Probabilidade e variáveis aleatórias · AP Statistics

Capítulo 4 · Probabilidade e variáveis aleatórias

o acaso, contado

Não dá para prever o acaso caso a caso, mas dá para prever a longo prazo. A probabilidade é a matemática desse longo prazo.

Na figura, cada bola cai por 10 fileiras de pinos. Em cada pino, ela vai para a esquerda ou para a direita com a mesma chance, então ninguém sabe onde a próxima bola vai cair.

Mesmo assim, 240 bolas se acumulam em uma forma que pode ser prevista. As marcas vermelhas são as alturas esperadas em cada compartimento, calculadas antes de qualquer bola cair. Os três compartimentos do meio devem conter 65.6% das bolas; eles contêm 164 de 240, ou 68.3%.

Este capítulo pergunta quando um padrão é apenas acaso, estima probabilidades por simulação e constrói as regras para combiná-las: complementos, “ou”, “e”, probabilidade condicional e independência. Depois, transforma resultados em números. Uma variável aleatória tem uma distribuição com média e desvio padrão, e eles se combinam de maneiras fixas. Duas distribuições aparecem o tempo todo: a binomial (o tabuleiro da figura) e a geométrica.

4.1 · Padrões aleatórios e não aleatórios

será só acaso?

Um processo aleatório gera resultados por acaso. Sequências e agrupamentos fazem parte do que ele produz, então um padrão em dados aleatórios pode não significar nada.

Uma grade da figura tem 50 lançamentos de uma moeda honesta. A outra foi escrita por uma pessoa tentando parecer aleatória. As pessoas evitam sequências, e isso as entrega:

	lançamentos reais	inventados
heads	19	25
trocas C ↔ K	25	35
maior sequência	5	3

Depois de cada lançamento de uma moeda honesta, o próximo muda com probabilidade 1/2, então cerca de 24.5 trocas são típicas. A sequência inventada troca 35 vezes; a real, 25.

Com que frequência só o acaso faz isso? Em 10,000 conjuntos simulados de 50 lançamentos de moeda honesta (as barras), 82% tiveram uma sequência de 5 ou mais. Apenas 2.0% tiveram a maior sequência com 3 ou menos. A sequência de 5 coroas é comum. A sequência inventada é a incomum.

Assim, a sequência de acertos de um jogador de basquete, ou um agrupamento de doenças em uma cidade, não é evidência de nada por si só. Primeiro, pergunte com que frequência o acaso produziria um padrão assim. Essa pergunta percorre o resto do curso.

4.2 · Estimando probabilidades por simulação

a frequência relativa a longo prazo

A probabilidade de um resultado é a proporção de vezes que ele ocorreria em uma série muito longa de repetições.

A lei dos grandes números. À medida que um processo aleatório é repetido mais e mais vezes, a frequência relativa de um resultado se aproxima da sua probabilidade. Na figura, a rodada 1 teve 4 seis nos primeiros 10 lançamentos (0.400), 14 em 50 (0.280) e 95 em 600 (0.158). Toda rodada oscila no início e se estabiliza perto de 1/6 ≈ 0.167.

Isso vale apenas a longo prazo. Um dado não tem memória: depois de uma sequência sem seis, o seis não fica mais provável. Os desvios iniciais não são corrigidos; eles são diluídos pelos muitos lançamentos seguintes.

Uma simulação imita um processo aleatório para estimar uma probabilidade:

1. Descreva como uma tentativa é imitada com números aleatórios. 2. Diga o que é registrado. 3. Execute muitas tentativas. 4. Use a frequência relativa como estimativa.

Exemplo. Qual é a probabilidade de sair pelo menos um seis em quatro lançamentos de um dado? Uma tentativa: quatro inteiros aleatórios de 1 a 6, cada um um lançamento. Registre se algum é 6. As primeiras 6 tentativas:

trial	1	2	3	4	5	6
rolls	2 2 4 4	5 5 1 4	5 4 5 6	2 1 4 6	6 6 2 4	5 2 5 3
um seis?	no	no	yes	yes	yes	no

Em 1000 tentativas, 539 tiveram um seis: uma estimativa de 0.539. O valor exato (4.3) é 1 − (5/6)⁴ = 0.518. Mais tentativas dariam, em média, uma estimativa mais próxima dele. Com uma tabela de dígitos aleatórios, use 1–6 para as faces e ignore 0, 7, 8 e 9.

4.3 · Introdução à probabilidade

espaços amostrais, eventos e complementares

O espaço amostral S de um processo aleatório é o conjunto de todos os seus resultados possíveis. Um evento é um conjunto de resultados, e sua probabilidade é um número de 0 a 1.

Lance dois dados. O espaço amostral tem 6 × 6 = 36 resultados, um quadrado para cada um na figura, todos equiprováveis. Quando os resultados são equiprováveis,

P(A) = \frac{\text{number of outcomes in } A}{\text{number of outcomes in } S}

O evento A, “a soma é 7”, tem 6 resultados (em vermelho): (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1). Então P(A) = 6/36 = 0.167. A ordem importa: (1, 6) e (6, 1) são resultados diferentes.

Todo evento tem 0 ≤ P(A) ≤ 1, e P(S) = 1: sempre acontece algo em S. Um evento com probabilidade 0 nunca ocorre; um com probabilidade 1 sempre ocorre.

O complemento A^C é o evento em que A não acontece. A e A^C não têm resultados em comum e juntos preenchem S, então

P(A^C) = 1 - P(A) = 1 - \tfrac{6}{36} = \tfrac{30}{36}

O complemento é o caminho rápido para “pelo menos um”. P(pelo menos um seis) = 1 − P(nenhum seis) = 1 − 25/36 = 11/36: conte os quadrados da fileira de cima e da coluna da direita, e são 11.

4.4 · Eventos mutuamente exclusivos

eventos que não podem ocorrer juntos

Dois eventos são mutuamente exclusivos (disjuntos) quando não podem ocorrer juntos: P(A ∩ B) = 0.

A notação: A ∩ B (“A e B”) é o evento em que ambos acontecem; A ∪ B (“A ou B”) é o evento em que pelo menos um acontece. Em um diagrama de Venn, o retângulo é o espaço amostral, e aqui as áreas são desenhadas em escala: a área de cada região é a sua probabilidade.

O tipo sanguíneo ABO de um doador é um entre quatro:

type	O	A	B	AB
probability	0.44	0.42	0.10	0.04

Os eventos “tipo A” e “tipo B” são mutuamente exclusivos: ninguém tem os dois (o tipo AB é um tipo à parte). Seus discos não se sobrepõem, então as áreas simplesmente se somam:

\begin{aligned}P(A \cup B) &= P(A) + P(B) \\ &= 0.42 + 0.10 = 0.52\end{aligned}

Os dardos da figura caem ao acaso, então a fração que cai em uma região se aproxima da sua área: a fração em A ou B se aproxima de 0.52. O restante, O ou AB, tem probabilidade 0.48 = 1 − 0.52.

Só some probabilidades assim quando os eventos forem mutuamente exclusivos. Se puderem se sobrepor, a sobreposição é contada duas vezes (4.6).

4.5 · Probabilidade condicional

a probabilidade de A, dado B

A probabilidade condicional P(A | B) é a probabilidade de A acontecer, dado que B aconteceu. Saber de B reduz o espaço amostral a B.

Uma pesquisa perguntou a 500 motoristas se haviam enviado mensagens de texto ao dirigir no último mês:

	texted	não	total
16–24	72	48	120
25 anos ou mais	95	285	380
total	167	333	500

Escolha um motorista ao acaso. Seja T “enviou mensagem” e Y “tem 16–24 anos”. P(T) = 167/500 = 0.334. Mas, dado que o motorista tem 16–24 anos, só essa linha conta:

\begin{aligned}P(T \mid Y) &= \frac{P(T \cap Y)}{P(Y)} = \frac{72/500}{120/500} \\ &= \frac{72}{120} = 0.600\end{aligned}

A figura à direita mostra cada linha separadamente: 0.60 dos motoristas jovens enviaram mensagens, contra 0.25 dos mais velhos.

A ordem importa. P(Y | T) = 72/167 = 0.431: dos motoristas que enviaram mensagens, 43.1% eram jovens. O numerador é o mesmo; o denominador é aquilo que é dado.

Reorganizada, a definição é a regra do produto, P(A ∩ B) = P(B) · P(A | B): P(T ∩ Y) = 0.24 × 0.60 = 0.144 = 72/500.

4.5 · Diagramas de árvore

multiplique ao longo dos ramos, some entre eles

Quando um processo aleatório acontece em etapas, um diagrama de árvore mostra os resultados de cada etapa como ramos. A probabilidade de um caminho é o produto das probabilidades ao longo dele.

4% de uma população tem uma condição. Um teste de triagem dá positivo para 90% das pessoas que a têm e para 10% das que não a têm. Os ramos da segunda etapa são probabilidades condicionais: 0.9 é P(+ | condição).

path	probability	por 1000 pessoas
com a condição, +	0.04 × 0.9 = 0.036	36
com a condição, −	0.04 × 0.10 = 0.004	4
sem a condição, +	0.96 × 0.1 = 0.096	96
sem a condição, −	0.96 × 0.90 = 0.864	864

Dois caminhos terminam em um teste positivo. Eles são mutuamente exclusivos, então suas probabilidades se somam: P(+) = 0.036 + 0.096 = 0.132.

Alguém testa positivo. Qual é a probabilidade de ter a condição (C)?

P(C \mid +) = \frac{P(C \cap +)}{P(+)} = \frac{0.036}{0.132} = 0.273

Apenas cerca de 27%. Em 1000 pessoas, há 36 verdadeiros positivos e 96 falsos: a condição é rara, então os poucos erros entre as muitas pessoas saudáveis superam os casos. A figura envia 400 pessoas pela árvore ao acaso; observe as folhas vermelhas e azuis.

4.6 · Eventos independentes e uniões de eventos

a regra da adição e quando saber um evento não diz nada sobre o outro

Os eventos A e B são independentes se saber que um deles ocorreu não altera a probabilidade do outro: P(A | B) = P(A).

Em uma escola, 35% dos alunos fazem AP Statistics (S), 25% fazem AP Biology (B) e 10% fazem as duas. Os discos se sobrepõem.

A regra da adição. Somar P(S) e P(B) conta a interseção (em vermelho) duas vezes, então subtraímos essa parte uma vez:

\begin{aligned}P(S \cup B) &= P(S) + P(B) \\ &\quad - P(S \cap B) \\ &= 0.35 + 0.25 - 0.10 \\ &= 0.50\end{aligned}

Assim, 0.50 não fazem nenhuma das duas. Para eventos mutuamente exclusivos, P(A ∩ B) = 0, e a regra se torna a da seção 4.4.

Verificando a independência. P(S | B) = 0.10/0.25 = 0.40, mas P(S) = 0.35. Saber que um aluno faz Biologia aumenta a chance de ele fazer Estatística, então S e B não são independentes. A mesma verificação de outra forma: se fossem independentes, P(S ∩ B) seria igual a P(S) · P(B) = 0.0875, e não 0.10.

Para eventos independentes, e somente neles, a regra da multiplicação se torna P(A ∩ B) = P(A) · P(B). Dois dados separados são independentes: P(dois seis) = 1/6 × 1/6 = 1/36.

Não confunda as duas ideias. Eventos mutuamente exclusivos (com probabilidades positivas) nunca são independentes: se um ocorre, a probabilidade do outro cai para 0. Na seção 4.5, P(enviou mensagem | 16–24) = 0.600 ≠ P(enviou mensagem) = 0.334, então enviar mensagens e faixa etária não são independentes.

4.7 · Variáveis aleatórias e distribuições de probabilidade

resultados como números

Uma variável aleatória assume valores numéricos que dependem do resultado de um processo aleatório. Sua distribuição de probabilidade dá seus valores possíveis e suas probabilidades.

Seja X o número de carros de uma família escolhida ao acaso em uma cidade. X é discreta: assume uma lista de valores separados.

x	0	1	2	3	4
P(X = x)	0.08	0.32	0.38	0.15	0.07
P(X ≤ x)	0.08	0.40	0.78	0.93	1.00

Uma distribuição válida tem todas as probabilidades entre 0 e 1, e elas somam 1. Na figura, as barras são P(X = x). Os degraus pretos são as probabilidades acumuladas P(X ≤ x), as barras somadas a partir da esquerda.

Leia as palavras com atenção:

P(X ≥ 2), “pelo menos dois”: 0.38 + 0.15 + 0.07 = 0.60, ou 1 − P(X ≤ 1) = 1 − 0.40.
P(X > 2), “mais de dois”: 0.22, sem o 2.
P(1 ≤ X ≤ 3) = P(X ≤ 3) − P(X ≤ 0) = 0.93 − 0.08 = 0.85.

Os pontos vermelhos são famílias sorteadas ao acaso: a proporção de cada valor até agora. Conforme os sorteios se acumulam, eles se aproximam das barras. É a lei dos grandes números outra vez: uma distribuição de probabilidade é o padrão dos valores a longo prazo.

4.8 · Média e desvio padrão de variáveis aleatórias

o ponto de equilíbrio e uma distância típica a partir dele

A média (valor esperado) μ_X de uma variável aleatória é seu valor médio a longo prazo. O desvio padrão σ_X é uma distância típica entre seus valores e essa média.

Cada valor é ponderado por sua probabilidade:

\begin{aligned}\mu_X &= \sum x_i P(x_i) \\ &= 0(0.08) + 1(0.32) + 2(0.38) \\ &\quad + 3(0.15) + 4(0.07) = 1.81 \\ \sigma_X &= \sqrt{\textstyle\sum (x_i - \mu_X)^2 P(x_i)} \\ &= \sqrt{1.0339} = 1.017\end{aligned}

A média é o ponto de equilíbrio do histograma (a cunha vermelha). Ela não precisa ser um valor que X possa assumir: nenhuma família tem 1.81 carros.

No contexto. “Se muitas famílias fossem escolhidas ao acaso, o número médio de carros por família seria cerca de 1.81.” “O número de carros de uma família escolhida ao acaso costuma variar cerca de 1.02 carro(s) em relação à média de 1.81.”

A variância é σ²_X = 1.0339. Um atalho dá o mesmo número: Σx²P(x) − μ² = 4.31 − 1.81² = 1.0339.

Sob o eixo, a bola preta é a média de todas as famílias sorteadas até agora. Ela oscila e depois se fixa em μ: a lei dos grandes números, para médias.

4.9 · Combinando variáveis aleatórias

uma transformação linear: Y = a + bX

Somar uma constante a uma variável aleatória desloca sua média e não altera a dispersão. Multiplicar por uma constante multiplica ambas.

Uma roleta é girada uma vez. X, o número em que ela para, tem esta distribuição:

x	1	2	3	4
P(X = x)	0.4	0.3	0.2	0.1

μ_X = 2 e σ_X = 1. Custa US$7 para jogar, e o prêmio é US$3 vezes o número. O ganho líquido é Y = 3X − 7 dólares.

\begin{aligned}\mu_{a+bX} &= a + b\mu_X \\ \sigma_{a+bX} &= |b|\,\sigma_X \\ \mu_Y &= 3(2) - 7 = -1 \\ \sigma_Y &= 3(1) = 3\end{aligned}

A figura faz isso em dois passos. Multiplicar por 3 afasta as barras 3 vezes mais: a média e o desvio padrão triplicam. Subtrair 7 desliza todas as barras para baixo em 7: a média muda, a dispersão não. Nenhum dos passos altera as alturas, então a forma continua a mesma.

No contexto. Em muitas partidas, um jogador perde US$1 por partida, em média. Um jogador só ganha dinheiro quando X ≥ 3: P(Y > 0) = 0.3.

A variância é multiplicada por b²: σ²_Y = 3² × 1 = 9. Somar uma constante muda o centro (média, mediana, quartis); multiplicar muda o centro e todas as medidas de dispersão (DP, amplitude interquartil, amplitude).

4.9 · Somas e diferenças de variáveis aleatórias

as médias se somam; para variáveis independentes, as variâncias se somam

A média de uma soma é a soma das médias. Quando as variáveis são independentes, a variância de uma soma, e de uma diferença, é a soma das variâncias.

Gire a roleta (X, da página anterior) e lance um dado justo (Y, média 3.5, DP 1.708). O giro e o lançamento são independentes. O total T = X + Y tem a distribuição em vermelho, obtida somando todos os pares de resultados.

\begin{aligned}\mu_{X+Y} &= \mu_X + \mu_Y = 2 + 3.5 = 5.5 \\ \sigma^2_{X+Y} &= \sigma^2_X + \sigma^2_Y \\ &= 1.000 + 2.917 = 3.917 \\ \sigma_{X+Y} &= \sqrt{3.917} = 1.979\end{aligned}

Os desvios padrão não se somam: 1 + 1.71 = 2.71 é grande demais. Eles se combinam como os lados de um triângulo retângulo (à direita da figura).

Diferenças. D = Y − X tem média 3.5 − 2 = 1.5, e sua variância continua sendo σ²_X + σ²_Y, então σ_D = 1.979. Subtrair uma quantidade aleatória aumenta a variabilidade; nunca a diminui.

A regra das médias vale para quaisquer variáveis aleatórias. A regra da variância exige independência. E dois giros X₁ + X₂ não são 2X: seu DP é √2 σ_X, enquanto 2X tem DP 2σ_X.

Variáveis normais. A soma ou a diferença de variáveis aleatórias normais independentes é normal. Os dois trechos de um revezamento levam N(24, 1.5) e N(26.5, 2) minutos. O total é N(50.5, 2.5), com √(1.5² + 2²) = 2.5. P(total < 48) = P(z < −1.00) = 0.1587.

4.10 · Introdução à distribuição binomial

contando sucessos em n tentativas

Uma variável aleatória binomial conta os sucessos em um número fixo de tentativas independentes, todas com a mesma probabilidade de sucesso.

Verifique as quatro condições (BINS): Binária, cada tentativa é um sucesso ou um fracasso; tentativas Independentes; um Número fixo de tentativas, n; a Sama probabilidade de sucesso, p, em toda tentativa.

No tabuleiro, cada pino é uma tentativa e “direita” é um sucesso: n = 10, p = 0.5. X, o número de vezes à direita, é a casa onde a bola cai. Para cair na casa 6, a bola deve ir para a direita em 6 dos 10 pinos. Cada caminho desses tem probabilidade (1/2)¹⁰, e há C(10, 6) = 210 deles:

\begin{aligned}P(X = x) &= \binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x} \\ P(X = 6) &= \tbinom{10}{6}(0.5)^{6}(0.5)^{4} \\ &= \tfrac{210}{1024} = 0.205\end{aligned}

A casa 6 deveria receber 240 × 0.205 ≈ 49 das bolas; recebeu 47.

No contexto. Uma jogadora acerta 70% de seus lances livres e faz 10 lances, que tratamos como independentes. X, o número de acertos, é binomial com n = 10, p = 0.7.

P(X = 8) = C(10, 8)(0.7)⁸(0.3)² = 0.2335.
P(X ≥ 8) = 1 − P(X ≤ 7) = 1 − 0.6172 = 0.3828: “pelo menos” usa a probabilidade acumulada do complementar.

Não são binomiais: tirar cartas sem reposição (as tentativas não são independentes); contar os lançamentos até a primeira cara (não há n fixo: isso é a seção 4.12).

4.11 · Parâmetros de uma distribuição binomial

μ = np, σ = √(np(1 − p))

Uma distribuição binomial é determinada por seus dois parâmetros, n e p. A média e o desvio padrão decorrem deles.

\mu_X = np \qquad \sigma_X = \sqrt{np(1-p)}

Para o tabuleiro, μ = 10(0.5) = 5 e σ = √(10 × 0.5 × 0.5) = 1.58. As barras a menos de um σ da média, 4, 5, 6, reúnem 0.656 da probabilidade.

Estas são as regras da seção 4.9 em ação. X é a soma de 10 tentativas independentes, cada uma valendo 1 com probabilidade p e 0 caso contrário. Uma tentativa tem média p e variância p(1 − p). As médias se somam, e as variâncias também.

No contexto. Para os lances livres, μ = 10(0.7) = 7 e σ = √(10 × 0.7 × 0.3) = 1.45. “Em muitas séries de 10 lances livres, ela acerta 7 em média; o número de acertos costuma variar cerca de 1.45 em torno de 7.”

Forma. Com p = 0.5, a distribuição é simétrica. Com p próximo de 0 ou 1, ela é assimétrica, e menos assim à medida que n cresce. Quando np ≥ 10 e n(1 − p) ≥ 10, ela fica próxima da normal, que a unidade 5 usa.

A condição dos 10%. Amostrar sem reposição torna as tentativas dependentes. Se a amostra for de no máximo 10% da população, a dependência é pequena e o modelo binomial continua bom.

4.12 · A distribuição geométrica

tentativas até o primeiro sucesso

Uma variável aleatória geométrica conta as tentativas até o primeiro sucesso, inclusive, em tentativas independentes que têm a mesma probabilidade de sucesso.

Uma marca de cereal coloca um brinde em 20% das caixas. Abra as caixas uma a uma até achar um brinde; X é o número de caixas abertas. Não há número fixo de tentativas, então X não é binomial. Para o primeiro sucesso ocorrer na tentativa x (x = 1, 2, 3, …), as primeiras x − 1 tentativas devem falhar:

\begin{aligned}P(X = x) &= (1-p)^{x-1}p \\ P(X = 3) &= (0.8)^{2}(0.2) = 0.128\end{aligned}

Cada barra é 0.8 vezes a anterior, então a distribuição é sempre assimétrica à direita, e seu valor mais provável é sempre 1.

P(X ≤ 3) = 1 − P(nenhum brinde nas primeiras 3) = 1 − 0.8³ = 0.488.
P(X > 5) = 0.8⁵ = 0.328: as cinco primeiras caixas falham.

\begin{aligned}\mu_X &= \frac{1}{p} = 5 \\ \sigma_X &= \frac{\sqrt{1-p}}{p} = \frac{\sqrt{0.8}}{0.2} = 4.47\end{aligned}

No contexto. “Se isso fosse repetido muitas vezes, seriam necessárias em média 5 caixas para achar um brinde.” A figura mostra uma rodada após a outra: as caixas se abrem até a vermelha, e então a bola marca o X dessa rodada.