Statistics · AP Statistics
Pengumpulan data
sampel, eksperimen, dan bias
Apa yang dapat dikatakan data bergantung pada cara data itu dikumpulkan. Sampel yang baik memungkinkanmu berbicara mewakili seluruh populasi; eksperimen yang baik memungkinkanmu berbicara tentang sebab dan akibat.
Gambar ini menunjukkan sekolah dengan 200 siswa, masing-masing satu bola. Bola yang gelap memiliki SIM: 87 siswa, dengan proporsi 0.435. Orang yang melakukan survei tidak akan tahu angka itu. Mereka akan menanyai sebuah sampel.
Komputer memilih 20 siswa secara acak (merah), dan proporsi mereka yang punya SIM, p̂, jatuh ke plot titik. Setiap sampel memberi jawaban berbeda, tetapi jawaban-jawaban itu menumpuk di sekitar nilai sebenarnya.
Bab ini membahas cara memperoleh data yang dapat dipercaya: bagaimana memilih siapa yang diukur, cara sampel bisa keliru, cara merancang eksperimen, dan kesimpulan apa yang diizinkan oleh tiap jenis studi.
apakah data yang kita kumpulkan mengatakan yang sebenarnya?
Data bervariasi. Dua sampel acak dari populasi yang sama memberi jawaban berbeda, dan statistika adalah ilmu yang mempelajari variasi itu.
40 sampel berukuran 20 menghasilkan nilai p̂ dari 0.25 sampai 0.60. Tidak ada yang salah dikerjakan: inilah variabilitas sampling, variasi kebetulan dari sampel acak. Nilai-nilai itu berpusat di 0.434, dekat dengan nilai sebenarnya 0.435, dan simpangan bakunya 0.107.
Jadi jawaban dari satu sampel adalah sebuah taksiran, bukan kebenaran. Sebelum memercayai suatu angka, tanyakan bagaimana angka itu dihasilkan:
| pertanyaan | mengapa penting |
|---|
| Siapa yang diukur, dan bagaimana mereka dipilih? | Hanya sampel acak yang dapat mewakili populasi. |
| Apakah ada perlakuan yang diberikan, dan siapa yang menentukan siapa yang menerimanya? | Hanya penugasan acak yang menunjukkan sebab dan akibat. |
| Apa yang diukur, dan bagaimana pertanyaannya diajukan? | Pertanyaan yang mengarahkan atau pengukuran yang buruk menyesatkan, bagaimanapun sampelnya dipilih. |
| Mungkinkah kebetulan saja menjelaskan hasilnya? | Selalu ada variasi; suatu pola harus lebih besar daripada yang dihasilkan oleh kebetulan. |
Dua pertanyaan pertama adalah isi bab ini. Yang terakhir adalah sisa mata pelajaran ini: apakah suatu hasil lebih besar daripada yang wajar dihasilkan oleh variasi acak.
populasi, sampel, dan sensus
Populasi adalah seluruh kelompok yang ingin kamu ketahui. Sampel adalah bagian darinya yang benar-benar kamu ukur.
Sebutkan populasi dengan tepat: “semua 200 siswa di sekolah ini”, bukan “remaja”. Kesimpulan hanya berlaku sejauh populasi yang disampel.
Sensus mengukur setiap anggota populasi. Untuk satu sekolah hal ini bisa dilakukan; untuk satu negara, sensus lambat dan mahal, dan untuk beberapa pertanyaan mustahil (menguji setiap bola lampu sampai padam tidak menyisakan satu pun untuk dijual). Sampel yang dipilih dengan baik lebih murah dan cepat, dan biasanya sudah cukup.
Parameter adalah angka yang menggambarkan populasi; statistik menggambarkan sampel, dan digunakan untuk menaksir parameter:
Parameter biasanya tidak diketahui dan tetap; statistik diketahui dan bervariasi dari sampel ke sampel. Proporsi adalah p dan p̂; rata-rata adalah μ dan x̄.
Generalisasi. Hasil dapat diperluas dari sampel ke populasi hanya jika sampel dipilih secara acak dari populasi itu. Data dari siapa saja yang kebetulan mudah dijangkau hanya menggambarkan orang-orang itu.
mengamati, atau memberi perlakuan
Studi observasional mencatat apa yang sudah dilakukan subjeknya, tanpa mengubah apa pun. Eksperimen dengan sengaja memberikan perlakuan dan mengukur responsnya.
Apakah kopi sebelum ujian membantu? 24 siswa yang sama dikelompokkan dua kali. Bola gelap tidur 8 jam atau lebih.
Atas: observasional. Para siswa memilih sendiri. Siswa yang lelah mengambil kopi, sehingga kelompok kopi memiliki 3 dari 12 yang cukup istirahat dan kelompok lainnya 9 dari 12. Jika skor kedua kelompok berbeda, apakah itu karena kopi atau tidur? Kita tidak dapat mengetahuinya.
Tidur adalah variabel perancu: berkaitan dengan variabel penjelas (kopi) dan memengaruhi respons (skor), sehingga kedua pengaruh itu tidak dapat dipisahkan.
Bawah: eksperimen. Pengacakan menentukan, dan tidur tidak berperan: 7 dan 5 yang cukup istirahat. Penugasan acak cenderung menyeimbangkan setiap variabel lain di antara kelompok, baik yang kamu ketahui maupun yang tidak.
Jadi studi observasional hanya dapat menunjukkan asosiasi, tidak pernah sebab dan akibat. Studi retrospektif menengok catatan masa lalu; studi prospektif mengikuti subjeknya ke depan dan mencatat seiring waktu. Survei sampel juga merupakan studi observasional.
Aturan untuk seluruh bab ini: generalisasi ke populasi membutuhkan sampling acak; menyimpulkan sebab dan akibat membutuhkan penugasan acak.
sampel acak sederhana
Sampel acak sederhana (SRS) berukuran n dipilih sedemikian rupa sehingga setiap himpunan yang terdiri dari n individu dalam populasi memiliki peluang yang sama untuk menjadi sampel.
Dengan tabel digit acak:
1. Beri label setiap siswa dengan bilangan tiga digit yang berbeda, 001 sampai 200.
2. Baca digit tiga demi tiga.
3. Lewati 000, bilangan di atas 200, dan pengulangan, sampai 20 siswa terpilih.
| 14904 | 88119 | 15775 | 17904 | 80263 | 20028 | 06413 | 17966 | 25544 |
| digit | 149 | 048 | 811 | 915 | 775 | 179 | 048 | 026 | 320 | 028 | 064 | 131 | 796 | 625 | 544 |
|---|
| ✓ | ✓ | – | – | – | ✓ | rep. | ✓ | – | ✓ | ✓ | ✓ | – | – | – |
|---|
7 siswa pertama yang terpilih adalah 149, 048, 179, 026, 028, 064, 131. Jika dilanjutkan sepanjang tabel, 115 kelompok tiga digit memberikan seluruh 20. Dalam sampel ini 9 dari 20 punya SIM: p̂ = 0.45.
Dengan pembangkit bilangan acak: bangkitkan bilangan bulat dari 1 sampai 200, abaikan pengulangan, sampai terkumpul 20. Atau tulis setiap nama pada secarik kertas yang identik, aduk rata dalam topi, dan tarik 20.
Sampel orang diambil tanpa pengembalian: setelah terpilih, seorang siswa tidak dapat dipilih lagi. Pengambilan dengan pengembalian mengembalikan setiap orang, sehingga bisa terambil dua kali.
Dalam SRS, peluang setiap siswa terpilih adalah n/N = 20/200 = 0.1. Namun peluang yang sama bagi individu belum cukup: metode pada halaman berikutnya memberi setiap siswa 0.1 yang sama, tetapi tidak setiap himpunan yang terdiri dari 20 mungkin terjadi.
peluang, selangkah demi selangkah
Metode acak lainnya menggunakan peluang secara bertahap. Masing-masing bisa lebih murah daripada SRS, atau lebih presisi.
Sampel acak berstrata. Bagi populasi menjadi kelompok-kelompok individu yang mirip, yaitu strata; ambil SRS dari setiap stratum lalu gabungkan. Di sini strata-nya adalah kelas, masing-masing 5 siswa dari setiap kelas.
| kelas | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|
| punya SIM | 2 dari 50 | 12 dari 50 | 30 dari 50 | 43 dari 50 |
|---|
Strata sebaiknya seragam di dalamnya dan berbeda antarstrata, seperti kelas-kelas di sini. Dengan begitu setiap kelas mendapat bagiannya dalam sampel, dan estimasinya bervariasi lebih kecil dari sampel ke sampel daripada SRS dengan ukuran yang sama. Sampel ini menghasilkan p̂ = 0.35.
Sampel klaster. Bagi populasi menjadi kelompok-kelompok, biasanya menurut lokasi (ruangan, jalan, kotak): yaitu klaster. Pilih beberapa klaster secara acak lalu ambil semua anggotanya. Di sini 3 dari 25 kelompok wali, dengan seluruh 24 siswa di dalamnya: p̂ = 0.417. Klaster paling baik bila setiap klaster beragam, seperti salinan kecil populasi; keuntungannya adalah biaya, satu kunjungan per klaster.
Jangan tertukar: sampel berstrata mengambil sebagian dari setiap stratum; sampel klaster mengambil semua dari sebagian klaster.
Sampel acak sistematis. Ambil setiap individu ke-k dalam daftar, dengan awal acak di antara k yang pertama. Di sini k = 200/20 = 10, dan awalnya 8: siswa 8, 18, 28, …, 198, sehingga p̂ = 0.35. Cara ini cepat, dan baik-baik saja kecuali jika daftarnya mengulang pola setiap k urutan.
jenis-jenis bias
Metode pengambilan sampel itu bias jika secara sistematis menguntungkan hasil tertentu: pada banyak sampel, statistiknya meleset dari parameter ke arah yang sama.
Portal sekolah hanya mencantumkan kelas 10 sampai 12; kelas 9 belum ada di dalamnya. Daftar tempat sampel benar-benar diambil disebut kerangka sampel, dan tidak menyertakan sebagian populasi di dalamnya disebut undercoverage (cakupan kurang). Pada daftar itu 85 dari 150 punya SIM, 0.567 dibandingkan 0.435 untuk seluruh sekolah, sehingga sampel dari daftar itu melebihkan proporsinya.
| bias | bagaimana terjadinya |
|---|
| undercoverage | sebagian populasi lebih kecil kemungkinannya (atau tidak mungkin) terpilih |
| respons sukarela | orang memilih dirinya sendiri (jajak pendapat daring, telepon masuk); mereka yang berpendapat kuat, sering kali negatif, paling banyak menjawab |
| kemudahan | yang paling mudah dijangkau dipilih: survei yang dibagikan di tempat parkir siswa kebanyakan menjangkau pengendara |
| nonrespons | orang yang terpilih tidak bisa dihubungi atau tidak mau menjawab, dan mereka berbeda dari yang menjawab |
| bias respons | jawaban tidak benar: berbohong tentang perilaku yang memalukan, ingin menyenangkan pewawancara, salah mengingat |
| kata-kata pertanyaan | pertanyaan yang mengarahkan atau membingungkan menggiring jawaban: “Bukankah Anda setuju bahwa…” |
Nonrespons adalah masalah orang yang terpilih tetapi tidak menjawab; respons sukarela adalah masalah orang yang tidak pernah dipilih namun tetap menjawab.
Pada ujian, sebutkan biasnya, jelaskan bagaimana bias itu muncul dalam konteks ini, dan katakan ke arah mana bias mendorong estimasi serta alasannya.
meleset dari target, dan tersebar
Bias dan variabilitas adalah dua kesalahan yang berbeda. Bias adalah kesalahan metode; variabilitas sampling selalu ada pada setiap sampel acak.
Empat puluh sampel dengan setiap metode, parameter p = 0.435 berwarna biru:
| metode | rata-rata p̂ | SD p̂ |
|---|
| SRS 20 siswa dari seluruh sekolah | 0.430 | 0.104 |
| SRS 20 siswa dari daftar portal | 0.597 | 0.111 |
| SRS 80 siswa dari seluruh sekolah | 0.432 | 0.042 |
Atas: berpusat pada p: tak bias, tetapi jawabannya menyebar. Tengah (merah): diambil dari daftar portal, berpusat di sekitar 0.60. Setiap sampel meleset ke arah yang sama; itulah bias. Bawah: sampel berukuran 80, berpusat pada p dengan sebaran kurang dari setengah sebaran sampel berukuran 20.
Sampel acak yang lebih besar mengurangi variabilitas. Namun tidak menghilangkan bias: 80 siswa dari daftar portal tetap akan berpusat di sekitar 0.567, hanya lebih rapat. Obat bagi bias adalah metode yang lebih baik; obat bagi variabilitas adalah sampel yang lebih besar.
Kesalahan umum: “sampelnya terlalu kecil, jadi bias”. Sampel acak yang kecil itu bervariasi, bukan bias.
unit, perlakuan, faktor, dan respons
Eksperimen sengaja memberi perlakuan kepada subjeknya dan mengukur bagaimana mereka merespons.
Apakah kafein mempercepat reaksi? 24 relawan masing-masing minum sebutir pil, menunggu, lalu menekan tombol saat lampu menyala.
| istilah | arti | di sini |
|---|
| unit eksperimen | yang dikenai perlakuan; manusia disebut subjek | 24 relawan |
| faktor (variabel penjelas) | yang diubah oleh peneliti | kafein |
| taraf | nilai yang ditetapkan untuk suatu faktor | pil kafein, plasebo |
| perlakuan | kondisi yang diterima sebuah unit: satu taraf dari setiap faktor | 2 perlakuan |
| variabel respons | yang diukur pada setiap unit | waktu reaksi (ms) |
Dengan dua faktor, perlakuannya adalah kombinasi taraf-tarafnya: kafein (ya, tidak) dan tidur (4 jam, 8 jam) akan menghasilkan 2 × 2 = 4 perlakuan.
Para relawan diacak menjadi dua kelompok masing-masing 12: rancangan acak lengkap. Kelompok kontrol meminum plasebo; kelompok ini menunjukkan apa yang terjadi tanpa perlakuan. Rata-rata waktu reaksi: kafein 235.1 ms, plasebo 260.8 ms.
Para relawan bukan sampel acak dari siapa pun: eksperimen hampir selalu memakai siapa saja yang bersedia ikut. Itu membatasi seberapa jauh hasilnya dapat digeneralisasi (3.7).
perbandingan, penugasan acak, kontrol, replikasi
Eksperimen yang dirancang dengan baik bertumpu pada empat prinsip.
1. Perbandingan. Setidaknya dua perlakuan, atau satu perlakuan dan satu kelompok kontrol. Waktu reaksi setelah kafein tidak berarti apa-apa tanpa waktu reaksi tanpa kafein.
2. Penugasan acak. Unit ditugaskan ke perlakuan secara acak. Ini menyeimbangkan variabel lain yang memengaruhi respons (tidur, usia, latihan) di antara kelompok, sehingga selisih yang tersisa disebabkan oleh perlakuan atau kebetulan, bukan oleh perancu (confounding).
3. Kontrol. Jaga semua hal lain tetap sama untuk setiap unit: waktu yang sama, layar yang sama, petunjuk yang sama. Itu menghilangkan sumber variasi dan perancu.
4. Replikasi. Cukup banyak unit dalam setiap kelompok sehingga perbedaan kebetulan di antara kelompok cenderung saling meniadakan. Satu relawan per kelompok bisa menunjukkan apa saja.
Plasebo dan buta. Orang merespons hanya karena diberi perlakuan: efek plasebo. Plasebo adalah perlakuan tiruan yang tampak sama dengan yang asli, sehingga kedua kelompok punya harapan yang sama. Pada eksperimen buta tunggal, subjek (atau pengukurnya) tidak tahu siapa mendapat apa; pada eksperimen buta ganda, keduanya tidak tahu.
Menjelaskan penugasan acak (soal ujian yang sering muncul): beri nomor relawan 1 sampai 24, tulis nomornya pada kertas yang identik, kocok dalam topi dan tarik 12; mereka mendapat kafein, sisanya plasebo. Jelaskan caranya, dengan apa, dan siapa mendapat yang mana.
rancangan acak lengkap dan rancangan acak kelompok
Rancangan acak lengkap menugaskan semua unit ke perlakuan secara acak. Rancangan acak kelompok (blok) lebih dulu mengurutkan unit ke dalam blok berisi unit yang mirip, lalu menugaskan secara acak di dalam setiap blok.
Peminum kopi rutin mungkin nyaris tidak merespons satu dosis lagi. Jika kebetulan sebagian besar dari mereka masuk ke kelompok kafein, efeknya akan tampak lebih kecil. Maka buat blok berdasarkan kebiasaan minum kopi:
| blok | unit | kafein | plasebo |
|---|
| peminum kopi | 8 | 4 | 4 |
| bukan peminum kopi | 16 | 8 | 8 |
Setiap blok adalah eksperimen acak lengkap kecil, dan perlakuan dibandingkan di dalam setiap blok. Variasi yang disebabkan oleh kebiasaan minum kopi dikeluarkan dari perbandingan, sehingga efek perlakuan diestimasi dengan lebih presisi.
Buat blok berdasarkan variabel yang kamu duga memengaruhi respons. Pemblokan bagi eksperimen sama seperti penstrataan bagi sampel: kelompokkan unit yang mirip terlebih dulu, lalu gunakan peluang di dalam setiap kelompok. Blok dibentuk sebelum penugasan acak, dan blok bukanlah perlakuan.
“Kendalikan yang bisa kamu kendalikan, blokkan yang tidak bisa kamu kendalikan, acak sisanya.”
blok berisi dua
Rancangan berpasangan (matched pairs) membandingkan dua perlakuan pada pasangan unit yang sangat mirip, atau pada satu unit yang mendapat kedua perlakuan.
Di sini setiap dari 12 sukarelawan diuji dua kali, sekali setelah tiap pil, pada hari yang berbeda. Lemparan koin menentukan urutannya: 7 mendapat kafein lebih dulu, 5 mendapat plasebo lebih dulu. Orang menjadi lebih cepat karena latihan, sehingga urutan yang tetap akan mencampuradukkan efek kafein dengan efek latihan; pengacakan urutan menyeimbangkannya.
| sukarelawan | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|
| kafein | 241 | 265 | 221 | 207 | 222 | 236 | 233 | 229 | 183 | 231 | 244 | 256 |
|---|
| plasebo | 251 | 274 | 215 | 239 | 243 | 244 | 261 | 218 | 213 | 248 | 245 | 251 |
|---|
| selisih | 10 | 9 | -6 | 32 | 21 | 8 | 28 | -11 | 30 | 17 | 1 | -5 |
|---|
Analisis memakai selisih, plasebo dikurangi kafein, satu untuk tiap sukarelawan: rata-rata 11.2 ms, simpangan baku 14.7 ms. Setiap sukarelawan menjadi kontrol bagi dirinya sendiri, sehingga perbedaan waktu reaksi yang besar antarorang hilang.
Pasangan juga bisa berupa dua unit yang dicocokkan dengan cermat: anak kembar, dua bagian dari sebuah ladang, dua siswa dengan nilai yang sama. Lalu lemparan koin menentukan anggota pasangan yang mendapat tiap perlakuan.
apakah selisihnya signifikan secara statistik?
Selisih antarkelompok perlakuan signifikan secara statistik jika terlalu besar untuk dijelaskan secara masuk akal oleh kebetulan dari pengacakan penugasan saja.
Dalam eksperimen kafein (3.5):
Bahkan jika kafein tidak berpengaruh, kedua kelompok yang masing-masing berisi 12 akan sedikit berbeda, tergantung siapa yang kebetulan masuk ke kelompok mana. Seberapa besar? Misalkan setiap sukarelawan akan memiliki waktu reaksi yang sama dengan pil apa pun. Bagikan lagi 24 waktu itu secara acak ke dalam dua kelompok yang masing-masing berisi 12, lalu hitung selisih rata-ratanya. Lakukan 100 kali.
Kebetulan saja menghasilkan selisih dari -25.2 sampai 19.7 ms, berpusat di sekitar 0; none dari 100 sebesar 25.7 ms. Jadi selisih sebesar ini sangat kecil kemungkinannya terjadi hanya karena kebetulan: selisih ini signifikan secara statistik, dan memberi bukti meyakinkan bahwa kafein memperpendek waktu reaksi bagi sukarelawan seperti ini.
Signifikan berarti “bukan kebetulan yang masuk akal”, bukan “besar” atau “penting”. Dan selisih yang tidak signifikan tidak membuktikan bahwa perlakuan tidak berpengaruh; bisa jadi studinya terlalu kecil untuk melihatnya.
apa yang boleh Anda simpulkan dari rancangan suatu studi
Pemilihan acak memungkinkan Anda menggeneralisasi ke populasi asal sampel. Penugasan acak memungkinkan Anda menyimpulkan sebab-akibat. Masing-masing punya satu tugas.
| penugasan acak | tanpa penugasan acak |
|---|
| pemilihan acak | sebab-akibat, untuk populasi | hanya asosiasi, untuk populasi |
|---|
| tanpa pemilihan acak | sebab-akibat, untuk unit seperti yang diteliti | hanya asosiasi, untuk yang diteliti |
|---|
Eksperimen kafein (lit): sukarelawan, ditugaskan secara acak. Kafein menyebabkan reaksi lebih cepat, tetapi hanya untuk orang seperti para sukarelawan ini.
Survei SIM: SRS dari sekolah, tanpa perlakuan. Proporsi sampel mengestimasi proporsi sekolah; tidak ada yang menyangkut sebab-akibat.
Studi kopi yang membiarkan siswa memilih (3.2): tidak keduanya. Studi ini menunjukkan asosiasi di antara siswa tersebut, yang mungkin dijelaskan oleh tidur.
Kesalahan umum: menyatakan bahwa eksperimen acak pada sukarelawan berlaku untuk semua orang; menyatakan sebab-akibat dari survei acak yang besar. Sampel besar tidak menggantikan penugasan acak, dan penugasan acak tidak menggantikan pemilihan acak.
← Menjelajahi data dua variabel · Peluang dan variabel acak →