Ujian khi kuasa dua · AP Statistics

Bab 8 · Ujian khi kuasa dua

kiraan berbanding jangkaan

Ujian khi kuasa dua menyoal sama ada kiraan dalam kategori terlalu jauh daripada yang diramalkan oleh sesuatu hipotesis untuk disalahkan pada kebetulan.

Seorang pembuat gula-gula mendakwa bahawa beg-begnya 24% blue, 20% orange, 16% green, 14% yellow, 13% red, 13% brown. Sebuah beg yang mengandungi 200 dikira (palang hitam). Jika dakwaan itu benar, beg itu seharusnya mengandungi kira-kira 200 × 0.24 = 48 biru, dan seterusnya (bayang biru).

Tiada beg yang padan dengan tepat. Rod merah ialah sela, iaitu cerapan − jangkaan. Setiap sela dikuasa duakan dan dibahagi dengan kiraan jangkaannya, dan kepingan itu disusun menjadi satu nombor, iaitu statistik khi kuasa dua, χ² = 12.11.

χ² kecil bermakna kiraan berada dekat dengan dakwaan; χ² besar bermakna sebaliknya. Bab ini menyoal berapa besar yang terlalu besar: untuk satu pemboleh ubah berbanding taburan yang didakwa (kesesuaian penyuaian), dan untuk jadual dua hala (kehomogenan dan kebebasan).

8.1 · Adakah keputusan saya tidak dijangka?

apa yang dihasilkan oleh kebetulan semata-mata

Sampel rawak berbeza-beza. Untuk menilai sesuatu hasil, bandingkan dengan hasil yang dihasilkan oleh kebetulan semata-mata apabila dakwaan itu benar.

Rajah ini mengisi 300 beg yang berisi 200 secara rawak daripada campuran yang didakwa dengan tepat. Setiap beg simulasi (kiri) tersasar sedikit daripada kiraan jangkaan, dan χ²nya menjadi satu titik dalam plot titik.

Walaupun dakwaan itu benar, χ² tidak pernah 0, dan biasanya beberapa unit. 300 nilai ini mempunyai min 4.99. Hanya 10 daripada 300 (merah) mencapai 12.11 bagi beg sebenar: satu perkadaran 0.033.

Itulah logik setiap ujian: jika dakwaan itu benar, berapa kerapkah kita melihat hasil yang sekurang-kurangnya sekeras ini? Jika jarang, hasil itu ialah bukti yang signifikan secara statistik terhadap dakwaan itu. Jika kerap, data tidak memberi sebab untuk meragui dakwaan itu, tetapi itu bukan bukti bahawa ia benar.

Lengkung kelabu ialah taburan χ² yang dituju oleh titik-titik itu. Ia membolehkan kita mencari kebarangkalian tanpa simulasi (8.3).

8.2 · Menyediakan ujian kebagusan penyuaian

hipotesis, kiraan jangkaan, syarat

Ujian khi kuasa dua untuk kesesuaian penyuaian menguji sama ada taburan satu pemboleh ubah kategori sepadan dengan taburan yang didakwa.

Hipotesis adalah tentang perkadaran populasi, bukan kiraan sampel:

H₀: p_biru = 0.24, p_oren = 0.2, … , p_coklat = 0.13 (taburan yang didakwa adalah betul).
H_a: sekurang-kurangnya satu perkadaran berbeza daripada dakwaan.

H_a bukan “semuanya berbeza”, dan ia tidak menyatakan arah.

Kiraan jangkaan ialah n × p_i, dikira daripada H₀:

warna	blue	orange	green	yellow	red	brown
p yang didakwa	0.24	0.2	0.16	0.14	0.13	0.13
jangkaan	48	40	32	28	26	26

Jumlahnya ialah n = 200, dan ia tidak semestinya nombor bulat: jangan bundarkannya.

Syarat. Rawak: sampel rawak (atau eksperimen terawak). 10%: pensampelan tanpa pengembalian, n ≤ 10% daripada populasi (200 gula-gula jauh kurang daripada 10% semua gula-gula pembuat itu). Kiraan besar: setiap kiraan jangkaan sekurang-kurangnya 5; di sini yang terkecil ialah 26. Semak kiraan jangkaan, bukan kiraan cerapan.

8.3 · Statistik khi kuasa dua

sela kuasa dua, diskalakan mengikut jangkaan

Statistik χ² menjumlahkan, merentas setiap kategori, sela kuasa dua antara cerapan dan jangkaan, dibahagi dengan kiraan jangkaan.

\chi^2 = \sum \frac{(\text{observed} - \text{expected})^2}{\text{expected}}

warna	O	E	O − E	(O − E)²/E
blue	34	48	−14	4.08
orange	48	40	+8	1.60
green	41	32	+9	2.53
yellow	19	28	−9	2.89
red	27	26	+1	0.04
brown	31	26	+5	0.96
jumlah	200	200	0	12.11

Sela sentiasa berjumlah 0, jadi ia tidak boleh dijumlahkan begitu sahaja: penguasaduaan menjadikan setiap satu diambil kira. Pembahagian dengan E menjadikan sela lebih bermakna apabila jangkaan kecil: tersasar 10 daripada jangkaan 20 lebih penting daripada tersasar 10 daripada 200.

Darjah kebebasan ialah bilangan kategori tolak satu: df = 6 − 1 = 5. Apabila lima kiraan diketahui, kiraan keenam ditentukan oleh jumlahnya.

Sumbangan terbesar menunjukkan di mana data dan dakwaan paling tidak sepakat: blue, 4.08 daripada 12.11, dengan 34 dicerap berbanding 48 dijangka: gula-gula blue yang lebih sedikit daripada yang didakwa.

8.3 · Nilai p dan kesimpulan

sejauh mana ke dalam ekor

Nilai p ialah luas di bawah lengkung χ² dengan df ujian itu, pada dan melebihi χ² yang dicerap: nilai besar ialah bukti terhadap H₀, jadi ujian ini sentiasa melihat ekor kanan.

p = P(\chi^2_{5} \ge 12.11) = 0.033

Simulasi dalam 8.1 memberikan 0.033, hampir sama dengan jawapan ini.

Tafsiran. Dengan andaian taburan yang didakwa oleh pembuat itu betul, terdapat kebarangkalian 0.033 untuk mendapat χ² bernilai 12.11 atau lebih besar secara kebetulan semata-mata dalam sampel rawak 200 gula-gula.

Kesimpulan. Oleh sebab p = 0.033 < α = 0.05, tolak H₀. Terdapat bukti meyakinkan bahawa taburan warna gula-gula pembuat ini berbeza daripada dakwaan.

Dengan jadual dan bukan teknologi: nilai genting untuk df = 5 dan ekor 0.05 ialah χ²* = 11.07 (biru). 12.11 > 11.07, jadi p < 0.05.

Jika p berada di atas α, kesimpulannya ialah “tiada bukti meyakinkan bahawa taburan itu berbeza”: bukan sekali-kali “dakwaan itu betul”, dan bukan “terima H₀”. Ujian χ² juga tidak dapat menyatakan ke arah mana taburan itu menyimpang; untuk itu, lihat sumbangan terbesar.

8.3 · Taburan khi kuasa dua

satu keluarga, satu bagi setiap df

Taburan χ² ialah keluarga lengkung ketumpatan, satu bagi setiap bilangan darjah kebebasan.

Setiap satu hanya mengambil nilai 0 atau lebih, kerana χ² ialah hasil tambah kuasa dua. Setiap satu condong ke kanan. Minnya ialah df, dan untuk df ≥ 2 puncaknya berada pada df − 2.

Apabila df bertambah, lengkung bergerak ke kanan, menyebar dan menjadi kurang condong (lengkung merah bergerak melalui df = 1 hingga 12). Lebih banyak kategori bermakna lebih banyak kepingan dalam hasil tambah, jadi χ² yang lebih besar dijangka walaupun H₀ benar.

Jadi χ² yang sama boleh menjadi bukti kuat pada satu df dan tiada bukti pada df lain. Nilai genting atas:

df	1	2	3	4	5	10
ekor 0.05	3.84	5.99	7.81	9.49	11.07	18.31
ekor 0.01	6.63	9.21	11.34	13.28	15.09	23.21

Semakan kasar: χ² yang hampir dengan df-nya adalah biasa. 12.11 bagi gula-gula itu lebih daripada dua kali ganda df-nya iaitu 5.

Taburan χ² hanyalah penghampiran kepada taburan pensampelan sebenar bagi statistik itu. Ia baik apabila setiap kiraan jangkaan sekurang-kurangnya 5: itulah sebabnya syarat itu penting.

8.4 · Kiraan jangkaan dalam jadual dua hala

daripada jumlah sisi

Untuk jadual dua hala, setiap kiraan jangkaan ialah jumlah baris didarab jumlah lajur, dibahagi dengan jumlah jadual.

\text{expected count} = \frac{\text{row total} \times \text{column total}}{\text{table total}}

Sampel rawak 400 orang dewasa, masing-masing dikelaskan mengikut kumpulan umur dan sumber berita utama. Kiraan cerapan, dengan kiraan jangkaan dalam kurungan:

	online	TV	print	jumlah
18–34	64 (48.2)	46 (49.6)	24 (36.2)	134
35–54	43 (47.5)	48 (48.8)	41 (35.6)	132
55+	37 (48.2)	54 (49.6)	43 (36.2)	134
jumlah	144	148	108	400

Mengapa ia berfungsi. Secara keseluruhan, 144 daripada 400 orang dewasa (36%) mendapat berita mereka online. Jika kumpulan umur tidak memberi perbezaan, bahagian yang sama daripada 134 orang dewasa berumur 18–34 akan berbuat demikian: 134 × 144/400 = 48.24.

Kiraan jangkaan mempunyai sut yang sama seperti kiraan cerapan. Rajah ini mengira satu sel pada satu masa: penutup merah ialah kiraan jangkaan, jubin biru ialah dua jumlah yang menjadi puncanya.

Kekalkan perpuluhan. Kiraan jangkaan ialah purata merentas banyak sampel, bukan kiraan yang boleh dicerap.

8.5 · Kehomogenan atau kebebasan?

reka bentuk yang menentukan

Jadual dua hala yang sama boleh datang daripada dua reka bentuk, dan reka bentuk itu menentukan ujian yang mana satu.

Kehomogenan (kiri): sampel rawak berasingan daripada beberapa populasi (atau kumpulan dalam eksperimen), dengan satu pemboleh ubah kategori direkodkan. Di sini, satu sampel daripada setiap kumpulan umur, setiap orang ditanya sumber beritanya. Jumlah baris dipilih oleh reka bentuk.

H₀: taburan sumber berita adalah sama untuk ketiga-tiga kumpulan umur. H_a: taburan sumber berita tidak sama untuk ketiga-tiganya.

Kebebasan (kanan): satu sampel rawak daripada satu populasi, dengan dua pemboleh ubah kategori direkodkan bagi setiap individu. Hanya jumlah jadual yang ditetapkan; bilangan dalam setiap kumpulan umur bergantung pada kebetulan.

H₀: tiada perkaitan antara kumpulan umur dengan sumber berita dalam kalangan orang dewasa (kedua-duanya bebas). H_a: ada perkaitan (kedua-duanya tidak bebas).

	kehomogenan	kebebasan
sampel	satu bagi setiap populasi atau kumpulan	satu
pemboleh ubah	satu	dua
soalan	taburan yang sama dalam setiap satu?	ada perkaitan?

Aritmetiknya sama: kiraan jangkaan, χ², df dan nilai p. Syarat, untuk kedua-duanya: sampel rawak (atau penugasan rawak); setiap sampel paling banyak 10% daripada populasinya; setiap kiraan jangkaan sekurang-kurangnya 5.

8.6 · Menjalankan ujian untuk jadual dua hala

χ² dan df = (r − 1)(c − 1)

Untuk jadual dua hala, χ² menjumlahkan (O − E)²/E bagi setiap sel, dan df = (baris − 1)(lajur − 1).

Sampel sumber berita ialah satu sampel dengan dua pemboleh ubah: ujian kebebasan, pada α = 0.05.

H₀: kumpulan umur dan sumber berita utama adalah bebas dalam kalangan orang dewasa. H_a: kedua-duanya berkaitan.

Syarat. Sampel rawak; 400 kurang daripada 10% semua orang dewasa; kiraan jangkaan terkecil ialah 35.6, sekurang-kurangnya 5.

Sumbangan setiap sel (lajur merah):

	online	TV	print
18–34	5.15	0.26	4.10
35–54	0.43	0.01	0.81
55+	2.62	0.39	1.29

\chi^2 = 15.06 \qquad \text{df} = (3-1)(3-1) = 4

Mengapa (r − 1)(c − 1): dengan jumlah sisi tetap, setelah sudut 2 × 2 jadual diisi, setiap sel lain ditentukan oleh jumlah tersebut.

Sumbangan terbesar: 18–34, online (5.15: 64 cerapan, 48.2 jangkaan) dan 18–34, print (4.10: 24 cerapan, 36.2 jangkaan). Orang dewasa yang lebih muda cenderung kepada dalam talian dan menjauhi cetakan.

8.6 · Kesimpulan, dalam konteks

bukti perkaitan, bukan sebab

Nilai-p ialah luas di luar χ² di bawah lengkung dengan df = (r − 1)(c − 1), dan kesimpulannya mengenai populasi, dalam konteks.

p = P(\chi^2_{4} \ge 15.06) = 0.0046

Kesimpulan. Oleh sebab p = 0.0046 < α = 0.05, tolak H₀. Terdapat bukti meyakinkan tentang perkaitan antara kumpulan umur dan sumber berita utama dalam kalangan orang dewasa.

Mengikut nilai genting: χ²* = 9.49 bagi df = 4, dan 15.06 > 9.49.

Bukan sebab. Ini kajian cerapan: ujian ini mendapati perkaitan, dan tidak menyatakan bahawa umur menyebabkan pilihan sumber berita. Hanya eksperimen rawak, yang diuji untuk kehomogenan merentas kumpulan rawatannya, boleh menunjukkan sebab.

Jika kiraan yang sama datang daripada tiga sampel berasingan, kesimpulannya berbunyi: bukti meyakinkan bahawa taburan sumber berita berbeza antara tiga kumpulan umur.

Kesilapan lazim. Menulis hipotesis tentang sampel; menggunakan peratusan sebagai ganti kiraan; menyemak kiraan cerapan dan bukan kiraan jangkaan; df = rc − 1; menyimpulkan H₀ benar apabila p besar.

8.7 · Selecting a procedure

z untuk perkadaran, atau χ²

Bagi data kategori, pilihan bergantung pada bilangan sampel, bilangan pemboleh ubah, dan bilangan kategori.

data	prosedur
satu sampel, pemboleh ubah dua kategori, tuntutan tentang p	ujian z satu sampel (atau selang) untuk p
dua sampel atau kumpulan, pemboleh ubah dua kategori	z dua sampel untuk p₁ − p₂
satu sampel, satu pemboleh ubah dengan beberapa kategori, terhadap suatu tuntutan	χ² kesesuaian, df = k − 1
beberapa sampel atau kumpulan, satu pemboleh ubah	χ² kehomogenan, df = (r − 1)(c − 1)
satu sampel, dua pemboleh ubah	χ² kebebasan, df = (r − 1)(c − 1)

Prosedur z menganggar: ia memberikan selang keyakinan dan membenarkan H_a satu sisi (“lebih besar daripada”). Ujian χ² hanya menguji, dan H_a mereka tiada arah.

Dengan dua kumpulan dan dua kategori, ujian z dua sampel dengan H_a dua sisi dan ujian χ² kehomogenan memberikan nilai-p yang sama (χ² = z²).

Baca reka bentuk dahulu: bagaimana sampel diambil, dan apa yang direkodkan tentang setiap individu? Rajah menunjukkan bentuk yang ditinggalkan oleh setiap reka bentuk dalam data, dan memilih satu bagi setiap soalan.