카이제곱 검정

8장 · 카이제곱 검정

관측도수와 기대도수 비교

카이제곱 검정은 범주별 도수가 가설이 예측하는 값에서 너무 멀어서 우연만으로는 설명하기 어려운지를 묻습니다.

한 사탕 회사는 자사의 봉지가 24% blue, 20% orange, 16% green, 14% yellow, 13% red, 13% brown이라고 말합니다. 200개짜리 봉지 하나를 세어 봅니다(검은 막대). 이 주장이 맞다면 파란 사탕은 약 200 × 0.24 = 48개여야 하고, 다른 색도 마찬가지입니다(파란 유령 막대).

정확히 일치하는 봉지는 없습니다. 빨간 막대는 관측도수 − 기대도수인 차이입니다. 각 차이를 제곱해 기대도수로 나누고, 그 조각들을 쌓으면 하나의 수, 즉 카이제곱 통계량 χ² = 12.11이 됩니다.

χ²가 작으면 도수가 주장에 가깝고, 크면 그렇지 않습니다. 이 단원은 얼마나 커야 너무 큰 것인지를 다룹니다. 주장된 분포에 대한 한 변수의 검정(적합도)과 이원표의 검정(동질성과 독립성)을 배웁니다.

8.1 · 내 결과는 예상 밖일까?

우연만으로 나올 수 있는 결과

무작위 표본은 달라집니다. 결과를 판단하려면, 주장이 참일 때 우연만으로 나오는 결과와 비교합니다.

이 그림은 주장된 구성 그대로에서 200개짜리 봉지 300개를 무작위로 채웁니다. 모의 봉지(왼쪽)는 저마다 기대도수에서 조금씩 벗어나고, 그 χ²는 점그림에 점 하나로 찍힙니다.

주장이 참이어도 χ²는 0이 되지 않으며, 보통 몇 정도입니다. 이 300개의 값은 평균이 4.99입니다. 300개 중 10개(빨간색)만 실제 봉지의 12.11 이상이며, 비율은 0.033입니다.

이것이 모든 검정의 논리입니다. 주장이 참이라면, 이 정도로 극단적인 결과가 적어도 얼마나 자주 나올까? 드물다면 그 결과는 주장에 반하는 통계적으로 유의한 증거입니다. 자주 나온다면 주장을 의심할 근거가 없다는 뜻이며, 주장이 참이라는 증명은 아닙니다.

회색 곡선은 점들이 쌓여 가며 가까워지는 χ² 분포입니다. 이 곡선을 쓰면 모의실험 없이 확률을 구할 수 있습니다(8.3).

8.2 · 적합도 검정 설정하기

가설, 기대도수, 조건

카이제곱 적합도 검정은 하나의 범주형 변수의 분포가 주장된 분포와 일치하는지 검정합니다.

가설은 표본 도수가 아니라 모집단의 비율에 관한 것입니다.

H₀: p_파랑 = 0.24, p_주황 = 0.2, … , p_갈색 = 0.13 (주장된 분포가 옳다).
H_a: 적어도 한 비율이 주장과 다르다.

H_a는 “모두 다르다”가 아니며, 방향도 정하지 않습니다.

기대도수는 H₀으로 구한 n × p_i입니다.

합은 n = 200이며, 정수일 필요는 없습니다. 반올림하지 마세요.

조건. 무작위: 무작위 표본(또는 무작위 배정 실험)이어야 합니다. 10%: 비복원추출이면 n ≤ 모집단의 10%여야 합니다(사탕 200개는 이 회사 전체 사탕의 10%보다 훨씬 적습니다). 충분히 큰 도수: 모든 기대도수가 5 이상이어야 하며, 여기서 가장 작은 값은 26입니다. 관측도수가 아니라 기대도수를 확인하세요.

8.3 · 카이제곱 통계량

제곱한 차이를 기대도수로 나눈 값

χ² 통계량은 모든 범주에 대해, 관측도수와 기대도수의 차이를 제곱해 기대도수로 나눈 값을 더한 것입니다.

차이의 합은 항상 0이므로 그대로 더할 수 없습니다. 제곱하면 모든 차이가 반영됩니다. E로 나누면 기대도수가 작을 때 같은 차이가 더 크게 반영됩니다. 기대 20에서 10이 모자란 것은 기대 200에서 10이 모자란 것보다 중요합니다.

자유도는 범주 수에서 1을 뺀 값입니다. df = 6 − 1 = 5. 다섯 개의 도수를 알면 여섯 번째는 전체 합계로 정해집니다.

가장 큰 기여는 데이터와 주장이 가장 크게 어긋나는 곳을 알려 줍니다. 12.11 중 blue, 4.08에서 관측 34, 기대 48로, 주장보다 blue 사탕이 적습니다.

8.3 · p-값과 결론

꼬리 쪽으로 얼마나 먼가

p값은 검정의 df를 가진 χ² 곡선에서 관측된 χ² 이상 구간의 넓이입니다. 큰 값이 H₀에 반하는 증거이므로 이 검정은 항상 오른쪽 꼬리를 봅니다.

8.1의 모의실험에서는 0.033이 나왔으며, 거의 같은 답입니다.

해석. 회사가 주장한 분포가 옳다고 가정하면, 사탕 200개의 무작위 표본에서 우연만으로 χ²가 12.11 이상 나올 확률은 0.033입니다.

결론. p = 0.033 < α = 0.05이므로 H₀을 기각합니다. 이 회사 사탕의 색 분포가 주장과 다르다는 설득력 있는 증거가 있습니다.

기술 도구 대신 표를 쓰면, df = 5이고 꼬리 확률이 0.05일 때 임계값은 χ²* = 11.07입니다(파란색). 12.11 > 11.07이므로 p < 0.05입니다.

p가 α보다 컸다면 결론은 “분포가 다르다는 설득력 있는 증거가 없다”입니다. “주장이 옳다”나 “H₀을 채택한다”라고는 하지 마세요. 또 χ² 검정은 분포가 어느 방향으로 어긋났는지는 알려 주지 못합니다. 그럴 때는 가장 큰 기여를 살펴보세요.

8.3 · 카이제곱 분포

df마다 하나씩 있는 분포족

χ² 분포는 자유도마다 하나씩 있는 밀도 곡선의 집합입니다.

χ²는 제곱의 합이므로 0 이상의 값만 가집니다. 모든 곡선은 오른쪽으로 치우쳐 있습니다. 평균은 df이고, df ≥ 2이면 최댓값은 df − 2에 있습니다.

df가 커지면 곡선은 오른쪽으로 이동하고, 퍼지며, 치우침이 줄어듭니다(빨간 곡선은 df = 1에서 12까지 바뀝니다). 범주가 많을수록 합에 더해지는 조각이 많아지므로, H₀이 참이어도 더 큰 χ²가 예상됩니다.

그래서 같은 χ²가 어떤 df에서는 강한 증거이고 다른 df에서는 증거가 되지 못할 수 있습니다. 오른쪽 임계값은 다음과 같습니다.

간단한 점검: df 근처의 χ²는 평범합니다. 사탕의 12.11는 df 5의 두 배보다 큽니다.

χ² 분포는 통계량의 실제 표본분포에 대한 근사일 뿐입니다. 모든 기대도수가 5 이상이면 근사가 좋으며, 그래서 이 조건이 중요합니다.

8.4 · 이원표의 기대도수

주변 합계로부터

이원표에서 각 기대도수는 행 합계와 열 합계를 곱해 표 전체 합계로 나눈 값입니다.

성인 400명을 무작위로 뽑아 연령대와 주된 뉴스 출처로 분류했습니다. 관측도수와 괄호 안의 기대도수는 다음과 같습니다.

원리. 전체적으로 성인 400명 중 144명(36%)이 뉴스를 online에서 얻습니다. 연령대가 영향을 주지 않는다면, 18–34인 성인 134명도 같은 비율일 것입니다. 134 × 144/400 = 48.24.

기대도수의 주변 합은 관측도수와 같습니다. 그림은 칸을 하나씩 계산합니다. 빨간 뚜껑이 기대도수이고, 파란 타일 두 개가 그 값을 만드는 두 합계입니다.

소수점 이하를 유지하세요. 기대도수는 여러 표본에 대한 평균이지, 실제로 관측될 수 있는 도수가 아닙니다.

8.5 · 동질성일까, 독립성일까?

연구 설계가 결정한다

같은 이원분류표라도 두 가지 설계에서 나올 수 있고, 어떤 검정을 쓸지는 설계가 정합니다.

동질성(왼쪽): 여러 모집단(또는 실험의 여러 집단)에서 각각 따로 무작위 표본을 뽑고, 범주형 변수 하나를 기록합니다. 여기서는 연령대별로 표본을 뽑아 각 사람에게 뉴스 이용 경로를 물었습니다. 행의 합계는 설계에서 정해집니다.

H₀: 세 연령대 모두에서 뉴스 이용 경로의 분포가 같다. H_a: 뉴스 이용 경로의 분포가 세 연령대에서 같지 않다.

독립성(오른쪽): 하나의 모집단에서 하나의 무작위 표본을 뽑고, 각 개인에 대해 범주형 변수 두 개를 기록합니다. 표 전체의 합계만 정해져 있고, 각 연령대에 몇 명이 속하는지는 우연에 달려 있습니다.

H₀: 성인에서 연령대와 뉴스 이용 경로 사이에 연관성이 없다(서로 독립이다). H_a: 연관성이 있다(독립이 아니다).

계산 과정은 같습니다. 기대도수, χ², df, p-값을 구합니다. 두 경우 모두 조건은 무작위 표본(또는 무작위 배정), 각 표본이 모집단의 10% 이하, 모든 기대도수가 5 이상입니다.

8.6 · 이원표 검정 수행하기

χ²과 df = (r − 1)(c − 1)

이원분류표에서 χ²는 모든 칸의 (O − E)²/E를 더한 값이고, df = (행 수 − 1)(열 수 − 1)입니다.

뉴스 이용 경로 표본은 변수가 두 개인 하나의 표본이므로, α = 0.05에서 독립성 검정을 합니다.

H₀: 성인에서 연령대와 주된 뉴스 이용 경로는 독립이다. H_a: 둘은 연관되어 있다.

조건. 무작위 표본이고, 400은(는) 전체 성인의 10% 미만이며, 가장 작은 기대도수는 35.6로 5 이상입니다.

각 칸의 기여값(빨간 기둥):

(r − 1)(c − 1)인 이유: 주변합이 고정되어 있으면 표의 2 × 2 모서리를 채우는 순간 나머지 칸은 합계로부터 모두 정해집니다.

기여값이 가장 큰 칸: 18–34, online(5.15: 관측 64, 기대 48.2), 그리고 18–34, print(4.10: 관측 24, 기대 36.2). 젊은 성인은 온라인 쪽으로 기울고 인쇄 매체와는 멀어집니다.

8.6 · 상황에 맞춘 결론

원인이 아니라 연관성의 증거

p값은 df = (r − 1)(c − 1)인 곡선에서 χ² 바깥쪽의 넓이이며, 결론은 모집단에 대해 상황에 맞게 씁니다.

결론. p = 0.0046 < α = 0.05이므로 H₀을 기각합니다. 성인의 연령대와 주된 뉴스 출처 사이에 연관성이 있다는 확실한 증거가 있습니다.

임곗값으로 판단하면: df = 4일 때 χ²* = 9.49이고, 15.06 > 9.49입니다.

인과가 아닙니다. 이것은 관찰 연구입니다. 검정은 연관성을 찾아낼 뿐, 나이가 뉴스 출처 선택의 원인이라는 것은 말해 주지 않습니다. 처리 집단들 사이의 동질성을 검정하는 무작위 실험만이 인과를 보여 줄 수 있습니다.

같은 도수가 세 개의 독립된 표본에서 나왔다면 결론은 이렇게 씁니다: 뉴스 출처의 분포가 세 연령대 사이에 다르다는 확실한 증거가 있습니다.

흔한 실수. 표본에 대해 가설 쓰기, 도수 대신 백분율 사용하기, 기대도수가 아닌 관측도수 확인하기, df = rc − 1로 계산하기, p가 크다고 H₀이 참이라고 결론짓기.

8.7 · Selecting a procedure

비율의 z, 또는 χ²

범주형 데이터에서는 표본이 몇 개인지, 변수가 몇 개인지, 범주가 몇 개인지에 따라 방법이 정해집니다.

z 절차는 추정을 합니다. 신뢰구간을 주고 단측 H_a(“더 크다”)도 쓸 수 있습니다. χ² 검정은 검정만 하며, H_a에는 방향이 없습니다.

집단이 둘이고 범주가 둘이면, 양측 H_a를 쓴 두 표본 z 검정과 χ² 동질성 검정의 p-값은 같습니다(χ² = z²).

먼저 설계를 읽으세요. 표본을 어떻게 뽑았고, 각 개인에 대해 무엇을 기록했나요? 그림은 각 설계가 데이터에 남기는 모양을 보여 주고, 문제마다 하나를 고르게 합니다.