Meneroka data satu pemboleh ubah · AP Statistics

Bab 1 · Meneroka data satu pemboleh ubah

bentuk, pusat dan serakan

Statistik ialah sains belajar daripada data, dan data berubah-ubah.

40 pelajar dalam satu kelas menjawab dua soalan: bagaimana anda ke sekolah, dan berapa minit masa yang diambil? Dalam rajah, setiap bola ialah seorang pelajar, jatuh ke atas garis nombor pada masa perjalanannya.

Tiada dua pagi yang serupa. Masanya antara 8 hingga 56 minit, kira-kira tiga perempat daripadanya 26 atau kurang. Corak itu, nilai yang mana berlaku dan seberapa kerap, ialah taburan pemboleh ubah itu.

Di bawah titik-titik itu, histogram mengira masa yang sama dalam selang 5 minit, dan di bawahnya graf longgokan menjumlahkannya.

Bab ini menamakan jenis pemboleh ubah, melukisnya dalam jadual dan graf, memerihalkan taburan melalui bentuk, pusat dan serakan, mengukur setiap satu dengan nombor, dan berakhir dengan model yang paling berguna: taburan normal.

1.1 · Pengenalan kepada statistik

apakah yang boleh kita pelajari daripada data?

Data ialah maklumat tentang individu; pemboleh ubah ialah ciri yang berubah dari satu individu ke individu seterusnya.

Di sini individunya ialah 40 pelajar. Bola merah ialah pelajar 5: pergi dengan bus, 29 minit. Seorang pelajar ialah satu baris set data; setiap pemboleh ubah ialah satu lajur.

student	mode	masa (min)
1	walk	8
2	bike	13
3	bike	14
4	car	12
5	bus	29

Soalan statistik menjangkakan kebolehubahan dalam jawapannya. “Berapa lama pelajar 5 mengambil masa untuk ke sekolah?” hanya ada satu jawapan. “Berapa lama pelajar dalam kelas ini mengambil masa untuk ke sekolah?” ada 40, dan bertanya tentang taburannya.

Kepelbagaian ada di mana-mana, jadi corak dalam data mungkin benar atau mungkin kebetulan. Statistik membezakan kedua-duanya. Soalan yang ditanya sentiasa sama: siapa yang diukur, apa yang diukur, bagaimana, dan apa yang boleh disimpulkan tentang siapa.

40 jawapan ini memerihalkan kelas ini. Kesimpulan tentang semua pelajar di sekolah memerlukan sampel rawak daripada mereka (Bab 3).

1.2 · Bahasa variasi

pemboleh ubah kategori dan kuantitatif

Pemboleh ubah kategori meletakkan setiap individu dalam satu kumpulan. Pemboleh ubah kuantitatif memberi setiap individu satu nombor yang boleh dikira atau diukur.

Cara pelajar pergi ke sekolah (jalan kaki, basikal, bas, kereta) ialah kategori. Masa perjalanan dalam minit ialah kuantitatif: aritmetik padanya bermakna, dan nilainya terletak pada skala nombor.

Dalam rajah, 40 bola yang sama bergerak antara dua paparan. Pada garis nombor, setiap satu terletak pada masanya; apabila diisih mengikut cara perjalanan, ia jatuh ke dalam empat kumpulan. Individunya tidak berubah, hanya pemboleh ubah yang kita lihat.

Pemboleh ubah kuantitatif ialah diskret (bilangan yang boleh disenaraikan: bilangan adik-beradik) atau selanjar (ukuran pada suatu selang: masa, ketinggian).

Berhati-hati. Nombor tidak selalunya kuantitatif. Poskod atau nombor jersi melabelkan kumpulan; puratanya tidak bermakna, jadi ia kategori. Pemboleh ubah kuantitatif boleh dijadikan kategori melalui pengumpulan: “lebih daripada 20 minit, ya atau tidak.”

1.3 · Mewakilkan pemboleh ubah kategori dengan jadual

kekerapan dan kekerapan relatif

Jadual kekerapan menyenaraikan setiap kategori dengan bilangannya. Jadual kekerapan relatif memberikan setiap bilangan sebagai perkadaran daripada jumlah.

\text{relative frequency} = \frac{\text{frequency}}{\text{total}}

mode	frequency	kekerapan relatif	percent
walk	7	0.175	17.5%
bike	8	0.200	20.0%
bus	14	0.350	35.0%
car	11	0.275	27.5%
total	40	1.000	100.0%

Kekerapan relatif berjumlah 1 (atau 100%), selain pembundaran. Ia membolehkan kumpulan yang berbeza saiz dibandingkan: kelas 25 orang dan sekolah 2000 orang masing-masing boleh 35% penumpang bas.

Dalam konteks. 14 daripada 40 pelajar, perkadaran 14/40 = 0.350, menaiki bas: cara paling biasa kelas ini ke sekolah.

Kategori yang paling biasa ialah mod bagi pemboleh ubah kategori. Jadual bagi dua pemboleh ubah kategori bersama, jadual dua hala, terdapat dalam Bab 2.

1.4 · Mewakilkan pemboleh ubah kategori dengan graf

carta bar dan carta pai

Carta palang melukis setiap kategori sebagai palang yang tingginya ialah frekuensi atau frekuensi relatifnya. Carta pai memberi setiap kategori satu sektor bulatan secara berkadar.

Palang dalam carta palang berasingan, kerana kategori tidak mempunyai skala di antaranya, dan susunannya ialah satu pilihan. Menyusunnya mengikut ketinggian memudahkan kategori terbesar dilihat.

Sudut sektor pai ialah frekuensi relatifnya × 360°: sektor bas ialah 0.350 × 360° = 126°. Carta pai hanya sesuai apabila kategori membentuk satu keseluruhan dan setiap individu berada dalam tepat satu kategori.

Memerihalkan taburan kategori. Namakan kategori yang paling kerap dan paling jarang, dan bandingkan dengan perkadaran, dalam konteks: “35% pelajar menaiki bas, lebih daripada mana-mana mod lain; 17.5% berjalan kaki.”

Graf mengelirukan. Carta palang yang paksi mencancangnya tidak bermula pada sifar membesar-besarkan perbezaan. Gambar dan carta pai 3D yang mengubah luas dan kedalaman selain ketinggian juga begitu. Baca skala sebelum melihat bentuk.

1.5 · Mewakili pemboleh ubah kuantitatif dengan graf

plot titik, plot batang dan daun, histogram dan graf longgokan

Graf pemboleh ubah kuantitatif menunjukkan taburannya pada garis nombor: di mana nilai berada, dan bagaimana ia berkelompok dan tersebar.

Plot titik meletakkan satu titik bagi setiap individu di atas nilainya. Plot batang dan daun memisahkan setiap nilai kepada batang (di sini puluh) dan daun (sa):

0	8 8 8 9 9 9
1	0 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 4 5 7 7 7 8
2	2 2 2 3 4 5 6 6 8 8 9 9
3	0 5 5 8
4
5	6

Kunci: 1 | 4 bermaksud 14 minit. Kedua-duanya mengekalkan setiap nilai.

Histogram mengira nilai dalam sela yang sama, atau bin, di sini selebar 5 minit; palangnya bersentuhan, kerana skalanya selanjar. Masa tepat 15 masuk dalam bin 15 hingga 20. Lebar bin yang berbeza boleh mengubah gambaran, maka pilih satu yang menunjukkan bentuk tanpa menyembunyikan butiran.

Graf longgokan memplot, pada hujung setiap bin, perkadaran nilai di bawahnya. Ia membaca persentil: 70% kelas mengambil masa kurang daripada 25 minit, dan graf merentas 0.5 pada median, kira-kira 17 minit.

1.6 · Memerihalkan taburan pemboleh ubah kuantitatif

bentuk, pusat, serakan dan ciri luar biasa

Perihalkan taburan melalui bentuk, pusat, serakan dan sebarang ciri luar biasa, sentiasa dalam konteks data.

Bentuk. Simetri: kedua-dua belah lebih kurang mencerminkan satu sama lain. Pencong kanan: ekor panjang ke arah nilai lebih besar. Pencong kiri: ekor panjang ke arah nilai lebih kecil. Pencongan dinamakan mengikut ekornya, bukan puncaknya. Kira juga puncaknya: unimodal, bimodal (dua kelompok, selalunya dua kumpulan bercampur), atau seragam (tiada puncak yang jelas).

Ciri luar biasa. Jurang (rentang tanpa nilai), kelompok, dan data terpencil: nilai yang jauh daripada yang lain.

Kelas itu, diperihalkan. Taburan masa perjalanan ialah unimodal dan pencong kanan, memuncak pada 10 hingga 15 minit. Median kira-kira 17 minit, dan masa berjulat daripada 8 hingga 56 minit. Terdapat jurang daripada 38 hingga 56 minit, dan 56 minit mungkin data terpencil.

Perkataan “kira-kira” dan “lebih kurang” sesuai di sini: bentuk dinilai dengan mata. 1.7 dan 1.8 memberi angka kepada pusat dan serakan serta memberi petua untuk data terpencil.

1.7 · Statistik ringkasan: pusat

min, median, dan yang mana tahan terhadap nilai ekstrem

Min ialah jumlah nilai dibahagi bilangannya. Median ialah nilai tengah apabila nilai disusun mengikut tertib.

\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}

Sembilan murid dalam kelas, mengikut tertib: 8, 8, 8, 9, 12, 13, 14, 26, 29. Min ialah 127/9 = 14.1 minit. Median ialah nilai ke-5 daripada 9 nilai, 12 minit. Jika bilangannya genap, median ialah min bagi dua nilai tengah.

Min ialah titik imbang. Letakkan nilai pada alang: ia seimbang pada x̄ (merah), di mana jarak pada kedua-dua belah saling membatalkan. Median (biru) hanya mengira: separuh nilai pada setiap belah.

Kerintangan. Dalam rajah, perjalanan 29 minit bergerak ke 59. Min mengikutinya, ke 17.4 minit; median kekal pada 12. Median adalah rintang terhadap nilai ekstrem; min tidak.

Maka dalam taburan pencong kanan min tertarik ke arah ekor, melebihi median: bagi seluruh kelas x̄ = 19.4 dan median ialah 17. Jika pencong kiri, min di bawah median. Bagi taburan pencong atau yang mempunyai data terpencil, laporkan median.

1.7 · Statistik ringkasan: serakan

julat, IQR dan sisihan piawai

Sisihan piawai mengukur jarak tipikal nilai daripada minnya.

s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}}

x	x − x̄	(x − x̄)²
8	−6.11	37.35
13	−1.11	1.23
14	−0.11	0.01
12	−2.11	4.46
29	14.89	221.68
26	11.89	141.35
9	−5.11	26.12
8	−6.11	37.35
8	−6.11	37.35

Sisihan (merah) berjumlah sifar; kuasa duanya berjumlah 506.89. Bahagi dengan n − 1 = 8 untuk mendapat varians, s² = 63.36, dan ambil punca kuasa dua: s = 7.96 minit.

Tafsirkan dalam konteks: sembilan masa perjalanan ini biasanya berbeza kira-kira 8.0 minit daripada minnya iaitu 14.1 minit. s ialah 0 hanya apabila setiap nilai sama, dan seperti min ia tidak rintang.

Julat ialah maks − min. Kuartil Q₁ dan Q₃ ialah median bagi separuh bawah dan separuh atas (median itu sendiri ditinggalkan apabila n ganjil); julat antara kuartil, IQR = Q₃ − Q₁, ialah serakan bagi separuh tengah, dan rintang. Persentil ke-p ialah nilai dengan p% data di bawahnya.

Bagi seluruh kelas: julat 48, IQR 26 − 11 = 15, s = 10.4 minit.

1.7 · Menukar unit

menambah dan mendarab setiap nilai

Menambah pemalar pada setiap nilai menganjakkan pusat dan tidak mengubah serakan. Mendarab setiap nilai dengan pemalar mendarabkan kedua-duanya.

Sepuluh suhu tertinggi harian dalam °C, ditukar kepada °F melalui F = 1.8C + 32. Rajah melakukannya dalam dua langkah: setiap nilai × 1.8 (titik-titik merenggang), kemudian + 32 (semuanya bergerak bersama).

	mean	median	SD	IQR
°C	21.3	22	2.95	6
°F	70.34	71.6	5.30	10.8

\begin{aligned}\bar{x}_F &= 1.8\,\bar{x}_C + 32 = 1.8(21.3) + 32 = 70.34 \\ s_F &= 1.8\,s_C = 1.8(2.946) = 5.30\end{aligned}

Bagi y = a + bx (b > 0): ukuran pusat dan kedudukan (min, median, kuartil, persentil) menjadi a + b × nilai lama. Ukuran serakan (julat, IQR, SD) didarab dengan b dan tidak dipengaruhi a. Varians didarab dengan b². Bentuk tidak berubah.

Kesilapan lazim: menambah 32 pada sisihan piawai. Menganjakkan setiap nilai menggerakkan semuanya bersama; jarak antara nilai, dan daripada minnya, kekal sama.

1.8 · Perwakilan grafik bagi statistik ringkasan

plot kotak dan peraturan 1.5 × IQR

Plot kotak melukis ringkasan lima nombor: kotak daripada Q₁ hingga Q₃, garis pada median, dan misai ke nilai terkecil dan terbesar yang bukan data terpencil.

min	Q₁	median	Q₃	max
8	11	17	26	56

Petua 1.5 × IQR. Nilai ialah data terpencil jika ia terletak lebih daripada 1.5 × IQR di bawah Q₁ atau di atas Q₃:

\begin{aligned}\text{IQR} &= 26 - 11 = 15 \\ Q_1 - 1.5\,\text{IQR} &= 11 - 22.5 = -11.5 \\ Q_3 + 1.5\,\text{IQR} &= 26 + 22.5 = 48.5\end{aligned}

Tiada masa di bawah −11.5; 56 berada di atas 48.5, maka ia data terpencil, dilukis berasingan. Misai kanan berhenti pada 38, masa terbesar yang bukan data terpencil. Petua lain yang digunakan sesetengah orang: lebih daripada 2 sisihan piawai daripada min, di sini melebihi 40.2.

Plot kotak menunjukkan pencongan: di sini misai kanan lebih panjang dan median lebih dekat dengan Q₁, maka masa adalah pencong kanan. Ia menyembunyikan yang lain: jurang, bilangan puncak, dan n. Setiap suku data, bukan setiap suku panjang, memuatkan kira-kira suku daripada nilai.

1.9 · Membandingkan taburan pemboleh ubah kuantitatif

bentuk, pusat, serakan dan data terpencil, bersebelahan

Untuk membandingkan taburan, lukis pada satu skala dan bandingkan bentuk, pusat, serakan dan ciri luar biasa, dalam konteks dan dengan perkataan perbandingan.

	n	min	Q₁	median	Q₃	max	IQR
bus	14	17	22	26	30	38	8
car	11	8	10	12	28	56	18

Bentuk. Perjalanan dengan bas lebih kurang simetri. Perjalanan dengan kereta pencong kanan, dengan data terpencil pada 56 minit (melebihi Q₃ + 1.5 × IQR = 55).

Pusat. Median perjalanan dengan bas, 26 minit, ialah 14 minit lebih lama daripada median perjalanan dengan kereta, 12 minit.

Serakan. Perjalanan dengan kereta lebih berubah-ubah: IQR 18 minit berbanding 8, dan julat 48 berbanding 21.

Bandingkan median dan IQR apabila taburan pencong atau mempunyai data terpencil. Senarai nombor bukan perbandingan: nyatakan yang mana lebih besar. Graf untuk membandingkan: plot titik bersebelahan, plot kotak selari, plot batang dan daun berbelakang-belakang, dan histogram yang disusun pada skala yang sama.

1.10 · Taburan normal

peraturan empirik dan skor-z

Taburan normal adalah simetri, berpuncak tunggal dan berbentuk loceng. Ia ditentukan oleh min μ dan sisihan piawai σ, ditulis N(μ, σ).

Ketinggian wanita dewasa hampir mengikut N(163, 7) dalam cm. Histogram ialah 200 daripada mereka, dilukis supaya luasnya 1, dengan lengkung normal di atasnya. μ dan σ memerihalkan model atau populasi; x̄ dan s memerihalkan data (di sini 163.7 dan 6.9 cm).

Petua empirik. Dalam sebarang taburan normal, kira-kira 68% nilai terletak dalam lingkungan 1σ daripada μ, 95% dalam 2σ dan 99.7% dalam 3σ.

within	1 SD	2 SD	3 SD
model normal	68%	95%	99.7%
ketinggian 200	73.0%	94.5%	99.5%

Skor-z. Skor piawai menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai daripada min, dan ke arah mana:

z = \frac{x - \mu}{\sigma} = \frac{175 - 163}{7} = 1.71

Seorang wanita setinggi 175 cm ialah 1.71 sisihan piawai di atas min ketinggian. Skor-z membandingkan nilai pada skala berbeza; pempiawaian menghasilkan taburan dengan min 0 dan SD 1, iaitu normal piawai.

1.10 · Pengiraan normal

luas, persentil dan nilai pada suatu persentil

Dalam model normal, perkadaran nilai dalam suatu selang ialah luas di bawah lengkung di atasnya.

Di bawah suatu nilai. Berapakah perkadaran wanita yang lebih pendek daripada 170 cm?

\begin{aligned}z &= \frac{170 - 163}{7} = 1.00 \\ P(X < 170) &= P(Z < 1.00) \\ &= 0.841\end{aligned}

Kira-kira 84.1% wanita lebih pendek daripada 170 cm: 170 cm berada pada persentil ke-84 kira-kira. Di atasnya ialah 1 − 0.841 = 0.159.

Antara dua nilai. P(155 < X < 170) = P(-1.14 < Z < 1.00) = 0.715.

Nilai daripada persentil. Persentil ke-90 mempunyai luas 0.90 di sebelah kirinya, pada z = 1.282:

\begin{aligned}x &= \mu + z\sigma \\ &= 163 + 1.282(7) = 172.0\ \text{cm}\end{aligned}

Tunjukkan penyelesaian seperti yang dikehendaki dalam peperiksaan: namakan taburan dan parameternya, tandakan sempadan dan luas yang dikehendaki (lakaran), berikan skor-z atau arahan kalkulator dengan input berlabel (normalcdf: lower 155, upper 170, μ = 163, σ = 7), dan jawab dalam konteks.

1.10 · Adakah model normal munasabah?

menyemak kenormalan data

Sebelum menggunakan model normal untuk data, semak bahawa data kelihatan normal. Banyak taburan sebenar tidak normal.

Lukis graf data. Model normal memerlukan plot titik atau histogram yang kira-kira simetri dan berpuncak tunggal, tanpa data terpencil.

Semak petua empirik. Kira nilai dalam 1, 2 dan 3 sisihan piawai daripada min. Ketinggian memberikan 73.0%, 94.5%, 99.5%, hampir 68, 95, 99.7.

Lihat plot kebarangkalian normal. Setiap nilai diplot terhadap skor-z yang akan dimilikinya jika data betul-betul normal. Data normal jatuh dekat satu garis lurus, seperti ketinggian. Data pencong melengkung: masa perjalanan melengkung ke atas di sebelah kanan, iaitu ekor kanan yang panjang.

Petua empirik sahaja boleh mengelirukan. 72.5% masa perjalanan berada dalam lingkungan satu SD daripada min, hampir 68%. Tetapi x̄ − 2s = 19.4 − 2(10.4) = −1.4 minit, masa yang mustahil: model normal akan meletakkan kira-kira 2.3% perjalanan di bawahnya. Apabila min kurang daripada dua SD di atas lantai 0, syaki pencongan ke kanan.