Statistics · AP Statistics
Explorando dados de uma variável
forma, centro e dispersão
A estatística é a ciência de aprender com dados, e os dados variam.
40 alunos de uma turma responderam a duas perguntas: como você vai à escola e quantos minutos leva? Na figura, cada bola é um aluno, caindo na reta numérica no seu tempo de deslocamento.
Nenhuma manhã é igual à outra. Os tempos vão de 8 a 56 minutos, e cerca de três quartos deles são de 26 ou menos. Esse padrão, quais valores ocorrem e com que frequência, é a distribuição da variável.
Abaixo dos pontos, um histograma conta os mesmos tempos em classes de 5 minutos, e abaixo dele um gráfico acumulado os soma.
Este capítulo dá nome aos tipos de variáveis, os representa em tabelas e gráficos, descreve uma distribuição por sua forma, centro e dispersão, mede cada uma com um número e termina com o modelo mais útil de todos: a distribuição normal.
o que podemos aprender com dados?
Dados são informações sobre indivíduos; uma variável é uma característica que muda de um indivíduo para outro.
Aqui os indivíduos são os 40 alunos. A bola vermelha é o aluno 5: vai de bus, 29 minutos. Um aluno é uma linha do conjunto de dados; cada variável é uma coluna.
| student | mode | tempo (min) |
|---|
| 1 | walk | 8 |
| 2 | bike | 13 |
| 3 | bike | 14 |
| 4 | car | 12 |
| 5 | bus | 29 |
Uma pergunta estatística espera variabilidade na resposta. “Quanto tempo o aluno 5 leva para chegar à escola?” tem uma só resposta. “Quanto tempo os alunos desta turma levam para chegar à escola?” tem 40 e pergunta sobre a distribuição deles.
A variação está em toda parte, então um padrão nos dados pode ser real ou fruto do acaso. A estatística separa os dois. As perguntas que ela faz são sempre as mesmas: quem foi medido, o que foi medido, como, e o que se pode concluir sobre quem.
Essas 40 respostas descrevem esta turma. Conclusões sobre todos os alunos da escola exigiriam uma amostra aleatória deles (Capítulo 3).
variáveis categóricas e quantitativas
Uma variável categórica coloca cada indivíduo em um grupo. Uma variável quantitativa dá a cada indivíduo um número que pode ser contado ou medido.
Como um aluno se desloca (a pé, de bicicleta, de ônibus, de carro) é categórico. O tempo de deslocamento em minutos é quantitativo: fazer contas com ele tem sentido, e seus valores ficam em uma escala numérica.
Na figura, as mesmas 40 bolas se movem entre as duas visões. Na reta numérica, cada uma fica no seu tempo; separadas por meio de transporte, formam quatro grupos. Os indivíduos não mudam, apenas a variável que observamos.
As variáveis quantitativas são discretas (contagens que podem ser listadas: o número de irmãos) ou contínuas (medições em um intervalo: um tempo, uma altura).
Cuidado. Nem todo número é quantitativo. Um CEP ou o número de uma camisa identifica um grupo; sua média não significa nada, então é categórico. Uma variável quantitativa pode virar categórica por agrupamento: “mais de 20 minutos, sim ou não.”
frequência e frequência relativa
Uma tabela de frequências lista cada categoria com sua contagem. Uma tabela de frequências relativas dá cada contagem como uma proporção do total.
| mode | frequency | frequência relativa | percent |
|---|
| walk | 7 | 0.175 | 17.5% |
| bike | 8 | 0.200 | 20.0% |
| bus | 14 | 0.350 | 35.0% |
| car | 11 | 0.275 | 27.5% |
| total | 40 | 1.000 | 100.0% |
As frequências relativas somam 1 (ou 100%), exceto por arredondamento. Elas permitem comparar grupos de tamanhos diferentes: uma turma de 25 e uma escola de 2000 podem ter, cada uma, 35% de usuários de ônibus.
No contexto. 14 dos 40 alunos, uma proporção de 14/40 = 0.350, vão de ônibus: a forma mais comum de esta turma chegar à escola.
A categoria mais comum é a moda de uma variável categórica. Uma tabela com duas variáveis categóricas juntas, uma tabela de dupla entrada, aparece no Capítulo 2.
gráficos de barras e gráficos de setores
Um gráfico de barras desenha cada categoria como uma barra cuja altura é sua frequência ou frequência relativa. Um gráfico de setores dá a cada categoria uma fatia do círculo, proporcional à sua frequência.
As barras de um gráfico de barras ficam separadas, pois não há escala entre as categorias, e a ordem delas é uma escolha. Ordená-las pela altura facilita ver a maior.
O ângulo de uma fatia é sua frequência relativa × 360°: a fatia do ônibus é 0.350 × 360° = 126°. Um gráfico de setores só funciona quando as categorias formam um todo e cada indivíduo está em exatamente uma delas.
Descrevendo uma distribuição categórica. Cite as categorias mais e menos frequentes e compare com proporções, no contexto: “35% dos alunos vão de ônibus, mais do que qualquer outro meio; 17.5% vão a pé.”
Gráficos enganosos. Um gráfico de barras cujo eixo vertical não começa em zero exagera as diferenças. Figuras e gráficos de setores em 3D, que mudam a área e a profundidade além da altura, também exageram. Leia a escala antes da forma.
gráficos de pontos, ramo-e-folhas, histogramas e gráficos acumulados
Um gráfico de uma variável quantitativa mostra sua distribuição na reta numérica: onde estão os valores e como se agrupam e se espalham.
Um gráfico de pontos coloca um ponto por indivíduo acima do seu valor. Um diagrama de ramo-e-folhas separa cada valor em um ramo (aqui, as dezenas) e uma folha (as unidades):
| 0 | 8 8 8 9 9 9 |
|---|
| 1 | 0 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 4 5 7 7 7 8 |
|---|
| 2 | 2 2 2 3 4 5 6 6 8 8 9 9 |
|---|
| 3 | 0 5 5 8 |
|---|
| 4 | |
|---|
| 5 | 6 |
|---|
Legenda: 1 | 4 significa 14 minutos. Ambos mantêm todos os valores.
Um histograma conta os valores em intervalos iguais, ou classes, aqui com 5 minutos de largura; as barras se tocam, porque a escala é contínua. Um tempo de exatamente 15 vai na classe de 15 a 20. Uma largura de classe diferente pode mudar a imagem, então escolha uma que mostre a forma sem esconder detalhes.
Um gráfico acumulado marca, no final de cada classe, a proporção de valores abaixo dela. Ele permite ler percentis: 70% da turma levou menos de 25 minutos, e o gráfico cruza 0.5 na mediana, cerca de 17 minutos.
forma, centro, dispersão e características incomuns
Descreva uma distribuição por sua forma, centro, dispersão e quaisquer características incomuns, sempre no contexto dos dados.
Forma. Simétrica: os dois lados são aproximadamente um espelho do outro. Assimétrica à direita: uma cauda longa em direção aos valores maiores. Assimétrica à esquerda: uma cauda longa em direção aos valores menores. A assimetria recebe o nome da cauda, não do pico. Conte também os picos: unimodal, bimodal (dois agrupamentos, muitas vezes dois grupos misturados) ou uniforme (sem pico claro).
Características incomuns. Lacunas (trechos sem valores), agrupamentos e valores atípicos: valores distantes dos demais.
A turma, descrita. A distribuição dos tempos de deslocamento é unimodal e assimétrica à direita, com pico entre 10 e 15 minutos. A mediana é cerca de 17 minutos, e os tempos vão de 8 a 56 minutos. Há uma lacuna de 38 a 56 minutos, e 56 minutos é um possível valor atípico.
As palavras “cerca de” e “aproximadamente” cabem aqui: a forma é avaliada a olho. 1.7 e 1.8 dão números ao centro e à dispersão e trazem uma regra para valores atípicos.
média, mediana e qual delas resiste
A média é a soma dos valores dividida pela quantidade deles. A mediana é o valor do meio quando estão em ordem.
Nove alunos da turma, em ordem: 8, 8, 8, 9, 12, 13, 14, 26, 29. A média é 127/9 = 14.1 minutos. A mediana é o 5º dos 9 valores, 12 minutos. Com uma quantidade par, a mediana é a média dos dois valores do meio.
A média é o ponto de equilíbrio. Coloque os valores em uma barra: ela se equilibra em x̄ (vermelho), onde as distâncias de cada lado se anulam. A mediana (azul) só conta: metade dos valores de cada lado.
Resistência. Na figura, o deslocamento de 29 minutos vai até 59. A média o acompanha, até 17.4 minutos; a mediana fica em 12. A mediana é resistente a valores extremos; a média não é.
Assim, em uma distribuição assimétrica à direita a média é puxada em direção à cauda, ficando acima da mediana: para a turma toda, x̄ = 19.4 e a mediana é 17. Assimétrica à esquerda, a média fica abaixo da mediana. Para uma distribuição assimétrica ou com valores atípicos, informe a mediana.
amplitude, intervalo interquartil e desvio padrão
O desvio padrão mede a distância típica dos valores até a média.
| x | x − x̄ | (x − x̄)² |
|---|
| 8 | −6.11 | 37.35 |
| 13 | −1.11 | 1.23 |
| 14 | −0.11 | 0.01 |
| 12 | −2.11 | 4.46 |
| 29 | 14.89 | 221.68 |
| 26 | 11.89 | 141.35 |
| 9 | −5.11 | 26.12 |
| 8 | −6.11 | 37.35 |
| 8 | −6.11 | 37.35 |
Os desvios (vermelho) somam zero; seus quadrados somam 506.89. Divida por n − 1 = 8 para obter a variância, s² = 63.36, e tire a raiz quadrada: s = 7.96 minutos.
Interprete no contexto: esses nove tempos de deslocamento variam tipicamente cerca de 8.0 minutos em relação à média de 14.1 minutos. s é 0 somente quando todos os valores são iguais e, como a média, não é resistente.
A amplitude é máx − mín. Os quartis Q1 e Q3 são as medianas das metades inferior e superior (deixando de fora a própria mediana quando n é ímpar); a amplitude interquartil, AIQ = Q3 − Q1, é a dispersão da metade central e é resistente. O percentil p é o valor com p% dos dados abaixo dele.
Para a turma toda: amplitude 48, AIQ 26 − 11 = 15, s = 10.4 minutos.
somar e multiplicar todos os valores
Somar uma constante a todos os valores desloca o centro e mantém a dispersão. Multiplicar todos os valores por uma constante multiplica ambos.
Dez temperaturas máximas diárias em °C, convertidas para °F por F = 1.8C + 32. A figura faz isso em duas etapas: cada valor × 1.8 (os pontos se afastam), depois + 32 (eles se movem juntos).
| mean | median | SD | IQR |
|---|
| °C | 21.3 | 22 | 2.95 | 6 |
| °F | 70.34 | 71.6 | 5.30 | 10.8 |
Para y = a + bx (b > 0): as medidas de centro e posição (média, mediana, quartis, percentis) viram a + b × o valor antigo. As medidas de dispersão (amplitude, AIQ, desvio padrão) são multiplicadas por b e ignoram a. A variância é multiplicada por b². A forma não muda.
O erro comum: somar 32 ao desvio padrão. Deslocar todos os valores move todos juntos; as distâncias entre eles, e até a média, continuam iguais.
o boxplot e a regra de 1.5 × IQR
Um boxplot desenha o resumo de cinco números: uma caixa de Q1 a Q3, uma linha na mediana e hastes até o menor e o maior valores que não são atípicos.
| min | Q1 | median | Q3 | max |
|---|
| 8 | 11 | 17 | 26 | 56 |
A regra de 1.5 × AIQ. Um valor é atípico se estiver a mais de 1.5 × AIQ abaixo de Q1 ou acima de Q3:
Nenhum tempo está abaixo de −11.5; 56 está acima de 48.5, então é atípico e é desenhado separado. A haste direita para em 38, o maior tempo que não é atípico. Outra regra usada por alguns: mais de 2 desvios padrão da média, aqui acima de 40.2.
Um boxplot mostra a assimetria: aqui a haste direita é mais longa e a mediana fica mais perto de Q1, então os tempos são assimétricos à direita. Ele esconde o resto: a lacuna, o número de picos e n. Cada quarto dos dados, e não cada quarto do comprimento, contém cerca de um quarto dos valores.
forma, centro, dispersão e valores atípicos, lado a lado
Para comparar distribuições, desenhe-as na mesma escala e compare forma, centro, dispersão e características incomuns, no contexto e com palavras comparativas.
| n | min | Q1 | median | Q3 | max | IQR |
|---|
| bus | 14 | 17 | 22 | 26 | 30 | 38 | 8 |
| car | 11 | 8 | 10 | 12 | 28 | 56 | 18 |
Forma. Os deslocamentos de ônibus são aproximadamente simétricos. Os de carro são assimétricos à direita, com um valor atípico em 56 minutos (acima de Q3 + 1.5 × AIQ = 55).
Centro. A mediana do deslocamento de ônibus, 26 minutos, é 14 minutos maior que a mediana do deslocamento de carro, 12 minutos.
Dispersão. Os deslocamentos de carro variam mais: uma AIQ de 18 minutos contra 8, e uma amplitude de 48 contra 21.
Compare medianas e AIQs quando a distribuição é assimétrica ou tem valores atípicos. Listas de números não são uma comparação: diga qual é maior. Gráficos para comparar: gráficos de pontos lado a lado, boxplots paralelos, ramo-e-folhas back-to-back e histogramas empilhados na mesma escala.
a regra empírica e os escores z
Uma distribuição normal é simétrica, unimodal e em forma de sino. Ela é determinada pela média μ e pelo desvio padrão σ, escrita N(μ, σ).
As alturas de mulheres adultas são próximas de N(163, 7) em cm. O histograma mostra 200 delas, desenhado de modo que sua área seja 1, com a curva normal sobreposta. μ e σ descrevem um modelo ou uma população; x̄ e s descrevem os dados (aqui 163.7 e 6.9 cm).
A regra empírica. Em qualquer distribuição normal, cerca de 68% dos valores ficam a até 1σ de μ, 95% a até 2σ e 99.7% a até 3σ.
| within | 1 DP | 2 DP | 3 DP |
|---|
| modelo normal | 68% | 95% | 99.7% |
| as 200 alturas | 73.0% | 94.5% | 99.5% |
Escores z. Um escore padronizado diz quantos desvios padrão um valor está da média e em que direção:
Uma mulher com 175 cm de altura está 1.71 desvios padrão acima da altura média. Os escores z permitem comparar valores em escalas diferentes; padronizar produz uma distribuição com média 0 e DP 1, a normal padrão.
áreas, percentis e o valor em um percentil
Em um modelo normal, a proporção de valores em um intervalo é a área sob a curva sobre ele.
Abaixo de um valor. Que proporção das mulheres é mais baixa que 170 cm?
Cerca de 84.1% das mulheres são mais baixas que 170 cm: 170 cm está aproximadamente no percentil 84. Acima dele fica 1 − 0.841 = 0.159.
Entre dois valores. P(155 < X < 170) = P(-1.14 < Z < 1.00) = 0.715.
Um valor a partir de um percentil. O percentil 90 tem área 0.90 à sua esquerda, em z = 1.282:
Mostre a resolução como a prova pede: nomeie a distribuição e seus parâmetros, marque o limite e a área desejada (um esboço), dê o escore z ou o comando da calculadora com as entradas identificadas (normalcdf: lower 155, upper 170, μ = 163, σ = 7) e responda no contexto.
verificando a normalidade dos dados
Antes de usar um modelo normal para dados, verifique se os dados parecem normais. Muitas distribuições reais não são.
Faça o gráfico dos dados. Um modelo normal exige um gráfico de pontos ou histograma aproximadamente simétrico e unimodal, sem outliers.
Verifique a regra empírica. Conte os valores a até 1, 2 e 3 desvios padrão da média. As alturas dão 73.0%, 94.5%, 99.5%, próximo de 68, 95, 99.7.
Observe um gráfico de probabilidade normal. Cada valor é marcado contra o escore z que teria se os dados fossem exatamente normais. Dados normais ficam próximos de uma reta, como as alturas. Dados assimétricos se curvam: os tempos de deslocamento sobem em curva à direita, a longa cauda direita.
A regra empírica sozinha pode enganar. 72.5% dos tempos de deslocamento estão a até um DP da média, próximo de 68%. Mas x̄ − 2s = 19.4 − 2(10.4) = −1.4 minutos, um tempo impossível: um modelo normal colocaria cerca de 2.3% dos deslocamentos abaixo dele. Quando a média está a menos de dois DP acima de um piso de 0, suspeite de assimetria à direita.
Explorando dados de duas variáveis →