비율에 대한 추론

6단원 · 비율에 대한 추론

p에 대한 구간과 검정

표본비율은 모비율을 추정합니다. 추론은 그 추정을 얼마나 믿을 수 있는지 알려 줍니다.

그림에서는 한 도시의 성인 500명씩을 무작위로 뽑은 표본 50개를 다룹니다. 이 도시에서는 비율 p = 0.60가 새 자전거 도로에 찬성합니다. 그림은 p를 알고 있지만, 실제 조사에서는 결코 알 수 없습니다.

각 표본은 자신의 p̂(점)과 그 주위의 95% 신뢰구간(막대)을 줍니다. 세로선은 p입니다. 구간 50개 중 47개가 이 선을 포함하고, 빨간색의 3은 빗나갑니다.

이 단원에서는 이런 구간을 만들고, “95% 신뢰”가 무엇을 뜻하고 무엇을 뜻하지 않는지 살핍니다. 그다음 질문을 뒤집어, 유의성 검정으로 주장된 p 값이 참일 때 표본이 놀라운 결과인지, 그리고 그 결정에서 어떤 오류가 생길 수 있는지 알아봅니다. 마지막으로 두 비율의 차에 같은 두 도구를 적용합니다.

6.1 · 왜 정규분포인가?

p̂의 표본분포

표본비율은 표본마다 달라집니다. 표본이 충분히 크면 그 분포는 근사적으로 정규분포를 따르므로, 정규 모형으로 어떤 결과가 드문지 말할 수 있습니다.

그림에서는 p = 0.1인 모집단에서 표본을 무작위로 뽑고, 각 표본의 p̂을 히스토그램에 쌓습니다. 왼쪽은 크기 20인 표본, 오른쪽은 크기 200인 표본입니다. 빨간 곡선은 정규 모형입니다.

p̂은 p를 중심으로 합니다. 즉 불편추정량입니다. 퍼짐은 n이 커질수록 줄어듭니다. σ는 n = 20일 때 0.067, n = 200일 때 0.021입니다. 표본이 10배가 되면 퍼짐은 √10배 작아집니다.

큰 수 조건. np ≥ 10이고 n(1 − p) ≥ 10이면 모양이 근사적으로 정규분포입니다. n = 20일 때 np = 2이므로 히스토그램은 오른쪽으로 치우쳐 0 쪽에 몰리고, 정규 곡선은 넓이의 6.8%을 0 아래에 둡니다. 그곳에는 p̂이 갈 수 없습니다. n = 200일 때 np = 20, n(1 − p) = 180이므로 곡선이 잘 맞습니다.

10% 조건. σ 공식은 관측이 독립이라고 가정합니다. 비복원추출에서는 표본이 모집단의 10% 이하이면 이 가정이 충분히 성립합니다.

예. n = 200일 때 p̂ ≥ 0.15일 가능성은 얼마일까요? z = (0.15 − 0.1)/0.0212 = 2.36이고, P(Z ≥ 2.36) = 0.0092입니다. 0.1보다 그 정도 높은 표본은 우연만으로는 매우 드뭅니다.

6.2 · 신뢰구간 만들기

통계량 ± (임계값)(표준오차)

신뢰구간은 p의 그럴듯한 값의 범위를 줍니다. 표본의 p̂에 오차한계를 더하고 뺀 것입니다.

한 도시의 성인 500명을 무작위로 뽑았더니 290명이 새 자전거 도로에 찬성하므로, p̂ = 290/500 = 0.580입니다. p에 대한 일표본 z 구간은 다음과 같습니다.

95%에서 z* = 1.960입니다. 표준정규분포의 가운데 95%는 −1.960과 1.960 사이에 있습니다. 표준오차는 알 수 없는 p 대신 p̂을 씁니다. 오차한계는 z* × SE = 0.043입니다.

왜 성립할까? 표본의 95%에서 p̂은 p로부터 1.96σ 이내에 놓입니다(파란 띠). 그럴 때마다 p̂의 양쪽으로 1.96 SE만큼 뻗은 구간은 p를 다시 덮습니다. 그림에서 표본 6은 띠 밖에 놓이고, 그 구간은 빗나갑니다.

시험에서는 절차의 이름을 쓰고, 조건을 확인하고, 계산한 뒤, 구간을 상황에 맞게 서술하세요.

6.2 · 오차한계와 표본 크기

표본추출 전에 n 정하기

오차한계는 n이 커질수록 줄어들지만 느리게, 1/√n에 비례해 줄어듭니다. 조사를 계획할 때는 오차한계를 먼저 정하고 n을 구합니다.

p*는 p의 추측값입니다. 추측값이 없으면 p* = 0.5를 씁니다. 그러면 p*(1 − p*) = 0.25로 최댓값이 되므로, p가 어떤 값이든 구한 n이면 충분합니다.

예. 95% 신뢰도에서 오차한계를 최대 0.03로 하려면:

따라서 n = 1068입니다. 항상 올림하세요. 1067이면 오차한계가 0.03보다 조금 큽니다. 예비 조사의 추정값 p* = 0.2을 쓰면 683명이면 충분합니다(파란 곡선).

오차한계를 절반으로 줄이려면 표본이 네 배 필요합니다. n이 제곱근 안에 있기 때문입니다.

오차한계는 무작위 추출의 우연한 변동만 반영합니다. 포함 오류, 무응답, 유도 질문에서 오는 편향은 알려 주지 않습니다.

6.3 · 신뢰구간 해석하기

95% 신뢰가 뜻하는 것과 뜻하지 않는 것

구간은 p에 대한 주장입니다. 신뢰수준은 그 구간을 만든 방법에 대한 주장입니다.

구간. “0.537에서 0.623까지의 구간이 자전거 도로에 찬성하는 이 도시 전체 성인의 참 비율을 포함한다고 95% 신뢰한다.” 모수를 상황에 맞게 밝히세요.

신뢰수준. “크기 500인 무작위 표본을 많이 뽑아 각각 95% 구간을 만들면, 그 구간들의 약 95%가 참 비율을 포함한다.” 그림에서는 50개 중 47개가 그렇고, 빨간색 3개는 빗나가며, 그 구간들에는 빗나간다는 어떤 경고도 없었습니다.

틀린 표현: “p가 0.537과 0.623 사이에 있을 확률이 95%이다.” p는 고정된 값이며, 이 구간은 그것을 포함하거나 포함하지 않거나 둘 중 하나입니다. 또한 성인의 95%나 표본비율의 95%에 관한 말도 아닙니다.

주장 뒷받침하기. 구간 안의 모든 값은 p의 그럴듯한 값입니다.

그럴듯하다고 해서 증명된 것은 아닙니다. 구간은 p = 0.60임을 보이지 않고, 0.60을 배제할 수 없다는 것만 보입니다.

6.3 · 신뢰수준과 폭

신뢰도를 높이면 구간이 넓어지고, 자료가 늘면 다시 좁아진다

신뢰수준이 높을수록 더 큰 z*가 필요하고, 그래서 구간이 넓어집니다. 표본이 클수록 표준오차가 줄어, 구간도 좁아집니다.

모두 같은 p̂ = 0.58에서 나온 값입니다. 그림에서 빨간 구간은 80.0%에서 99.5%까지의 수준을 훑고, 파란 구간은 표본이 네 배이며 오차한계는 절반입니다.

99% 구간은 p를 더 자주 포함하지만 말해 주는 것은 더 적습니다. 높은 신뢰도와 좁은 구간을 둘 다 원하면 더 큰 표본이 필요합니다.

신뢰수준은 자료를 얻기 전에 정하며, 특정한 한 구간이 맞을 확률이 아닙니다. 수준도 n도 구간의 중심은 바꾸지 않습니다: p̂.

6.4 · 검정 설정하기

가설과 조건, p₀와 함께

유의성 검정은 표본이 p에 대한 주장에 반하는 설득력 있는 증거를 주는지 묻는다.

한 휴대폰 제조사는 자사 휴대폰의 25%가 2년 안에 수리가 필요하다고 말한다. 소비자 단체는 그보다 더 많을 것이라고 의심한다. 제조사 휴대폰 중 무작위로 뽑은 400대 가운데 118대가 수리를 받았다: p̂ = 0.295.

여기서 p는 2년 안에 수리가 필요한 제조사 휴대폰 전체의 비율이다. 귀무가설 H₀는 “0.25와 차이가 없다”는 주장이고, 대립가설 H_a는 단체가 증거를 찾고 싶어 하는 주장이다. 가설은 모수 p에 관한 것이며 p̂에 관한 것이 아니고, 데이터를 보기 전에 정한다.

H_a는 문제에 방향이 있으면 단측(> 또는 <)이고, 어떤 차이든 중요하면 양측(≠)이다.

충분한 크기 조건에는 p₀를 쓰고 p̂는 쓰지 않는다. 검정은 H₀가 참일 때 어떤 일이 일어날지를 따지기 때문이다. 그림은 p = 0.25에서 크기 400인 표본 200개를 뽑아 그린 것이다. 표본비율은 중심이 0.25이고 표준편차가 0.0217인 정규분포 곡선 둘레에 쌓인다.

6.5 · p-값 해석하기

H₀이 참이라면 얼마나 놀라운 결과인가

p값은 H₀가 참이라고 가정할 때, 관찰된 통계량만큼 또는 그보다 H_a 방향으로 극단적인 통계량이 나올 확률이다.

그림에서 p = 0.25로 뽑은 표본 200개 중 5개가 0.295 이상이었다. 비율은 0.025로, 정규 모형의 0.019에 가깝다.

상황에 맞게: “전체 제조사 휴대폰의 25%가 수리가 필요하다고 가정하면, 무작위로 뽑은 휴대폰 400대에서 우연만으로 표본비율이 0.295 이상 나올 확률은 0.019이다.”

p값이 작으면 H₀이 참일 때 이런 데이터는 드물다는 뜻이므로 H₀에 반하는 증거가 된다. p값이 크면 H₀에서 흔히 나오는 데이터라는 뜻이므로 반하는 증거가 없다.

아닌 것: H₀이 참일 확률도, 결과가 우연히 일어났을 확률도 아니다. p값은 H₀을 가정하고 계산한다.

양측 H_a에서는 양쪽 꼬리를 모두 센다. p값은 |z| 바깥 넓이의 두 배이다.

6.6 · 검정 결론 내리기

p-값을 α와 비교하기

데이터를 보기 전에 유의수준 α를 정한다. p값이 α보다 작으면 H₀를 기각하고, 아니면 H₀를 기각하지 않는다.

α = 0.05일 때: 0.019 < 0.05이므로 H₀를 기각한다. “p값 0.019이 α = 0.05보다 작으므로 H₀를 기각한다. 2년 안에 수리가 필요한 제조사 휴대폰이 전체의 25%보다 많다는 설득력 있는 증거가 있다.”

α = 0.01일 때: 0.019 > 0.01이므로 H₀를 기각하지 않는다. “수리가 필요한 휴대폰이 25%보다 많다는 설득력 있는 증거는 없다.”

“H₀를 채택한다”고 쓰지 않는다. 주장에 반하는 증거를 찾지 못했다고 해서 그 주장이 참임이 입증되는 것은 아니다.

검정통계량으로도 같은 결정을 내린다. z가 임계값을 넘어서면 기각한다. α = 0.05 단측이면 z* = 1.645이고, 0.01이면 2.326이다. 그림에서 α는 0.005에서 0.1까지 변하며, 파란 영역은 z* 바깥이다. 결정은 z = 2.08를 지날 때 바뀐다.

p값이 α보다 작은 결과를 그 수준에서 통계적으로 유의하다고 한다. 유의하다는 것은 크다거나 중요하다는 것과 같은 말이 아니다.

6.7 · 오류와 검정력

제1종 오류, 제2종 오류, 그리고 검출력

검정은 두 가지 방식으로 틀릴 수 있다. 검출력은 거짓인 H₀를 제대로 기각할 확률이다.

상황에 맞게: 제1종 오류는 실제로는 25%가 수리가 필요한데 25%보다 많다고 결론 내리는 것이다. 제조사가 잘못 비난받는다. 제2종 오류는 실제로 더 많은 수리 비율을 놓치는 것이다. 소유자들은 계속 수리비를 낸다.

참값이 p = 0.3라고 하자. α = 0.05에서 검정은 p̂ > 0.2856일 때 기각한다. n = 400일 때:

검출력은 커진다: 표본이 클수록(그림처럼 곡선이 좁아진다), α가 클수록(α = 0.1, n = 400일 때 0.834), 참인 p가 p₀에서 멀수록. α를 낮추면 제1종 오류는 줄지만 β는 커진다. n이 고정되어 있으면 둘은 맞바꿈 관계이다.

6.8 · 차이에 대한 신뢰구간

서로 독립인 두 표본에서의 p̂₁ − p̂₂

두 비율을 비교하려면 차이를 추정한다: (p̂₁ − p̂₂) ± z* × SE.

청소년 400명과 성인 500명을 각각 독립적으로 무작위 추출했다. 청소년 248명과 성인 255명이 주로 소셜 미디어로 뉴스를 본다고 답했다. p̂₁ = 0.62, p̂₂ = 0.51이고 차이는 0.11이다.

더하는 것은 표준오차가 아니라 분산이다. 독립인 두 추정량의 차이는 각각보다 더 많이 변한다.

어느 쪽이 집단 1인지 밝혀야 한다. 순서에 따라 부호가 정해진다. 성인에서 청소년을 뺀 차이는 (-0.175, -0.045)이 된다.

6.9 · 차이에 대한 주장 정당화하기

0은 p₁ − p₂의 그럴듯한 값인가?

0이 구간 밖에 있으면, 두 비율이 다르다는 설득력 있는 증거가 된다. 0이 구간 안에 있으면 그렇지 않다.

상황에 맞게: “0.045에서 0.175까지의 구간이, 주로 소셜 미디어로 뉴스를 보는 비율의 실제 차이(청소년 − 성인)를 포함한다고 95% 확신한다.”

모든 값이 0보다 크므로, 청소년이 성인보다 그 비율이 더 높다는 설득력 있는 증거가 있다. 차이는 4.5에서 17.5 퍼센트포인트 사이이다.

더 작은 연구. 청소년 100명과 성인 100명에서 같은 p̂를 구하면 (-0.027, 0.247)이 나온다(파란색). 0이 구간 안에 있다. 차이가 0일 가능성도 있으므로 이 데이터는 차이가 있다는 설득력 있는 증거를 주지 못한다.

그렇다고 차이가 없다는 증거는 아니다. 이 구간은 0.25만큼 큰 차이도 허용한다. 표본이 커지면 구간이 좁아진다.

구간이 전부 음수이면 p₁ < p₂라는 증거가 된다. 0을 포함하는 구간은, α = 1 − C인 양측 검정에서 귀무가설을 기각하지 못하는 것과 같은 결론이다.

6.10 · 두 표본 검정 설정하기

H₀: 차이 없음, 그리고 합동 비율

두 표본 z 검정은 두 표본비율의 차이가 우연으로 생기는 차이보다 큰지 묻는다.

한 실험에서 지원자 300명을 무작위로 배정했다. 150명은 문자 알림을 받았고 150명은 받지 않았다. 알림을 받은 집단에서는 87명이 독감 예방접종을 받았고(0.58), 나머지 집단에서는 66명이 받았다(0.44).

여기서 p₁과 p₂는 알림이 있을 때와 없을 때 독감 예방접종을 받을 실제 비율이다.

합동. H₀는 두 비율이 같다고 말하므로, 검정은 두 집단을 합쳐서 그 하나의 공통 값을 추정한다. 이것이 합동(결합) 비율이다. 그림에서는 두 집단이 합쳐지고 접종자가 그 전체에 고르게 퍼진다:

6.11 · 두 표본 검정 수행하기

z, p값, 그리고 상황에 맞는 결론

검정통계량은 관측된 차이가 표준오차의 몇 배인지를 나타내며, 표준오차는 p̂_c로 계산합니다.

p-값 = P(Z ≥ 2.43) = 0.0076, 그림의 빨간 꼬리 부분입니다.

결론. “p-값 0.0076이(가) α = 0.05보다 작으므로 H₀을(를) 기각한다. 문자 알림이 이 자원자들과 비슷한 사람들의 독감 예방접종 비율을 높인다는 설득력 있는 증거가 있다.”

무작위 배정 덕분에 결론을 인과관계로 말할 수 있습니다. 자원자는 무작위 표본이 아니므로, 결론은 이들과 비슷한 사람들에게만 적용됩니다.

검정에서는 H₀이(가) p₁ = p₂라고 하므로 합동 비율을 사용합니다. 이런 가정이 없는 신뢰구간에서는 합동하지 않습니다.