Statistics · AP Statistics
Menjelajahi data dua variabel
diagram pencar dan garis kuadrat terkecil
Dua hal diukur pada setiap individu: apakah yang satu memberi tahu kita tentang yang lain, dan seberapa besar?
Ilmuwan forensik memperkirakan tinggi badan seseorang dari satu tulang saja. Gambar ini memplot panjang tulang paha (femur) terhadap tinggi badan untuk 14 orang dewasa. Orang yang lebih tinggi memiliki tulang paha yang lebih panjang, dan titik-titiknya berada dekat suatu garis lurus.
Garis yang mana? Sebuah garis percobaan melewati titik-titik itu dan meleset dari masing-masing sebesar residual, berwarna merah. Kuadratkan setiap residual (persegi merah) lalu jumlahkan luasnya. Saat garis percobaan berputar, luas totalnya berubah; garis kuadrat terkecil adalah garis yang membuatnya paling kecil: di sini ŷ = 49.8 + 2.64x, dengan luas total 126 cm².
Bab ini dimulai dengan variabel kategorik (tabel dua arah, diagram batang, persentase bersyarat), lalu menjelaskan diagram pencar, mengukur asosiasi linear dengan korelasi r, mencocokkan dan memeriksa garis kuadrat terkecil, dan menanyakan apa pengaruh satu titik yang tidak biasa, atau sebuah kurva, terhadap garis itu.
pola, atau kebetulan?
Dua variabel berasosiasi ketika mengetahui nilai yang satu memberi tahu sesuatu tentang nilai yang lain.
Statistika dimulai dengan pertanyaan tentang variasi. Apakah orang dewasa dengan tulang paha lebih panjang cenderung lebih tinggi? Apakah cara siswa berangkat ke sekolah bergantung pada tempat tinggalnya? Setiap pertanyaan memasangkan dua variabel yang diukur pada individu yang sama.
Data selalu bervariasi, sehingga suatu pola bisa muncul hanya karena kebetulan. Gambar ini mengujinya. Di kiri adalah pasangan data yang asli, r = 0.95. Di kanan, 14 tinggi badan yang sama diacak di antara 14 tulang paha yang sama, berulang kali. Pengacakan memutus hubungan yang sebenarnya, sehingga pola apa pun yang tersisa adalah kebetulan.
Di bawah, korelasi dari masing-masing 40 pengacakan. Nilainya tersebar di sekitar 0, dan yang terjauh adalah −0.81. Nilai asli 0.95 berada di luar semuanya: kebetulan saja bukan penjelasan yang masuk akal untuk pola sekuat ini.
Itulah penalaran seluruh mata pelajaran ini dalam bentuk mini: tanyakan apa yang akan dihasilkan oleh kebetulan saja, lalu lihat apakah data tampak seperti itu. Unit-unit berikutnya membuatnya tepat.
tabel dua arah dan diagram batang
Tabel dua arah menghitung individu pada setiap kombinasi dua variabel kategorik.
300 siswa ditanya di mana mereka tinggal dan bagaimana biasanya mereka berangkat ke sekolah:
| jalan kaki atau bersepeda | bus | car | total |
|---|
| city | 48 | 36 | 16 | 100 |
|---|
| suburb | 22 | 50 | 48 | 120 |
|---|
| rural | 6 | 30 | 44 | 80 |
|---|
| total | 76 | 116 | 108 | 300 |
|---|
Total di tepi adalah cacah marginal: masing-masing variabel sendiri. 108 dari 300 siswa datang dengan mobil, apa pun tempat tinggalnya.
Diagram batang berdampingan (kiri) menggambar cacahnya. Mudah dibaca tetapi sulit dibandingkan ketika ukuran kelompok berbeda: ada 120 siswa pinggiran kota tetapi hanya 80 siswa desa, sehingga cacah menyesatkan.
Diagram batang tersegmen (kanan) mengatasinya: setiap kelompok adalah satu batang setinggi 100%, dibagi menurut proporsi siswanya sendiri. Siswa desa datang dengan mobil sebanyak 55% dari waktu ke waktu, siswa kota 16%. Plot mosaik (2.3) juga membuat lebar setiap batang sesuai dengan ukuran kelompoknya.
Pilih variabel yang membagi batang berdasarkan pertanyaannya. Untuk membandingkan cara bepergian di tiap tempat, buat satu batang per tempat.
tiga jenis frekuensi relatif
Frekuensi relatif membagi sebuah frekuensi dengan suatu total. Total mana yang kamu pakai sebagai pembagi menentukan maknanya.
- Gabungan: satu sel dibagi total tabel. 44 dari 300 siswa tinggal di perdesaan dan datang dengan mobil: 44/300 = 14.7%.
- Marginal: total satu baris atau kolom dibagi total tabel. 108/300 = 36% dari seluruh siswa datang dengan mobil.
- Bersyarat: satu sel dibagi total baris atau kolomnya sendiri. Dari siswa perdesaan, 44/80 = 55% datang dengan mobil. Dari pengguna mobil, 44/108 = 40.7% tinggal di perdesaan.
Dua yang terakhir berbeda: 'dari siswa perdesaan, proporsi yang naik mobil' dan 'dari pengguna mobil, proporsi yang tinggal di perdesaan' dibagi dengan total yang berbeda. Baca kalimatnya untuk kelompok yang disebut setelah dari, atau setelah diberikan: total itulah penyebutnya.
Plot mosaik menunjukkan ketiganya sekaligus. Lebar tiap kolom adalah proporsi marginal tempat tinggalnya; tinggi tiap blok adalah proporsi bersyarat dalam tempat tinggal itu; jadi luas tiap blok adalah proporsi gabungan. Blok mobil di perdesaan adalah 14.7% dari seluruh mosaik.
bandingkan distribusi bersyarat
Dua variabel kategorik berasosiasi jika distribusi bersyarat salah satunya berbeda di antara kategori variabel yang lain.
Distribusi bersyarat cara berangkat untuk tiap tempat tinggal, dan untuk semua siswa secara bersama:
| jalan kaki atau bersepeda | bus | car |
|---|
| city | 48% | 36% | 16% |
|---|
| suburb | 18% | 42% | 40% |
|---|
| rural | 8% | 38% | 55% |
|---|
| semua | 25% | 39% | 36% |
|---|
Jika cara berangkat tidak bergantung pada tempat tinggal, setiap baris akan sama dengan baris 'semua', dan batang tersegmen akan terpotong pada tinggi yang sama. Ternyata tidak: proporsi pengguna mobil naik dari 16% di kota menjadi 40% di pinggiran kota dan 55% di perdesaan, sedangkan proporsi yang berjalan kaki atau bersepeda turun dari 48% menjadi 8%. Ada asosiasi antara tempat tinggal siswa dan cara mereka berangkat ke sekolah.
Bandingkan persentase, bukan frekuensi. 48 pengguna mobil dari pinggiran kota lebih banyak daripada 44 dari perdesaan, tetapi proporsi siswa pinggiran kota yang naik mobil lebih kecil.
Asosiasi dalam data bukan bukti sebab-akibat. Tinggal di perdesaan belum tentu menjadi penyebab langsung naik mobil: jarak ke sekolah, variabel yang tidak ada dalam tabel, mungkin menjelaskan sebagian besarnya. Bab 8 menguji apakah perbedaan seperti itu bisa terjadi karena kebetulan (uji χ²).
arah, bentuk, kekuatan, dan keunikan data
Diagram pencar menunjukkan dua variabel kuantitatif yang diukur pada individu yang sama, satu titik untuk tiap individu.
Variabel penjelas diletakkan pada sumbu-x: variabel yang dapat menjelaskan atau memprediksi. Variabel respons diletakkan pada sumbu-y: hasilnya. Di sini panjang tulang paha menjelaskan tinggi badan.
| tulang paha (cm) | 39.0 | 39.8 | 40.7 | 40.9 | 40.9 | 43.1 | 43.5 |
|---|
| tinggi badan (cm) | 154.3 | 152.9 | 160.5 | 162.1 | 156.1 | 159.8 | 162.2 |
|---|
| tulang paha (cm) | 44.1 | 45.2 | 46.5 | 46.9 | 47.2 | 48.7 | 49.8 |
|---|
| tinggi badan (cm) | 163.3 | 168.2 | 169.7 | 180.1 | 172.3 | 178.2 | 183.1 |
|---|
Deskripsikan diagram pencar dengan empat ciri, sesuai konteks:
- Arah: positif (x yang lebih besar disertai y yang lebih besar), negatif, atau tidak keduanya.
- Bentuk: linear, melengkung, atau berkelompok.
- Kekuatan: seberapa dekat titik-titik mengikuti bentuknya: kuat, sedang, atau lemah.
- Keunikan: pencilan, celah, kelompok.
Di sini: ada asosiasi linear positif yang kuat antara panjang tulang paha dan tinggi badan orang dewasa ini, tanpa pencilan yang jelas. Plot-plot kecil menunjukkan pola lain: pola negatif yang lebih lemah, kurva yang kuat, dan tanpa pola.
kekuatan asosiasi linear, sebagai sebuah angka
Korelasi r mengukur arah dan kekuatan asosiasi linear antara dua variabel kuantitatif.
Standarkan tiap variabel: zx dan zy menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai berada dari rata-ratanya. Garis pada rata-rata membagi plot menjadi empat kuadran. Titik di kanan atas (atau kiri bawah) memiliki hasil kali positif zxzy, berupa persegi panjang merah; kiri atas atau kanan bawah memiliki hasil kali negatif, berwarna biru.
Jumlahkan luas bertandanya dan bagi dengan n − 1. Untuk tulang paha, 14 hasil kali berjumlah 12.305, dan 12.305/13 = 0.947. Hampir seluruh luas berwarna merah: asosiasi positif yang kuat.
r berada di antara −1 dan 1. Tandanya adalah arah; besarnya adalah kekuatan: mendekati ±1 titik-titik berada dekat garis, mendekati 0 tidak ada pola linear. Interpretasikan dalam konteks: r = 0.95 berarti ada asosiasi linear positif yang kuat antara panjang tulang paha dan tinggi badan.
Pada ujian, cari r dengan kalkulator; pahami maknanya.
hanya linear, sensitif terhadap pencilan, bukan sebab-akibat
r adalah ringkasan pola garis lurus. Selalu lihat diagram pencar terlebih dahulu.
- Hanya linear. Plot merah memiliki hubungan melengkung yang kuat, tetapi r = −0.02. r mendekati 0 berarti tidak ada asosiasi linear, bukan tidak ada asosiasi. r yang tinggi juga tidak membuktikan bahwa garis adalah bentuk yang tepat.
- Tanpa satuan. r tidak berubah jika salah satu variabel berganti satuan: dengan tulang paha dalam inci, r tetap 0.947. Menukar x dan y tidak mengubahnya.
- Tidak resisten. Seperti rata-rata, r dapat berubah banyak karena satu titik pencilan (2.9).
- Bukan sebab-akibat. Korelasi yang kuat tidak berarti mengubah x akan mengubah y. Variabel pengganggu dapat memengaruhi keduanya (penjualan es krim dan kasus tenggelam sama-sama naik saat cuaca panas), atau hubungannya bisa berlawanan arah. Hanya eksperimen yang dirancang dengan baik (Bab 3) yang menunjukkan sebab-akibat.
Empat plot kecil: kuat, positif, linear, r = 0.97; sedang, negatif, linear, r = −0.71; kuat, melengkung, r = −0.02; tidak ada asosiasi, r = 0.01.
garis untuk memprediksi y dari x
Garis regresi memodelkan bagaimana respons y berubah terhadap penjelas x, dan memprediksi y untuk suatu x.
ŷ (y-topi) adalah nilai prediksi, bukan nilai pengamatan: tulislah topinya. b adalah kemiringan dan a adalah perpotongan sumbu-y. Tulis model dalam konteks: tinggi prediksi = 49.8 + 2.64 (panjang tulang paha).
Memprediksi. Untuk tulang paha 45.0 cm, ŷ = 49.8 + 2.64(45.0) = 168.5 cm. Itulah tinggi rata-rata menurut model untuk orang dewasa dengan panjang tulang paha tersebut; setiap orang bisa lebih tinggi atau lebih pendek.
Ekstrapolasi adalah memprediksi di luar rentang x pada data, di sini 39.0 sampai 49.8 cm. Garis tidak memiliki bukti di sana: bentuknya mungkin berubah. Tulang paha anak sepanjang 30 cm memberi ŷ = 128.9 cm, dari model yang hanya dibangun dari orang dewasa. Pada gambar, titik berubah menjadi abu-abu setiap kali keluar dari rentang data.
apa yang terlewat oleh garis, dan plot residu
Residu adalah nilai pengamatan dikurangi nilai prediksinya: seberapa jauh titik berada di atas atau di bawah garis.
Orang dewasa dengan tulang paha 46.9 cm memiliki tinggi 180.1 cm. Garis memprediksi 173.5 cm, sehingga residunya 180.1 − 173.5 = 6.6 cm: 6.6 cm lebih tinggi dari prediksi. Residu negatif berarti garis melebih-lebihkan. Untuk garis kuadrat terkecil, jumlah residunya 0.
Plot residu menggambarkan setiap residu terhadap x (atau terhadap ŷ). Pada gambar, setiap residu turun dari diagram pencar ke plot di bawahnya: garis diletakkan mendatar pada 0.
- Tanpa pola, sebaran merata di sekitar 0: model linear sesuai. Itulah yang ditunjukkan data tulang paha.
- Kurva pada residu: hubungannya tidak linear; bentuk lain akan lebih cocok (2.9).
- Kipas, sebaran membesar seiring x: prediksi kurang tepat untuk x yang lebih besar.
Plot residu menunjukkan pola sisa dengan lebih jelas daripada diagram pencar, karena tren garis sudah dihilangkan.
garis yang membuat jumlah kuadrat residu terkecil
Garis regresi kuadrat terkecil adalah garis yang membuat jumlah kuadrat residu sekecil mungkin.
Di sebelah kanan, jumlah kuadrat residu untuk tiap kemiringan (tiap garis melalui titik rata-rata): sebuah parabola, terendah pada b = 2.64. Kemiringan lain memberi total yang lebih besar.
Jadi garis selalu melalui (x̄, ȳ) = (44.02, 165.91), dan kemiringannya bertanda sama dengan r. Kenaikan satu simpangan baku pada x memprediksi kenaikan r simpangan baku pada y: kurang dari satu, yaitu 'regresi ke rata-rata'.
Menginterpretasi. Kemiringan: untuk setiap tambahan 1 cm panjang tulang paha, tinggi prediksi bertambah sekitar 2.64 cm. Perpotongan: orang dewasa dengan tulang paha 0 cm akan memiliki tinggi prediksi 49.8 cm; itu ekstrapolasi dan tidak bermakna di sini, seperti yang sering terjadi pada perpotongan.
Meregresikan x terhadap y menghasilkan garis yang berbeda. Prediksikan respons dari variabel penjelas, bukan sebaliknya.
seberapa baik garis cocok, dan seberapa jauh biasanya meleset
Dua bilangan menunjukkan seberapa baik prediksi garis tersebut: koefisien determinasi r2 dan simpangan baku residual s.
Perangkat lunak menampilkan garis seperti ini:
| Prediktor | Koef | SE Koef |
|---|
| Konstanta | 49.807 | 11.454 |
| Femur | 2.6375 | 0.2594 |
S = 3.2393 R-sq = 89.6%
Baca a di samping Konstanta dan b di samping variabel penjelas: ŷ = 49.8 + 2.64x. (SE Koef dibahas di Bab 9.)
r2 = 89.6%: tanpa garis, jumlah kuadrat simpangan tinggi badan dari ȳ adalah 1210 cm²; terhadap garis, 126. Garis menghilangkan 1 − 126/1210 = 89.6% dari jumlah itu. Dalam konteks: sekitar 89.6% variasi tinggi badan dijelaskan oleh model linear dengan panjang femur.
s = 3.24 cm, dihitung dari residual (dibagi n − 2):
Dalam konteks: tinggi badan sebenarnya biasanya berbeda sekitar 3.2 cm dari tinggi yang diprediksi garis. Pita biru adalah ŷ ± s.
apa yang dapat dilakukan satu titik terhadap garis
Satu titik yang tidak biasa dapat mengubah regresi sangat besar, atau hampir tidak sama sekali. Letaknya yang menentukan.
- Pencilan dalam regresi adalah titik dengan residual besar: jauh di atas atau di bawah garis.
- Titik berpengaruh tinggi (leverage tinggi) memiliki nilai x yang jauh dari x̄. Titik ini mampu memiringkan garis.
- Titik berpengaruh (influential) adalah titik yang jika dihapus mengubah kemiringan, intersep, atau korelasi secara nyata. Titik leverage tinggi sering kali demikian.
Titik merah ditambahkan ke 14 orang dewasa dan digeser. Garis abu-abu adalah tanpa titik itu:
| titik ke-15 | b | a | r |
|---|
| tidak ada | 2.64 | 49.8 | 0.947 |
| (66, 223.9) | 2.64 | 49.8 | 0.985 |
| (66, 197.9) | 1.76 | 88.0 | 0.931 |
| (44, 183.9) | 2.64 | 51.1 | 0.846 |
Jauh di kanan dan pada garis: leverage tinggi tetapi tidak berpengaruh pada kemiringan; bahkan menaikkan r. Jauh di kanan dan di bawah garis: titik ini menyeret kemiringan dari 2.64 menjadi 1.76, berpengaruh. Dekat x̄ dan jauh di atas: pencilan yang menurunkan r menjadi 0.846 tetapi nyaris tidak menggeser kemiringan.
Jangan langsung menghapus titik yang tidak biasa. Periksa apakah ada kesalahan; jika titik itu nyata, laporkan hasil kecocokan dengan dan tanpa titik tersebut.
logaritma meluruskan pertumbuhan eksponensial
Ketika diagram pencar melengkung, transformasi variabel dapat membuatnya linear; lalu garis kuadrat terkecil dapat memodelkannya.
Kultur bakteri dihitung setiap jam selama 10 jam. Jumlahnya melengkung naik: setiap jam jumlah dikalikan, bukan ditambah. Garis cocok dengan buruk meskipun r = 0.900: plot residualnya jelas melengkung.
Ambil logaritma dari jumlahnya. Pertumbuhan eksponensial menjadi linear: gambar berpindah di antara keduanya. Terhadap t, log10(jumlah) berbentuk lurus, r = 0.998, dan residualnya tidak menunjukkan pola.
Memprediksi membutuhkan transformasi dikembalikan. Pada t = 8.5 jam: log10(jumlah) = 1.594 + 0.1626(8.5) = 2.976, sehingga jumlah ≈ 102.976 = 946. Kemiringan menunjukkan bahwa jumlah prediksi dikalikan 100.1626 = 1.454 setiap jam.
Kurva lain memerlukan transformasi lain: log y terhadap log x meluruskan model pangkat, y = axb; akar kuadrat atau kebalikan dapat meluruskan yang lain. Pilih transformasi yang plot residualnya tidak menunjukkan pola.
← Menjelajahi data satu variabel · Pengumpulan data →