Statistics · AP Statistics
Meneroka data dua pemboleh ubah
plot serakan dan garis kuasa dua terkecil
Dua perkara diukur pada setiap individu: adakah satu memberitahu anda tentang yang lain, dan sejauh mana?
Ahli sains forensik menganggar ketinggian seseorang daripada satu tulang. Rajah memplot panjang femur (tulang paha) melawan ketinggian bagi 14 orang dewasa. Orang yang lebih tinggi mempunyai femur yang lebih panjang, dan titik-titiknya terletak hampir pada satu garis lurus.
Garis yang mana? Garis cuba yang dilukis melalui titik-titik itu tersasar daripada setiap titik sebanyak satu baki, berwarna merah. Kuasa duakan setiap baki (petak merah) dan jumlahkan luasnya. Apabila garis cuba berputar, jumlah luas berubah; garis kuasa dua terkecil ialah garis yang menjadikannya paling kecil: di sini ŷ = 49.8 + 2.64x, dengan jumlah luas 126 cm².
Bab ini bermula dengan pemboleh ubah kategori (jadual dua hala, graf bar, peratusan bersyarat), kemudian memerihalkan plot serakan, mengukur perkaitan linear dengan korelasi r, menyuaikan dan menyemak garis kuasa dua terkecil, dan bertanya apakah kesan satu titik luar biasa, atau satu lengkung, terhadapnya.
corak, atau kebetulan?
Dua pemboleh ubah berkait apabila mengetahui nilai satu memberitahu anda sesuatu tentang nilai yang lain.
Statistik bermula dengan soalan tentang variasi. Adakah orang dewasa yang femurnya lebih panjang cenderung lebih tinggi? Adakah cara seorang pelajar pergi ke sekolah bergantung pada tempat tinggalnya? Setiap soalan memasangkan dua pemboleh ubah yang diukur pada individu yang sama.
Data sentiasa berubah-ubah, jadi sesetengah corak boleh muncul secara kebetulan sahaja. Rajah ini menguji perkara itu. Di sebelah kiri ialah pasangan sebenar, r = 0.95. Di sebelah kanan, 14 ketinggian yang sama dikocok secara rawak di antara 14 femur yang sama, berulang kali. Pengocokan memutuskan sebarang kaitan sebenar, jadi apa-apa corak yang tinggal ialah kebetulan.
Di bawah ialah korelasi bagi setiap satu daripada 40 kocokan. Ia bertaburan di sekitar 0, dan yang paling jauh ialah −0.81. 0.95 yang sebenar melebihi kesemuanya: kebetulan sahaja bukan penjelasan yang boleh dipercayai bagi corak sekuat ini.
Itulah penaakulan seluruh kursus ini secara ringkas: tanya apa yang akan dihasilkan oleh kebetulan sahaja, dan lihat sama ada data kelihatan seperti itu. Unit-unit kemudian menjadikannya tepat.
jadual dua hala dan graf bar
Jadual dua hala mengira individu dalam setiap gabungan dua pemboleh ubah kategori.
300 pelajar ditanya di mana mereka tinggal dan bagaimana mereka biasanya pergi ke sekolah:
| berjalan kaki atau berbasikal | bus | car | jumlah |
|---|
| city | 48 | 36 | 16 | 100 |
|---|
| suburb | 22 | 50 | 48 | 120 |
|---|
| rural | 6 | 30 | 44 | 80 |
|---|
| jumlah | 76 | 116 | 108 | 300 |
|---|
Jumlah di tepi ialah kiraan marginal: setiap pemboleh ubah secara bersendirian. 108 daripada 300 pelajar datang dengan kereta, walau di mana pun tempatnya.
Bar bersebelahan (kiri) melukis kiraan. Ia mudah dibaca tetapi sukar dibandingkan apabila saiz kumpulan berbeza: ada 120 pelajar pinggir bandar tetapi hanya 80 pelajar luar bandar, jadi kiraan mengelirukan.
Bar tersegmen (kanan) mengatasi masalah itu: setiap kumpulan ialah satu bar setinggi 100%, dipotong mengikut bahagian pelajarnya sendiri. Pelajar luar bandar datang dengan kereta pada 55% masa, pelajar bandar 16%. Plot mozek (2.3) juga menjadikan lebar setiap bar sepadan dengan saiz kumpulannya.
Pilih pemboleh ubah yang membahagikan bar mengikut soalan. Untuk membandingkan cara tempat-tempat berulang-alik, buat satu bar bagi setiap tempat.
tiga jenis frekuensi relatif
Frekuensi relatif membahagikan suatu kiraan dengan suatu jumlah. Jumlah yang anda gunakan sebagai pembahagi menentukan maknanya.
- Tercantum: satu sel dibahagi dengan jumlah jadual. 44 daripada 300 murid tinggal di luar bandar dan datang dengan kereta: 44/300 = 14.7%.
- Sut: jumlah satu baris atau lajur dibahagi dengan jumlah jadual. 108/300 = 36% daripada semua murid datang dengan kereta.
- Bersyarat: satu sel dibahagi dengan jumlah baris atau lajurnya sendiri. Daripada murid luar bandar, 44/80 = 55% datang dengan kereta. Daripada penumpang kereta, 44/108 = 40.7% tinggal di luar bandar.
Dua yang terakhir berbeza: ‘daripada murid luar bandar, bahagian yang menaiki kereta’ dan ‘daripada penumpang kereta, bahagian yang tinggal di luar bandar’ dibahagi dengan jumlah yang berbeza. Baca ayat itu untuk kumpulan yang disebut selepas daripada, atau selepas diberi: jumlah itulah penyebutnya.
Plot mozek menunjukkan ketiga-tiganya sekali gus. Lebar setiap lajur ialah bahagian sut tempat itu; tinggi setiap blok ialah bahagian bersyarat dalam tempat itu; maka luas setiap blok ialah bahagian tercantum. Blok kereta di luar bandar ialah 14.7% daripada keseluruhan mozek.
bandingkan taburan bersyarat
Dua pemboleh ubah kategori berkaitan apabila taburan bersyarat satu pemboleh ubah berbeza merentasi kategori pemboleh ubah yang lain.
Taburan bersyarat cara perjalanan, bagi setiap tempat, dan bagi semua murid bersama:
| berjalan kaki atau berbasikal | bus | car |
|---|
| city | 48% | 36% | 16% |
|---|
| suburb | 18% | 42% | 40% |
|---|
| rural | 8% | 38% | 55% |
|---|
| semua | 25% | 39% | 36% |
|---|
Jika cara perjalanan tidak bergantung pada tempat, setiap baris akan sepadan dengan baris ‘semua’, dan bar bersegmen akan terpotong pada ketinggian yang sama. Ia tidak begitu: bahagian kereta meningkat daripada 16% di bandar kepada 40% di pinggir bandar dan 55% di luar bandar, manakala berjalan kaki atau berbasikal menurun daripada 48% kepada 8%. Terdapat kaitan antara tempat tinggal murid dengan cara mereka ke sekolah.
Bandingkan peratusan, bukan kiraan. 48 penumpang kereta di pinggir bandar melebihi 44 di luar bandar, tetapi bahagian murid pinggir bandar yang datang dengan kereta lebih kecil.
Kaitan dalam data bukan bukti sebab. Tinggal di luar bandar tidak semestinya menyebabkan pemanduan: jarak ke sekolah, pemboleh ubah yang tiada dalam jadual, mungkin menjelaskan sebahagian besarnya. Bab 8 menguji sama ada perbezaan sedemikian boleh berlaku secara kebetulan (ujian χ²).
arah, bentuk, kekuatan dan ciri luar biasa
Plot serakan menunjukkan dua pemboleh ubah kuantitatif yang diukur pada individu yang sama, satu titik bagi setiap individu.
Pemboleh ubah penerang diletakkan pada paksi-x: pemboleh ubah yang boleh menerangkan atau meramalkan. Pemboleh ubah sambutan diletakkan pada paksi-y: hasilnya. Di sini panjang femur menerangkan tinggi.
| femur (cm) | 39.0 | 39.8 | 40.7 | 40.9 | 40.9 | 43.1 | 43.5 |
|---|
| ketinggian (cm) | 154.3 | 152.9 | 160.5 | 162.1 | 156.1 | 159.8 | 162.2 |
|---|
| femur (cm) | 44.1 | 45.2 | 46.5 | 46.9 | 47.2 | 48.7 | 49.8 |
|---|
| ketinggian (cm) | 163.3 | 168.2 | 169.7 | 180.1 | 172.3 | 178.2 | 183.1 |
|---|
Huraikan plot serakan melalui empat ciri, dalam konteks:
- Arah: positif (x lebih besar bersama y lebih besar), negatif, atau tiada.
- Bentuk: linear, melengkung, atau berkelompok.
- Kekuatan: sejauh mana titik mengikuti bentuk itu: kuat, sederhana atau lemah.
- Ciri luar biasa: titik terpencil, jurang, kelompok.
Di sini: terdapat kaitan linear yang kuat dan positif antara panjang femur dengan tinggi bagi orang dewasa ini, tanpa titik terpencil yang jelas. Plot kecil menunjukkan corak lain: satu yang negatif dan lebih lemah, satu lengkung yang kuat, dan satu tanpa kaitan.
kekuatan kaitan linear, sebagai satu nombor
Korelasi r mengukur arah dan kekuatan kaitan linear antara dua pemboleh ubah kuantitatif.
Piawaikan setiap pemboleh ubah: zx dan zy menunjukkan berapa sisihan piawai suatu nilai dari minnya. Garis pada min membahagikan plot kepada empat sukuan. Titik di atas dan kanan (atau bawah dan kiri) mempunyai hasil darab zxzy positif, segi empat merah; atas dan kiri atau bawah dan kanan, negatif, biru.
Tambah luas bertanda dan bahagikan dengan n − 1. Bagi femur, 14 hasil darab berjumlah 12.305, dan 12.305/13 = 0.947. Hampir semua luas berwarna merah: kaitan positif yang kuat.
r terletak antara −1 dengan 1. Tandanya ialah arah; saiznya ialah kekuatan: hampir ±1 titik terletak dekat dengan garis, hampir 0 tiada corak linear. Tafsirkan dalam konteks: r = 0.95 bermakna terdapat kaitan linear yang kuat dan positif antara panjang femur dengan tinggi.
Dalam peperiksaan, cari r dengan kalkulator; fahami maknanya.
hanya linear, sensitif kepada titik terpencil, bukan sebab-akibat
r ialah ringkasan corak garis lurus. Sentiasa lihat plot serakan dahulu.
- Linear sahaja. Plot merah mempunyai hubungan melengkung yang kuat, namun r = −0.02. r hampir 0 bermakna tiada kaitan linear, bukan tiada kaitan. r yang tinggi juga tidak membuktikan garis ialah bentuk yang betul.
- Tiada unit. r kekal sama jika unit mana-mana pemboleh ubah berubah: dengan femur dalam inci, r masih 0.947. Menukar x dan y tidak mengubahnya.
- Tidak rintang. Seperti min, r boleh banyak berubah akibat satu titik terpencil (2.9).
- Bukan sebab-akibat. Korelasi yang kuat tidak bermakna mengubah x mengubah y. Pemboleh ubah pendam mungkin mempengaruhi kedua-duanya (jualan ais krim dan kes lemas sama-sama meningkat dalam cuaca panas musim panas), atau hubungan itu mungkin berlaku sebaliknya. Hanya eksperimen yang direka bentuk dengan baik (Bab 3) menunjukkan sebab.
Empat plot kecil: kuat, positif, linear, r = 0.97; sederhana, negatif, linear, r = −0.71; kuat, melengkung, r = −0.02; tiada perkaitan, r = 0.01.
garis untuk meramal y daripada x
Garis regresi memodelkan bagaimana sambutan y berubah dengan penerang x, dan meramalkan y bagi suatu x.
ŷ (y-topi) ialah nilai ramalan, bukan nilai cerapan: tulis topinya. b ialah kecerunan dan a pintasan-y. Tulis model dalam konteks: tinggi ramalan = 49.8 + 2.64 (panjang femur).
Meramal. Bagi femur 45.0 cm, ŷ = 49.8 + 2.64(45.0) = 168.5 cm. Itulah purata tinggi yang diberikan model bagi orang dewasa dengan panjang femur itu; mana-mana seorang daripada mereka mungkin lebih tinggi atau lebih rendah.
Ekstrapolasi ialah meramal di luar julat x dalam data, di sini 39.0 hingga 49.8 cm. Garis itu tiada bukti di sana: bentuknya mungkin berubah. Femur kanak-kanak 30 cm memberikan ŷ = 128.9 cm, daripada model yang dibina hanya untuk orang dewasa. Dalam rajah, titik menjadi kelabu apabila keluar daripada julat data.
apa yang terlepas oleh garis, dan plot reja
Reja ialah nilai cerapan tolak nilai ramalannya: sejauh mana titik terletak di atas atau di bawah garis.
Orang dewasa dengan femur 46.9 cm itu setinggi 180.1 cm. Garis meramalkan 173.5 cm, maka rejanya ialah 180.1 − 173.5 = 6.6 cm: 6.6 cm lebih tinggi daripada ramalan. Reja negatif bermakna garis terlebih anggar. Bagi garis kuasa dua terkecil, jumlah reja ialah 0.
Plot reja memplot setiap reja terhadap x (atau terhadap ŷ). Dalam rajah, setiap reja jatuh dari plot serakan ke plot di bawah: garis dibaringkan rata pada 0.
- Tiada corak, serakan sekata di sekitar 0: model linear sesuai. Itulah yang ditunjukkan oleh femur.
- Lengkung dalam reja: hubungan itu tidak linear; bentuk lain akan lebih sesuai (2.9).
- Kipas, serakan bertambah dengan x: ramalan kurang jitu bagi x yang lebih besar.
Plot reja menunjukkan corak yang tertinggal dengan lebih jelas daripada plot serakan, kerana arah aliran garis telah dikeluarkan.
garis yang menjadikan kuasa dua reja paling kecil
Garis regresi kuasa dua terkecil ialah garis yang menjadikan hasil tambah kuasa dua reja sekecil mungkin.
Di sebelah kanan, hasil tambah kuasa dua reja bagi setiap kecerunan (setiap garis melalui titik min): sebuah parabola, paling rendah pada b = 2.64. Mana-mana kecerunan lain memberikan jumlah yang lebih besar.
Maka garis itu sentiasa melalui (x̄, ȳ) = (44.02, 165.91), dan kecerunannya mempunyai tanda r. Pertambahan satu sisihan piawai dalam x meramalkan pertambahan r sisihan piawai dalam y: kurang daripada satu, iaitu ‘regresi ke arah min’.
Mentafsir. Kecerunan: bagi setiap penambahan 1 cm panjang femur, tinggi ramalan bertambah kira-kira 2.64 cm. Pintasan: orang dewasa dengan femur 0 cm akan mempunyai tinggi ramalan 49.8 cm; itu ekstrapolasi dan tidak bermakna di sini, seperti selalunya bagi pintasan.
Meregresikan x atas y memberikan garis yang berbeza. Ramalkan sambutan daripada pemboleh ubah penerang, bukan sebaliknya.
sejauh mana garis itu sesuai, dan sejauh mana ia biasanya tersasar
Dua nombor menunjukkan sejauh mana baiknya ramalan garis itu: pekali penentuan r2 dan sisihan piawai reja s.
Perisian mencetak garis itu seperti ini:
| Peramal | Pekali | SE Pekali |
|---|
| Pemalar | 49.807 | 11.454 |
| Femur | 2.6375 | 0.2594 |
S = 3.2393 R-sq = 89.6%
Baca a di sebelah Pemalar dan b di sebelah pemboleh ubah penerang: ŷ = 49.8 + 2.64x. (SE Pekali untuk Bab 9.)
r2 = 89.6%: tanpa garis itu, jumlah kuasa dua sisihan tinggi daripada ȳ ialah 1210 cm²; pada garis itu, 126. Garis itu menghapuskan 1 − 126/1210 = 89.6% daripadanya. Dalam konteks: kira-kira 89.6% variasi tinggi diterangkan oleh model linear dengan panjang femur.
s = 3.24 cm, daripada reja (bahagikan dengan n − 2):
Dalam konteks: tinggi sebenar biasanya berbeza daripada tinggi yang diramalkan oleh garis itu sebanyak kira-kira 3.2 cm. Jalur biru ialah ŷ ± s.
apa yang boleh dilakukan satu titik pada garis
Satu titik luar biasa boleh mengubah regresi dengan banyak, atau hampir tidak langsung. Kedudukannya menentukan yang mana.
- Titik terpencil dalam regresi ialah titik dengan reja yang besar: jauh di atas atau di bawah garis.
- Titik leverej tinggi mempunyai nilai x yang jauh daripada x̄. Ia berupaya mencondongkan garis.
- Titik berpengaruh ialah titik yang apabila dibuang, mengubah kecerunan, pintasan atau korelasi dengan ketara. Titik leverej tinggi selalunya begitu.
Titik merah ditambah kepada 14 orang dewasa dan digerakkan. Garis kelabu ialah tanpa titik itu:
| titik ke-15 | b | a | r |
|---|
| tiada | 2.64 | 49.8 | 0.947 |
| (66, 223.9) | 2.64 | 49.8 | 0.985 |
| (66, 197.9) | 1.76 | 88.0 | 0.931 |
| (44, 183.9) | 2.64 | 51.1 | 0.846 |
Jauh di kanan dan pada garis: leverej tinggi tetapi tidak berpengaruh pada kecerunan; malah ia menaikkan r. Jauh di kanan dan di bawah garis: ia menarik kecerunan daripada 2.64 kepada 1.76, berpengaruh. Dekat x̄ dan jauh di atas: titik terpencil yang menurunkan r kepada 0.846 tetapi hampir tidak menggerakkan kecerunan.
Jangan sekadar memadam titik yang luar biasa. Semak sama ada ia ralat; jika ia sebenar, laporkan penyuaian dengan dan tanpa titik itu.
logaritma meluruskan pertumbuhan eksponen
Apabila plot serakan melengkung, penjelmaan pemboleh ubah boleh menjadikannya linear; kemudian garis kuasa dua terkecil boleh memodelkannya.
Satu kultur bakteria dikira setiap jam selama 10 jam. Bilangan itu melengkung ke atas: setiap jam mendarabkan bilangan, bukan menambahnya. Garis menyuai dengan buruk walaupun r = 0.900: plot rejanya jelas melengkung.
Ambil logaritma bagi bilangan itu. Pertumbuhan eksponen menjadi linear: rajah bergerak antara kedua-duanya. Terhadap t, log10(bilangan) lurus, r = 0.998, dan rejanya tidak menunjukkan corak.
Meramal memerlukan penjelmaan dibatalkan. Pada t = 8.5 jam: log10(bilangan) = 1.594 + 0.1626(8.5) = 2.976, jadi bilangan ≈ 102.976 = 946. Kecerunan menunjukkan bilangan yang diramalkan didarab dengan 100.1626 = 1.454 setiap jam.
Lengkung lain memerlukan penjelmaan lain: log y terhadap log x meluruskan model kuasa, y = axb; punca kuasa dua atau salingan boleh meluruskan yang lain. Pilih penjelmaan yang plot rejanya tidak menunjukkan corak.
← Meneroka data satu pemboleh ubah · Pengumpulan data →