thực.
| chệch | xảy ra như thế nào |
|---|
| thiếu bao phủ | một phần của tổng thể ít có khả năng (hoặc không thể) được chọn |
| tự nguyện trả lời | mọi người tự chọn tham gia (khảo sát trực tuyến, gọi điện vào); những người có ý kiến mạnh, thường là tiêu cực, trả lời nhiều nhất |
| thuận tiện | chọn những người dễ tiếp cận nhất: phiếu khảo sát phát ở bãi đỗ xe của học sinh chủ yếu gặp người lái xe |
| không phản hồi | những người được chọn không liên lạc được hoặc không chịu trả lời, và họ khác với những người trả lời |
| chệch do trả lời | câu trả lời không đúng sự thật: nói dối về hành vi khó nói, muốn làm hài lòng người phỏng vấn, nhớ nhầm |
| cách diễn đạt câu hỏi | câu hỏi gợi ý hoặc khó hiểu định hướng câu trả lời: “Bạn có đồng ý rằng…” |
Không phản hồi là vấn đề của những người được chọn nhưng không trả lời; tự nguyện trả lời là vấn đề của những người hoàn toàn không được chọn mà vẫn trả lời.
Trong bài thi, hãy nêu tên loại chệch, giải thích nó xuất hiện như thế nào trong ngữ cảnh này, và cho biết nó đẩy ước lượng theo hướng nào và vì sao.
lệch mục tiêu và phân tán
Độ chệch và độ biến thiên là hai lỗi khác nhau. Độ chệch là lỗi của phương pháp; độ biến thiên khi lấy mẫu có ở mọi mẫu ngẫu nhiên.
Bốn mươi mẫu cho mỗi phương pháp, tham số p = 0.435 màu xanh dương:
| phương pháp | trung bình của p̂ | độ lệch chuẩn của p̂ |
|---|
| Mẫu ngẫu nhiên đơn giản gồm 20 học sinh từ toàn trường | 0.430 | 0.104 |
| Mẫu ngẫu nhiên đơn giản gồm 20 học sinh từ danh sách cổng thông tin | 0.597 | 0.111 |
| Mẫu ngẫu nhiên đơn giản gồm 80 học sinh từ toàn trường | 0.432 | 0.042 |
Trên cùng: tập trung quanh p: không chệch, nhưng các kết quả phân tán. Giữa (màu đỏ): lấy từ danh sách cổng thông tin, chúng tập trung gần 0.60. Mọi mẫu đều lệch cùng một hướng; đó là độ chệch. Dưới cùng: các mẫu cỡ 80, tập trung quanh p với độ phân tán nhỏ hơn một nửa so với các mẫu cỡ 20.
Mẫu ngẫu nhiên lớn hơn làm giảm độ biến thiên. Nó không giúp gì cho độ chệch: 80 học sinh từ danh sách cổng thông tin vẫn tập trung gần 0.567 như vậy, chỉ là chặt hơn. Cách khắc phục độ chệch là một phương pháp tốt hơn; cách khắc phục độ biến thiên là một mẫu lớn hơn.
Một lỗi thường gặp: “mẫu quá nhỏ nên bị chệch”. Một mẫu ngẫu nhiên nhỏ thì biến thiên nhiều, chứ không chệch.
đơn vị thí nghiệm, phép xử lí, nhân tố và biến đáp ứng
Một thí nghiệm chủ động tác động lên các đối tượng của nó và đo cách chúng phản ứng.
Caffeine có làm phản xạ nhanh hơn không? 24 tình nguyện viên mỗi người uống một viên thuốc, chờ, rồi nhấn một phím khi đèn nháy.
| thuật ngữ | ý nghĩa | ở đây |
|---|
| đơn vị thí nghiệm | đối tượng được áp dụng các xử lí; nếu là người thì gọi là đối tượng thí nghiệm | 24 tình nguyện viên |
| nhân tố (biến giải thích) | điều người làm thí nghiệm thay đổi | caffeine |
| mức | các giá trị được đặt cho một nhân tố | viên caffeine, giả dược |
| xử lí | điều kiện mà một đơn vị nhận được: một mức của mỗi nhân tố | 2 xử lí |
| biến phản hồi | đại lượng được đo trên mỗi đơn vị | thời gian phản xạ (ms) |
Với hai nhân tố, các xử lí là những tổ hợp của các mức: caffeine (có, không) và giấc ngủ (4 h, 8 h) cho 2 × 2 = 4 xử lí.
Các tình nguyện viên được xáo trộn vào hai nhóm, mỗi nhóm 12: một thiết kế hoàn toàn ngẫu nhiên. Nhóm đối chứng uống giả dược; nhóm này cho thấy điều xảy ra khi không có xử lí. Thời gian phản xạ trung bình: caffeine 235.1 ms, giả dược 260.8 ms.
Các tình nguyện viên không phải là mẫu ngẫu nhiên của bất kì nhóm người nào: thí nghiệm hầu như luôn dùng những ai đồng ý tham gia. Điều đó giới hạn phạm vi áp dụng của kết quả (3.7).
so sánh, phân chia ngẫu nhiên, đối chứng, lặp lại
Một thí nghiệm được thiết kế tốt dựa trên bốn nguyên tắc.
1. So sánh. Có ít nhất hai phương pháp xử lí, hoặc một phương pháp xử lí và một nhóm đối chứng. Thời gian phản ứng sau khi dùng caffeine sẽ không có ý nghĩa nếu thiếu thời gian phản ứng khi không dùng.
2. Phân phối ngẫu nhiên. Các đơn vị thí nghiệm được gán vào các phương pháp xử lí một cách ngẫu nhiên. Cách này cân bằng giữa các nhóm những biến khác ảnh hưởng đến biến phản hồi (giấc ngủ, tuổi, sự luyện tập), nên phần chênh lệch còn lại là do phương pháp xử lí hoặc do ngẫu nhiên, không phải do nhiễu.
3. Kiểm soát. Giữ mọi yếu tố khác giống nhau cho mọi đơn vị: cùng thời điểm trong ngày, cùng màn hình, cùng hướng dẫn. Điều đó loại bỏ các nguồn biến thiên và nhiễu.
4. Lặp lại. Có đủ số đơn vị trong mỗi nhóm để những khác biệt do ngẫu nhiên giữa các nhóm có xu hướng triệt tiêu nhau. Chỉ một tình nguyện viên mỗi nhóm thì có thể cho ra bất kì kết quả nào.
Giả dược và làm mù. Con người có phản ứng chỉ vì được điều trị: đó là hiệu ứng giả dược. Giả dược là phương pháp xử lí giả trông giống hệt thật, để cả hai nhóm có cùng kì vọng. Trong thí nghiệm mù đơn, đối tượng (hoặc người đo kết quả) không biết ai nhận phương pháp nào; trong thí nghiệm mù đôi, cả hai bên đều không biết.
Mô tả việc phân phối ngẫu nhiên (nhiệm vụ thường gặp trong bài thi): đánh số các tình nguyện viên từ 1 đến 24, viết các số lên những mẩu giấy giống hệt nhau, trộn trong một chiếc mũ và rút 12 mẩu; những người đó nhận caffeine, những người còn lại nhận giả dược. Hãy nói rõ cách làm, dùng gì và ai nhận phương pháp nào.
thiết kế hoàn toàn ngẫu nhiên và thiết kế khối ngẫu nhiên
Thiết kế hoàn toàn ngẫu nhiên gán tất cả các đơn vị vào các phương pháp xử lí một cách ngẫu nhiên. Thiết kế khối ngẫu nhiên trước hết xếp các đơn vị giống nhau vào các khối, rồi gán ngẫu nhiên trong từng khối.
Những người thường xuyên uống cà phê có thể hầu như không phản ứng với thêm một liều. Nếu tình cờ phần lớn họ rơi vào nhóm caffeine, tác dụng sẽ có vẻ nhỏ hơn. Vì vậy ta chia khối theo thói quen uống cà phê:
| khối | đơn vị | caffeine | giả dược |
|---|
| người uống cà phê | 8 | 4 | 4 |
| người không uống | 16 | 8 | 8 |
Mỗi khối là một thí nghiệm hoàn toàn ngẫu nhiên nhỏ, và các phương pháp xử lí được so sánh trong từng khối. Biến thiên do thói quen uống cà phê được loại khỏi phép so sánh, nên hiệu quả của phương pháp xử lí được ước lượng chính xác hơn.
Hãy chia khối theo biến mà bạn cho là ảnh hưởng đến biến phản hồi. Chia khối trong thí nghiệm giống như phân tầng trong chọn mẫu: trước hết nhóm các đơn vị giống nhau, rồi dùng ngẫu nhiên bên trong mỗi nhóm. Các khối được lập trước khi phân phối ngẫu nhiên, và khối không phải là phương pháp xử lí.
“Kiểm soát điều có thể kiểm soát, chia khối điều không thể kiểm soát, ngẫu nhiên hóa phần còn lại.”
các khối gồm hai
Thiết kế cặp ghép so sánh hai phương pháp xử lí trên các cặp đơn vị rất giống nhau, hoặc trên một đơn vị nhận cả hai phương pháp.
Ở đây mỗi người trong 12 tình nguyện viên được kiểm tra hai lần, mỗi lần sau một viên thuốc, vào những ngày khác nhau. Việc tung đồng xu quyết định thứ tự: 7 người uống caffeine trước, 5 người uống giả dược trước. Con người nhanh hơn nhờ luyện tập, nên thứ tự cố định sẽ làm lẫn tác dụng của caffeine với tác dụng của luyện tập; ngẫu nhiên hóa thứ tự giúp cân bằng điều này.
| tình nguyện viên | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|
| caffeine | 241 | 265 | 221 | 207 | 222 | 236 | 233 | 229 | 183 | 231 | 244 | 256 |
|---|
| giả dược | 251 | 274 | 215 | 239 | 243 | 244 | 261 | 218 | 213 | 248 | 245 | 251 |
|---|
| hiệu | 10 | 9 | -6 | 32 | 21 | 8 | 28 | -11 | 30 | 17 | 1 | -5 |
|---|
Phép phân tích dùng các hiệu, giả dược trừ caffeine, mỗi tình nguyện viên một giá trị: trung bình 11.2 ms, độ lệch chuẩn 14.7 ms. Mỗi tình nguyện viên tự làm đối chứng cho chính mình, nên những khác biệt lớn về thời gian phản ứng giữa người với người được loại bỏ.
Cặp cũng có thể là hai đơn vị được ghép sát nhau: cặp sinh đôi, hai nửa của một thửa ruộng, hai học sinh cùng điểm. Khi đó việc tung đồng xu quyết định đơn vị nào trong cặp nhận phương pháp nào.
sự khác biệt có ý nghĩa thống kê không?
Sự khác biệt giữa các nhóm xử lí là có ý nghĩa thống kê khi nó quá lớn để có thể giải thích hợp lí chỉ bằng yếu tố ngẫu nhiên của việc phân phối ngẫu nhiên.
Trong thí nghiệm caffeine (3.5):
Ngay cả khi caffeine không có tác dụng, hai nhóm 12 người vẫn khác nhau đôi chút, tùy ai tình cờ rơi vào nhóm nào. Khác bao nhiêu? Giả sử mỗi tình nguyện viên sẽ có cùng thời gian phản ứng với cả hai loại viên. Chia lại 24 giá trị thời gian một cách ngẫu nhiên thành hai nhóm 12, rồi tính hiệu của hai trung bình. Làm như vậy 100 lần.
Chỉ riêng ngẫu nhiên đã cho các hiệu từ -25.2 đến 19.7 ms, tập trung quanh 0; có none trong 100 lần lớn bằng 25.7 ms. Vì vậy một sự khác biệt lớn như thế rất khó xảy ra chỉ do ngẫu nhiên: nó có ý nghĩa thống kê, và cho bằng chứng thuyết phục rằng caffeine rút ngắn thời gian phản ứng ở những tình nguyện viên như thế này.
Có ý nghĩa nghĩa là “không thể do ngẫu nhiên một cách hợp lí”, không phải “lớn” hay “quan trọng”. Và một sự khác biệt không có ý nghĩa không chứng tỏ phương pháp xử lí không có tác dụng; có thể nghiên cứu quá nhỏ để nhận ra.
thiết kế của một nghiên cứu cho phép bạn kết luận điều gì
Chọn mẫu ngẫu nhiên cho phép bạn khái quát hóa cho tổng thể mà mẫu được lấy ra. Phân phối ngẫu nhiên cho phép bạn kết luận về quan hệ nhân quả. Mỗi cách làm một việc riêng.
| có phân phối ngẫu nhiên | không phân phối ngẫu nhiên |
|---|
| chọn mẫu ngẫu nhiên | nhân quả, cho tổng thể | chỉ có mối liên hệ, cho tổng thể |
|---|
| không chọn mẫu ngẫu nhiên | nhân quả, cho các đơn vị giống những đơn vị được nghiên cứu | chỉ có mối liên hệ, cho những đơn vị được nghiên cứu |
|---|
Thí nghiệm caffeine (đang hiển thị): các tình nguyện viên, được phân phối ngẫu nhiên. Caffeine gây ra phản ứng nhanh hơn, nhưng chỉ với những người giống các tình nguyện viên này.
Khảo sát về bằng lái xe: một mẫu ngẫu nhiên đơn (SRS) của trường, không có phương pháp xử lí nào. Tỉ lệ trong mẫu ước lượng tỉ lệ của trường; không nói gì về nhân quả.
Nghiên cứu cà phê cho học sinh tự chọn (3.2): không có cả hai. Nó chỉ cho thấy mối liên hệ ở những học sinh đó, mà giấc ngủ có thể giải thích.
Những sai lầm thường gặp: cho rằng một thí nghiệm ngẫu nhiên trên các tình nguyện viên áp dụng cho mọi người; cho rằng một khảo sát ngẫu nhiên lớn chứng minh nhân quả. Mẫu lớn không thay thế được phân phối ngẫu nhiên, và phân phối ngẫu nhiên không thay thế được chọn mẫu ngẫu nhiên.
← Khám phá dữ liệu hai biến · Xác suất và biến ngẫu nhiên →