Taburan pensampelan · AP Statistics

Bab 5 · Taburan pensampelan

bagaimana suatu statistik berubah

Statistik yang dikira daripada sampel rawak berubah daripada satu sampel ke satu sampel. Taburan pensampelan menunjukkan berapa besar perubahan itu dan apakah coraknya.

Papan atas ialah populasi: bilangan buku yang dibaca oleh setiap pelajar di sebuah sekolah besar pada cuti lepas. Ia menjulur ke kanan, dengan min μ = 2.54 buku dan sisihan piawai σ = 2.41 buku.

Sepuluh pelajar dipilih secara rawak pada satu masa (merah). Min mereka, x̄, ialah titik kon itu mengimbangi mereka, dan ia jatuh ke dalam plot titik di bawah. Selepas 120 sampel, min-min itu mempunyai pusat 2.45, hampir dengan μ, dan sisihan piawai hanya 0.80. Longgokan mereka jauh lebih simetri daripada populasi.

Bab ini tentang longgokan itu: mengapa sampel berbeza, apa yang dikatakan oleh model normal tentangnya, dan pusat, serakan serta bentuk taburan pensampelan bagi p̂ dan x̄, secara tunggal dan sebagai beza. Ia menjadi asas bagi setiap selang keyakinan dan ujian dalam unit seterusnya.

5.1 · Mengapa sampel saya tidak sama dengan sampel anda?

kebolehubahan pensampelan

Sampel rawak yang berbeza daripada populasi yang sama memberikan nilai statistik yang berbeza. Ini ialah kebolehubahan pensampelan, dan ia bukan satu kesilapan.

4 sampel pertama berjumlah 10 pelajar daripada pembuka bab, dan min mereka:

\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}

sampel	buku dibaca	x̄
1	0, 0, 0, 2, 2, 5, 0, 4, 2, 3	1.8
2	8, 0, 2, 0, 4, 1, 0, 2, 6, 1	2.4
3	0, 7, 2, 0, 1, 5, 3, 3, 0, 0	2.1
4	5, 1, 0, 1, 3, 0, 6, 1, 0, 8	2.5

Tiada sampel yang tepat sama dengan min populasi, μ = 2.54; setiap satu tersasar kerana kebetulan sahaja. Pelajar yang dipilih adalah rawak, maka statistiknya juga rawak.

Variasi itu mempunyai corak. Merentasi banyak sampel, nilai x̄ berkelompok di sekitar μ, dan sampel yang lebih besar berkelompok dengan lebih rapat. Mengetahui corak itu membolehkan kita menyatakan sejauh mana hasil sampel mungkin menyimpang daripada nilai sebenar, dan sama ada sesuatu hasil itu mengejutkan.

Pemilihan rawak menjadikan corak itu boleh diramal. Sampel mudah, seperti pelajar dalam satu kelas, boleh tersasar ke arah yang sama setiap kali, dan tiada rumus yang dapat menyatakan sejauh mana.

5.1 · Adakah ia hanya kebetulan?

menganggar kebarangkalian melalui simulasi

Simulasi meniru proses kebetulan berulang kali. Pecahan ulangan yang berlakunya sesuatu menganggar kebarangkaliannya.

Majlis bandar mendakwa separuh pengundinya, p = 0.5, menyokong sebuah taman baharu. Dalam sampel rawak 40 pengundi, 26 berkata ya: p̂ = 0.650. Adakah itu lebih daripada yang mudah dihasilkan oleh kebetulan, jika dakwaan itu benar?

Model. Setiap pengundi berkata ya dengan kebarangkalian 0.5 (lambungan syiling, atau digit rawak: 0–4 ya, 5–9 tidak). Satu percubaan ialah 40 pengundi; rekodkan p̂. Ulang 100 kali. Rajah menjalankannya: bola merah ialah ya.

Hasil. 4 daripada 100 sampel simulasi memberikan p̂ ≥ 0.650, maka kebarangkalian anggaran ialah 4/100 = 0.04. (Nilai binomial tepat ialah 0.040.)

Kesimpulan. Jika separuh pengundi menyokong taman itu, hasil sekurang-kurangnya setinggi ini hanya berlaku kira-kira 4% daripada masa. Itu luar biasa, maka sampel memberikan sedikit bukti bahawa lebih separuh menyokongnya. Ia tidak membuktikan dakwaan itu salah: hasil yang tidak mungkin memang berlaku.

Larian kedua bagi 100 akan memberikan bilangan yang sedikit berbeza. Lebih banyak ulangan memberikan anggaran kebarangkalian yang lebih baik.

5.2 · Taburan normal, ditinjau semula

luas dan nilai potongan

Bagi taburan normal, kebarangkalian ialah luas di bawah lengkung. Piawaikan, kemudian cari luasnya.

Berat epal daripada sebuah kebun adalah lebih kurang normal, dengan μ = 150 g dan σ = 12 g. Skor-z menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai dari min:

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

Satu luas. Apakah perkadaran epal yang beratnya antara 140 g dan 165 g?

\begin{aligned} z_1 &= \frac{140 - 150}{12} = -0.83 \\ z_2 &= \frac{165 - 150}{12} = 1.25 \\ P(140 < X < 165) &= P(-0.83 < Z < 1.25) \\ &= 0.692 \end{aligned}

Kira-kira 69.2% daripada epal (merah). Di atas 165 g terdapat 0.106 daripadanya.

Satu nilai pemotongan. Berapa berat sebiji epal supaya termasuk dalam 10% yang paling berat? Nilai z dengan luas 0.90 di bawahnya ialah 1.28, maka x = 150 + 1.28 × 12 = 165.4 g (biru).

Dalam peperiksaan, tunjukkan kerja: namakan taburan dan parameternya, sempadan dan luas yang dikehendaki, atau lakaran berlabel. Sintaks kalkulator sahaja, seperti normalcdf(…), tidak mendapat markah.

5.2 · Parameter dan statistik

satu nombor tetap dan satu nombor rawak

Parameter memerihalkan populasi; statistik memerihalkan sampel. Statistik digunakan untuk menganggar parameter.

	parameter	statistik
min	μ	x̄
sisihan piawai	σ	s
perkadaran	p	p̂

Berat min semua epal kebun itu, μ = 150 g (biru), ialah parameter: satu nombor tetap, biasanya tidak diketahui. Sampel rawak 8 biji epal memberikan x̄ = 159.1 g dan s = 17.0 g: statistik. Sampel seterusnya memberikan x̄ = 150.8 g.

Oleh sebab sampel itu rawak, statistik ialah pemboleh ubah rawak. Taburan kebarangkaliannya, iaitu nilai yang diambilnya merentasi semua sampel yang mungkin bersaiz sama, ialah taburan pensampelannya.

Untuk membezakannya: tanya sama ada nombor itu datang daripada seluruh populasi (parameter) atau daripada data yang ada (statistik). Parameter menggunakan huruf Yunani, atau p; statistik menggunakan huruf Roman, atau topi.

5.3 · Teorem had memusat

min menjadi normal

Teorem had memusat (CLT): apabila n cukup besar, taburan pensampelan bagi x̄ adalah lebih kurang normal, walau apa pun bentuk populasi.

Rajah mengambil 400 sampel rawak bagi setiap saiz daripada populasi menjulur pada pembuka bab dan memplotkan min mereka:

n	min bagi x̄	SP bagi x̄	σ/√n
2	2.64	1.79	1.71
10	2.53	0.77	0.76
30	2.53	0.43	0.44

Tiga perkara benar serentak. Pusat kekal pada μ = 2.54. Serakan mengecil seperti σ/√n. Dan bentuk berubah: pada n = 2 min-min masih menjulur ke kanan, pada n = 30 lengkung normal merah muat dengan rapat.

\mu_{\bar{x}} = \mu \qquad \sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

Berapa besar yang cukup bergantung pada populasi: semakin menjulur ia, semakin besar n mesti. Petua AP ialah n ≥ 30.

Kesilapan lazim: CLT adalah tentang taburan x̄, bukan data. Sampel besar daripada populasi menjulur juga kelihatan menjulur; min banyak sampel sedemikianlah yang menimbun dalam bentuk normal.

5.4 · Anggaran titik pincang dan tak pincang

tujuan dan kepersisan

Statistik yang digunakan untuk menganggar parameter ialah penganggar titik. Ia saksama apabila min taburan pensampelannya sama dengan parameter.

Setiap sasaran ialah satu penganggar. Mata sasaran biru ialah parameter; setiap damak ialah anggaran daripada satu sampel rawak.

Pincang berkaitan pusat. Dua penganggar atas berpusat pada mata sasaran: saksama. Dua yang bawah jatuh ke satu sisi, sampel demi sampel: berpincang.

Kebolehubahan berkaitan serakan: sejauh mana anggaran bertaburan dari satu sampel ke satu sampel. Dua di kiri kurang berubah, dua di kanan banyak. Penganggar terbaik (merah) mempunyai pincang rendah dan kebolehubahan rendah.

x̄ ialah penganggar saksama bagi μ dan p̂ bagi p: dalam 5.3 x̄ berpusat pada μ pada setiap n. Maksimum sampel adalah berpincang bagi maksimum populasi: ia tidak boleh lebih besar, dan biasanya lebih kecil.

Sampel yang lebih besar mengurangkan kebolehubahan, bukan pincang. Daripada 5.3, SP bagi x̄ menurun daripada 0.77 pada n = 10 kepada 0.43 pada n = 30. Tetapi kaedah berpincang, seperti tinjauan respons sukarela, kekal berpincang walau berapa ramai yang menjawabnya: ia hanya tersasar dengan lebih tepat.

5.5 · Taburan pensampelan bagi p̂

pusat p, serakan √(p(1 − p)/n)

Perkadaran sampel p̂ mempunyai taburan pensampelan dengan min p dan sisihan piawai yang mengecil apabila n bertambah.

Dalam sebuah daerah sekolah yang mempunyai 8,000 pelajar, 35% berjalan kaki ke sekolah (manik merah). Rajah mengambil sampel rawak 50 pelajar dan menjatuhkan p̂ setiap sampel ke dalam plot titik.

\begin{aligned} \mu_{\hat{p}} &= p = 0.35 \\ \sigma_{\hat{p}} &= \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \\ &= \sqrt{\frac{0.35(0.65)}{50}} = 0.0675 \end{aligned}

	min bagi p̂	SP bagi p̂
100 sampel simulasi	0.353	0.0657
rumus	0.35	0.0675

Mentafsir SP. Dalam sampel rawak 50 pelajar daripada daerah ini, perkadaran sampel yang berjalan kaki lazimnya berbeza kira-kira 0.067 daripada perkadaran sebenar, 0.35.

Oleh sebab n berada di bawah punca kuasa dua, saiz sampel empat kali ganda menjadikan SP separuh: sampel 200 akan memberikan 0.0337.

5.5 · Apabila p̂ hampir normal

syarat 10% dan syarat bilangan besar

Dua syarat membolehkan kita menggunakan formula dan model normal untuk p̂. Semak kedua-duanya, dalam konteks, sebelum sebarang pengiraan.

Syarat 10%. Apabila pensampelan tanpa pengembalian, pengambilan hampir bebas apabila n ≤ 10% daripada populasi. Di sini 50 ≤ 0.10(8,000) = 800, maka σ_p̂ = 0.0675 boleh digunakan.

Syarat kiraan besar. Taburan pensampelan hampir normal apabila np ≥ 10 dan n(1 − p) ≥ 10. Di sini 50(0.35) = 17.5 dan 50(0.65) = 32.5: kedua-duanya sekurang-kurangnya 10. Dengan kiraan yang lebih kecil, taburan menjadi pencong, menjauhi hujung yang lebih dekat, 0 atau 1.

Satu kebarangkalian. Berapakah kemungkinan satu sampel 50 mempunyai sekurang-kurangnya 45% pelajar yang berjalan kaki?

\begin{aligned} z &= \frac{0.45 - 0.35}{0.0675} = 1.48 \\ P(\hat{p} \ge 0.45) &= P(Z \ge 1.48) = 0.069 \end{aligned}

Hujung yang berlorek. Dalam 100 sampel simulasi, 7 mempunyai p̂ ≥ 0.45: 0.07, hampir dengan model.

Dalam keadaan ini gunakan p, parameter, bukan p̂: taburan pensampelan milik perkadaran sebenar.

5.6 · Perbezaan perkadaran sampel

membandingkan dua kumpulan mengikut perkadaran

Bagi dua sampel rawak yang tak bersandar, beza p̂₁ − p̂₂ mempunyai taburan pensampelannya sendiri, berpusat pada p₁ − p₂.

Daerah 1 ialah daerah 5.5: 35% berjalan kaki; sampel bersaiz 50. Di daerah 2, 25% berjalan kaki; sampel bersaiz 60. Setiap pasangan sampel memberikan satu beza (bar merah), yang jatuh ke dalam plot titik.

\begin{aligned}\mu_{\hat{p}_1 - \hat{p}_2} &= p_1 - p_2 = 0.10 \\ \sigma_{\hat{p}_1 - \hat{p}_2} &= \sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1} + \frac{p_2(1-p_2)}{n_2}} \\ &= \sqrt{\frac{0.35(0.65)}{50} + \frac{0.25(0.75)}{60}} = 0.0876\end{aligned}

Varians ditambah, walaupun bagi satu beza: dua punca kebetulan yang tak bersandar menjadikan beza lebih berubah-ubah daripada salah satunya sahaja. Sisihan piawai tidak ditambah; varians yang ditambah.

Syarat. Sampel rawak yang tak bersandar; setiap satu kurang daripada 10% populasinya; dan keempat-empat kiraan sekurang-kurangnya 10: 17.5, 32.5, 15, 45. Maka taburan pensampelan hampir normal.

Satu kebarangkalian. Berapa kerapkah sampel daerah 2 menunjukkan perkadaran yang lebih tinggi?

\begin{aligned} z &= \frac{0 - 0.10}{0.0876} = -1.14 \\ P(\hat{p}_1 - \hat{p}_2 < 0) &= P(Z < -1.14) = 0.127 \end{aligned}

Kira-kira 13% daripada masa, walaupun daerah 1 sebenarnya mempunyai lebih ramai pejalan kaki. Dalam rajah, 11 daripada 100 beza jatuh di bawah 0.

5.7 · Taburan pensampelan bagi x̄

pusat μ, serakan σ/√n

Min sampel x̄ mempunyai taburan pensampelan dengan min μ dan sisihan piawai σ/√n.

\mu_{\bar{x}} = \mu \qquad \sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{12}{\sqrt{9}} = 4\ \text{g}

Bagi epal dusun, N(150, 12), min berat sampel rawak 9 mempunyai sisihan piawai 4 g: lengkung merah, satu pertiga selebar populasi.

Bentuk. Jika populasi normal, x̄ normal bagi sebarang n. Jika tidak, TLP menjadikan x̄ hampir normal apabila n ≥ 30. Dengan sampel kecil daripada populasi pencong atau tidak diketahui, kedua-duanya tidak terpakai, dan pengiraan normal tidak wajar. Formula SD juga memerlukan syarat 10%.

Satu kebarangkalian. Satu epal melebihi 155 g mempunyai z = (155 − 150)/12 = 0.42. Min 9 epal melebihi 155 g mempunyai z = (155 − 150)/4 = 1.25:

\begin{aligned} P(X > 155) &= P(Z > 0.42) = 0.338 \\ P(\bar{x} > 155) &= P(Z > 1.25) = 0.106 \end{aligned}

Satu epal yang berat adalah biasa; purata berat bagi 9 epal tidak, kerana epal ringan dan berat dalam sampel saling mengimbangi. Kesilapan paling lazim ialah membahagi dengan σ apabila soalan tentang x̄.

5.8 · Perbezaan min sampel

membandingkan dua kumpulan mengikut min

Bagi sampel rawak tak bersandar daripada dua populasi, x̄₁ − x̄₂ mempunyai min μ₁ − μ₂, dan variansnya ialah hasil tambah kedua-dua varians.

Epal varieti A berat N(150, 12) gram dan varieti B N(140, 10). Ambil 9 epal A dan 16 epal B secara rawak dan bandingkan min mereka (bar merah pada papan atas).

\begin{aligned}\mu_{\bar{x}_1 - \bar{x}_2} &= \mu_1 - \mu_2 = 150 - 140 = 10\ \text{g} \\ \sigma_{\bar{x}_1 - \bar{x}_2} &= \sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}} \\ &= \sqrt{\frac{12^2}{9} + \frac{10^2}{16}} = 4.72\ \text{g}\end{aligned}

Bentuk. Kedua-dua populasi normal, maka bezanya normal. Jika tidak, setiap sampel memerlukan n ≥ 30 untuk TLP. Setiap sampel juga mesti kurang daripada 10% populasinya, dan sampel saling tak bersandar.

Satu kebarangkalian. Berapakah kemungkinan sampel B lebih berat secara purata?

\begin{aligned} z &= \frac{0 - 10}{4.72} = -2.12 \\ P(\bar{x}_A - \bar{x}_B < 0) &= P(Z < -2.12) = 0.017 \end{aligned}

Jarang: dengan saiz sampel ini, varieti yang lebih berat hampir selalu menunjukkan min yang lebih berat. Sampel yang lebih kecil akan menjadikan lengkung merah lebih lebar dan kawasan berlorek lebih besar.