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Explorando dados de duas variáveis
diagramas de dispersão e a reta de mínimos quadrados
Duas coisas medidas em cada indivíduo: uma informa sobre a outra e em que medida?
Cientistas forenses estimam a altura de uma pessoa a partir de um único osso. A figura mostra o comprimento do fêmur (osso da coxa) em função da altura de 14 adultos. Pessoas mais altas têm fêmures mais longos, e os pontos ficam perto de uma reta.
Qual reta? Uma reta traçada entre os pontos erra cada um deles por um resíduo, em vermelho. Eleve cada resíduo ao quadrado (os quadrados vermelhos) e some suas áreas. À medida que a reta de teste gira, a área total muda; a reta de mínimos quadrados é a que a torna mínima: aqui ŷ = 49.8 + 2.64x, com área total de 126 cm².
O capítulo começa com variáveis categóricas (tabelas de dupla entrada, gráficos de barras, porcentagens condicionais), depois descreve diagramas de dispersão, mede a associação linear com a correlação r, ajusta e verifica a reta de mínimos quadrados e pergunta o que um único ponto incomum, ou uma curva, faz com ela.
um padrão ou acaso?
Duas variáveis são associadas quando conhecer o valor de uma diz algo sobre o valor da outra.
A estatística começa com uma pergunta sobre variação. Adultos com fêmures mais longos tendem a ser mais altos? A forma como um aluno vai à escola depende de onde ele mora? Cada pergunta relaciona duas variáveis medidas nos mesmos indivíduos.
Os dados sempre variam, então algum padrão pode surgir só por acaso. A figura testa isso. À esquerda estão os pares reais, r = 0.95. À direita, as mesmas 14 alturas são embaralhadas, ao acaso, entre os mesmos 14 fêmures, várias vezes. O embaralhamento quebra qualquer ligação real, então o padrão que sobra é acaso.
Abaixo, a correlação de cada um dos 40 embaralhamentos. Elas se espalham em torno de 0, e a mais distante é −0.81. O valor real, 0.95, está além de todas: o acaso sozinho não é uma explicação plausível para um padrão tão forte.
Esse é o raciocínio do curso inteiro em miniatura: pergunte o que o acaso sozinho produziria e veja se os dados se parecem com isso. As unidades seguintes tornam isso exato.
tabelas de contingência e gráficos de barras
Uma tabela de dupla entrada conta os indivíduos em cada combinação de duas variáveis categóricas.
Perguntou-se a 300 alunos onde moram e como costumam ir à escola:
| a pé ou de bicicleta | bus | car | total |
|---|
| city | 48 | 36 | 16 | 100 |
|---|
| suburb | 22 | 50 | 48 | 120 |
|---|
| rural | 6 | 30 | 44 | 80 |
|---|
| total | 76 | 116 | 108 | 300 |
|---|
Os totais nas bordas são as contagens marginais: cada variável sozinha. 108 dos 300 alunos vão de carro, seja qual for o lugar.
As barras lado a lado (esquerda) desenham as contagens. São fáceis de ler, mas difíceis de comparar quando os grupos têm tamanhos diferentes: há 120 alunos do subúrbio, mas só 80 da zona rural, então as contagens enganam.
As barras segmentadas (direita) resolvem isso: cada grupo é uma barra de altura 100%, dividida nas proporções dos seus próprios alunos. Os alunos da zona rural vão de carro 55% das vezes, os da cidade 16%. Um gráfico de mosaico (2.3) também faz a largura de cada barra corresponder ao tamanho do seu grupo.
Escolha a variável que divide as barras de acordo com a pergunta. Para comparar como cada lugar se desloca, faça uma barra por lugar.
três tipos de frequência relativa
Uma frequência relativa divide uma contagem por um total. O total pelo qual você divide define o que ela significa.
- Conjunta: uma célula sobre o total da tabela. 44 de 300 estudantes são da zona rural e vão de carro: 44/300 = 14.7%.
- Marginal: o total de uma linha ou coluna sobre o total da tabela. 108/300 = 36% de todos os estudantes vão de carro.
- Condicional: uma célula sobre o total da sua própria linha ou coluna. Dos estudantes da zona rural, 44/80 = 55% vão de carro. Dos que vão de carro, 44/108 = 40.7% são da zona rural.
As duas últimas diferem: “entre os estudantes da zona rural, a proporção que vai de carro” e “entre os que vão de carro, a proporção da zona rural” dividem por totais diferentes. Leia o enunciado e veja qual é o grupo citado depois de entre ou dado que: esse total é o denominador.
O gráfico de mosaico mostra as três ao mesmo tempo. A largura de cada coluna é a proporção marginal do local; a altura de cada bloco é a proporção condicional dentro do local; assim, a área de cada bloco é a proporção conjunta. O bloco rural de carro corresponde a 14.7% do mosaico inteiro.
compare as distribuições condicionais
Duas variáveis categóricas estão associadas quando a distribuição condicional de uma difere entre as categorias da outra.
As distribuições condicionais do meio de transporte, para cada local e para todos os estudantes juntos:
| a pé ou de bicicleta | bus | car |
|---|
| city | 48% | 36% | 16% |
|---|
| suburb | 18% | 42% | 40% |
|---|
| rural | 8% | 38% | 55% |
|---|
| todos | 25% | 39% | 36% |
|---|
Se o meio de transporte não dependesse do local, todas as linhas seriam iguais à linha “todos”, e as barras segmentadas seriam cortadas nas mesmas alturas. Não são: a proporção de carro sobe de 16% na cidade para 40% nos subúrbios e 55% na zona rural, enquanto a de a pé ou de bicicleta cai de 48% para 8%. Há uma associação entre onde o estudante mora e como ele vai para a escola.
Compare porcentagens, não contagens. 48 estudantes suburbanos de carro superam em número os 44 rurais, mas uma proporção menor dos estudantes suburbanos vai de carro.
Uma associação nos dados não prova causa. Morar na zona rural não necessariamente causa o uso do carro: a distância até a escola, uma variável que não está na tabela, pode explicar boa parte disso. O Capítulo 8 testa se uma diferença assim poderia ser acaso (o teste χ²).
direção, forma, força e características incomuns
Um diagrama de dispersão mostra duas variáveis quantitativas medidas nos mesmos indivíduos, com um ponto por indivíduo.
A variável explicativa vai no eixo x: a que pode explicar ou prever. A variável resposta vai no eixo y: o resultado. Aqui, o comprimento do fêmur explica a altura.
| fêmur (cm) | 39.0 | 39.8 | 40.7 | 40.9 | 40.9 | 43.1 | 43.5 |
|---|
| altura (cm) | 154.3 | 152.9 | 160.5 | 162.1 | 156.1 | 159.8 | 162.2 |
|---|
| fêmur (cm) | 44.1 | 45.2 | 46.5 | 46.9 | 47.2 | 48.7 | 49.8 |
|---|
| altura (cm) | 163.3 | 168.2 | 169.7 | 180.1 | 172.3 | 178.2 | 183.1 |
|---|
Descreva um diagrama de dispersão por quatro características, no contexto:
- Direção: positiva (x maior vai com y maior), negativa ou nenhuma.
- Forma: linear, curva ou em grupos.
- Força: quão de perto os pontos seguem a forma: forte, moderada ou fraca.
- Características incomuns: valores atípicos, lacunas, grupos.
Aqui: há uma associação linear, positiva e forte entre o comprimento do fêmur e a altura destes adultos, sem valores atípicos evidentes. Os gráficos pequenos mostram outros padrões: um negativo mais fraco, uma curva forte e nenhuma associação.
a força de uma associação linear, como um número
A correlação r mede a direção e a força de uma associação linear entre duas variáveis quantitativas.
Padronize cada variável: zx e zy dizem a quantos desvios padrão um valor está da sua média. Retas nas médias dividem o gráfico em quatro quadrantes. Um ponto acima e à direita (ou abaixo e à esquerda) tem produto zxzy positivo, um retângulo vermelho; acima e à esquerda ou abaixo e à direita, produto negativo, azul.
Some as áreas com sinal e divida por n − 1. Para os fêmures, 14 produtos somam 12.305, e 12.305/13 = 0.947. Quase toda a área é vermelha: uma associação positiva forte.
r fica entre −1 e 1. O sinal é a direção; o tamanho é a força: perto de ±1 os pontos ficam próximos de uma reta, perto de 0 não há padrão linear. Interprete no contexto: r = 0.95 indica uma associação linear, positiva e forte entre o comprimento do fêmur e a altura.
Na prova, calcule r com a calculadora; saiba o que ele significa.
apenas linear, sensível a valores atípicos, não é causalidade
r resume um padrão em linha reta. Olhe sempre primeiro o diagrama de dispersão.
- Somente linear. O gráfico vermelho tem uma relação curva forte, mas r = −0.02. r perto de 0 significa nenhuma associação linear, não nenhuma associação. Um r alto também não prova que uma reta seja a forma certa.
- Sem unidades. r não muda se uma das variáveis mudar de unidade: com os fêmures em polegadas, r continua 0.947. Trocar x e y também não o altera.
- Não é resistente. Como a média, r pode mudar muito por causa de um único ponto atípico (2.9).
- Não é causalidade. Uma correlação forte não significa que mudar x muda y. Uma variável oculta pode influenciar ambas (as vendas de sorvete e os afogamentos aumentam com o calor do verão), ou a relação pode ir no sentido contrário. Só um experimento bem planejado (Capítulo 3) mostra causa.
Os quatro gráficos pequenos: forte, positiva, linear, r = 0.97; moderada, negativa, linear, r = −0.71; forte, curva, r = −0.02; sem associação, r = 0.01.
uma reta para prever y a partir de x
Uma reta de regressão modela como uma resposta y muda com uma variável explicativa x e prevê y para um dado x.
ŷ (y chapéu) é um valor previsto, não observado: escreva o chapéu. b é a inclinação e a o intercepto com o eixo y. Escreva o modelo no contexto: altura prevista = 49.8 + 2.64 (comprimento do fêmur).
Prevendo. Para um fêmur de 45.0 cm, ŷ = 49.8 + 2.64(45.0) = 168.5 cm. Essa é a altura média que o modelo dá para adultos com esse comprimento de fêmur; qualquer um deles pode ser mais alto ou mais baixo.
Extrapolação é prever fora do intervalo de x nos dados, aqui de 39.0 a 49.8 cm. A reta não tem evidência ali: a forma pode mudar. O fêmur de 30 cm de uma criança dá ŷ = 128.9 cm, a partir de um modelo construído só com adultos. Na figura, o ponto fica cinza sempre que sai do intervalo dos dados.
o que a reta não captura e o gráfico de resíduos
Um resíduo é um valor observado menos o seu valor previsto: a que distância o ponto está acima ou abaixo da reta.
O adulto com fêmur de 46.9 cm tem 180.1 cm de altura. A reta prevê 173.5 cm, então o resíduo é 180.1 − 173.5 = 6.6 cm: 6.6 cm mais alto do que o previsto. Um resíduo negativo significa que a reta superestimou. Na reta de mínimos quadrados, os resíduos somam 0.
Um gráfico de resíduos mostra cada resíduo em função de x (ou de ŷ). Na figura, cada resíduo desce do diagrama de dispersão até o gráfico abaixo: a reta fica deitada em 0.
- Sem padrão, uma dispersão uniforme em torno de 0: um modelo linear é adequado. É o que os fêmures mostram.
- Uma curva nos resíduos: a relação não é linear; outra forma se ajustaria melhor (2.9).
- Um leque, com dispersão crescendo com x: as previsões são menos precisas para x maiores.
Um gráfico de resíduos mostra o padrão restante com mais clareza que o diagrama de dispersão, porque a tendência da reta foi retirada.
a reta que torna menor a soma dos quadrados dos resíduos
A reta de regressão de mínimos quadrados é a reta que torna a soma dos quadrados dos resíduos a menor possível.
À direita, a soma dos quadrados dos resíduos para cada inclinação (cada reta passa pelo ponto das médias): uma parábola, com mínimo em b = 2.64. Qualquer outra inclinação dá um total maior.
Assim, a reta sempre passa por (x̄, ȳ) = (44.02, 165.91), e sua inclinação tem o sinal de r. Um aumento de um desvio padrão em x prevê um aumento de r desvios padrão em y: menos que um, a “regressão à média”.
Interpretando. Inclinação: para cada 1 cm a mais de comprimento do fêmur, a altura prevista aumenta cerca de 2.64 cm. Intercepto: um adulto com fêmur de 0 cm teria altura prevista de 49.8 cm; isso é extrapolação e não tem significado aqui, como acontece muitas vezes com o intercepto.
Fazer a regressão de x sobre y dá uma reta diferente. Preveja a resposta a partir da variável explicativa, não o contrário.
quão bem a reta se ajusta e quanto ela erra em geral
Dois números indicam quão boas são as previsões da reta: o coeficiente de determinação r2 e o desvio padrão dos resíduos s.
O software exibe a reta assim:
| Preditor | Coef | SE Coef |
|---|
| Constante | 49.807 | 11.454 |
| Fêmur | 2.6375 | 0.2594 |
S = 3.2393 R-sq = 89.6%
Leia a ao lado de Constante e b ao lado da variável explicativa: ŷ = 49.8 + 2.64x. (SE Coef fica para o Capítulo 9.)
r2 = 89.6%: sem a reta, a soma dos quadrados dos desvios das alturas em relação a ȳ é 1210 cm²; em torno da reta, 126. A reta elimina 1 − 126/1210 = 89.6% dela. No contexto: cerca de 89.6% da variação na altura é explicada pelo modelo linear com o comprimento do fêmur.
s = 3.24 cm, calculado a partir dos resíduos (divida por n − 2):
No contexto: as alturas reais costumam diferir das alturas previstas pela reta em cerca de 3.2 cm. A faixa azul é ŷ ± s.
o que um único ponto pode fazer com a reta
Um único ponto incomum pode mudar muito uma regressão, ou quase nada. O lugar onde ele fica decide.
- Um outlier (valor atípico) na regressão é um ponto com resíduo grande: bem acima ou abaixo da reta.
- Um ponto de alta alavancagem tem um valor de x distante de x̄. Ele pode inclinar a reta.
- Um ponto influente é aquele cuja remoção muda bastante a inclinação, o intercepto ou a correlação. Pontos de alta alavancagem muitas vezes são influentes.
O ponto vermelho é adicionado aos 14 adultos e movido. A reta cinza é a reta sem ele:
| o 15º ponto | b | a | r |
|---|
| nenhum | 2.64 | 49.8 | 0.947 |
| (66, 223.9) | 2.64 | 49.8 | 0.985 |
| (66, 197.9) | 1.76 | 88.0 | 0.931 |
| (44, 183.9) | 2.64 | 51.1 | 0.846 |
Bem à direita e sobre a reta: alta alavancagem, mas não influente na inclinação; ele até aumenta r. Bem à direita e abaixo da reta: arrasta a inclinação de 2.64 para 1.76, sendo influente. Perto de x̄ e bem acima: um outlier que reduz r para 0.846, mas quase não move a inclinação.
Nunca apague um ponto incomum sem pensar. Verifique se há erro; se for real, apresente o ajuste com e sem ele.
os logaritmos retificam o crescimento exponencial
Quando um diagrama de dispersão é curvo, transformar uma variável pode torná-lo linear; então a reta de mínimos quadrados pode modelá-lo.
Uma cultura de bactérias foi contada a cada hora durante 10 horas. As contagens curvam-se para cima: cada hora multiplica a contagem em vez de somar a ela. Uma reta se ajusta mal, mesmo com r = 0.900: o gráfico de resíduos é uma curva nítida.
Tome os logaritmos das contagens. O crescimento exponencial se torna linear: a figura passa de um gráfico para o outro. Em função de t, log10(contagem) é uma reta, r = 0.998, e seus resíduos não mostram padrão.
Prever exige desfazer a transformação. Em t = 8.5 horas: log10(contagem) = 1.594 + 0.1626(8.5) = 2.976, logo contagem ≈ 102.976 = 946. A inclinação diz que a contagem prevista é multiplicada por 100.1626 = 1.454 a cada hora.
Outras curvas pedem outras transformações: log y contra log x retifica um modelo de potência, y = axb; uma raiz quadrada ou um inverso podem retificar outros. Escolha a transformação cujo gráfico de resíduos não mostre padrão.
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