Statistics · AP Statistics
Coleta de dados
amostras, experimentos e viés
O que os dados podem dizer depende de como foram coletados. Uma boa amostra permite falar por toda uma população; um bom experimento permite falar sobre causa e efeito.
A figura mostra uma escola com 200 estudantes, uma bola para cada um. As escuras têm carteira de motorista: 87 deles, uma proporção de 0.435. Quem faz uma pesquisa não conheceria esse número. Perguntaria a uma amostra.
Um computador sorteia 20 estudantes ao acaso (em vermelho), e a proporção deles com carteira, p̂, cai no gráfico de pontos. Cada amostra dá uma resposta diferente, mas as respostas se acumulam em torno da verdade.
Este capítulo trata de obter dados em que você possa confiar: como escolher quem medir, as maneiras como uma amostra dá errado, como planejar um experimento e quais conclusões cada tipo de estudo permite.
os dados que coletamos dizem a verdade?
Os dados variam. Duas amostras aleatórias da mesma população dão respostas diferentes, e a estatística é o estudo dessa variação.
As 40 amostras de 20 deram valores de p̂ de 0.25 a 0.60. Nenhuma foi feita errada: isso é a variabilidade amostral, a variação casual das amostras aleatórias. Os valores se centram em 0.434, perto do valor verdadeiro 0.435, e seu desvio padrão é 0.107.
Portanto, a resposta de uma amostra é uma estimativa, não a verdade. Antes de confiar em um número, pergunte como ele foi produzido:
| pergunta | por que importa |
|---|
| Quem foi medido e como foi escolhido? | Só uma amostra aleatória fala pela população. |
| Foi imposto um tratamento, e quem decidiu quem o recebia? | Só a atribuição aleatória mostra causa e efeito. |
| O que foi medido e como foi perguntado? | Uma pergunta tendenciosa ou uma medição ruim engana, não importa como a amostra foi escolhida. |
| O acaso sozinho poderia explicar o resultado? | Sempre há alguma variação; um padrão precisa ser maior do que o acaso produziria. |
As duas primeiras são deste capítulo. A última é o resto do curso: saber se um resultado é maior do que a variação aleatória produziria plausivelmente.
população, amostra e censo
A população é todo o grupo sobre o qual você quer saber. A amostra é a parte dela que você de fato mede.
Nomeie a população com exatidão: “todos os 200 estudantes desta escola”, não “adolescentes”. Uma conclusão só alcança a população que foi amostrada.
Um censo mede todos os membros da população. Para uma escola é possível; para um país é lento e caro, e para algumas perguntas é impossível (testar todas as lâmpadas até queimarem não deixa nenhuma para vender). Uma amostra bem escolhida é mais barata e rápida, e em geral basta.
Um parâmetro é um número que descreve a população; uma estatística descreve uma amostra e serve para estimar o parâmetro:
Os parâmetros costumam ser desconhecidos e fixos; as estatísticas são conhecidas e variam de amostra para amostra. As proporções são p e p̂; as médias são μ e x̄.
Generalizar. Um resultado só pode ser estendido de uma amostra para uma população se a amostra foi escolhida ao acaso dessa população. Dados de quem estava à mão descrevem apenas essas pessoas.
observar ou intervir
Um estudo observacional registra o que os sujeitos já fazem, sem mudar nada. Um experimento impõe deliberadamente um tratamento e mede a resposta.
Tomar café antes de uma prova ajuda? Os mesmos 24 estudantes são agrupados duas vezes. As bolas escuras dormiram 8 horas ou mais.
Em cima: observacional. Os estudantes escolheram. Quem está cansado busca café, então o grupo do café tem 3 de 12 bem descansados e o outro grupo 9 de 12. Se os grupos têm notas diferentes, é pelo café ou pelo sono? Não dá para saber.
O sono é uma variável de confusão: está associado à variável explicativa (café) e afeta a resposta (a nota), então os dois efeitos não podem ser separados.
Embaixo: experimento. Um sorteio decidiu, e o sono não teve voz: 7 e 5 bem descansados. A atribuição aleatória tende a equilibrar entre os grupos todas as outras variáveis, as que você conhece e as que não conhece.
Assim, um estudo observacional pode mostrar uma associação, nunca causa e efeito. Um estudo retrospectivo olha registros do passado; um prospectivo acompanha os sujeitos adiante e registra ao longo do tempo. Pesquisas amostrais também são estudos observacionais.
A regra do capítulo inteiro: generalizar para uma população exige amostragem aleatória; concluir causa e efeito exige atribuição aleatória.
a amostra aleatória simples
Uma amostra aleatória simples (AAS) de tamanho n é escolhida de modo que todo conjunto de n indivíduos da população tenha a mesma chance de ser a amostra.
Com uma tabela de dígitos aleatórios:
1. Rotule cada estudante com um número diferente de três dígitos, de 001 a 200.
2. Leia os dígitos de três em três.
3. Pule 000, os números acima de 200 e as repetições, até 20 estudantes serem escolhidos.
| 14904 | 88119 | 15775 | 17904 | 80263 | 20028 | 06413 | 17966 | 25544 |
| dígitos | 149 | 048 | 811 | 915 | 775 | 179 | 048 | 026 | 320 | 028 | 064 | 131 | 796 | 625 | 544 |
|---|
| ✓ | ✓ | – | – | – | ✓ | rep. | ✓ | – | ✓ | ✓ | ✓ | – | – | – |
|---|
Os primeiros 7 estudantes escolhidos são 149, 048, 179, 026, 028, 064, 131. Seguindo pela tabela, 115 grupos de três dão todos os 20. Nesta amostra, 9 de 20 têm carteira: p̂ = 0.45.
Com um gerador de números aleatórios: gere números inteiros de 1 a 200, ignorando repetições, até ter 20. Ou escreva cada nome em um papel idêntico, misture bem em um chapéu e sorteie 20.
Amostras de pessoas são feitas sem reposição: depois de escolhido, um estudante não pode ser escolhido de novo. Sortear com reposição devolve cada um, então ele poderia sair duas vezes.
Em uma AAS, a chance de cada estudante ser escolhido é n/N = 20/200 = 0.1. Chances iguais para os indivíduos não bastam, porém: os métodos da próxima página dão a cada estudante a mesma 0.1, mas nem todo conjunto de 20 é possível.
o acaso, passo a passo
Outros métodos aleatórios usam o acaso em etapas. Cada um pode ser mais barato que uma AAS, ou mais preciso.
Amostra aleatória estratificada. Divida a população em grupos de indivíduos semelhantes, os estratos; tome uma AAS de cada um e junte todas. Aqui os estratos são as séries, com 5 estudantes de cada uma.
| série | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|
| com carteira de habilitação | 2 de 50 | 12 de 50 | 30 de 50 | 43 de 50 |
|---|
Os estratos devem ser homogêneos por dentro e diferentes entre si, como as séries aqui. Assim cada série recebe a sua parte da amostra, e a estimativa varia menos de amostra para amostra do que uma AAS do mesmo tamanho. Esta deu p̂ = 0.35.
Amostra por conglomerados. Divida a população em grupos, em geral por local (salas, ruas, caixas): os conglomerados. Escolha alguns conglomerados ao acaso e tome todos os que estão neles. Aqui, 3 dos 25 grupos de orientação, com todos os 24 estudantes deles: p̂ = 0.417. Os conglomerados funcionam melhor quando cada um é heterogêneo, como uma pequena cópia da população; o ganho deles é o custo, uma visita por conglomerado.
Não confunda: uma amostra estratificada toma alguns de cada estrato; uma amostra por conglomerados toma todos de alguns conglomerados.
Amostra aleatória sistemática. Tome um indivíduo a cada k de uma lista, com início aleatório entre os primeiros k. Aqui k = 200/20 = 10, e o início é 8: estudantes 8, 18, 28, …, 198, dando p̂ = 0.35. É rápida e funciona bem, a menos que a lista repita um padrão a cada k posições.
os tipos de viés
Um método de amostragem é viesado se favorece sistematicamente alguns resultados: em muitas amostras, sua estatística erra o parâmetro sempre na mesma direção.
O portal da escola lista apenas os anos 10 a 12; o 9º ano ainda não está nele. A lista da qual a amostra é realmente sorteada é o cadastro amostral, e deixar parte da população fora dele é a cobertura insuficiente. Na lista, 85 de 150 têm carteira de motorista, 0.567 contra 0.435 na escola toda, então amostras dessa lista superestimam a proporção.
| viés | como acontece |
|---|
| cobertura insuficiente | parte da população tem menos chance (ou nenhuma) de ser escolhida |
| resposta voluntária | as pessoas se escolhem sozinhas (enquete on-line, ligação ao vivo); quem tem opiniões fortes, muitas vezes negativas, responde mais |
| conveniência | escolhem-se os mais fáceis de alcançar: uma pesquisa distribuída no estacionamento da escola encontra principalmente motoristas |
| não resposta | pessoas escolhidas não são encontradas ou não querem responder, e são diferentes de quem responde |
| viés de resposta | as respostas não são verdadeiras: mentir sobre comportamentos constrangedores, querer agradar o entrevistador, errar de memória |
| formulação da pergunta | uma pergunta tendenciosa ou confusa conduz a resposta: “Você não concorda que…” |
A não resposta é um problema de quem foi escolhido mas não responde; a resposta voluntária é de quem nunca foi escolhido e respondeu mesmo assim.
No exame, nomeie o viés, explique como ele surge nesse contexto e diga para que lado ele empurra a estimativa e por quê.
fora do alvo e dispersos
Viés e variabilidade são falhas diferentes. O viés é uma falha do método; a variabilidade amostral existe em toda amostra aleatória.
Quarenta amostras por cada método, com o parâmetro p = 0.435 em azul:
| método | média de p̂ | DP de p̂ |
|---|
| AAS de 20 alunos de toda a escola | 0.430 | 0.104 |
| AAS de 20 alunos da lista do portal | 0.597 | 0.111 |
| AAS de 80 alunos de toda a escola | 0.432 | 0.042 |
Em cima: centradas em p: sem viés, mas as respostas se dispersam. No meio (vermelho): sorteadas da lista do portal, centram-se perto de 0.60. Todas as amostras erram na mesma direção; isso é viés. Embaixo: amostras de 80, centradas em p e com menos da metade da dispersão das amostras de 20.
Uma amostra aleatória maior reduz a variabilidade. Não faz nada pelo viés: 80 estudantes da lista do portal se centrariam perto de 0.567 do mesmo jeito, só que de modo mais concentrado. A cura do viés é um método melhor; a cura da variabilidade é uma amostra maior.
Um erro comum: “a amostra era pequena demais, então era viesada”. Uma amostra aleatória pequena é variável, não viesada.
unidades, tratamentos, fatores e resposta
Um experimento faz algo com seus sujeitos de propósito e mede como eles respondem.
A cafeína acelera as reações? 24 voluntários tomam cada um uma pílula, esperam e então apertam uma tecla quando uma luz pisca.
| termo | significado | aqui |
|---|
| unidades experimentais | aquilo a que os tratamentos são aplicados; as pessoas são sujeitos | os 24 voluntários |
| fator (variável explicativa) | o que o pesquisador modifica | cafeína |
| níveis | os valores em que um fator é fixado | uma pílula de cafeína, um placebo |
| tratamento | a condição que uma unidade recebe: um nível de cada fator | 2 tratamentos |
| variável resposta | o que é medido em cada unidade | tempo de reação (ms) |
Com dois fatores, os tratamentos são as combinações de seus níveis: cafeína (sim, não) e sono (4 h, 8 h) dariam 2 × 2 = 4 tratamentos.
Os voluntários foram embaralhados em dois grupos de 12: um delineamento completamente aleatorizado. O grupo controle tomou o placebo; ele mostra o que acontece sem o tratamento. Tempos médios de reação: cafeína 235.1 ms, placebo 260.8 ms.
Os voluntários não são uma amostra aleatória de ninguém: os experimentos quase sempre usam quem aceita participar. Isso limita até onde o resultado alcança (3.7).
comparação, atribuição aleatória, controle, replicação
Um experimento bem planejado se apoia em quatro princípios.
1. Comparação. Pelo menos dois tratamentos, ou um tratamento e um grupo controle. O tempo de reação após a cafeína não significa nada sem o tempo de reação sem ela.
2. Atribuição aleatória. As unidades são atribuídas aos tratamentos pelo acaso. Isso equilibra entre os grupos as outras variáveis que afetam a resposta (sono, idade, prática), de modo que uma diferença que sobra se deve ao tratamento ou ao acaso, não à confusão.
3. Controle. Mantenha todo o resto igual para todas as unidades: o mesmo horário, a mesma tela, as mesmas instruções. Isso remove fontes de variação e de confusão.
4. Replicação. Unidades suficientes em cada grupo para que as diferenças causadas pelo acaso tendam a se compensar. Um voluntário por grupo poderia mostrar qualquer coisa.
Placebo e cegamento. As pessoas reagem ao simples fato de serem tratadas: o efeito placebo. Um placebo é um tratamento falso que parece igual ao verdadeiro, de modo que os dois grupos esperam o mesmo. Em um experimento simples-cego, os sujeitos (ou quem os mede) não sabem quem recebeu o quê; em um duplo-cego, nenhum dos dois sabe.
Descrevendo a atribuição aleatória (tarefa frequente em provas): numere os voluntários de 1 a 24, escreva os números em papeizinhos idênticos, misture-os em um chapéu e sorteie 12; esses recebem cafeína, os demais, o placebo. Diga como, com o quê e quem recebe o quê.
delineamentos completamente aleatorizados e em blocos aleatorizados
Um delineamento completamente aleatorizado atribui todas as unidades aos tratamentos ao acaso. Um delineamento em blocos aleatorizados primeiro separa as unidades em blocos de unidades semelhantes e depois atribui ao acaso dentro de cada bloco.
Quem toma café regularmente pode mal responder a mais uma dose. Se, por acaso, a maioria deles cair no grupo da cafeína, o efeito pareceria menor. Então formamos blocos pelo hábito de tomar café:
| bloco | unidades | cafeína | placebo |
|---|
| quem toma café | 8 | 4 | 4 |
| quem não toma | 16 | 8 | 8 |
Cada bloco é um pequeno experimento completamente aleatorizado, e os tratamentos são comparados dentro de cada bloco. A variação causada pelo hábito de tomar café é retirada da comparação, então o efeito do tratamento é estimado com mais precisão.
Forme blocos por uma variável que você espera que afete a resposta. O bloqueio está para os experimentos como a estratificação está para as amostras: primeiro agrupe unidades semelhantes, depois use o acaso dentro de cada grupo. Os blocos são formados antes da atribuição aleatória, e um bloco não é um tratamento.
“Controle o que puder, bloqueie o que não puder controlar, aleatorize o resto.”
blocos de dois
Um delineamento de pares emparelhados compara dois tratamentos em pares de unidades muito semelhantes, ou em uma mesma unidade que recebe os dois tratamentos.
Aqui, cada um dos 12 voluntários é testado duas vezes, uma após cada pílula, em dias diferentes. O lançamento de uma moeda decide a ordem: 7 tomaram cafeína primeiro e 5 tomaram o placebo primeiro. As pessoas ficam mais rápidas com a prática, então uma ordem fixa misturaria o efeito da cafeína com o efeito da prática; aleatorizar a ordem equilibra isso.
| voluntário | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|
| cafeína | 241 | 265 | 221 | 207 | 222 | 236 | 233 | 229 | 183 | 231 | 244 | 256 |
|---|
| placebo | 251 | 274 | 215 | 239 | 243 | 244 | 261 | 218 | 213 | 248 | 245 | 251 |
|---|
| diferença | 10 | 9 | -6 | 32 | 21 | 8 | 28 | -11 | 30 | 17 | 1 | -5 |
|---|
A análise usa as diferenças, placebo menos cafeína, uma por voluntário: média de 11.2 ms, desvio padrão de 14.7 ms. Cada voluntário serve como seu próprio controle, então as grandes diferenças entre as pessoas no tempo de reação desaparecem.
Os pares também podem ser duas unidades muito parecidas: gêmeos, duas metades de um campo, dois alunos com a mesma nota. Nesse caso, o lançamento de uma moeda decide qual do par recebe cada tratamento.
a diferença é estatisticamente significativa?
Uma diferença entre grupos de tratamento é estatisticamente significativa quando é grande demais para ser explicada de forma plausível apenas pelo acaso da atribuição aleatória.
No experimento da cafeína (3.5):
Mesmo que a cafeína não fizesse nada, os dois grupos de 12 diferiam um pouco, dependendo de quem caiu onde. Quanto? Suponha que cada voluntário teria o mesmo tempo de reação com qualquer pílula. Distribua os 24 tempos de novo, ao acaso, em dois grupos de 12 e calcule a diferença de médias. Faça isso 100 vezes.
Só o acaso produziu diferenças de -25.2 a 19.7 ms, centradas perto de 0; none das 100 foram tão grandes quanto 25.7 ms. Portanto, uma diferença desse tamanho é muito improvável de ocorrer só por acaso: é estatisticamente significativa e dá evidência convincente de que a cafeína reduz o tempo de reação de voluntários como estes.
Significativa quer dizer “não plausivelmente acaso”, e não “grande” ou “importante”. E uma diferença que não é significativa não mostra que o tratamento não tem efeito; o estudo pode ser pequeno demais para detectá-lo.
o que o delineamento de um estudo permite concluir
A seleção aleatória permite generalizar para a população de onde veio a amostra. A atribuição aleatória permite concluir causa e efeito. Cada uma tem a sua função.
| atribuição aleatória | sem atribuição aleatória |
|---|
| seleção aleatória | causa e efeito, para a população | apenas associação, para a população |
|---|
| sem seleção aleatória | causa e efeito, para unidades como as estudadas | apenas associação, para os estudados |
|---|
O experimento da cafeína (aceso): voluntários, atribuídos aleatoriamente. A cafeína causou as reações mais rápidas, mas só para pessoas como esses voluntários.
A pesquisa sobre a carteira de motorista: uma AAS da escola, sem tratamento. A proporção da amostra estima a da escola; nada sobre causa.
O estudo do café em que os alunos escolheram (3.2): nenhum dos dois. Mostra uma associação entre esses alunos, que o sono pode explicar.
Erros comuns: afirmar que um experimento aleatorizado com voluntários vale para todos; afirmar causa a partir de uma grande pesquisa aleatória. Uma amostra grande não substitui a atribuição aleatória, e a atribuição aleatória não substitui a seleção aleatória.
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