Inferens untuk perkadaran · AP Statistics

Bab 6 · Inferens untuk perkadaran

selang dan ujian bagi p

Perkadaran sampel menganggar perkadaran populasi. Inferens menyatakan setakat mana kita boleh mempercayainya.

Dalam rajah, 50 sampel rawak yang terdiri daripada 500 orang dewasa diambil dari satu bandar, dengan perkadaran p = 0.60 menyokong lorong basikal baharu. Rajah itu tahu p; tinjauan sebenar tidak pernah tahu.

Setiap sampel memberikan p̂ tersendiri (satu titik) dan selang keyakinan 95% di sekelilingnya (satu batang). Garis menegak ialah p. 47 daripada 50 selang merentasinya; 3, berwarna merah, terlepas.

Bab ini membina selang tersebut dan menjelaskan maksud dan bukan maksud “yakin 95%”. Kemudian soalan dipusingkan: ujian keertian bertanya sama ada sampel akan mengejutkan jika suatu nilai p yang dituntut benar, dan apakah ralat yang boleh timbul daripada keputusan itu. Akhir sekali, dua alat yang sama untuk beza antara dua perkadaran.

6.1 · Mengapa normal?

taburan pensampelan bagi p̂

Perkadaran sampel berbeza dari satu sampel ke sampel lain. Apabila sampel cukup besar, taburannya hampir normal, jadi model normal dapat menunjukkan keputusan yang luar biasa.

Dalam rajah, sampel rawak diambil daripada populasi dengan p = 0.1, dan p̂ setiap sampel jatuh ke dalam histogram: sampel 20 di sebelah kiri, 200 di sebelah kanan. Lengkung merah ialah model normal.

\mu_{\hat p} = p \qquad \sigma_{\hat p} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}

p̂ berpusat pada p: ia penganggar saksama. Serakannya mengecil apabila n bertambah: σ ialah 0.067 bagi n = 20 dan 0.021 bagi n = 200. Sampel 10 kali ganda, serakan √10 kali lebih kecil.

Bilangan besar. Bentuknya hampir normal apabila np ≥ 10 dan n(1 − p) ≥ 10. Dengan n = 20, np = 2: histogram condong ke kanan dan bertimbun di 0, dan lengkung normal meletakkan 6.8% daripada luasnya di bawah 0, tempat p̂ tidak boleh berada. Dengan n = 200, np = 20 dan n(1 − p) = 180: lengkung itu sepadan.

Syarat 10%. Rumus bagi σ mengandaikan cerapan yang tak bersandar. Apabila persampelan tanpa pengembalian, ini cukup tepat jika sampel tidak melebihi 10% daripada populasi.

Contoh. Dengan n = 200, berapa besar kemungkinan p̂ ≥ 0.15? z = (0.15 − 0.1)/0.0212 = 2.36, dan P(Z ≥ 2.36) = 0.0092. Sampel sejauh itu di atas 0.1 sangat luar biasa jika berpunca daripada kebetulan sahaja.

6.2 · Membina selang keyakinan

statistik ± (nilai genting)(ralat piawai)

Satu selang keyakinan memberikan julat nilai yang munasabah bagi p: p̂ sampel, tambah dan tolak margin ralat.

Satu sampel rawak 500 orang dewasa di sebuah bandar: 290 menyokong lorong basikal baharu, jadi p̂ = 290/500 = 0.580. Selang z satu sampel bagi p:

\begin{aligned}\hat p &\pm z^*\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}} \\ &= 0.580 \pm 1.960\sqrt{\frac{(0.58)(0.42)}{500}} \\ &= 0.580 \pm 0.043 = (0.537,\ 0.623)\end{aligned}

z* = 1.960 bagi 95%: 95% tengah bagi normal piawai terletak antara −1.960 dan 1.960. Ralat piawai menggunakan p̂ sebagai ganti p yang tidak diketahui. Margin ralat ialah z* × SE = 0.043.

syarat	semakan
Rawak	sampel rawak orang dewasa
10%	500 ≤ 10% daripada 820,000 orang dewasa di bandar itu
Bilangan besar	np̂ = 290 dan n(1 − p̂) = 210, kedua-duanya ≥ 10

Mengapa ia berfungsi. Dalam 95% sampel, p̂ jatuh dalam lingkungan 1.96σ daripada p (jalur biru). Apabila itu berlaku, selang yang menjangkau 1.96 SE pada setiap sisi p̂ akan merentasi p. Dalam rajah, sampel 6 jatuh di luar jalur, dan selangnya terlepas.

Dalam peperiksaan, namakan prosedur, semak syarat, buat pengiraan, dan nyatakan selang dalam konteks.

6.2 · Margin ralat dan saiz sampel

memilih n sebelum pensampelan

Margin ralat mengecil apabila n bertambah, tetapi perlahan: seperti 1/√n. Untuk merancang tinjauan, pilih margin dahulu, kemudian selesaikan untuk n.

\begin{aligned}&z^*\sqrt{\frac{p^*(1-p^*)}{n}} \le \text{ME} \\ &n \ge \Big(\frac{z^*}{\text{ME}}\Big)^2 p^*(1-p^*)\end{aligned}

p* ialah andaian bagi p. Jika tiada, gunakan p* = 0.5: ia menjadikan p*(1 − p*) = 0.25, nilai terbesarnya, jadi n yang diperoleh mencukupi walau apa pun nilai p.

Contoh. Margin paling besar 0.03 pada keyakinan 95%:

n \ge \Big(\frac{1.960}{0.03}\Big)^2(0.5)(0.5) = 1067.1

jadi n = 1068. Sentiasa bundarkan ke atas: 1067 akan memberikan margin sedikit melebihi 0.03. Dengan anggaran kajian perintis p* = 0.2, 683 sudah cukup (lengkung biru).

Untuk mengurangkan margin separuh, sampel perlu empat kali ganda: n berada di bawah punca kuasa dua.

Margin ralat hanya meliputi variasi kebetulan dalam persampelan rawak. Ia tidak menunjukkan apa-apa tentang pincang akibat liputan kurang, ketidakberetusan atau soalan yang mengarahkan.

6.3 · Mentafsir selang keyakinan

maksud yakin 95%, dan bukan maksudnya

Selang ialah tuntutan tentang p. Aras keyakinan ialah tuntutan tentang kaedah yang menghasilkannya.

Selang. “Kita 95% yakin bahawa selang dari 0.537 hingga 0.623 merangkumi perkadaran benar semua orang dewasa di bandar itu yang menyokong lorong basikal.” Namakan parameter, dalam konteks.

Aras keyakinan. “Jika kita mengambil banyak sampel rawak sebanyak 500 dan membina selang 95% daripada setiap satu, kira-kira 95% selang akan merangkumi perkadaran benar.” Dalam rajah, 47 daripada 50 berbuat demikian; 3 yang merah terlepas, dan tiada apa-apa tentangnya yang memberi amaran kepada kita.

Bukan: “terdapat kebarangkalian 95% bahawa p berada antara 0.537 dengan 0.623.” p adalah tetap; selang ini sama ada merangkumi atau tidak. Ia juga bukan tentang 95% orang dewasa, atau 95% perkadaran sampel.

Mewajarkan tuntutan. Setiap nilai dalam selang ialah nilai munasabah bagi p.

tuntutan	daripada (0.537, 0.623)
majoriti menyokongnya, p > 0.5	meyakinkan: setiap nilai munasabah berada di atas 0.5
p = 0.60	munasabah: ia berada dalam selang
p ≥ 0.65	tidak munasabah: selang berada di bawahnya

Munasabah tidak bermakna terbukti: selang tidak menunjukkan bahawa p = 0.60, hanya bahawa 0.60 tidak boleh diketepikan.

6.3 · Aras keyakinan dan lebar

keyakinan lebih tinggi menambah lebar; data lebih banyak mengembalikannya

Aras keyakinan yang lebih tinggi memerlukan z* yang lebih besar, maka selang yang lebih lebar. Sampel yang lebih besar mengecilkan ralat piawai, maka selang juga mengecil.

aras	z*	margin ralat	selang
90%	1.645	0.036	(0.544, 0.616)
95%	1.960	0.043	(0.537, 0.623)
99%	2.576	0.057	(0.523, 0.637)
95%, n = 2,000	1.960	0.022	(0.558, 0.602)

Semuanya daripada p̂ = 0.58 yang sama. Dalam rajah, selang merah menyapu merentasi aras dari 80.0% hingga 99.5%; selang biru mempunyai sampel empat kali ganda, dan separuh margin ralat.

Selang 99% menangkap p lebih kerap, tetapi menyatakan kurang. Mahukan kedua-dua keyakinan tinggi dan selang sempit bermakna sampel yang lebih besar.

Aras keyakinan dipilih sebelum data; ia bukan kebarangkalian bahawa satu selang tertentu betul. Aras mahupun n tidak mengubah pusat selang: p̂.

6.4 · Menyediakan ujian

hipotesis dan syarat, dengan p₀

Suatu ujian signifikan menilai sama ada sampel memberikan bukti yang meyakinkan terhadap suatu dakwaan tentang p.

Sebuah pengeluar telefon mendakwa 25% telefonnya perlu dibaiki dalam tempoh dua tahun. Sebuah kumpulan pengguna mengesyaki lebih ramai. Dalam sampel rawak 400 telefon pengeluar itu, 118 perlu dibaiki: p̂ = 0.295.

H_0\!: p = 0.25 \qquad H_a\!: p > 0.25

dengan p ialah perkadaran semua telefon pengeluar itu yang perlu dibaiki dalam tempoh dua tahun. Hipotesis nol H₀ ialah dakwaan, “tiada beza daripada 0.25”; hipotesis alternatif H_a ialah perkara yang ingin dicari buktinya oleh kumpulan itu. Hipotesis adalah tentang parameter p, tidak pernah tentang p̂, dan ditetapkan sebelum data dilihat.

H_a adalah satu hujung (> atau <) apabila soalan mempunyai arah, dan dua hujung (≠) apabila sebarang beza penting.

syarat	semakan
Rawak	sampel rawak telefon pengeluar itu
10%	400 ≤ 10% daripada semua telefonnya
Bilangan besar	np₀ = 100 dan n(1 − p₀) = 300, kedua-duanya ≥ 10

Bilangan besar menggunakan p₀, bukan p̂: ujian ini mengira apa yang akan berlaku jika H₀ benar. Rajah melukis 200 sampel sebanyak 400 daripada p = 0.25; sampel-sampel itu menumpu sekitar lengkung normal dengan pusat 0.25 dan sisihan piawai 0.0217.

z = \frac{\hat p - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}} = \frac{0.295 - 0.25}{0.0217} = 2.08

6.5 · Mentafsir nilai-p

betapa mengejutkan, jika H₀ benar

Nilai p ialah kebarangkalian, dengan andaian H₀ benar, untuk mendapat statistik sekurang-kurangnya seekstrem yang dicerap, ke arah H_a.

\text{p-value} = P(Z \ge 2.08) = 0.019

Dalam rajah, 5 daripada 200 sampel yang dilukis dengan p = 0.25 mencapai 0.295 atau lebih: pecahan 0.025, hampir dengan 0.019 daripada model normal.

Dalam konteks: “Dengan andaian 25% daripada semua telefon pengeluar itu perlu dibaiki, terdapat kebarangkalian 0.019 untuk mendapat perkadaran sampel 0.295 atau lebih tinggi dalam sampel rawak 400 telefon, secara kebetulan sahaja.”

Nilai p yang kecil bermakna data jarang berlaku jika H₀ benar: bukti terhadap H₀. Nilai p yang besar bermakna data itu jenis yang kerap dihasilkan oleh H₀: tiada bukti terhadapnya.

Bukan: kebarangkalian bahawa H₀ benar, mahupun kebarangkalian bahawa keputusan itu berlaku secara kebetulan. Nilai p dikira dengan mengandaikan H₀.

Bagi H_a dua hujung, kira kedua-dua hujung: nilai p ialah dua kali luas di luar |z|.

6.6 · Membuat kesimpulan ujian

bandingkan nilai-p dengan α

Sebelum ada data, pilih aras signifikan α. Jika nilai p kurang daripada α, tolak H₀; jika tidak, gagal menolak H₀.

Pada α = 0.05: 0.019 < 0.05, maka tolak H₀. “Oleh sebab nilai p 0.019 kurang daripada α = 0.05, kita menolak H₀. Kita mempunyai bukti meyakinkan bahawa lebih daripada 25% semua telefon pengeluar itu perlu dibaiki dalam tempoh dua tahun.”

Pada α = 0.01: 0.019 > 0.01, maka gagal menolak H₀. “Kita tidak mempunyai bukti meyakinkan bahawa lebih daripada 25% perlu dibaiki.”

Jangan sekali-kali “menerima H₀”: tidak menjumpai bukti terhadap suatu dakwaan tidak menunjukkan dakwaan itu benar.

Keputusan yang sama dengan statistik ujian: tolak apabila z melepasi nilai genting, z* = 1.645 bagi α = 0.05 satu hujung, 2.326 bagi 0.01. Dalam rajah, α bergerak dari 0.005 hingga 0.1; kawasan biru berada di luar z*, dan keputusan bertukar apabila melepasi z = 2.08.

Keputusan dengan nilai p di bawah α dipanggil signifikan secara statistik pada aras itu. Signifikan tidak sama dengan besar atau penting.

6.7 · Ralat dan kuasa

Ralat Jenis I, Jenis II, dan kuasa untuk mengesan

Suatu ujian boleh salah dalam dua cara. Kuasanya ialah peluang ia betul apabila H₀ palsu.

	H₀ benar	H₀ palsu
tolak H₀	Ralat Jenis I, kebarangkalian α	betul: kuasa
gagal menolak	betul	Ralat Jenis II, kebarangkalian β

Dalam konteks: ralat Jenis I ialah membuat kesimpulan bahawa lebih daripada 25% telefon perlu dibaiki sedangkan sebenarnya 25%; pengeluar dituduh secara salah. Ralat Jenis II ialah terlepas lebihan yang sebenar; pemilik terus membayar untuk pembaikan.

Andaikan nilai sebenar ialah p = 0.3. Pada α = 0.05 ujian menolak apabila p̂ > 0.2856. Dengan n = 400:

\begin{aligned}\text{power} &= P(\hat p > 0.2856 \mid p = 0.30) \\ &= 0.735 \\ \beta &= 1 - \text{power} = 0.265\end{aligned}

n	100	200	400	800
kuasa	0.322	0.496	0.735	0.937

Kuasa meningkat dengan sampel yang lebih besar (lengkung menyempit, seperti dalam rajah), α yang lebih besar (pada α = 0.1 dan n = 400, 0.834), dan p sebenar yang lebih jauh daripada p₀. Menurunkan α mengurangkan ralat Jenis I tetapi menaikkan β: kedua-duanya saling berbalas pada n tetap.

6.8 · Selang bagi suatu perbezaan

p̂₁ − p̂₂, daripada dua sampel tak bersandar

Untuk membandingkan dua perkadaran, anggarkan perbezaannya: (p̂₁ − p̂₂) ± z* × SE.

Sampel rawak tak bersandar 400 remaja dan 500 orang dewasa: 248 remaja dan 255 orang dewasa berkata mereka mendapat berita terutamanya daripada media sosial. p̂₁ = 0.62, p̂₂ = 0.51, perbezaan 0.11.

\begin{aligned}\text{SE} &= \sqrt{\frac{\hat p_1(1-\hat p_1)}{n_1} + \frac{\hat p_2(1-\hat p_2)}{n_2}} \\ &= \sqrt{0.000589 + 0.000500} \\ &= 0.0330\end{aligned}

\begin{aligned}(\hat p_1 - \hat p_2) &\pm z^*\,\text{SE} \\ &= 0.11 \pm 1.960(0.0330) \\ &= 0.11 \pm 0.065 \\ &= (0.045,\ 0.175)\end{aligned}

Varians ditambah, bukan ralat piawai: perbezaan dua anggaran tak bersandar lebih berubah-ubah daripada mana-mana satu anggaran.

syarat	semakan
Rawak	dua sampel rawak tak bersandar (atau dua kumpulan daripada eksperimen rawak)
10%	setiap sampel ≤ 10% daripada populasinya
Bilangan besar	248, 152, 255, 245: keempat-empatnya ≥ 10

Nyatakan yang mana kumpulan 1. Susunan menentukan tanda: orang dewasa tolak remaja akan memberi (-0.175, -0.045).

6.9 · Mewajarkan suatu tuntutan tentang perbezaan

adakah 0 nilai yang munasabah bagi p₁ − p₂?

Jika 0 berada di luar selang, data memberikan bukti meyakinkan bahawa kedua-dua perkadaran berbeza. Jika 0 berada di dalam, data tidak memberikannya.

Dalam konteks: “Kita 95% yakin bahawa selang daripada 0.045 hingga 0.175 merangkumi perbezaan sebenar (remaja tolak orang dewasa) dalam perkadaran yang mendapat berita terutamanya daripada media sosial.”

Setiap nilai berada di atas 0, maka terdapat bukti meyakinkan bahawa perkadaran remaja yang berbuat demikian lebih besar daripada orang dewasa: sebanyak antara 4.5 dengan 17.5 mata peratusan.

Kajian yang lebih kecil. p̂ yang sama daripada 100 remaja dan 100 orang dewasa memberikan (-0.027, 0.247) (biru). 0 berada di dalam: perbezaan 0 adalah munasabah, maka data ini tidak memberikan bukti meyakinkan tentang perbezaan.

Itu bukan bukti bahawa tiada perbezaan: selang itu juga membenarkan perbezaan sebesar 0.25. Sampel yang lebih besar menyempitkannya.

Selang yang kesemuanya negatif ialah bukti bahawa p₁ < p₂. Selang yang mengandungi 0 memberi keputusan yang sama seperti ujian dua hujung pada α = 1 − C yang gagal menolak.

6.10 · Menyediakan ujian dua sampel

H₀: tiada beza, dan perkadaran terkumpul

Ujian z dua sampel menilai sama ada perbezaan antara dua perkadaran sampel lebih besar daripada yang akan diberikan oleh kebetulan.

Dalam satu eksperimen, 300 sukarelawan ditugaskan secara rawak: 150 menerima peringatan teks, 150 tidak. 87 daripada kumpulan yang diberi peringatan mendapat suntikan selesema (0.58) dan 66 daripada kumpulan lain (0.44).

\begin{aligned}H_0\!&: p_1 - p_2 = 0 \\ H_a\!&: p_1 - p_2 > 0\end{aligned}

dengan p₁ dan p₂ ialah perkadaran sebenar yang akan mendapat suntikan selesema dengan dan tanpa peringatan.

Pengumpulan. H₀ menyatakan kedua-dua perkadaran adalah sama, maka ujian menganggarkan satu nilai ssepunya daripada kedua-dua kumpulan bersama, iaitu perkadaran terkumpul (gabungan). Dalam rajah, kedua-dua kumpulan bercantum dan suntikan menjadi sekata merentasi kedua-duanya:

\hat p_c = \frac{X_1 + X_2}{n_1 + n_2} = \frac{87 + 66}{150 + 150} = 0.510

syarat	semakan
Rawak	penugasan rawak kepada dua rawatan
10%	tidak diperlukan: tiada pensampelan daripada populasi
Bilangan besar	dengan p̂_c: 76.5, 73.5, 76.5, 73.5, semuanya ≥ 10

6.11 · Menjalankan ujian dua sampel

z, nilai p, dan kesimpulan dalam konteks

Statistik ujian mengukur perbezaan yang diperhatikan dalam unit ralat piawai, dengan ralat piawai dikira daripada p̂_c.

\begin{aligned}\text{SE} &= \sqrt{\hat p_c(1-\hat p_c)\Big(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}\Big)} \\ &= \sqrt{(0.51)(0.49)\Big(\frac{1}{150} + \frac{1}{150}\Big)} \\ &= 0.0577\end{aligned}

\begin{aligned}z &= \frac{(\hat p_1 - \hat p_2) - 0}{\text{SE}} \\ &= \frac{0.58 - 0.44}{0.0577} = 2.43\end{aligned}

Nilai-p = P(Z ≥ 2.43) = 0.0076, iaitu ekor merah pada rajah.

Kesimpulan. “Oleh sebab nilai-p 0.0076 kurang daripada α = 0.05, kita menolak H₀. Kita mempunyai bukti yang meyakinkan bahawa peringatan teks meningkatkan perkadaran orang seperti sukarelawan ini yang mendapat suntikan selesema.”

Tugasan rawak membolehkan kesimpulan dibuat tentang sebab. Sukarelawan ini bukan sampel rawak, jadi kesimpulan hanya terpakai kepada orang seperti mereka.

Kumpulkan (pool) untuk ujian, kerana H₀ menyatakan p₁ = p₂. Jangan kumpulkan untuk selang, yang tidak membuat andaian sedemikian.