평균에 대한 추론

7장 · 평균에 대한 추론

μ에 대한 t 절차

표본평균은 모평균의 좋은 추정값이지만, 어디까지나 추정값일 뿐입니다. 평균에 대한 추론은 표본만으로 그 추정이 얼마나 좋은지 말해 줍니다.

이 그림은 시뮬레이션이라서 이번에는 참값을 압니다. 모평균 μ = 250, 모표준편차 5인 모집단입니다. 크기 10의 무작위 표본을 계속 뽑고, 각 표본만으로 구간 x̄ ± t*·s/√n을 만듭니다.

구간은 표본에 따라 움직입니다. 20개 중 19개가 μ를 포함하고, 빗나간 구간은 빨간색입니다. 오래 반복하면 95%가 포함하며, 이것이 “95% 신뢰”의 뜻입니다.

이 단원의 내용: 왜 z가 아니라 t인가(7.1), 한 평균에 대한 신뢰구간과 유의성 검정(7.2–7.5, 짝지은 자료 포함), 두 평균의 차에 대한 같은 내용(7.6–7.9), 절차를 고르는 방법(7.10)입니다.

7.1 · t 분포

오차를 걱정해야 할까?

x̄를 표준화하려면 σ가 필요한데, 우리는 이를 거의 알지 못합니다. 그 자리에 표본의 s를 넣으면 z보다 더 많이 변하는 통계량이 되며, 이것은 t 분포를 따릅니다.

임의 표본에서 x̄의 평균은 μ이고 표준편차는 σ/√n입니다. σ 대신 s를 쓰면 x̄의 표준오차는 s/√n이고,

s도 표본마다 달라지며, 작은 표본에서는 너무 작게 나오는 경우가 많아서 t는 z보다 0에서 멀리 떨어지는 일이 더 잦습니다. t 분포는 0을 중심으로 대칭인 종 모양이며, 표준정규분포보다 꼬리가 두껍습니다. 모양은 자유도로 정해집니다. df가 커질수록 s가 σ를 더 잘 나타내고 곡선은 정규분포에 가까워집니다.

그림에서 df = 4일 때 P(|t| > 2) = 0.116이고, z는 0.046입니다. 작은 표본에 z* = 1.96을 쓰면 구간이 너무 좁게 나와서, 주장하는 것보다 μ를 덜 자주 포함합니다. t*는 이를 바로잡아 줍니다.

오류는 언제나 가능합니다. 구간이 μ를 놓칠 수 있고, 검정이 참인 귀무가설을 기각할 수도(제1종 오류), 거짓인 귀무가설을 기각하지 못할 수도(제2종 오류) 있습니다. 이 방법들은 얼마나 자주 그런지는 알려 주지만, 이번에 그런지는 알려 주지 않습니다.

7.2 · μ에 대한 신뢰구간

통계량 ± (임계값)(표준오차)

단일 표본 t 구간은 하나의 임의 표본으로 모평균 μ를 추정합니다.

커피 머신이 250 mL를 따르도록 설정되어 있습니다. 임의로 뽑은 16잔의 표본(mL):

x̄ = 247.73 mL, s = 3.60 mL입니다. df = 15일 때 95% 신뢰수준의 t* = 2.131입니다.

그림에서 파란 공은 x̄, 짙은 막대는 양쪽으로 표준오차 1개만큼, 빨간 막대는 구간 전체로 양쪽으로 t* 표준오차만큼입니다.

상황에 맞게 해석하세요. 이 머신이 따르는 모든 컵의 실제 평균 부피를 245.81 mL에서 249.64 mL 사이의 구간이 포함한다고 95% 확신합니다.

오차한계 t*·s/√n는 신뢰수준이 높아질수록 커지고(90%: ±1.58, 99%: ±2.65), n이 커질수록 1/√n처럼 줄어듭니다. 표본이 4배가 되면 오차한계는 절반이 됩니다.

7.2 · 조건 확인하기

무작위성, 10% 조건, 정규성 또는 큰 표본

t 구간이나 검정은 세 가지 조건이 성립할 때만 믿을 수 있습니다. 계산하기 전에 각 조건을 상황에 맞게 서술하세요.

임의성. 자료가 임의 표본 또는 무작위 배정 실험에서 나왔습니다.

10%. 비복원추출일 때 n은 모집단의 10% 이하여야 관찰값이 거의 독립입니다.

정규성/큰 표본. 모집단이 근사적으로 정규분포이거나 n ≥ 30이어야 합니다. n < 30이고 모집단의 모양을 모르면 표본을 그려 보세요. 심한 치우침과 이상값이 없어야 합니다.

그림에는 같은 눈금 위에 세 표본이 있습니다.

B에서 Q₁ = 2.40, Q₃ = 6.15이므로 6.15 + 1.5(3.75) = 11.78보다 큰 값은 이상값이고, 13.7가 그렇습니다. 값이 12개뿐이면 x̄와 s가 이 값에 끌려가므로 t 절차를 안전하게 쓸 수 없습니다. C도 치우쳐 있지만 값이 40개이므로 중심극한정리에 따라 x̄의 표본분포가 정규분포에 가깝습니다.

커피 컵의 경우 16 < 30이지만 점도표에 심한 치우침이나 이상값이 없으므로 7.2의 구간은 그대로 유효합니다.

7.3 · 구간으로 주장 뒷받침하기

μ의 그럴듯한 값

신뢰구간은 μ의 그럴듯한 값들을 보여 줍니다. 구간 밖의 주장 값은 그럴듯하지 않고, 구간 안의 값은 그럴듯하지만 증명된 것은 아닙니다.

기계 제조사는 평균 250 mL를 따른다고 주장합니다. 95% 구간 245.81에서 249.64 mL는 250을 포함하지 않습니다(파란 선). 그럴듯한 값이 모두 그보다 작으므로, 이 구간은 기계가 평균 250 mL보다 적게 따른다는 강력한 증거를 줍니다.

99% 신뢰수준에서 구간은 245.07에서 250.38 mL입니다. 이 구간은 250을 포함하므로 이 수준에서는 주장이 그럴듯합니다. 신뢰수준이 높을수록 구간이 넓어지고, 배제되는 값은 줄어듭니다.

“95% 확신”의 의미. 이 방법은 가능한 모든 임의 표본의 95%에서 μ를 포함합니다. 첫 그림에서 본 것과 같습니다. 이 구간 하나는 μ를 포함하거나 포함하지 않는데, 어느 쪽인지는 알 수 없습니다.

흔한 실수.

• “μ가 245.81와 249.64 사이에 있을 확률은 95%이다.” 아닙니다. μ는 고정된 값이고, 확률은 방법에 대한 것입니다.
• “컵의 95%는 245.81에서 249.64 mL를 담는다.” 아닙니다. 구간은 개별 컵이 아니라 평균에 대한 것이며, 개별 컵은 훨씬 더 많이 변합니다.
• “250이 99% 구간에 있으므로 평균은 250이다.” 아닙니다. 그럴듯한 여러 값 중 하나일 뿐입니다.

7.4 · μ에 대한 검정 설정하기

모평균에 대한 가설

단일 표본 t 검정은 표본이 모평균의 주장값 μ₀에 반하는 설득력 있는 증거를 주는지 묻습니다.

품질 검사원이 머신이 어느 방향으로든 목표에서 벗어났는지 확인합니다.

여기서 μ는 머신이 따르는 모든 컵의 실제 평균 부피(mL)입니다. 가설은 x̄가 아니라 모수 μ에 대한 것이며, 자료를 보기 전에 정합니다. 덜 채우는 것만 문제라면 H_a: μ < 250은 단측 가설이 됩니다.

유의수준 α = 0.05도 미리 정합니다. 이는 제1종 오류, 즉 H₀이 참인데 기각할 확률입니다.

조건은 구간의 경우와 같습니다. 임의 표본이고, 16잔은 따라진 전체 컵의 10% 미만이며, 16 < 30이므로 표본에 심한 치우침이나 이상값이 없어야 합니다.

검정이 답하는 질문: 표본평균 247.73 mL(파란색)는 250보다 작습니다. 표준오차로 셀 때 우연만으로는 설명하기 어려울 만큼 충분히 작은가?

7.5 · μ에 대한 검정 수행하기

t 통계량과 p값

검정통계량은 x̄가 μ₀에서 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지 셉니다. p-값은 H₀이 참일 때 그만큼 또는 그보다 극단적인 결과가 나올 확률입니다.

H_a: μ ≠ 250이면 양쪽 꼬리를 모두 셉니다(빨간색). p-값 = 2P(t ≤ −2.53) = 0.023.

상황에 맞게 결론을 쓰세요. 0.023 < α = 0.05이므로 H₀을 기각합니다. 이 머신이 따르는 모든 컵의 실제 평균 부피가 250 mL가 아니라는 설득력 있는 증거가 있습니다.

p-값 해석: 실제 평균이 250 mL라고 가정할 때, 컵 16잔의 임의 표본에서 표본평균이 250에서 247.73 mL만큼, 어느 방향으로든 우연만으로 떨어져 나올 확률은 0.023입니다.

이 검정은 7.3의 95% 구간과 일치하며, 그 구간은 250을 제외했습니다. α = 0.05의 양측 검정은 95% 구간이 제외하는 값들을 정확히 기각합니다. α = 0.01에서는 250이 99% 구간 안에 있으므로 기각하지 않습니다.

기각하지 못한다고 해서 H₀이 참임이 보이는 것은 아닙니다. 증거가 설득력 있지 않다는 뜻일 뿐입니다.

7.5 · 대응 자료

차이로 이루어진 하나의 표본

각 개체를 두 번 측정했거나 개체들이 짝을 이루고 있다면, 차를 분석하세요. 차는 하나의 표본이므로 일표본 t 절차를 적용할 수 있습니다.

무작위로 뽑은 학생 12명이 짧은 강좌 전후에 읽기 속도 검사(분당 단어 수)를 받습니다. 그림에서 각 학생은 전(회색)과 후(검정)를 잇는 막대입니다. 막대들이 0에서 시작하도록 옮겨지고, 막대의 길이가 차 d = 후 − 전입니다.

x̄_d = 9.92, s_d = 8.01. H₀: μ_d = 0, H_a: μ_d > 0을 검정하세요. 여기서 μ_d는 이와 같은 학생들의 실제 평균 향상 정도입니다.

p-값 = 0.0006: 강좌가 평균 읽기 속도를 높인다는 설득력 있는 증거가 있습니다. μ_d의 95% 신뢰구간은 분당 4.83에서 15.00 단어입니다(빨간색).

조건은 차에 대해 확인합니다. 무작위 표본이고, 12이(가) 이와 같은 전체 학생의 10% 미만이며, 12이(가) 30 미만이므로 차의 점도표에 뚜렷한 치우침이나 이상값이 없어야 합니다.

7.6 · μ₁ − μ₂에 대한 신뢰구간

독립인 두 표본

두 모집단(또는 두 처리)의 평균을 비교하려면 μ₁ − μ₂에 대한 이표본 t 구간을 사용합니다.

한 평가자가 같은 손전등에서 두 브랜드 건전지의 무작위 표본을 시험합니다(불이 켜진 시간).

자유도. 공학 도구는 별도의 공식을 사용하며, 여기서는 df = 24.0, 따라서 t* = 2.064입니다. 이를 쓰지 않을 때의 보수적인 선택은 더 작은 n − 1 = 11, t* = 2.201이며, 구간이 조금 더 넓은 (0.25, 2.27)이 됩니다. 어느 쪽을 썼는지 밝히세요.

조건: 서로 독립인 두 무작위 표본(또는 무작위 배정으로 만든 두 집단), 각 n ≤ 모집단의 10%, 각 n ≥ 30이거나 두 표본 모두 뚜렷한 치우침이나 이상값이 없어야 합니다.

해석: 0.31에서 2.21시간까지의 구간이 건전지 평균 수명의 실제 차(브랜드 A 빼기 브랜드 B)를 포함한다고 95% 확신합니다.

7.7 · μ₁ − μ₂에 대한 주장 뒷받침하기

0은 어디에 있을까?

평균의 차에서 살펴볼 값은 대개 0, 즉 차이 없음입니다. 0이 구간 밖에 있으면, 그 구간은 차이가 있다는 설득력 있는 증거를 줍니다.

주장 1: 브랜드 A가 평균적으로 더 오래간다. 0.31에서 2.21시간까지의 모든 값이 양수이므로 0은 그럴듯하지 않습니다. 따라서 μ_A − μ_B > 0, 즉 브랜드 A가 평균적으로 더 오래간다는 설득력 있는 증거가 있습니다.

주장 2: 브랜드 A가 평균적으로 2시간 이상 더 오래간다. 2은(는) 구간 안에 있으므로 그럴듯하지만, 그보다 훨씬 작은 값, 즉 0.31까지도 그럴듯합니다. 이 구간은 이 주장을 뒷받침하는(또는 반박하는) 설득력 있는 증거를 주지 않습니다.

부호는 뺄셈의 순서와 함께 읽으세요. A − B가 0.31에서 2.21이라는 말은 B − A가 −2.21에서 −0.31이라는 말과 같습니다.

결론은 표집한 모집단들의 평균에 관한 것입니다. 자료가 무작위 배정 실험에서 나왔다면 인과관계에 관한 결론도 될 수 있지만, 무작위 표본에서 나왔다면 그렇지 않습니다.

7.8 · μ₁ − μ₂에 대한 검정 설정하기

대응일까, 두 표본일까?

먼저 자료가 어떻게 만들어졌는지 판단하세요. 각 개체에 대한 두 번의 측정이나 짝지은 자료는 차에 대한 대응 t 검정을, 독립인 두 집단은 이표본 t 검정을 사용합니다.

독립인 두 집단의 경우:

문맥에 맞게 μ₁과 μ₂를 정의하고, 어느 쪽에서 어느 쪽을 빼는지 밝힙니다. 짝지은 자료에서는 모수가 평균 차 μ_d 하나입니다.

왜 중요할까요? 7.5의 읽기 속도를 독립인 두 표본으로 잘못 다루면 다음과 같습니다.

평균도 같고 차 9.92도 같습니다. 그러나 학생들 사이의 차이(s ≈ 분당 31 단어)는 한 학생 안에서의 변화(s_d = 8.01)보다 훨씬 큽니다. 이표본 분석은 이 학생 간 퍼짐을 모두 잡음으로 취급하고, 짝짓기는 이를 없애 줍니다. 그림에서 파란 구간은 틀린 분석, 빨간 구간은 옳은 분석입니다.

이표본 절차는 집단이 독립이어야 하는데, 한 학생의 전후 점수는 독립이 아닙니다.

7.9 · μ₁ − μ₂에 대한 검정 수행하기

두 표본 t 검정

검정통계량은 표본평균의 차에서 H₀ 아래의 값을 뺀 것을 표준오차의 개수로 나타낸 값입니다.

7.6의 평가자는 브랜드 A가 더 오래가는지 미리 물었습니다. H₀: μ_A − μ_B = 0, H_a: μ_A − μ_B > 0이며, 각 μ는 이 손전등에서 그 브랜드의 실제 평균 수명이고 α = 0.05입니다.

df = 24.0(공학 도구)일 때 p-값은 P(t ≥ 2.74) = 0.0057이며, 빨간 꼬리 부분입니다(모서리에 확대해 표시). 보수적인 df = 11에서는 0.0096입니다. 어느 쪽이든 0.05보다 작습니다.

결론: H₀을 기각합니다. 이 손전등에서 브랜드 A 건전지가 브랜드 B보다 평균적으로 더 오래간다는 설득력 있는 증거가 있습니다.

두 표준편차를 합동하지 마세요. AP 과정에서는 위의 합동하지 않은 표준오차를 사용합니다. 또한 일표본 검정을 두 번 하여 비교하지 마세요. 질문이 차에 관한 것이므로 절차도 차에 관한 것이어야 합니다.

7.10 · 절차 선택하기

선택하고, 수행하고, 전달하기

작업의 대부분은 선택에 있습니다. 순서대로 물으세요. 어떤 종류의 모수인가, 표본은 몇 개인가, 추정인가 검정인가?

평균인가 비율인가? 양적 자료(개체마다 측정값 하나)는 평균 μ와 t로 이어집니다. 범주형 자료(예 또는 아니요)는 비율 p와 z로 이어집니다(6장). 평균에서 t를 쓰는 것은 σ를 s로 추정하기 때문입니다.

일표본, 대응, 이표본? 대응 자료는 차의 일표본입니다. 독립인 두 표본이나 두 처리 집단에는 이표본 절차를 씁니다.

구간인가 검정인가? “추정”이나 “얼마나”는 구간을, “설득력 있는 증거가 있는가”는 검정을 요구합니다.

그다음 전달하세요. 네 단계로 합니다. State: 모수와 가설(또는 신뢰수준)을 문맥에 맞게 씁니다. Plan: 절차의 이름을 밝히고 무작위, 10%, 정규/큰 표본 조건을 확인합니다. Do: 통계량, df, p-값 또는 구간을 구합니다. Conclude: 문맥에 맞게 α와 연결해 결론을 내리되, 설계가 허용하는 것 이상을 주장하지 않습니다.