Inferens untuk kecerunan · AP Statistics

Bab 9 · Inferens untuk kecerunan

adakah aliran itu benar?

Garis kuasa dua terkecil menerangkan satu sampel. Inferens bertanya apa yang dikatakan oleh garis itu tentang garis bagi seluruh populasi.

Seorang guru memilih 18 pelajar secara rawak dan merekodkan berapa jam setiap seorang belajar untuk ujian dan skor yang diperoleh. Semakin banyak jam, semakin tinggi skor, secara amnya. Tetapi adakah aliran ini benar, atau mungkinkah sampel sekecil ini menunjukkannya secara kebetulan?

Rajah ini membina populasi yang jawapannya diketahui. Garis hitam ialah garis regresi populasinya: skor min pada setiap bilangan jam. Pada setiap x, skor tertabur secara normal di sekitar garis (lengkung biru). Skor setiap pelajar diambil daripada lengkung pada jam belajarnya.

Garis merah disuaikan pada sampel: kecerunan b = 2.247, manakala kecerunan populasi ialah β = 2.5. Dalam amalan, β tidak pernah diketahui, dan b ialah satu-satunya yang kita ada.

Bab ini menyatakan model, menunjukkan bagaimana b berubah dari sampel ke sampel, menyemak syarat, membina selang keyakinan bagi β, menguji sama ada β = 0, membaca semuanya daripada output komputer, dan berakhir dengan memilih tatacara yang betul daripada semua tatacara dalam kursus.

9.1 · Model regresi populasi

taburan normal bagi y pada setiap x

Inferens untuk kecerunan mengandaikan satu model: pada setiap nilai x, sambutan y bertaburan normal, berpusat pada garis lurus, dengan serakan yang sama.

\begin{aligned}\mu_y &= \alpha + \beta x \\ y &= \alpha + \beta x + \varepsilon,\quad \varepsilon \sim N(0,\ \sigma)\end{aligned}

α, β dan σ ialah parameter: pintasan dan kecerunan garis regresi populasi, dan sisihan piawai y pada garis itu, yang sama bagi setiap x. Sampel menganggarkan setiap satu dengan satu statistik:

parameter	statistik	dalam rajah
α (pintasan)	a	50 → 49.783
β (kecerunan)	b	2.5 → 2.247
σ (SP pada garis)	s	9 → 9.834
μ_y (min y pada x)	ŷ	α + βx → a + bx

β ialah perubahan dalam skor min bagi setiap jam tambahan, merentasi semua pelajar sekolah. Di sini β = 2.5: pada 3 jam min ialah 57.5, pada 5 jam 62.5.

s menganggarkan σ daripada reja, dengan membahagi dengan n − 2 kerana dua nombor (a dan b) telah dianggarkan dahulu:

s = \sqrt{\frac{\sum (y_i - \hat y_i)^2}{n-2}} = 9.834

Soalan di sebalik setiap ujian dalam bab ini: adakah titik-titik benar-benar sejajar, atau adakah kecerunan seperti b muncul secara kebetulan walaupun β ialah 0?

9.1 · Kecerunan sampel berbeza-beza

taburan persampelan bagi b

Sampel lain daripada populasi yang sama memberi garis lain, dan kecerunan lain. Kecerunan daripada semua sampel yang mungkin membentuk taburan pensampelan bagi b.

Dalam rajah, 18 jam yang sama dikekalkan dan skor baharu diambil, 100 kali. Setiap garis penyuaian (merah, kemudian kelabu) condong sedikit berbeza di sekitar garis sebenar, dan setiap kecerunan jatuh ke dalam plot titik.

Apabila model dipenuhi, taburan pensampelan bagi b ialah normal, berpusat pada β (b ialah penganggar saksama), dengan sisihan piawai

\sigma_b = \frac{\sigma}{\sigma_x\sqrt n} = \frac{9}{2.625\sqrt{18}} = 0.808

dengan σ_x ialah sisihan piawai nilai x (membahagi dengan n). 100 kecerunan itu mempunyai min 2.47 dan sisihan piawai 0.83, hampir dengan 2.5 dan 0.81.

Apa yang menjadikan b kurang berubah: kurang serakan pada garis (σ lebih kecil), lebih serakan dalam x (σ_x lebih besar), dan sampel yang lebih besar. Menyebarkan nilai x menetapkan garis dengan lebih baik daripada mengumpulkannya.

σ tidak diketahui, jadi diganti dengan s, dan σ_x√n dengan s_x√(n − 1). Itu memberi ralat piawai bagi kecerunan, dan pempiawaian dengannya memberi taburan t dengan n − 2 darjah kebebasan:

SE_b = \frac{s}{s_x\sqrt{n-1}} = \frac{9.834}{2.702\sqrt{17}} = 0.883

t = \frac{b-\beta}{SE_b},\qquad df = n-2

9.2 · Syarat untuk inferens

LINER: linear, independent, normal, equal SD, random

Selang dan ujian hanya boleh dipercayai apabila model sesuai. Semak lima syarat, masing-masing dengan data, sebelum sebarang pengiraan.

syarat	cara menyemak
Linear	plot serakan lebih kurang lurus; plot reja tidak menunjukkan lengkung
Independent (bebas)	pensampelan tanpa pengembalian: n ≤ 10% daripada populasi
Normal	histogram atau plot titik bagi reja: tiada pencong kuat atau data terpencil
Equal SD (SP sama)	plot reja: tiada bentuk kipas, serakan yang sama pada setiap x
Random (rawak)	sampel rawak atau eksperimen terawak

Bagi 18 pelajar itu: plot reja (tengah) ialah jalur tanpa corak di sekitar 0, tanpa lengkung dan tanpa bentuk kipas, jadi syarat linear dan SP sama dipenuhi. Histogram reja (kanan) mempunyai satu puncak dan tiada pencong kuat; reja terbesar ialah 21.2, kira-kira 2.2 s, bukan data terpencil yang melampau. Pelajar itu ialah sampel rawak, dan 18 ≤ 10% daripada 950 pelajar di sekolah itu.

Kesilapan lazim. Semak kenormalan pada reja, bukan pada x atau y. Tiada peraturan “n ≥ 30” yang membenarkan plot reja yang pencong di sini. Plot reja yang melengkung bermakna kecerunan ialah ringkasan yang salah: tiada selang yang dapat membetulkannya.

9.2 · Membaca output regresi

Coef, SE Coef, T, P, S dan R-Sq

Perisian mencetak regresi dalam jadual piawai. Setiap nombor yang diperlukan bab ini ada di dalamnya.

Peramal	Pekali	SE Pekali	T	P
Pemalar	49.783	4.749	10.48	0.000
Jam	2.247	0.883	2.55	0.022
S = 9.834 R-Sq = 28.8% R-Sq(adj) = 24.4%

Coef. Baris Constant memberi pintasan a; baris yang dinamakan bagi pemboleh ubah penerang memberi kecerunan b:

\widehat{\text{score}} = 49.783 + 2.247\,(\text{hours})

SE Coef bagi Hours ialah SE_b = 0.883. T = Coef/SE Coef = 2.55: statistik ujian bagi H₀: β = 0. P = 0.022 ialah nilai-P dua hujungnya.

S = s = 9.834: skor sebenar biasanya berbeza daripada skor ramalan sebanyak kira-kira 9.8 mata. R-Sq = r²: 28.8% variasi dalam skor diterangkan oleh model linear pada jam. Maka r = +√0.288 = 0.537, positif seperti kecerunan.

Mentafsir kecerunan: bagi setiap jam belajar tambahan, skor ramalan meningkat sebanyak kira-kira 2.247 mata.

Kesilapan lazim. T dan P pada baris Constant menguji α = 0, jarang menjadi soalan yang berbaloi ditanya. S bukan SE_b. R-Sq(adj) tidak diperlukan dalam kursus ini.

9.2 · Selang keyakinan bagi kecerunan

b ± t*·SE_b, dengan n − 2 darjah kebebasan

Selang keyakinan bagi β ialah kecerunan sampel, campur atau tolak margin ralat.

b \pm t^*\,SE_b, \qquad df = n - 2

Lakukan. Dengan n = 18, df = 16 dan untuk keyakinan 95% t* = 2.120. Daripada output:

\begin{aligned}2.247 &\pm 2.120\,(0.883) \\ = 2.247 &\pm 1.872 = (0.375,\ 4.119)\end{aligned}

Simpulkan. Kita 95% yakin bahawa selang daripada 0.375 hingga 4.119 merangkumi kecerunan garis regresi populasi yang mengaitkan skor ujian dengan jam belajar bagi pelajar di sekolah ini. Maksudnya, skor min meningkat antara 0.38 dengan 4.12 markah bagi setiap jam tambahan.

Aras keyakinan adalah tentang kaedah: dalam sampel berulang, kira-kira 95% selang yang dibuat dengan cara ini merangkumi β. Di sebelah kanan, 24 daripada 25 selang daripada 25 sampel berbuat demikian. Sesuatu selang tertentu sama ada merangkumi β atau tidak.

Rajah mengubah aras daripada 80% hingga 99%: aras yang lebih tinggi memerlukan t* yang lebih besar dan memberikan selang yang lebih lebar. Pada 99%, t* = 2.921 dan selangnya ialah (−0.332, 4.826).

Jawapan penuh menamakan prosedur (selang t bagi kecerunan), menyemak syarat, melakukan pengiraan, dan membuat kesimpulan dalam konteks.

9.3 · Mewajarkan suatu tuntutan dengan selang

adakah kecerunan yang dituntut termasuk antara nilai yang munasabah?

Nilai di dalam selang keyakinan ialah nilai β yang munasabah. Nilai yang dituntut di luar selang ialah bukti yang menentang tuntutan itu.

Adakah terdapat hubungan? Jika β = 0, skor min tidak berubah dengan jam: tiada hubungan linear. 0 tidak berada dalam selang 95% (0.375, 4.119), dan setiap nilai di dalamnya positif. Jadi data memberikan bukti yang meyakinkan bahawa β > 0: dalam populasi, lebih banyak jam berkait dengan skor min yang lebih tinggi.

Pada 99% selangnya ialah (−0.332, 4.826). Selang ini mengandungi 0, maka pada aras itu 0 munasabah: bukti tidak cukup kuat untuk menolak ketiadaan hubungan.

Satu tuntutan. Sebuah syarikat tuisyen mengatakan setiap jam belajar tambahan bernilai 5 markah secara purata. 5 terletak di atas kedua-dua selang, jadi data memberikan bukti yang meyakinkan menentang tuntutan itu: kecerunan sebenar nampaknya lebih kecil.

Selang C% dan ujian dua hujung pada α = 1 − C adalah selaras: ujian menolak β = β₀ tepat apabila β₀ berada di luar selang. Selang memberikan lebih banyak maklumat: betapa besarnya kecerunan yang munasabah.

Kesilapan lazim. Nilai di dalam selang itu munasabah, bukan terbukti: “0 ada dalam selang, jadi tiada hubungan” adalah salah. Dan “terdapat kebarangkalian 95% bahawa β berada dalam selang” juga salah: β tetap; 95% ialah kadar perangkuman kaedah itu.

9.4 · Menyediakan ujian bagi kecerunan

H₀: β = 0, melawan hipotesis alternatif yang anda ingin tunjukkan

Ujian signifikan bagi kecerunan menanyakan sama ada kecerunan sampel terlalu jauh daripada nilai hipotesis, biasanya 0, untuk dikaitkan dengan kebetulan.

Hipotesis adalah tentang kecerunan populasi β, tidak pernah tentang b:

\begin{aligned}H_0\!&: \beta = 0 \\ H_a\!&: \beta > 0,\ \ \beta < 0\ \ \text{or}\ \ \beta \neq 0\end{aligned}

H₀: β = 0 bermaksud tiada hubungan linear: min y sama pada setiap x. Takrifkan β dalam konteks: “kecerunan garis regresi populasi yang mengaitkan skor ujian dengan jam belajar bagi semua pelajar di sekolah”. Pilih H_a daripada soalan, sebelum melihat data.

Guru bertanya sama ada skor dan jam mempunyai hubungan linear sama sekali, jadi H_a: β ≠ 0, pada α = 0.05. Prosedurnya ialah ujian t bagi kecerunan, dengan syarat LINER yang sama, disemak dalam 9.2.

Mengapa ujian diperlukan. Di sebelah kanan ialah dunia H₀: garis sebenar mendatar, dan sampel diambil daripadanya dengan jam yang sama dan serakan yang sama seperti kita. Garis yang dipadankan masih condong, secara kebetulan. Daripada 200 sampel sedemikian, 3 mempunyai kecerunan securam kita, 2.247, dalam mana-mana arah. Kecerunan kita luar biasa jika H₀ benar.

H₀ boleh menamakan nilai lain, β = β₀, seperti kecerunan yang dituntut; ujiannya sama dengan β₀ menggantikan 0.

9.5 · Menjalankan ujian bagi kecerunan

t = (b − β₀)/SE_b, dan P daripada taburan t

Statistik ujian mengira berapa banyak ralat piawai kecerunan sampel terletak daripada kecerunan hipotesis.

t = \frac{b - \beta_0}{SE_b} = \frac{2.247 - 0}{0.883} = 2.54

dengan df = n − 2 = 16. Output mencetak T = 2.55, daripada b dan SE_b yang tidak dibundarkan; kedua-duanya boleh diterima.

Nilai P ialah kebarangkalian, jika H₀ benar, mendapat t sekurang-kurangnya sejauh ini. H_a dua hujung, jadi kedua-dua ekor dikira: P = 2P(t ≥ 2.55) = 0.022, seperti yang dicetak oleh output. Dalam rajah, sampel nul daripada 9.4 menjatuhkan nilai t mereka pada lengkung t; 4 daripada 200, 0.020, jatuh dalam ekor merah.

Mentafsirkannya. Dengan andaian tiada hubungan linear antara jam dengan skor dalam populasi, terdapat kebarangkalian 0.022 untuk mendapat kecerunan sampel sekurang-kurangnya sejauh 2.247 daripada 0 secara kebetulan sahaja.

Simpulkan. Oleh sebab P = 0.022 < α = 0.05, tolak H₀. Terdapat bukti yang meyakinkan tentang hubungan linear antara jam belajar dengan skor ujian bagi pelajar di sekolah ini.

Kesilapan lazim. Jangan sekali-kali “terima H₀”: gagal menolaknya. Nilai P bukan kebarangkalian bahawa H₀ benar. Dan pelajar ini memilih masa belajar mereka sendiri: ini kajian pemerhatian, jadi ia menunjukkan perkaitan, bukan bahawa belajar lebih lama menyebabkan skor lebih tinggi. Hanya eksperimen rawak menyokong sebab.

9.5 · Ujian satu hujung, tuntutan lain, ralat

apabila P yang dicetak bukan jawapannya

T dan P pada output menjawab satu soalan: ujian dua hujung bagi β = 0. Soalan lain memerlukan satu langkah kecil lagi.

Satu hujung. Bagi H_a: β > 0, nilai P ialah satu ekor. Apabila b berada di sebelah yang diramalkan oleh H_a, bahagikan P yang dicetak dengan dua: 0.022/2 = 0.0110. Apabila b berada di sebelah lain, nilai P ialah 1 tolak nilai itu, dan tiada bukti untuk H_a.

β₀ yang lain. Untuk menguji tuntutan syarikat tuisyen, H₀: β = 5 melawan H_a: β < 5, kira t secara manual:

t = \frac{2.247 - 5}{0.883} = -3.12

P = P(t \le -3.12) = 0.0033

Dengan df = 16: bukti kukuh bahawa kecerunan sebenar kurang daripada 5, seperti yang ditunjukkan oleh selang dalam 9.3.

Ujian dan selang selaras. P = 0.022 < 0.05, dan selang 95% tidak merangkumi 0. P = 0.022 > 0.01, dan selang 99% merangkumi 0.

Ralat. Ralat Jenis I di sini ialah menyimpulkan bahawa jam dan skor mempunyai hubungan linear padahal dalam populasi tidak; kebarangkaliannya ialah α. Ralat Jenis II ialah terlepas hubungan yang wujud. Sampel yang lebih besar, serakan x yang lebih besar, dan α yang lebih besar semuanya menjadikan ralat Jenis II kurang berlaku.

9.6 · Memilih prosedur inferens

padankan prosedur dengan soalan

Setiap prosedur dalam kursus ini menjawab satu jenis soalan. Tiga soalan tentang data menentukannya.

1. Apakah yang diukur? Satu kategori bagi setiap individu (perkadaran, kiraan), satu nombor (min), atau dua nombor bagi setiap individu (kecerunan). 2. Berapa banyak sampel atau kumpulan, dan adakah berpasangan? 3. Anggaran atau ujian? “Berapa besar…” atau “anggarkan…” meminta selang; “adakah terdapat bukti yang meyakinkan…” meminta ujian.

prosedur	bila
z 1-perkadaran	satu pemboleh ubah kategori, satu sampel: p
z 2-perkadaran	satu pemboleh ubah kategori, dua kumpulan: p₁ − p₂
χ² kesesuaian	satu pemboleh ubah kategori, keseluruhan taburannya melawan satu tuntutan
t 1-sampel	satu pemboleh ubah kuantitatif, satu sampel: μ
t berpasangan	dua ukuran pada setiap individu: μ_diff
t 2-sampel	satu pemboleh ubah kuantitatif, dua kumpulan tak bersandar: μ₁ − μ₂
χ² homogeniti	satu pemboleh ubah kategori, beberapa sampel atau rawatan yang berasingan
χ² kebebasan	dua pemboleh ubah kategori dalam satu sampel
t bagi kecerunan	dua pemboleh ubah kuantitatif, hubungan linear: β

Petunjuk dalam perkataan: “perkadaran”, “peratus” → z; “min”, “purata” → t; “hubungan” antara pemboleh ubah kategori → χ²; antara pemboleh ubah kuantitatif → kecerunan.

Kesilapan lazim. Data berpasangan dianalisis sebagai dua sampel (orang yang sama diukur dua kali ialah berpasangan). Homogeniti dan kebebasan dikelirukan: ia bergantung pada reka bentuk, beberapa sampel atau satu. Soalan korelasi memerlukan ujian kecerunan, bukan ujian χ².