Distribuições amostrais · AP Statistics

Capítulo 5 · Distribuições amostrais

como uma estatística varia

Uma estatística calculada a partir de uma amostra aleatória muda de amostra para amostra. Sua distribuição amostral diz o quanto e com que padrão.

O quadro de cima é uma população: o número de livros que cada aluno de uma escola grande leu no verão passado. Ela é assimétrica à direita, com média μ = 2.54 livros e desvio padrão σ = 2.41 livros.

Dez alunos de cada vez são escolhidos ao acaso (em vermelho). A média deles, x̄, é onde o cone os equilibra, e ela cai no gráfico de pontos abaixo. Depois de 120 amostras, as médias têm centro em 2.45, próximo de μ, e desvio padrão de apenas 0.80. A pilha delas é bem mais simétrica que a população.

Este capítulo trata dessa pilha: por que as amostras diferem, o que o modelo normal diz sobre elas, e o centro, a dispersão e a forma das distribuições amostrais de p̂ e x̄, isoladas e como diferenças. Elas são a base de todo intervalo de confiança e teste das próximas unidades.

5.1 · Por que minha amostra não é igual à sua?

variabilidade amostral

Diferentes amostras aleatórias da mesma população dão valores diferentes de uma estatística. Isso é variabilidade amostral, e não é um erro.

As primeiras 4 amostras de 10 alunos da abertura, e suas médias:

\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}

amostra	livros lidos	x̄
1	0, 0, 0, 2, 2, 5, 0, 4, 2, 3	1.8
2	8, 0, 2, 0, 4, 1, 0, 2, 6, 1	2.4
3	0, 7, 2, 0, 1, 5, 3, 3, 0, 0	2.1
4	5, 1, 0, 1, 3, 0, 6, 1, 0, 8	2.5

Nenhuma amostra coincide exatamente com a média populacional, μ = 2.54; cada uma se afasta só por acaso. Quais alunos são escolhidos é aleatório, então a estatística também é.

A variação tem um padrão. Em muitas amostras, os valores de x̄ se agrupam em torno de μ, e amostras maiores se agrupam com mais firmeza. Conhecer esse padrão permite dizer o quão longe da verdade um resultado amostral provavelmente está e, assim, se um resultado é surpreendente.

A seleção aleatória é o que torna o padrão previsível. Uma amostra de conveniência, como os alunos de uma só turma, pode errar sempre na mesma direção, e nenhuma fórmula diz por quanto.

5.1 · Será só acaso?

estimando uma probabilidade por simulação

Uma simulação imita um processo aleatório muitas vezes. A fração das repetições em que algo acontece estima a sua probabilidade.

Uma câmara municipal afirma que metade dos eleitores, p = 0.5, apoia um novo parque. Em uma amostra aleatória de 40 eleitores, 26 disseram sim: p̂ = 0.650. Isso é mais do que o acaso produziria com facilidade, se a afirmação for verdadeira?

O modelo. Cada eleitor diz sim com probabilidade 0.5 (uma moeda, ou um dígito aleatório: 0–4 sim, 5–9 não). Uma tentativa são 40 eleitores; registre p̂. Repita 100 vezes. A figura faz isso: bolas vermelhas são sim.

O resultado. 4 das 100 amostras simuladas deram p̂ ≥ 0.650, então a probabilidade estimada é 4/100 = 0.04. (O valor binomial exato é 0.040.)

A conclusão. Se metade dos eleitores apoia o parque, um resultado pelo menos tão alto acontece só cerca de 4% das vezes. Isso é incomum, então a amostra dá alguma evidência de que mais da metade o apoia. Não prova que a afirmação está errada: resultados improváveis acontecem.

Uma segunda rodada de 100 daria uma contagem um pouco diferente. Mais repetições dão uma estimativa melhor da probabilidade.

5.2 · A distribuição normal, revisitada

áreas e valores de corte

Em uma distribuição normal, uma probabilidade é uma área sob a curva. Padronize e depois encontre a área.

Os pesos das maçãs de um pomar são aproximadamente normais, com μ = 150 g e σ = 12 g. Um escore z diz quantos desvios padrão um valor está da média:

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

Uma área. Que proporção das maçãs pesa entre 140 g e 165 g?

\begin{aligned} z_1 &= \frac{140 - 150}{12} = -0.83 \\ z_2 &= \frac{165 - 150}{12} = 1.25 \\ P(140 < X < 165) &= P(-0.83 < Z < 1.25) \\ &= 0.692 \end{aligned}

Cerca de 69.2% das maçãs (em vermelho). Acima de 165 g estão 0.106 delas.

Um ponto de corte. Quão pesada uma maçã deve ser para estar entre as 10% mais pesadas? O z com área 0.90 abaixo dele é 1.28, então x = 150 + 1.28 × 12 = 165.4 g (em azul).

Na prova, mostre o desenvolvimento: nomeie a distribuição e seus parâmetros, o limite e a área desejada, ou um esboço rotulado. Só a sintaxe da calculadora, como normalcdf(…), não vale ponto.

5.2 · Parâmetros e estatísticas

um número fixo e um aleatório

Um parâmetro descreve uma população; uma estatística descreve uma amostra. Uma estatística é usada para estimar um parâmetro.

	parâmetro	estatística
média	μ	x̄
desvio padrão	σ	s
proporção	p	p̂

O peso médio de todas as maçãs do pomar, μ = 150 g (azul), é um parâmetro: um número fixo, geralmente desconhecido. Uma amostra aleatória de 8 maçãs deu x̄ = 159.1 g e s = 17.0 g: estatísticas. A amostra seguinte deu x̄ = 150.8 g.

Como a amostra é aleatória, uma estatística é uma variável aleatória. Sua distribuição de probabilidade, os valores que ela assume em todas as amostras possíveis do mesmo tamanho, é a sua distribuição amostral.

Para distingui-los, pergunte se o número veio da população inteira (parâmetro) ou dos dados em mãos (estatística). Parâmetros usam letras gregas, ou p; estatísticas usam letras latinas, ou um acento circunflexo.

5.3 · O teorema central do limite

as médias se tornam normais

O teorema central do limite (TCL): quando n é grande o bastante, a distribuição amostral de x̄ é aproximadamente normal, qualquer que seja a forma da população.

A figura toma 400 amostras aleatórias de cada tamanho da população assimétrica da abertura e representa suas médias:

n	média das x̄	DP das x̄	σ/√n
2	2.64	1.79	1.71
10	2.53	0.77	0.76
30	2.53	0.43	0.44

Três coisas valem ao mesmo tempo. O centro permanece em μ = 2.54. A dispersão diminui como σ/√n. E a forma muda: em n = 2 as médias ainda são assimétricas à direita, em n = 30 a curva normal vermelha se ajusta bem a elas.

\mu_{\bar{x}} = \mu \qquad \sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

Quão grande é grande o bastante depende da população: quanto mais assimétrica, maior deve ser n. A regra prática da AP é n ≥ 30.

Um erro comum: o TCL trata da distribuição de x̄, não dos dados. Uma amostra grande de uma população assimétrica também parece assimétrica; são as médias de muitas dessas amostras que se acumulam em forma normal.

5.4 · Estimativas pontuais viesadas e não viesadas

pontaria e precisão

Uma estatística usada para estimar um parâmetro é um estimador pontual. Ele é não viesado quando a média de sua distribuição amostral é igual ao parâmetro.

Cada alvo é um estimador. O centro azul é o parâmetro; cada dardo é a estimativa de uma amostra aleatória.

Viés diz respeito ao centro. Os dois estimadores de cima se centram no alvo: não viesados. Os dois de baixo caem para um lado, amostra após amostra: viesados.

Variabilidade diz respeito à dispersão: o quanto as estimativas se espalham de amostra para amostra. Os dois da esquerda variam pouco, os dois da direita muito. O melhor estimador (vermelho) tem pouco viés e baixa variabilidade.

x̄ é um estimador não viesado de μ e p̂ de p: em 5.3, as x̄ se centraram em μ para todo n. O máximo da amostra é viesado para o máximo da população: nunca pode ser maior e geralmente é menor.

Amostras maiores reduzem a variabilidade, não o viés. Em 5.3, o DP de x̄ caiu de 0.77 em n = 10 para 0.43 em n = 30. Mas um método viesado, como uma pesquisa de resposta voluntária, continua viesado por mais que gente responda: só erra com mais precisão.

5.5 · A distribuição amostral de p̂

centro p, dispersão √(p(1 − p)/n)

A proporção amostral p̂ tem uma distribuição amostral com média p e um desvio padrão que diminui à medida que n cresce.

Em um distrito escolar com 8,000 alunos, 35% vão a pé para a escola (contas vermelhas). A figura toma amostras aleatórias de 50 alunos e lança o p̂ de cada amostra no gráfico de pontos.

\begin{aligned} \mu_{\hat{p}} &= p = 0.35 \\ \sigma_{\hat{p}} &= \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \\ &= \sqrt{\frac{0.35(0.65)}{50}} = 0.0675 \end{aligned}

	média de p̂	DP de p̂
100 amostras simuladas	0.353	0.0657
as fórmulas	0.35	0.0675

Interpretando o DP. Em amostras aleatórias de 50 alunos deste distrito, a proporção amostral dos que vão a pé varia tipicamente cerca de 0.067 em relação à proporção verdadeira, 0.35.

Como n está sob a raiz quadrada, quadruplicar o tamanho da amostra reduz o DP à metade: amostras de 200 dariam 0.0337.

5.5 · Quando p̂ é aproximadamente normal

as condições dos 10% e de contagens grandes

Duas condições nos permitem usar as fórmulas e um modelo normal para p̂. Verifique as duas, no contexto, antes de qualquer cálculo.

Condição dos 10%. Em amostragem sem reposição, as seleções são independentes o bastante quando n ≤ 10% da população. Aqui 50 ≤ 0.10(8,000) = 800, então σ_p̂ = 0.0675 pode ser usado.

Condição de contagens grandes. A distribuição amostral é aproximadamente normal quando np ≥ 10 e n(1 − p) ≥ 10. Aqui 50(0.35) = 17.5 e 50(0.65) = 32.5: ambos pelo menos 10. Com contagens menores, a distribuição é assimétrica, afastando-se da extremidade mais próxima, 0 ou 1.

Uma probabilidade. Qual a chance de uma amostra de 50 ter pelo menos 45% de alunos que vão a pé?

\begin{aligned} z &= \frac{0.45 - 0.35}{0.0675} = 1.48 \\ P(\hat{p} \ge 0.45) &= P(Z \ge 1.48) = 0.069 \end{aligned}

A cauda sombreada. Nas 100 amostras simuladas, 7 tiveram p̂ ≥ 0.45: 0.07, próximo do modelo.

Nessas condições use p, o parâmetro, e não p̂: a distribuição amostral pertence à proporção verdadeira.

5.6 · Diferenças de proporções amostrais

comparando dois grupos por proporção

Para duas amostras aleatórias independentes, a diferença p̂₁ − p̂₂ tem sua própria distribuição amostral, centrada em p₁ − p₂.

O distrito 1 é o distrito de 5.5: 35% vão a pé; amostras de 50. No distrito 2, 25% vão a pé; amostras de 60. Cada par de amostras gera uma diferença (a barra vermelha), que cai no gráfico de pontos.

\begin{aligned}\mu_{\hat{p}_1 - \hat{p}_2} &= p_1 - p_2 = 0.10 \\ \sigma_{\hat{p}_1 - \hat{p}_2} &= \sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1} + \frac{p_2(1-p_2)}{n_2}} \\ &= \sqrt{\frac{0.35(0.65)}{50} + \frac{0.25(0.75)}{60}} = 0.0876\end{aligned}

As variâncias se somam, mesmo numa diferença: duas fontes independentes de acaso fazem a diferença variar mais que qualquer uma sozinha. Os desvios padrão não se somam; as variâncias, sim.

Condições. Amostras aleatórias independentes; cada uma com menos de 10% da sua população; e as quatro contagens pelo menos 10: 17.5, 32.5, 15, 45. Então a distribuição amostral é aproximadamente normal.

Uma probabilidade. Com que frequência a amostra do distrito 2 mostraria a proporção maior?

\begin{aligned} z &= \frac{0 - 0.10}{0.0876} = -1.14 \\ P(\hat{p}_1 - \hat{p}_2 < 0) &= P(Z < -1.14) = 0.127 \end{aligned}

Cerca de 13% das vezes, mesmo que o distrito 1 tenha de fato mais alunos que vão a pé. Na figura, 11 de 100 diferenças ficaram abaixo de 0.

5.7 · A distribuição amostral de x̄

centro μ, dispersão σ/√n

A média amostral x̄ tem uma distribuição amostral com média μ e desvio padrão σ/√n.

\mu_{\bar{x}} = \mu \qquad \sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{12}{\sqrt{9}} = 4\ \text{g}

Para as maçãs do pomar, N(150, 12), a média de peso de uma amostra aleatória de 9 tem desvio padrão de 4 g: a curva vermelha, com um terço da largura da população.

Forma. Se a população é normal, x̄ é normal para qualquer n. Se não for, o TLC torna x̄ aproximadamente normal quando n ≥ 30. Com uma amostra pequena de uma população assimétrica ou desconhecida, nenhum dos dois vale, e um cálculo normal não se justifica. A fórmula do desvio padrão também exige a condição dos 10%.

Uma probabilidade. Uma maçã acima de 155 g tem z = (155 − 150)/12 = 0.42. A média de 9 acima de 155 g tem z = (155 − 150)/4 = 1.25:

\begin{aligned} P(X > 155) &= P(Z > 0.42) = 0.338 \\ P(\bar{x} > 155) &= P(Z > 1.25) = 0.106 \end{aligned}

Uma maçã pesada é comum; uma média pesada de 9 não é, porque maçãs leves e pesadas numa amostra se compensam. O erro mais comum é dividir por σ quando a pergunta é sobre x̄.

5.8 · Diferenças de médias amostrais

comparando dois grupos por média

Para amostras aleatórias independentes de duas populações, x̄₁ − x̄₂ tem média μ₁ − μ₂, e sua variância é a soma das duas variâncias.

As maçãs da variedade A pesam N(150, 12) gramas e as da variedade B, N(140, 10). Tome 9 maçãs A e 16 maçãs B ao acaso e compare suas médias (a barra vermelha no quadro de cima).

\begin{aligned}\mu_{\bar{x}_1 - \bar{x}_2} &= \mu_1 - \mu_2 = 150 - 140 = 10\ \text{g} \\ \sigma_{\bar{x}_1 - \bar{x}_2} &= \sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}} \\ &= \sqrt{\frac{12^2}{9} + \frac{10^2}{16}} = 4.72\ \text{g}\end{aligned}

Forma. As duas populações são normais, então a diferença é normal. Caso contrário, cada amostra precisa de n ≥ 30 para o TLC. Cada amostra também deve ter menos de 10% da sua população, e as amostras devem ser independentes entre si.

Uma probabilidade. Qual a chance de a amostra B sair mais pesada, em média?

\begin{aligned} z &= \frac{0 - 10}{4.72} = -2.12 \\ P(\bar{x}_A - \bar{x}_B < 0) &= P(Z < -2.12) = 0.017 \end{aligned}

Rara: com esses tamanhos de amostra, a variedade mais pesada quase sempre mostra a média mais pesada. Amostras menores deixariam a curva vermelha mais larga e a área sombreada maior.