Inferens untuk min · AP Statistics

Bab 7 · Inferens untuk min

Prosedur t bagi μ

Min sampel ialah anggaran yang baik bagi min populasi, tetapi hanya suatu anggaran. Inferens untuk min menyatakan sebaik mana anggaran itu, dengan hanya menggunakan sampel.

Rajah ini ialah simulasi, jadi kali ini kebenarannya diketahui: populasi dengan min μ = 250 dan sisihan piawai 5. Berulang kali satu sampel rawak bersaiz 10 dipilih, dan daripada setiap sampel sahaja suatu selang dibina, x̄ ± t*·s/√n.

Selang-selang itu berubah mengikut sampelnya. 19 daripada 20 selang ini memuatkan μ; yang tersasar berwarna merah. Dalam jangka panjang 95% daripadanya memuatkannya, dan itulah maksud “yakin 95%”.

Bab ini: mengapa t dan bukan z (7.1); selang keyakinan dan ujian keertian untuk satu min (7.2–7.5), termasuk data berpasangan; perkara yang sama untuk beza dua min (7.6–7.9); dan cara memilih prosedur (7.10).

7.1 · Taburan t

perlukah saya risau tentang ralat?

Untuk memiawaikan x̄ kita memerlukan σ, yang hampir tidak pernah kita ketahui. Menggantikannya dengan s sampel memberikan statistik yang lebih bervariasi daripada z: ia mempunyai taburan t.

Bagi sampel rawak, x̄ mempunyai min μ dan sisihan piawai σ/√n. Dengan s menggantikan σ, ralat piawai bagi x̄ ialah s/√n, dan

t = \frac{\bar{x} - \mu}{s/\sqrt{n}}, \qquad df = n - 1

s juga berubah daripada sampel ke sampel, dan dalam sampel kecil ia selalunya terlalu kecil, maka t jatuh jauh daripada 0 lebih kerap berbanding z. Taburan t berpusat pada 0, simetri dan berbentuk loceng, dengan ekor lebih tebal daripada taburan normal piawai. Darjah kebebasan menentukan bentuknya: apabila df bertambah, s menganggar σ dengan lebih baik dan lengkung menghampiri taburan normal.

df	2	5	10	15	30	100	∞ (z)
t* untuk 95%	4.303	2.571	2.228	2.131	2.042	1.984	1.960

Dalam rajah: dengan df = 4, P(|t| > 2) = 0.116, berbanding 0.046 bagi z. Jika z* = 1.96 digunakan dengan sampel kecil, selang yang diperoleh terlalu sempit: ia memerangkap μ kurang kerap daripada yang dituntut. t* membetulkannya.

Ralat sentiasa mungkin berlaku. Suatu selang mungkin terlepas μ; suatu ujian mungkin menolak hipotesis nol yang benar (ralat Jenis I) atau gagal menolak yang palsu (Jenis II). Kaedah ini memberitahu seberapa kerap, bukan sama ada kali ini berlaku.

7.2 · Selang keyakinan bagi μ

statistik ± (nilai genting)(ralat piawai)

Selang t satu sampel menganggar min populasi μ daripada satu sampel rawak.

Sebuah mesin kopi ditetapkan untuk menuang 250 mL. Sampel rawak 16 cawan (mL):

244.3	248.9	253.8	247.8	246.1	248.6	247.2	243.3
250.6	248.3	245.3	243.7	254.8	251.9	243.4	245.6

x̄ = 247.73 mL, s = 3.60 mL. Dengan df = 15, t* = 2.131 untuk keyakinan 95%.

\begin{aligned}\bar{x} \pm t^*\frac{s}{\sqrt{n}} &= 247.73 \pm 2.131\cdot\frac{3.60}{\sqrt{16}} \\ &= 247.73 \pm 1.92 \\ &= (245.81,\ 249.64)\ \text{mL}\end{aligned}

Dalam rajah, bola biru ialah x̄, rod gelap ialah satu ralat piawai ke setiap arah, rod merah ialah keseluruhan selang: t* ralat piawai ke setiap arah.

Tafsirkan dalam konteks: kita 95% yakin bahawa selang daripada 245.81 hingga 249.64 mL memerangkap min sebenar isi padu semua cawan yang dituang oleh mesin ini.

Margin ralat, t*·s/√n, bertambah dengan aras keyakinan (90%: ±1.58; 99%: ±2.65) dan mengecil apabila n bertambah, seperti 1/√n: sampel empat kali ganda, margin separuh.

7.2 · Menyemak syarat

rawak, 10%, dan normal atau sampel besar

Selang atau ujian t hanya boleh dipercayai apabila tiga syarat dipenuhi. Nyatakan setiap satu, dalam konteks, sebelum mengira.

Rawak. Data datang daripada sampel rawak atau eksperimen terawak.

10%. Apabila mensampel tanpa pengembalian, n ≤ 10% daripada populasi, supaya cerapan hampir tak bersandar.

Normal/Sampel besar. Populasi lebih kurang normal, atau n ≥ 30. Jika n < 30 dan bentuk populasi tidak diketahui, lukis graf sampel: tidak boleh ada kepencongan yang kuat dan tiada data terpencil.

Rajah menunjukkan tiga sampel pada satu skala.

	n	sampel	Normal/Besar?
A	12	lebih kurang simetri, tiada data terpencil	ya
B	12	sangat condong ke kanan, 1 data terpencil	tidak
C	40	condong ke kanan	ya, n ≥ 30

Dalam B, Q₁ = 2.40 dan Q₃ = 6.15, maka apa-apa nilai di atas 6.15 + 1.5(3.75) = 11.78 ialah data terpencil: 13.7 ialah data terpencil. Dengan hanya 12 nilai, x̄ dan s terpengaruh olehnya, dan prosedur t tidak selamat. C juga condong, tetapi dengan 40 nilai, teorem had memusat menjadikan taburan pensampelan x̄ hampir normal.

Bagi cawan kopi, 16 < 30, tetapi plot titiknya tidak menunjukkan kepencongan kuat atau data terpencil, maka selang dalam 7.2 kekal sah.

7.3 · Mewajarkan suatu tuntutan dengan selang

nilai munasabah bagi μ

Selang keyakinan memberikan nilai μ yang munasabah. Nilai yang dituntut di luar selang tidak munasabah; nilai di dalamnya munasabah, tetapi tidak terbukti.

Pembuat mesin mendakwa ia menuang 250 mL secara purata. Selang 95%, 245.81 hingga 249.64 mL, tidak mengandungi 250 (garis biru). Setiap nilai yang munasabah berada di bawahnya: selang ini memberikan bukti meyakinkan bahawa mesin menuang kurang daripada 250 mL secara purata.

Pada keyakinan 99%, selangnya ialah 245.07 hingga 250.38 mL. Ia mengandungi 250, maka pada aras ini dakwaan itu munasabah. Keyakinan lebih tinggi bermakna selang lebih lebar, dan lebih sedikit nilai disingkirkan.

Maksud “95% yakin”. Kaedah ini memerangkap μ dalam 95% daripada semua sampel rawak yang mungkin, seperti dalam rajah pembukaan. Selang ini sama ada memerangkap μ atau tidak; kita tidak tahu yang mana.

Kesilapan lazim.

“Terdapat kebarangkalian 95% bahawa μ berada antara 245.81 dengan 249.64.” Salah: μ tetap; kebarangkalian itu milik kaedah.
“95% cawan memuatkan antara 245.81 dengan 249.64 mL.” Salah: selang ini untuk min, bukan untuk cawan tunggal, yang jauh lebih bervariasi.
“250 berada dalam selang 99%, jadi min ialah 250.” Salah: ia hanyalah satu daripada banyak nilai yang munasabah.

7.4 · Menyediakan ujian bagi μ

hipotesis tentang min populasi

Ujian t satu sampel menyoal sama ada sampel memberikan bukti meyakinkan terhadap nilai tuntutan μ₀ bagi min populasi.

Seorang pemeriksa kualiti menyemak sama ada mesin tersasar daripada sasaran, ke mana-mana arah:

H_0\!: \mu = 250 \qquad H_a\!: \mu \ne 250

dengan μ ialah min sebenar isi padu, dalam mL, bagi semua cawan yang dituang oleh mesin. Hipotesis adalah tentang parameter μ, tidak pernah tentang x̄, dan dipilih sebelum melihat data. Jika hanya pengisian kurang yang penting, H_a: μ < 250 ialah hipotesis satu hujung.

Aras keertian, α = 0.05, juga dipilih terlebih dahulu: ia ialah kebarangkalian ralat Jenis I, iaitu menolak H₀ apabila ia benar.

Syaratnya sama seperti untuk selang: sampel rawak; 16 cawan kurang daripada 10% semua cawan yang dituang; tiada kepencongan kuat atau data terpencil dalam sampel, kerana 16 < 30.

Soalan yang dijawab oleh ujian: min sampel, 247.73 mL (biru), berada di bawah 250. Adakah ia cukup jauh di bawah, dikira dalam ralat piawai, sehingga kebetulan sahaja penjelasan yang tidak mungkin?

7.5 · Menjalankan ujian bagi μ

statistik t dan nilai p-nya

Statistik ujian mengira berapa ralat piawai x̄ daripada μ₀. Nilai p ialah kebarangkalian mendapat keputusan sekurang-kurangnya seekstrem itu jika H₀ benar.

\begin{aligned}t &= \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}} = \frac{247.73 - 250}{3.60/\sqrt{16}} \\ &= -2.53, \quad df = 15\end{aligned}

Bagi H_a: μ ≠ 250 kedua-dua ekor dikira (merah): nilai p = 2P(t ≤ −2.53) = 0.023.

Buat kesimpulan dalam konteks. Oleh sebab 0.023 < α = 0.05, kita menolak H₀. Terdapat bukti meyakinkan bahawa min sebenar isi padu semua cawan yang dituang oleh mesin ini bukan 250 mL.

Tafsirkan nilai p: dengan andaian min sebenar ialah 250 mL, terdapat kebarangkalian 0.023 untuk mendapat min sampel sekurang-kurangnya sejauh 250 seperti 247.73 mL, ke mana-mana arah, secara kebetulan sahaja dalam sampel rawak 16 cawan.

Ujian ini selaras dengan selang 95% dalam 7.3, yang mengecualikan 250: ujian dua hujung pada α = 0.05 menolak tepat nilai yang dikecualikan oleh selang 95%. Pada α = 0.01 kita tidak akan menolak, kerana 250 berada dalam selang 99%.

Gagal menolak tidak pernah menunjukkan H₀ benar; ia hanya bermakna bukti tidak meyakinkan.

7.5 · Data berpasangan

satu sampel perbezaan

Apabila setiap individu diukur dua kali, atau individu datang dalam pasangan sepadan, analisis bezanya: beza itu ialah satu sampel, dan tatacara t satu sampel boleh digunakan padanya.

12 pelajar yang dipilih secara rawak mengambil ujian kelajuan membaca (perkataan seminit) sebelum dan selepas satu kursus pendek. Dalam rajah, setiap pelajar ialah satu rod yang menyambungkan sebelum (kelabu) kepada selepas (hitam). Rod-rod itu menggelongsor supaya bermula pada 0, dan panjangnya ialah beza d = selepas − sebelum:

sebelum	208	135	209	170	169	245	195	160	230	207	212	195
selepas	213	133	229	183	177	260	203	171	226	231	223	205
d	5	−2	20	13	8	15	8	11	−4	24	11	10

x̄_d = 9.92, s_d = 8.01. Uji H₀: μ_d = 0 terhadap H_a: μ_d > 0, dengan μ_d ialah min pertambahan sebenar bagi pelajar seperti ini.

\begin{aligned}t &= \frac{\bar{x}_d - 0}{s_d/\sqrt{n}} = \frac{9.92}{8.01/\sqrt{12}} \\ &= 4.29, \quad df = 11\end{aligned}

nilai p = 0.0006: bukti meyakinkan bahawa kursus itu meningkatkan min kelajuan membaca. Selang keyakinan 95% bagi μ_d ialah 4.83 hingga 15.00 perkataan seminit (merah).

Syarat diperiksa pada beza: sampel rawak, 12 < 10% daripada semua pelajar seperti ini, dan, kerana 12 < 30, plot titik bagi beza tanpa pencong kuat atau data terpencil.

7.6 · Selang keyakinan bagi μ₁ − μ₂

dua sampel tak bersandar

Untuk membandingkan min dua populasi (atau dua rawatan), gunakan selang t dua sampel bagi μ₁ − μ₂.

Seorang penilai menguji sampel rawak dua jenama bateri dalam lampu suluh yang sama (jam cahaya):

	n	x̄ (j)	s (j)
jenama A	14	11.94	1.27
jenama B	12	10.68	1.07

\begin{aligned}SE &= \sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}} \\ &= \sqrt{\frac{1.27^2}{14} + \frac{1.07^2}{12}} = 0.460 \\[4pt] &(\bar{x}_1 - \bar{x}_2) \pm t^*\,SE \\ &= 1.26 \pm 2.064(0.460) \\ &= (0.31,\ 2.21)\ \text{h}\end{aligned}

Darjah kebebasan. Teknologi menggunakan formula yang memberikan di sini df = 24.0, jadi t* = 2.064. Tanpanya, pilihan konservatif ialah n − 1 yang lebih kecil = 11, t* = 2.201: selang yang sedikit lebih lebar, (0.25, 2.27). Nyatakan yang mana satu anda gunakan.

Syarat: dua sampel rawak tak bersandar (atau dua kumpulan yang dibentuk melalui penugasan rawak); setiap n ≤ 10% daripada populasinya; setiap n ≥ 30, atau kedua-dua sampel tidak menunjukkan pencong kuat atau data terpencil.

Tafsir: kita 95% yakin bahawa selang daripada 0.31 hingga 2.21 jam merangkumi beza sebenar min hayat bateri, jenama A tolak jenama B.

7.7 · Mewajarkan tuntutan tentang μ₁ − μ₂

di manakah kedudukan 0?

Bagi beza min, nilai yang dicari biasanya 0: tiada beza. Jika 0 berada di luar selang, selang itu memberikan bukti meyakinkan tentang adanya beza.

Tuntutan 1: jenama A tahan lebih lama secara purata. Setiap nilai dalam 0.31 hingga 2.21 jam adalah positif, jadi 0 tidak munasabah: terdapat bukti meyakinkan bahawa μ_A − μ_B > 0, iaitu jenama A tahan lebih lama secara purata.

Tuntutan 2: jenama A tahan sekurang-kurangnya 2 jam lebih lama secara purata. 2 berada dalam selang, jadi ia munasabah, tetapi begitu juga nilai yang jauh lebih rendah, sehingga 0.31. Selang itu tidak memberikan bukti meyakinkan untuk tuntutan ini (dan tidak juga menentangnya).

Baca tanda bersama tertib penolakan. A − B daripada 0.31 hingga 2.21 ialah pernyataan yang sama dengan B − A daripada −2.21 hingga −0.31.

Kesimpulan itu adalah tentang min populasi yang disampel. Jika data datang daripada eksperimen rawak, ia juga tentang sebab dan akibat; daripada sampel rawak, tidak.

7.8 · Menyediakan ujian bagi μ₁ − μ₂

berpasangan atau dua sampel?

Mula-mula tentukan bagaimana data dihasilkan. Dua ukuran pada setiap individu, atau pasangan sepadan, memerlukan ujian t berpasangan pada beza; dua kumpulan tak bersandar memerlukan ujian t dua sampel.

Untuk dua kumpulan tak bersandar:

\begin{aligned}&H_0\!: \mu_1 - \mu_2 = 0 \\ &H_a\!: \mu_1 - \mu_2 > 0,\ < 0 \text{ or } \ne 0\end{aligned}

dengan mentakrifkan μ₁ dan μ₂ dalam konteks dan menyatakan yang mana ditolak daripada yang mana. Untuk pasangan, parameternya ialah beza min tunggal μ_d.

Mengapa ini penting. Kelajuan membaca dalam 7.5, yang tersalah dianggap sebagai dua sampel tak bersandar:

	SE	t	nilai p
berpasangan (betul)	2.31	4.29	0.0006
dua sampel (salah)	13.30	0.75	0.232

Min sama, beza sama 9.92. Tetapi pelajar berbeza antara satu sama lain jauh lebih banyak (s ≈ 31 perkataan seminit) berbanding perubahan pada mana-mana seorang pelajar (s_d = 8.01). Analisis dua sampel menganggap semua serakan antara pelajar itu sebagai hingar; pemasangan berpasangan menyingkirkannya. Dalam rajah, selang biru ialah analisis yang salah, selang merah yang betul.

Tatacara dua sampel juga memerlukan kumpulan yang tak bersandar, dan skor sebelum dan selepas bagi seorang pelajar tidak bersandar.

7.9 · Menjalankan ujian bagi μ₁ − μ₂

ujian t dua sampel

Statistik ujian ialah beza min sampel, tolak nilainya di bawah H₀, dikira dalam ralat piawai.

Penilai dalam 7.6 bertanya terlebih dahulu sama ada jenama A tahan lebih lama. H₀: μ_A − μ_B = 0, H_a: μ_A − μ_B > 0, dengan setiap μ ialah min hayat sebenar jenama itu dalam lampu suluh ini, pada α = 0.05.

\begin{aligned}t &= \frac{(\bar{x}_A - \bar{x}_B) - 0}{\sqrt{\dfrac{s_A^2}{n_A} + \dfrac{s_B^2}{n_B}}} \\ &= \frac{11.94 - 10.68}{0.460} = 2.74\end{aligned}

Dengan df = 24.0 (teknologi), nilai p ialah P(t ≥ 2.74) = 0.0057, iaitu ekor merah (dibesarkan di sudut); dengan df = 11 yang konservatif ia ialah 0.0096. Kedua-duanya kurang daripada 0.05.

Simpulkan: tolak H₀. Terdapat bukti meyakinkan bahawa bateri jenama A tahan lebih lama secara purata berbanding jenama B dalam lampu suluh ini.

Jangan kumpulkan dua sisihan piawai: kursus AP menggunakan ralat piawai tak terkumpul di atas. Dan jangan jalankan dua ujian satu sampel lalu membandingkannya: soalannya tentang beza, jadi tatacaranya juga mesti begitu.

7.10 · Memilih prosedur

memilih, melaksanakan dan menyampaikan

Kebanyakan kerja terletak pada pilihan. Tanya, mengikut tertib: parameter jenis apa, berapa banyak sampel, dan anggaran atau ujian?

Min atau perkadaran? Data kuantitatif (satu ukuran bagi setiap individu) membawa kepada min μ dan t. Data kategori (ya atau tidak) membawa kepada perkadaran p dan z (Bab 6). Min menggunakan t kerana σ dianggar oleh s.

Satu sampel, berpasangan, atau dua sampel? Data berpasangan ialah satu sampel beza. Dua sampel tak bersandar, atau dua kumpulan rawatan, menggunakan tatacara dua sampel.

Selang atau ujian? “Anggarkan” atau “berapa banyak” memerlukan selang; “adakah terdapat bukti meyakinkan” memerlukan ujian.

tatacara	ralat piawai	df
t satu sampel	s/√n	n − 1
t berpasangan	s_d/√n	n − 1 (pasangan)
t dua sampel	√(s₁²/n₁ + s₂²/n₂)	teknologi, atau n − 1 yang lebih kecil

Kemudian sampaikan, dalam empat langkah: Nyatakan parameter dan hipotesis (atau aras keyakinan) dalam konteks; Rancang: namakan tatacara dan semak rawak, 10% dan sampel normal/besar; Laksana: statistik, df dan nilai p atau selang; Simpulkan dalam konteks, dikaitkan dengan α, tanpa mendakwa lebih daripada yang dibenarkan oleh reka bentuk.