Peluang dan variabel acak · AP Statistics

Bab 4 · Peluang dan variabel acak

peluang, dihitung

Peluang tidak dapat diprediksi untuk satu kejadian saja, tetapi dapat diprediksi dalam jangka panjang. Peluang adalah matematika tentang jangka panjang itu.

Pada gambar, setiap bola jatuh melewati 10 baris paku. Pada setiap paku, bola bergerak ke kiri atau ke kanan dengan kemungkinan sama, sehingga tak seorang pun dapat mengatakan di mana bola berikutnya akan mendarat.

Namun 240 bola menumpuk membentuk pola yang dapat diprediksi. Tanda merah menunjukkan tinggi yang diharapkan di setiap kotak, dihitung sebelum ada bola yang jatuh. Tiga kotak di tengah seharusnya berisi 65.6% dari bola; kenyataannya berisi 164 dari 240, atau 68.3%.

Bab ini menanyakan kapan sebuah pola hanyalah kebetulan, memperkirakan peluang dengan simulasi, dan menyusun aturan untuk menggabungkannya: komplemen, “atau”, “dan”, peluang bersyarat, dan kebebasan. Kemudian hasil diubah menjadi angka. Variabel acak memiliki distribusi dengan rata-rata dan simpangan baku, dan keduanya digabungkan dengan cara yang tetap. Dua distribusi muncul berulang kali: binomial (papan pada gambar) dan geometrik.

4.1 · Pola acak dan tidak acak

apakah hanya kebetulan?

Sebuah proses acak menghasilkan hasil secara kebetulan. Rangkaian beruntun dan kelompok adalah bagian dari hasilnya, sehingga pola dalam data acak belum tentu bermakna.

Satu kisi pada gambar adalah 50 lemparan koin yang adil. Kisi lainnya ditulis oleh seseorang yang berusaha terlihat acak. Orang cenderung menghindari rangkaian beruntun, dan itulah yang membongkarnya:

	lemparan sungguhan	buatan
heads	19	25
pergantian H ↔ T	25	35
runtutan terpanjang	5	3

Setelah setiap lemparan koin yang adil, lemparan berikutnya berganti sisi dengan peluang 1/2, sehingga sekitar 24.5 pergantian itu wajar. Urutan rekaan berganti 35 kali; urutan asli 25 kali.

Seberapa sering kebetulan saja menghasilkan ini? Dalam 10,000 set simulasi yang masing-masing terdiri dari 50 lemparan adil (batang), 82% memiliki rangkaian beruntun 5 atau lebih. Hanya 2.0% yang rangkaian terpanjangnya 3 atau kurang. Rangkaian 5 gambar berturut-turut adalah hal biasa. Urutan rekaanlah yang tidak lazim.

Jadi, rentetan keberhasilan seorang pemain basket, atau kelompok penyakit di satu kota, bukan bukti apa pun dengan sendirinya. Tanyakan dahulu seberapa sering kebetulan acak menghasilkan pola seperti itu. Pertanyaan itu mewarnai seluruh sisa pelajaran ini.

4.2 · Memperkirakan peluang menggunakan simulasi

frekuensi relatif jangka panjang

Peluang suatu hasil adalah proporsi seberapa sering hasil itu muncul dalam rangkaian pengulangan yang sangat panjang.

Hukum bilangan besar. Saat suatu proses acak diulang makin banyak, frekuensi relatif suatu hasil makin mendekati peluangnya. Pada gambar, percobaan 1 mendapat 4 angka enam dalam 10 lemparan pertama (0.400), 14 dalam 50 (0.280), dan 95 dalam 600 (0.158). Setiap percobaan berfluktuasi di awal dan menetap dekat 1/6 ≈ 0.167.

Ini hanya pernyataan tentang jangka panjang. Dadu tidak punya ingatan: setelah beberapa kali tanpa angka enam, angka enam tidak menjadi lebih mungkin. Penyimpangan awal tidak dikoreksi; penyimpangan itu tertelan oleh banyaknya lemparan berikutnya.

Simulasi meniru proses acak untuk memperkirakan peluang:

1. Jelaskan bagaimana satu percobaan ditiru dengan bilangan acak. 2. Tentukan apa yang dicatat. 3. Jalankan banyak percobaan. 4. Gunakan frekuensi relatif sebagai perkiraan.

Contoh. Berapa peluang mendapat setidaknya satu angka enam dalam empat lemparan dadu? Satu percobaan: empat bilangan bulat acak dari 1 sampai 6, masing-masing satu lemparan. Catat apakah ada yang bernilai 6. 6 percobaan pertama:

trial	1	2	3	4	5	6
rolls	2 2 4 4	5 5 1 4	5 4 5 6	2 1 4 6	6 6 2 4	5 2 5 3
angka enam?	no	no	yes	yes	yes	no

Dari 1000 percobaan, 539 memiliki angka enam: perkiraan 0.539. Nilai eksaknya (4.3) adalah 1 − (5/6)⁴ = 0.518. Rata-rata, makin banyak percobaan memberi perkiraan yang makin dekat. Dengan tabel angka acak, gunakan 1–6 untuk sisi dadu dan lewati 0, 7, 8, dan 9.

4.3 · Pengantar peluang

ruang sampel, kejadian, dan komplemen

Ruang sampel S dari suatu proses acak adalah himpunan semua hasil yang mungkin. Sebuah kejadian adalah himpunan hasil, dan peluangnya adalah bilangan dari 0 sampai 1.

Lempar dua dadu. Ruang sampelnya memiliki 6 × 6 = 36 hasil, satu petak untuk tiap hasil pada gambar, semuanya sama mungkin. Jika hasil-hasilnya sama mungkin,

P(A) = \frac{\text{number of outcomes in } A}{\text{number of outcomes in } S}

Kejadian A, “jumlahnya 7”, memiliki 6 hasil (merah): (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1). Jadi P(A) = 6/36 = 0.167. Urutan penting: (1, 6) dan (6, 1) adalah hasil yang berbeda.

Setiap kejadian memenuhi 0 ≤ P(A) ≤ 1, dan P(S) = 1: selalu ada sesuatu di S yang terjadi. Kejadian dengan peluang 0 tidak pernah terjadi; yang berpeluang 1 selalu terjadi.

Komplemen A^C adalah kejadian A tidak terjadi. A dan A^C tidak memiliki hasil yang sama dan bersama-sama memenuhi S, sehingga

P(A^C) = 1 - P(A) = 1 - \tfrac{6}{36} = \tfrac{30}{36}

Komplemen adalah cara cepat untuk “setidaknya satu”. P(setidaknya satu angka enam) = 1 − P(tanpa angka enam) = 1 − 25/36 = 11/36: hitung petak di baris atas dan kolom kanan, jumlahnya 11.

4.4 · Kejadian saling lepas

kejadian yang tidak dapat terjadi bersamaan

Dua kejadian saling lepas (disjoin) jika keduanya tidak dapat terjadi bersamaan: P(A ∩ B) = 0.

Notasinya: A ∩ B (“A dan B”) adalah kejadian keduanya terjadi; A ∪ B (“A atau B”) adalah kejadian setidaknya satu terjadi. Dalam diagram Venn, persegi panjang adalah ruang sampel, dan di sini luas digambar sesuai skala: luas tiap daerah adalah peluangnya.

Golongan darah ABO seorang donor adalah salah satu dari empat:

type	O	A	B	AB
probability	0.44	0.42	0.10	0.04

Kejadian “golongan A” dan “golongan B” saling lepas: tidak ada orang yang memiliki keduanya (golongan AB adalah golongan tersendiri). Lingkarannya tidak tumpang tindih, sehingga luasnya cukup dijumlahkan:

\begin{aligned}P(A \cup B) &= P(A) + P(B) \\ &= 0.42 + 0.10 = 0.52\end{aligned}

Anak panah pada gambar mendarat secara acak, sehingga bagian yang mendarat di suatu daerah mendekati luasnya: bagian di A atau B mendekati 0.52. Sisanya, O atau AB, memiliki peluang 0.48 = 1 − 0.52.

Jumlahkan peluang dengan cara ini hanya jika kejadiannya saling lepas. Jika kejadian bisa tumpang tindih, bagian yang tumpang tindih terhitung dua kali (4.6).

4.5 · Peluang bersyarat

peluang A, jika diketahui B

Peluang bersyarat P(A | B) adalah peluang A terjadi, jika diketahui B telah terjadi. Mengetahui B mengecilkan ruang sampel menjadi B.

Sebuah survei menanyakan kepada 500 pengemudi apakah mereka mengirim pesan teks saat mengemudi dalam sebulan terakhir:

	texted	tidak	total
16–24	72	48	120
25 tahun ke atas	95	285	380
total	167	333	500

Pilih satu pengemudi secara acak. Misalkan T adalah “mengirim pesan” dan Y “berusia 16–24”. P(T) = 167/500 = 0.334. Tetapi jika diketahui pengemudi berusia 16–24, hanya baris itu yang dihitung:

\begin{aligned}P(T \mid Y) &= \frac{P(T \cap Y)}{P(Y)} = \frac{72/500}{120/500} \\ &= \frac{72}{120} = 0.600\end{aligned}

Gambar di sebelah kanan menunjukkan setiap baris tersendiri: 0.60 dari pengemudi muda mengirim pesan, dibandingkan 0.25 dari pengemudi yang lebih tua.

Urutan itu penting. P(Y | T) = 72/167 = 0.431: dari pengemudi yang mengirim pesan, 43.1% masih muda. Pembilangnya sama; penyebutnya adalah apa pun yang diketahui.

Jika disusun ulang, definisi ini menjadi aturan perkalian, P(A ∩ B) = P(B) · P(A | B): P(T ∩ Y) = 0.24 × 0.60 = 0.144 = 72/500.

4.5 · Diagram pohon

kalikan sepanjang cabang, jumlahkan antarcabang

Ketika suatu proses acak terjadi dalam beberapa tahap, diagram pohon menampilkan hasil tiap tahap sebagai cabang. Peluang suatu jalur adalah hasil kali peluang sepanjang jalur itu.

4% dari suatu populasi memiliki suatu kondisi. Tes penyaringan memberi hasil positif pada 90% orang yang memilikinya, dan pada 10% orang yang tidak memilikinya. Cabang tahap kedua adalah peluang bersyarat: 0.9 adalah P(+ | kondisi).

path	probability	per 1000 orang
kondisi, +	0.04 × 0.9 = 0.036	36
kondisi, −	0.04 × 0.10 = 0.004	4
tanpa kondisi, +	0.96 × 0.1 = 0.096	96
tanpa kondisi, −	0.96 × 0.90 = 0.864	864

Dua jalur berakhir pada tes positif. Keduanya saling lepas, sehingga peluangnya dijumlahkan: P(+) = 0.036 + 0.096 = 0.132.

Seseorang dites positif. Berapa peluang ia memiliki kondisi tersebut (C)?

P(C \mid +) = \frac{P(C \cap +)}{P(+)} = \frac{0.036}{0.132} = 0.273

Hanya sekitar 27%. Dari 1000 orang, ada 36 positif benar dan 96 positif palsu: kondisinya langka, sehingga sedikit kesalahan di antara banyak orang sehat lebih banyak daripada kasus yang sebenarnya. Gambar mengirim 400 orang menyusuri pohon secara acak; perhatikan daun merah dan biru.

4.6 · Kejadian saling bebas dan gabungan kejadian

aturan penjumlahan, dan kapan mengetahui yang satu tidak memberi tahu apa-apa

Kejadian A dan B saling bebas jika mengetahui salah satunya terjadi tidak mengubah peluang yang lain: P(A | B) = P(A).

Di suatu sekolah, 35% siswa mengambil AP Statistics (S), 25% mengambil AP Biology (B), dan 10% mengambil keduanya. Kedua cakram saling tumpang tindih.

Aturan penjumlahan. Menjumlahkan P(S) dan P(B) menghitung irisan (merah) dua kali, jadi kurangkan satu kali:

\begin{aligned}P(S \cup B) &= P(S) + P(B) \\ &\quad - P(S \cap B) \\ &= 0.35 + 0.25 - 0.10 \\ &= 0.50\end{aligned}

Jadi 0.50 tidak mengambil keduanya. Untuk kejadian yang saling lepas, P(A ∩ B) = 0, dan aturan ini menjadi aturan di 4.4.

Memeriksa kebebasan. P(S | B) = 0.10/0.25 = 0.40, tetapi P(S) = 0.35. Mengetahui bahwa seorang siswa mengambil Biology menaikkan peluang ia mengambil Statistics, sehingga S dan B tidak saling bebas. Pemeriksaan yang sama dalam bentuk lain: jika saling bebas, P(S ∩ B) akan sama dengan P(S) · P(B) = 0.0875, bukan 0.10.

Untuk kejadian yang saling bebas, dan hanya untuk itu, aturan perkalian menjadi P(A ∩ B) = P(A) · P(B). Dua dadu yang terpisah saling bebas: P(keduanya enam) = 1/6 × 1/6 = 1/36.

Jangan campurkan kedua gagasan ini. Kejadian yang saling lepas (dengan peluang positif) tidak pernah saling bebas: jika yang satu terjadi, peluang yang lain turun menjadi 0. Pada 4.5, P(mengirim pesan | 16–24) = 0.600 ≠ P(mengirim pesan) = 0.334, jadi mengirim pesan dan kelompok usia tidak saling bebas.

4.7 · Variabel acak dan distribusi peluang

hasil sebagai angka

Variabel acak mengambil nilai numerik yang bergantung pada hasil suatu proses acak. Distribusi peluang-nya memberikan nilai-nilai yang mungkin beserta peluangnya.

Misalkan X adalah banyak mobil yang dimiliki sebuah rumah tangga yang dipilih secara acak di suatu kota. X bersifat diskret: X mengambil daftar nilai yang terpisah.

x	0	1	2	3	4
P(X = x)	0.08	0.32	0.38	0.15	0.07
P(X ≤ x)	0.08	0.40	0.78	0.93	1.00

Distribusi yang valid memiliki setiap peluang antara 0 dan 1, dan jumlahnya 1. Pada gambar, batang menunjukkan P(X = x). Anak tangga hitam adalah peluang kumulatif P(X ≤ x), yaitu batang yang dijumlahkan dari kiri.

Bacalah kata-katanya dengan cermat:

P(X ≥ 2), “paling sedikit dua”: 0.38 + 0.15 + 0.07 = 0.60, atau 1 − P(X ≤ 1) = 1 − 0.40.
P(X > 2), “lebih dari dua”: 0.22, tanpa 2.
P(1 ≤ X ≤ 3) = P(X ≤ 3) − P(X ≤ 0) = 0.93 − 0.08 = 0.85.

Titik merah adalah rumah tangga yang diambil secara acak: proporsi tiap nilai sejauh ini. Seiring bertambahnya pengambilan, titik-titik itu menetap pada batang. Ini adalah hukum bilangan besar lagi: distribusi peluang adalah pola jangka panjang dari nilai-nilainya.

4.8 · Rata-rata dan simpangan baku variabel acak

titik keseimbangan, dan jarak tipikal darinya

Rata-rata (nilai harapan) μ_X dari variabel acak adalah nilai rata-ratanya dalam jangka panjang. Simpangan baku σ_X adalah jarak tipikal nilai-nilainya dari rata-rata itu.

Setiap nilai diberi bobot sesuai peluangnya:

\begin{aligned}\mu_X &= \sum x_i P(x_i) \\ &= 0(0.08) + 1(0.32) + 2(0.38) \\ &\quad + 3(0.15) + 4(0.07) = 1.81 \\ \sigma_X &= \sqrt{\textstyle\sum (x_i - \mu_X)^2 P(x_i)} \\ &= \sqrt{1.0339} = 1.017\end{aligned}

Rata-rata adalah titik keseimbangan histogram (baji merah). Nilainya tidak harus berupa nilai yang dapat diambil X: tidak ada rumah tangga yang memiliki 1.81 mobil.

Dalam konteks. “Jika banyak rumah tangga dipilih secara acak, rata-rata banyak mobil per rumah tangga akan sekitar 1.81.” “Banyak mobil yang dimiliki sebuah rumah tangga yang dipilih secara acak biasanya menyimpang dari rata-rata 1.81 sekitar 1.02 mobil.”

Variansnya adalah σ²_X = 1.0339. Rumus pintas memberikan angka yang sama: Σx²P(x) − μ² = 4.31 − 1.81² = 1.0339.

Di bawah sumbu, bola hitam adalah rata-rata semua rumah tangga yang telah diambil sejauh ini. Bola itu bergerak ke sana kemari, lalu menetap pada μ: hukum bilangan besar, untuk rata-rata.

4.9 · Menggabungkan peubah acak

transformasi linear: Y = a + bX

Menambahkan konstanta pada variabel acak menggeser rata-ratanya dan tidak mengubah sebarannya. Mengalikan dengan konstanta mengalikan keduanya.

Sebuah roda diputar satu kali. X, angka tempat roda berhenti, memiliki distribusi berikut:

x	1	2	3	4
P(X = x)	0.4	0.3	0.2	0.1

μ_X = 2 dan σ_X = 1. Biaya untuk bermain adalah $7, dan hadiahnya adalah $3 kali angka tersebut. Keuntungan bersihnya adalah Y = 3X − 7 dolar.

\begin{aligned}\mu_{a+bX} &= a + b\mu_X \\ \sigma_{a+bX} &= |b|\,\sigma_X \\ \mu_Y &= 3(2) - 7 = -1 \\ \sigma_Y &= 3(1) = 3\end{aligned}

Gambar menunjukkannya dalam dua langkah. Mengalikan dengan 3 membuat jarak antarbatang 3 kali lebih lebar: rata-rata dan simpangan baku sama-sama menjadi tiga kali lipat. Mengurangi 7 menggeser setiap batang turun sebesar 7: rata-rata bergeser, sebaran tidak. Kedua langkah tidak mengubah tinggi batang, jadi bentuknya tetap sama.

Dalam konteks. Setelah banyak permainan, seorang pemain rata-rata rugi $1 per permainan. Pemain hanya menang uang saat X ≥ 3: P(Y > 0) = 0.3.

Variansnya dikalikan b²: σ²_Y = 3² × 1 = 9. Menambahkan konstanta mengubah pusat data (rata-rata, median, kuartil); mengalikan mengubah pusat dan setiap ukuran sebaran (simpangan baku, JKK, jangkauan).

4.9 · Jumlah dan selisih variabel acak

rata-rata dijumlahkan; untuk variabel yang saling bebas, variansnya dijumlahkan

Rata-rata suatu jumlah adalah jumlah dari rata-ratanya. Jika variabelnya saling bebas, varians dari jumlah, dan juga dari selisih, adalah jumlah dari variansnya.

Putar roda (X, dari halaman sebelumnya) dan lempar sebuah dadu adil (Y, rata-rata 3.5, simpangan baku 1.708). Putaran dan lemparan itu saling bebas. Totalnya T = X + Y memiliki distribusi berwarna merah, yang diperoleh dengan menjumlahkan setiap pasangan hasil.

\begin{aligned}\mu_{X+Y} &= \mu_X + \mu_Y = 2 + 3.5 = 5.5 \\ \sigma^2_{X+Y} &= \sigma^2_X + \sigma^2_Y \\ &= 1.000 + 2.917 = 3.917 \\ \sigma_{X+Y} &= \sqrt{3.917} = 1.979\end{aligned}

Simpangan baku tidak dijumlahkan: 1 + 1.71 = 2.71 terlalu besar. Simpangan baku bergabung seperti sisi-sisi segitiga siku-siku (di sebelah kanan gambar).

Selisih. D = Y − X memiliki rata-rata 3.5 − 2 = 1.5, dan variansnya tetap σ²_X + σ²_Y, sehingga σ_D = 1.979. Mengurangi besaran acak menambah keragaman; tidak pernah mengurangi keragaman.

Aturan rata-rata berlaku untuk variabel acak apa pun. Aturan varians memerlukan kebebasan. Dan dua putaran X₁ + X₂ tidak sama dengan 2X: simpangan bakunya √2 σ_X, sedangkan 2X memiliki simpangan baku 2σ_X.

Variabel normal. Jumlah atau selisih variabel acak normal yang saling bebas bersifat normal. Dua etape lomba estafet masing-masing memerlukan waktu N(24, 1.5) dan N(26.5, 2) menit. Totalnya N(50.5, 2.5), dengan √(1.5² + 2²) = 2.5. P(total < 48) = P(z < −1.00) = 0.1587.

4.10 · Pengantar distribusi binomial

menghitung keberhasilan dalam n percobaan

Variabel acak binomial menghitung banyak keberhasilan dalam sejumlah percobaan bebas yang tetap, dengan setiap percobaan memiliki peluang keberhasilan yang sama.

Periksa empat syarat (BINS): Binary (biner), setiap percobaan berhasil atau gagal; percobaan Independen (saling bebas); Number (banyak) percobaan yang tetap, n; peluang keberhasilan yang Sama, p, pada setiap percobaan.

Pada papan, setiap pasak adalah satu percobaan dan “kanan” adalah keberhasilan: n = 10, p = 0.5. X, banyak belokan ke kanan, adalah kotak tempat bola mendarat. Untuk mendarat di kotak 6, sebuah bola harus ke kanan pada 6 dari 10 pasak. Setiap jalur seperti itu memiliki peluang (1/2)¹⁰, dan ada C(10, 6) = 210 jalur:

\begin{aligned}P(X = x) &= \binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x} \\ P(X = 6) &= \tbinom{10}{6}(0.5)^{6}(0.5)^{4} \\ &= \tfrac{210}{1024} = 0.205\end{aligned}

Kotak 6 seharusnya mendapat 240 × 0.205 ≈ 49 bola; kenyataannya mendapat 47.

Dalam konteks. Seorang pemain berhasil memasukkan 70% lemparan bebasnya dan melakukan 10 lemparan, yang kita anggap saling bebas. X, banyak lemparan yang masuk, berdistribusi binomial dengan n = 10, p = 0.7.

P(X = 8) = C(10, 8)(0.7)⁸(0.3)² = 0.2335.
P(X ≥ 8) = 1 − P(X ≤ 7) = 1 − 0.6172 = 0.3828: “paling sedikit” memakai peluang kumulatif dari komplemennya.

Bukan binomial: mengambil kartu tanpa pengembalian (percobaannya tidak saling bebas); menghitung lemparan hingga muncul kepala pertama (tidak ada n yang tetap: itu 4.12).

4.11 · Parameter distribusi binomial

μ = np, σ = √(np(1 − p))

Distribusi binomial ditentukan oleh dua parameternya, n dan p. Rata-rata dan simpangan bakunya diturunkan dari keduanya.

\mu_X = np \qquad \sigma_X = \sqrt{np(1-p)}

Untuk papan ini, μ = 10(0.5) = 5 dan σ = √(10 × 0.5 × 0.5) = 1.58. Bin yang berada dalam jarak satu σ dari rata-rata, 4, 5, 6, memuat 0.656 dari peluang.

Ini adalah aturan 4.9 yang sedang bekerja. X adalah jumlah dari 10 percobaan independen, masing-masing bernilai 1 dengan peluang p dan 0 jika tidak. Satu percobaan memiliki rata-rata p dan varians p(1 − p). Rata-rata dijumlahkan, begitu juga varians.

Dalam konteks. Untuk lemparan bebas, μ = 10(0.7) = 7 dan σ = √(10 × 0.7 × 0.3) = 1.45. “Dari banyak set yang masing-masing terdiri atas 10 lemparan bebas, ia memasukkan rata-rata 7; banyaknya yang masuk biasanya berbeda dari 7 sekitar 1.45.”

Bentuk. Jika p = 0.5, distribusinya simetris. Jika p mendekati 0 atau 1, distribusinya miring, dan makin kurang miring seiring bertambahnya n. Jika np ≥ 10 dan n(1 − p) ≥ 10, distribusinya mendekati normal, yang dipakai pada unit 5.

Syarat 10%. Pengambilan sampel tanpa pengembalian membuat percobaan saling bergantung. Jika sampel paling banyak 10% dari populasi, ketergantungannya kecil dan model binomial tetap baik.

4.12 · Distribusi geometrik

percobaan hingga keberhasilan pertama

Variabel acak geometrik menghitung banyaknya percobaan sampai dan termasuk keberhasilan pertama, pada percobaan independen yang masing-masing memiliki peluang berhasil yang sama.

Sebuah merek sereal menaruh hadiah di 20% kotaknya. Buka kotak satu per satu sampai kamu menemukan hadiah; X adalah banyaknya kotak yang dibuka. Banyaknya percobaan tidak tetap, jadi X bukan binomial. Agar berhasil pertama kali pada percobaan ke-x (x = 1, 2, 3, …), x − 1 percobaan pertama harus gagal:

\begin{aligned}P(X = x) &= (1-p)^{x-1}p \\ P(X = 3) &= (0.8)^{2}(0.2) = 0.128\end{aligned}

Setiap batang adalah 0.8 kali batang sebelumnya, sehingga distribusinya selalu miring ke kanan, dan nilai yang paling mungkin selalu 1.

P(X ≤ 3) = 1 − P(tidak ada hadiah dalam 3 pertama) = 1 − 0.8³ = 0.488.
P(X > 5) = 0.8⁵ = 0.328: lima kotak pertama semuanya gagal.

\begin{aligned}\mu_X &= \frac{1}{p} = 5 \\ \sigma_X &= \frac{\sqrt{1-p}}{p} = \frac{\sqrt{0.8}}{0.2} = 4.47\end{aligned}

Dalam konteks. “Jika ini diulang berkali-kali, rata-rata dibutuhkan 5 kotak untuk menemukan hadiah.” Gambar memutar satu pengulangan demi satu: kotak dibuka sampai kotak merah, lalu bola menandai X pengulangan itu.