Distribusi sampling · AP Statistics

Bab 5 · Distribusi sampling

bagaimana suatu statistik bervariasi

Statistik yang dihitung dari sampel acak berubah dari satu sampel ke sampel lain. Distribusi sampling-nya menunjukkan seberapa besar perubahannya dan bagaimana polanya.

Papan teratas adalah populasi: banyaknya buku yang dibaca setiap siswa di sebuah sekolah besar selama liburan musim panas lalu. Distribusinya menjulur ke kanan, dengan rata-rata μ = 2.54 buku dan simpangan baku σ = 2.41 buku.

Sepuluh siswa dipilih secara acak setiap kali (merah). Rata-ratanya, x̄, adalah titik tempat kerucut menyeimbangkannya, lalu nilainya jatuh ke plot titik di bawah. Setelah 120 sampel, rata-rata sampel itu berpusat di 2.45, dekat dengan μ, dan memiliki simpangan baku hanya 0.80. Tumpukannya jauh lebih simetris daripada populasi.

Bab ini membahas tumpukan itu: mengapa sampel berbeda-beda, apa yang dikatakan model normal tentang sampel-sampel itu, serta pusat, sebaran, dan bentuk distribusi sampling dari p̂ dan x̄, baik sendiri maupun sebagai selisih. Semuanya menjadi dasar bagi setiap selang kepercayaan dan uji pada unit-unit berikutnya.

5.1 · Mengapa sampelku tidak sama dengan sampelmu?

variabilitas sampling

Sampel acak yang berbeda dari populasi yang sama menghasilkan nilai statistik yang berbeda. Ini disebut variabilitas sampling, dan ini bukan suatu kesalahan.

4 sampel pertama yang masing-masing berisi 10 siswa dari pembuka, beserta rata-ratanya:

\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}

sampel	buku yang dibaca	x̄
1	0, 0, 0, 2, 2, 5, 0, 4, 2, 3	1.8
2	8, 0, 2, 0, 4, 1, 0, 2, 6, 1	2.4
3	0, 7, 2, 0, 1, 5, 3, 3, 0, 0	2.1
4	5, 1, 0, 1, 3, 0, 6, 1, 0, 8	2.5

Tidak ada sampel yang tepat sama dengan rata-rata populasi, μ = 2.54; masing-masing meleset hanya karena kebetulan. Siswa mana yang terpilih bersifat acak, sehingga statistiknya juga acak.

Variasi ini memiliki pola. Pada banyak sampel, nilai x̄ mengelompok di sekitar μ, dan sampel yang lebih besar mengelompok lebih rapat. Dengan mengetahui pola itu, kita dapat menyatakan seberapa jauh hasil sampel kemungkinan menyimpang dari nilai sebenarnya, sehingga kita tahu apakah suatu hasil mengejutkan.

Pemilihan acak yang membuat pola ini dapat diprediksi. Sampel kemudahan, seperti siswa dalam satu kelas, bisa meleset ke arah yang sama setiap kali, dan tidak ada rumus yang dapat menyatakan seberapa besar melesetnya.

5.1 · Apakah hanya kebetulan?

menaksir peluang dengan simulasi

Simulasi meniru suatu proses acak berkali-kali. Pecahan pengulangan yang menghasilkan suatu kejadian menaksir peluang kejadian itu.

Dewan kota menyatakan bahwa separuh pemilihnya, p = 0.5, mendukung taman baru. Dalam sampel acak 40 pemilih, 26 menjawab ya: p̂ = 0.650. Apakah hasil itu lebih dari yang mudah dihasilkan oleh kebetulan, jika klaim itu benar?

Modelnya. Setiap pemilih menjawab ya dengan peluang 0.5 (lemparan koin, atau angka acak: 0–4 ya, 5–9 tidak). Satu percobaan terdiri dari 40 pemilih; catat p̂. Ulangi sebanyak 100 kali. Gambar menjalankannya: bola merah berarti ya.

Hasilnya. 4 dari 100 sampel simulasi menghasilkan p̂ ≥ 0.650, sehingga peluang taksirannya adalah 4/100 = 0.04. (Nilai binomial eksaknya adalah 0.040.)

Kesimpulannya. Jika separuh pemilih mendukung taman itu, hasil setinggi ini setidaknya hanya terjadi sekitar 4% dari waktu. Itu tidak biasa, sehingga sampel memberikan sedikit bukti bahwa lebih dari separuh pemilih mendukungnya. Ini tidak membuktikan klaim itu salah: hasil yang tidak mungkin tetap bisa terjadi.

Simulasi kedua dari 100 akan memberi hasil yang sedikit berbeda. Semakin banyak pengulangan, semakin baik taksiran peluangnya.

5.2 · Distribusi normal, ditinjau kembali

luas dan batas nilai

Pada distribusi normal, peluang adalah luas di bawah kurva. Standarkan, lalu cari luasnya.

Berat apel dari sebuah kebun kira-kira berdistribusi normal, dengan μ = 150 g dan σ = 12 g. Skor z menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata:

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

Suatu luas. Berapa proporsi apel yang beratnya antara 140 g dan 165 g?

\begin{aligned} z_1 &= \frac{140 - 150}{12} = -0.83 \\ z_2 &= \frac{165 - 150}{12} = 1.25 \\ P(140 < X < 165) &= P(-0.83 < Z < 1.25) \\ &= 0.692 \end{aligned}

Sekitar 69.2% dari apel (merah). Di atas 165 g terdapat 0.106 dari seluruh apel.

Suatu batas. Seberat apa sebuah apel agar termasuk 10% terberat? Nilai z dengan luas 0.90 di bawahnya adalah 1.28, sehingga x = 150 + 1.28 × 12 = 165.4 g (biru).

Pada ujian, tunjukkan pengerjaannya: sebutkan distribusi dan parameternya, batas dan luas yang dicari, atau gambar sketsa berlabel. Sintaks kalkulator saja, seperti normalcdf(…), tidak mendapat nilai.

5.2 · Parameter dan statistik

bilangan tetap dan bilangan acak

Parameter menggambarkan populasi; statistik menggambarkan sampel. Statistik digunakan untuk menaksir parameter.

	parameter	statistik
rata-rata	μ	x̄
simpangan baku	σ	s
proporsi	p	p̂

Rata-rata berat semua apel di kebun, μ = 150 g (biru), adalah parameter: satu angka tetap yang biasanya tidak diketahui. Sampel acak berisi 8 apel menghasilkan x̄ = 159.1 g dan s = 17.0 g: keduanya statistik. Sampel berikutnya menghasilkan x̄ = 150.8 g.

Karena sampelnya acak, statistik adalah variabel acak. Distribusi peluangnya, yaitu nilai-nilai yang diambilnya dari semua sampel yang mungkin dengan ukuran sama, adalah distribusi sampling-nya.

Cara membedakannya: tanyakan apakah angka itu berasal dari seluruh populasi (parameter) atau dari data yang ada (statistik). Parameter memakai huruf Yunani, atau p; statistik memakai huruf Latin, atau topi.

5.3 · Teorema limit pusat

rata-rata menjadi normal

Teorema limit pusat (CLT): jika n cukup besar, distribusi sampling dari x̄ kira-kira normal, apa pun bentuk populasinya.

Gambar mengambil 400 sampel acak untuk setiap ukuran dari populasi menjulur pada pembuka, lalu memplot rata-ratanya:

n	rata-rata dari x̄	SB dari x̄	σ/√n
2	2.64	1.79	1.71
10	2.53	0.77	0.76
30	2.53	0.43	0.44

Tiga hal berlaku sekaligus. Pusatnya tetap di μ = 2.54. Sebarannya mengecil seperti σ/√n. Dan bentuknya berubah: pada n = 2 rata-ratanya masih menjulur ke kanan, pada n = 30 kurva normal merah cocok dengan rata-rata itu dengan rapat.

\mu_{\bar{x}} = \mu \qquad \sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

Seberapa besar yang cukup besar bergantung pada populasi: semakin menjulur populasinya, semakin besar n yang diperlukan. Aturan praktis AP adalah n ≥ 30.

Kesalahan umum: CLT membahas distribusi x̄, bukan distribusi data. Sampel besar dari populasi yang menjulur juga tampak menjulur; yang menumpuk dalam bentuk normal adalah rata-rata dari banyak sampel seperti itu.

5.4 · Penaksir titik bias dan tak bias

ketepatan arah dan presisi

Statistik yang digunakan untuk menaksir parameter adalah penaksir titik. Penaksir itu tak bias jika rata-rata distribusi samplingnya sama dengan parameter.

Setiap sasaran adalah satu penaksir. Titik tengah biru adalah parameter; setiap anak panah adalah taksiran dari satu sampel acak.

Bias berkaitan dengan pusat. Dua penaksir teratas berpusat di titik tengah: tak bias. Dua penaksir terbawah mendarat di satu sisi, sampel demi sampel: bias.

Variabilitas berkaitan dengan sebaran: seberapa jauh taksiran tersebar dari sampel ke sampel. Dua penaksir di kiri bervariasi sedikit, dua di kanan bervariasi banyak. Penaksir terbaik (merah) memiliki bias rendah dan variabilitas rendah.

x̄ adalah penaksir tak bias untuk μ dan p̂ untuk p: pada 5.3, x̄ berpusat di μ untuk setiap n. Maksimum sampel bias untuk maksimum populasi: nilainya tidak pernah lebih besar, dan biasanya lebih kecil.

Sampel yang lebih besar mengurangi variabilitas, bukan bias. Dari 5.3, SB dari x̄ turun dari 0.77 pada n = 10 menjadi 0.43 pada n = 30. Namun metode yang bias, seperti survei dengan respons sukarela, tetap bias berapa pun jumlah yang menjawabnya: ia hanya meleset dengan lebih tepat.

5.5 · Distribusi sampling p̂

pusat p, sebaran √(p(1 − p)/n)

Proporsi sampel p̂ memiliki distribusi sampling dengan rata-rata p dan simpangan baku yang mengecil seiring bertambahnya n.

Di sebuah distrik sekolah dengan 8,000 siswa, 35% berjalan kaki ke sekolah (manik merah). Gambar mengambil sampel acak berisi 50 siswa dan menjatuhkan p̂ setiap sampel ke plot titik.

\begin{aligned} \mu_{\hat{p}} &= p = 0.35 \\ \sigma_{\hat{p}} &= \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \\ &= \sqrt{\frac{0.35(0.65)}{50}} = 0.0675 \end{aligned}

	rata-rata p̂	SB p̂
100 sampel simulasi	0.353	0.0657
rumusnya	0.35	0.0675

Menafsirkan SB. Pada sampel acak berisi 50 siswa dari distrik ini, proporsi sampel yang berjalan kaki biasanya menyimpang sekitar 0.067 dari proporsi sebenarnya, 0.35.

Karena n berada di bawah akar kuadrat, ukuran sampel empat kali lipat membuat SB menjadi setengahnya: sampel berukuran 200 akan menghasilkan 0.0337.

5.5 · Kapan p̂ mendekati normal

syarat 10% dan syarat hitungan besar

Dua kondisi memungkinkan kita memakai rumus dan model normal untuk p̂. Periksa keduanya, sesuai konteks, sebelum menghitung apa pun.

Kondisi 10%. Pada pengambilan tanpa pengembalian, pengambilan hampir saling bebas jika n ≤ 10% dari populasi. Di sini 50 ≤ 0.10(8,000) = 800, sehingga σ_p̂ = 0.0675 dapat dipakai.

Kondisi cacah besar. Distribusi sampling mendekati normal jika np ≥ 10 dan n(1 − p) ≥ 10. Di sini 50(0.35) = 17.5 dan 50(0.65) = 32.5: keduanya paling sedikit 10. Dengan cacah yang lebih kecil, distribusinya menjulur, menjauh dari ujung yang lebih dekat, 0 atau 1.

Suatu peluang. Seberapa besar peluang sampel berukuran 50 memiliki paling sedikit 45% pejalan kaki?

\begin{aligned} z &= \frac{0.45 - 0.35}{0.0675} = 1.48 \\ P(\hat{p} \ge 0.45) &= P(Z \ge 1.48) = 0.069 \end{aligned}

Ekor yang diarsir. Dari 100 sampel simulasi, 7 memiliki p̂ ≥ 0.45: 0.07, dekat dengan model.

Dalam kondisi ini gunakan p, parameternya, bukan p̂: distribusi sampling bergantung pada proporsi yang sebenarnya.

5.6 · Selisih proporsi sampel

membandingkan dua kelompok berdasarkan proporsi

Untuk dua sampel acak yang saling bebas, selisih p̂₁ − p̂₂ memiliki distribusi sampling tersendiri, berpusat pada p₁ − p₂.

Distrik 1 adalah distrik dengan 5.5: 35% berjalan kaki; sampel berukuran 50. Di distrik 2, 25% berjalan kaki; sampel berukuran 60. Setiap pasang sampel menghasilkan satu selisih (batang merah), yang jatuh ke dotplot.

\begin{aligned}\mu_{\hat{p}_1 - \hat{p}_2} &= p_1 - p_2 = 0.10 \\ \sigma_{\hat{p}_1 - \hat{p}_2} &= \sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1} + \frac{p_2(1-p_2)}{n_2}} \\ &= \sqrt{\frac{0.35(0.65)}{50} + \frac{0.25(0.75)}{60}} = 0.0876\end{aligned}

Variansnya dijumlahkan, bahkan untuk selisih: dua sumber kebetulan yang saling bebas membuat selisih lebih bervariasi daripada salah satunya saja. Simpangan baku tidak dijumlahkan; variansnya yang dijumlahkan.

Kondisi. Sampel acak yang saling bebas; masing-masing kurang dari 10% populasinya; dan keempat cacah paling sedikit 10: 17.5, 32.5, 15, 45. Maka distribusi sampling mendekati normal.

Suatu peluang. Seberapa sering sampel distrik 2 menunjukkan proporsi yang lebih tinggi?

\begin{aligned} z &= \frac{0 - 0.10}{0.0876} = -1.14 \\ P(\hat{p}_1 - \hat{p}_2 < 0) &= P(Z < -1.14) = 0.127 \end{aligned}

Sekitar 13% dari waktu, meskipun distrik 1 sebenarnya memiliki lebih banyak pejalan kaki. Pada gambar, 11 dari 100 selisih berada di bawah 0.

5.7 · Distribusi sampling x̄

pusat μ, sebaran σ/√n

Rata-rata sampel x̄ memiliki distribusi sampling dengan rata-rata μ dan simpangan baku σ/√n.

\mu_{\bar{x}} = \mu \qquad \sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{12}{\sqrt{9}} = 4\ \text{g}

Untuk apel kebun, N(150, 12), rata-rata berat sampel acak berukuran 9 memiliki simpangan baku 4 g: kurva merah, sepertiga selebar populasinya.

Bentuk. Jika populasi normal, x̄ normal untuk sembarang n. Jika tidak, TLP membuat x̄ mendekati normal bila n ≥ 30. Dengan sampel kecil dari populasi yang menjulur atau tidak diketahui, keduanya tidak berlaku, dan perhitungan normal tidak dapat dibenarkan. Rumus SD juga memerlukan kondisi 10%.

Suatu peluang. Satu apel di atas 155 g memiliki z = (155 − 150)/12 = 0.42. Rata-rata 9 apel di atas 155 g memiliki z = (155 − 150)/4 = 1.25:

\begin{aligned} P(X > 155) &= P(Z > 0.42) = 0.338 \\ P(\bar{x} > 155) &= P(Z > 1.25) = 0.106 \end{aligned}

Apel yang berat itu umum; rata-rata berat dari 9 apel tidak, karena apel ringan dan berat dalam sampel saling mengimbangi. Kesalahan yang paling sering terjadi adalah membagi dengan σ padahal pertanyaannya tentang x̄.

5.8 · Selisih rata-rata sampel

membandingkan dua kelompok berdasarkan rata-rata

Untuk sampel acak yang saling bebas dari dua populasi, x̄₁ − x̄₂ memiliki rata-rata μ₁ − μ₂, dan variansnya adalah jumlah kedua varians.

Apel varietas A berbobot N(150, 12) gram dan varietas B N(140, 10). Ambil 9 apel A dan 16 apel B secara acak, lalu bandingkan rata-ratanya (batang merah pada papan atas).

\begin{aligned}\mu_{\bar{x}_1 - \bar{x}_2} &= \mu_1 - \mu_2 = 150 - 140 = 10\ \text{g} \\ \sigma_{\bar{x}_1 - \bar{x}_2} &= \sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}} \\ &= \sqrt{\frac{12^2}{9} + \frac{10^2}{16}} = 4.72\ \text{g}\end{aligned}

Bentuk. Kedua populasi normal, jadi selisihnya normal. Jika tidak, tiap sampel perlu n ≥ 30 untuk TLP. Tiap sampel juga harus kurang dari 10% populasinya, dan sampel-sampelnya saling bebas.

Suatu peluang. Seberapa besar peluang sampel B memiliki rata-rata yang lebih berat?

\begin{aligned} z &= \frac{0 - 10}{4.72} = -2.12 \\ P(\bar{x}_A - \bar{x}_B < 0) &= P(Z < -2.12) = 0.017 \end{aligned}

Jarang: dengan ukuran sampel ini, varietas yang lebih berat hampir selalu menunjukkan rata-rata yang lebih berat. Sampel yang lebih kecil akan membuat kurva merah lebih lebar dan daerah arsiran lebih besar.