Inferensi untuk proporsi · AP Statistics

Bab 6 · Inferensi untuk proporsi

interval dan uji untuk p

Proporsi sampel menaksir proporsi populasi. Inferensi menunjukkan seberapa jauh kita boleh memercayainya.

Pada gambar, 50 sampel acak berukuran 500 orang dewasa diambil dari satu kota, tempat proporsi p = 0.60 mendukung jalur sepeda baru. Gambar ini mengetahui p; survei sungguhan tidak pernah.

Setiap sampel memberi p̂-nya sendiri (sebuah titik) dan selang kepercayaan 95% di sekitarnya (sebuah batang). Garis vertikal adalah p. 47 dari 50 selang melewatinya; 3, yang berwarna merah, meleset.

Bab ini membangun selang-selang tersebut dan menjelaskan apa arti dan bukan arti “yakin 95%”. Lalu pertanyaannya dibalik: uji signifikansi menanyakan apakah sebuah sampel akan mengejutkan jika nilai p yang diklaim itu benar, dan kesalahan apa yang mungkin terjadi pada keputusan itu. Terakhir, dua alat yang sama untuk selisih dua proporsi.

6.1 · Mengapa harus normal?

distribusi sampling dari p̂

Proporsi sampel berbeda dari sampel ke sampel. Jika sampelnya cukup besar, distribusinya mendekati normal, sehingga model normal dapat menunjukkan hasil mana yang tidak biasa.

Pada gambar, sampel acak diambil dari populasi dengan p = 0.1, dan p̂ setiap sampel masuk ke sebuah histogram: sampel berukuran 20 di kiri, dan 200 di kanan. Kurva merah adalah model normalnya.

\mu_{\hat p} = p \qquad \sigma_{\hat p} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}

p̂ berpusat di p: ia adalah penaksir tak bias. Sebarannya mengecil seiring n bertambah: σ bernilai 0.067 untuk n = 20 dan 0.021 untuk n = 200. Sampel 10 kali lebih besar, sebaran √10 kali lebih kecil.

Hitungan besar. Bentuknya mendekati normal jika np ≥ 10 dan n(1 − p) ≥ 10. Dengan n = 20, np = 2: histogram miring ke kanan dan menumpuk di dekat 0, dan kurva normal menaruh 6.8% luasnya di bawah 0, tempat p̂ tidak mungkin berada. Dengan n = 200, np = 20 dan n(1 − p) = 180: kurvanya sesuai.

Syarat 10%. Rumus σ mengasumsikan pengamatan yang saling bebas. Pada pengambilan sampel tanpa pengembalian, hal itu cukup terpenuhi bila sampel paling banyak 10% dari populasi.

Contoh. Dengan n = 200, seberapa mungkin p̂ ≥ 0.15? z = (0.15 − 0.1)/0.0212 = 2.36, dan P(Z ≥ 2.36) = 0.0092. Sampel yang sejauh itu di atas 0.1 akan sangat tidak biasa jika hanya karena kebetulan.

6.2 · Menyusun interval kepercayaan

statistik ± (nilai kritis)(galat baku)

Selang kepercayaan memberikan rentang nilai yang masuk akal untuk p: p̂ sampel, ditambah dan dikurangi margin kesalahan.

Sebuah sampel acak berisi 500 orang dewasa di suatu kota: 290 mendukung jalur sepeda baru, sehingga p̂ = 290/500 = 0.580. Selang z satu sampel untuk p:

\begin{aligned}\hat p &\pm z^*\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}} \\ &= 0.580 \pm 1.960\sqrt{\frac{(0.58)(0.42)}{500}} \\ &= 0.580 \pm 0.043 = (0.537,\ 0.623)\end{aligned}

z* = 1.960 untuk 95%: 95% bagian tengah distribusi normal baku terletak di antara −1.960 dan 1.960. Galat baku memakai p̂ sebagai pengganti p yang tidak diketahui. Margin kesalahannya adalah z* × SE = 0.043.

syarat	pemeriksaan
Acak	sampel acak orang dewasa
10%	500 ≤ 10% dari 820,000 orang dewasa di kota itu
Cacah besar	np̂ = 290 dan n(1 − p̂) = 210, keduanya ≥ 10

Mengapa berhasil. Pada 95% sampel, p̂ jatuh dalam jarak 1.96σ dari p (pita biru). Setiap kali itu terjadi, selang yang membentang 1.96 SE di kedua sisi p̂ akan mencakup p. Pada gambar, sampel 6 jatuh di luar pita, dan selangnya meleset.

Pada ujian, sebutkan prosedurnya, periksa syarat-syaratnya, lakukan perhitungan, dan nyatakan selangnya dalam konteks.

6.2 · Margin kesalahan dan ukuran sampel

menentukan n sebelum pengambilan sampel

Margin kesalahan mengecil seiring n bertambah, tetapi pelan: seperti 1/√n. Untuk merencanakan survei, pilih marginnya lebih dahulu, lalu selesaikan untuk n.

\begin{aligned}&z^*\sqrt{\frac{p^*(1-p^*)}{n}} \le \text{ME} \\ &n \ge \Big(\frac{z^*}{\text{ME}}\Big)^2 p^*(1-p^*)\end{aligned}

p* adalah tebakan untuk p. Jika tidak ada, pakai p* = 0.5: ini membuat p*(1 − p*) = 0.25, nilai terbesarnya, sehingga n yang didapat cukup berapa pun nilai p sebenarnya.

Contoh. Margin paling besar 0.03 pada tingkat kepercayaan 95%:

n \ge \Big(\frac{1.960}{0.03}\Big)^2(0.5)(0.5) = 1067.1

sehingga n = 1068. Selalu bulatkan ke atas: 1067 akan memberi margin sedikit di atas 0.03. Dengan taksiran studi pendahuluan p* = 0.2, 683 sudah cukup (kurva biru).

Margin yang separuhnya memerlukan sampel empat kali lipat: n berada di bawah akar kuadrat.

Margin kesalahan hanya mencakup variasi kebetulan dari pengambilan sampel acak. Ia tidak mengatakan apa pun tentang bias akibat cakupan yang kurang, tidak adanya respons, atau pertanyaan yang menggiring.

6.3 · Menafsirkan interval kepercayaan

arti yakin 95%, dan bukan artinya

Selang adalah klaim tentang p. Tingkat kepercayaan adalah klaim tentang metode yang membuatnya.

Selangnya. “Kami 95% yakin bahwa selang dari 0.537 sampai 0.623 memuat proporsi sebenarnya dari semua orang dewasa di kota yang mendukung jalur sepeda.” Sebutkan parameternya, dalam konteks.

Tingkat kepercayaan. “Jika kita mengambil banyak sampel acak berukuran 500 dan membuat selang 95% dari masing-masing, sekitar 95% selang akan memuat proporsi sebenarnya.” Pada gambar, 47 dari 50 memuatnya; 3 yang merah meleset, dan tidak ada tanda yang memperingatkan kita.

Bukan: “ada peluang 95% bahwa p berada di antara 0.537 dan 0.623.” p itu tetap; selang ini entah memuatnya atau tidak. Ini juga bukan tentang 95% orang dewasa, atau 95% proporsi sampel.

Membenarkan klaim. Setiap nilai di dalam selang adalah nilai p yang masuk akal.

klaim	dari (0.537, 0.623)
mayoritas mendukung, p > 0.5	meyakinkan: setiap nilai yang masuk akal berada di atas 0.5
p = 0.60	masuk akal: berada di dalam selang
p ≥ 0.65	tidak masuk akal: selang berada di bawahnya

Masuk akal tidak berarti terbukti: selang tidak menunjukkan bahwa p = 0.60, hanya bahwa 0.60 tidak dapat disingkirkan.

6.3 · Tingkat kepercayaan dan lebar interval

keyakinan lebih tinggi menambah lebar; data lebih banyak mengembalikannya

Tingkat kepercayaan yang lebih tinggi memerlukan z* yang lebih besar, sehingga selang lebih lebar. Sampel yang lebih besar mengecilkan galat baku, sehingga selang lebih sempit.

tingkat	z*	margin kesalahan	selang
90%	1.645	0.036	(0.544, 0.616)
95%	1.960	0.043	(0.537, 0.623)
99%	2.576	0.057	(0.523, 0.637)
95%, n = 2,000	1.960	0.022	(0.558, 0.602)

Semuanya dari p̂ = 0.58 yang sama. Pada gambar, selang merah menyapu tingkat dari 80.0% sampai 99.5%; selang biru memiliki sampel empat kali lipat, dan margin kesalahan separuhnya.

Selang 99% lebih sering menangkap p, tetapi informasinya lebih sedikit. Menginginkan kepercayaan tinggi sekaligus selang sempit berarti memerlukan sampel yang lebih besar.

Tingkat kepercayaan dipilih sebelum data; ia bukan peluang bahwa satu selang tertentu benar. Baik tingkat maupun n tidak mengubah pusat selang: p̂.

6.4 · Menyusun uji hipotesis

hipotesis dan syarat, dengan p₀

Sebuah uji signifikansi menanyakan apakah sebuah sampel memberikan bukti yang meyakinkan untuk menentang suatu klaim tentang p.

Sebuah produsen ponsel menyatakan bahwa 25% ponselnya perlu diperbaiki dalam dua tahun. Sebuah kelompok konsumen menduga angkanya lebih tinggi. Dalam sampel acak berisi 400 ponsel produsen itu, 118 perlu diperbaiki: p̂ = 0.295.

H_0\!: p = 0.25 \qquad H_a\!: p > 0.25

dengan p adalah proporsi semua ponsel produsen itu yang perlu diperbaiki dalam dua tahun. Hipotesis nol H₀ adalah klaim “tidak ada perbedaan dari 0.25”; hipotesis alternatif H_a adalah yang ingin dibuktikan oleh kelompok itu. Hipotesis berkaitan dengan parameter p, tidak pernah dengan p̂, dan ditetapkan sebelum data dilihat.

H_a bersifat satu sisi (> atau <) jika pertanyaannya punya arah, dan dua sisi (≠) jika perbedaan apa pun penting.

syarat	pemeriksaan
Acak	sampel acak dari ponsel produsen itu
10%	400 ≤ 10% dari semua ponselnya
Cacah besar	np₀ = 100 dan n(1 − p₀) = 300, keduanya ≥ 10

Cacah besar memakai p₀, bukan p̂: uji ini menghitung apa yang akan terjadi jika H₀ benar. Gambar menampilkan 200 sampel berukuran 400 dari p = 0.25; sampel-sampel itu menumpuk di sekitar kurva normal dengan pusat 0.25 dan simpangan baku 0.0217.

z = \frac{\hat p - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}} = \frac{0.295 - 0.25}{0.0217} = 2.08

6.5 · Menafsirkan nilai-p

seberapa mengejutkan, jika H₀ benar

Nilai-p adalah peluang, dengan mengasumsikan H₀ benar, memperoleh statistik yang setidaknya seekstrem yang teramati, searah dengan H_a.

\text{p-value} = P(Z \ge 2.08) = 0.019

Pada gambar, 5 dari 200 sampel yang diambil dengan p = 0.25 mencapai 0.295 atau lebih: sebagian sebesar 0.025, dekat dengan 0.019 menurut model normal.

Dalam konteks: “Dengan mengasumsikan 25% dari semua ponsel produsen itu perlu diperbaiki, ada peluang 0.019 untuk memperoleh proporsi sampel sebesar 0.295 atau lebih tinggi dalam sampel acak berisi 400 ponsel, hanya karena kebetulan.”

Nilai-p yang kecil berarti data tersebut jarang terjadi jika H₀ benar: bukti yang menentang H₀. Nilai-p yang besar berarti data tersebut jenis data yang sering dihasilkan oleh H₀: tidak ada bukti yang menentangnya.

Bukan: peluang bahwa H₀ benar, dan bukan pula peluang bahwa hasilnya terjadi karena kebetulan. Nilai-p dihitung dengan mengasumsikan H₀.

Untuk H_a dua sisi, hitung kedua ekor: nilai-p adalah dua kali luas daerah di luar |z|.

6.6 · Menarik kesimpulan uji

bandingkan nilai-p dengan α

Sebelum ada data, pilih taraf signifikansi α. Jika nilai-p kurang dari α, tolak H₀; jika tidak, gagal menolak H₀.

Pada α = 0.05: 0.019 < 0.05, jadi tolak H₀. “Karena nilai-p sebesar 0.019 kurang dari α = 0.05, kita menolak H₀. Kita memiliki bukti yang meyakinkan bahwa lebih dari 25% dari semua ponsel produsen itu perlu diperbaiki dalam dua tahun.”

Pada α = 0.01: 0.019 > 0.01, jadi gagal menolak H₀. “Kita tidak memiliki bukti yang meyakinkan bahwa lebih dari 25% perlu diperbaiki.”

Jangan pernah “menerima H₀”: tidak menemukan bukti yang menentang suatu klaim tidak menunjukkan bahwa klaim itu benar.

Keputusan yang sama dengan statistik uji: tolak jika z melewati nilai kritis, z* = 1.645 untuk α = 0.05 satu sisi, 2.326 untuk 0.01. Pada gambar, α bergerak dari 0.005 ke 0.1; daerah biru berada di luar z*, dan keputusan berbalik saat melewati z = 2.08.

Hasil dengan nilai-p di bawah α disebut signifikan secara statistik pada taraf itu. Signifikan tidak sama dengan besar atau penting.

6.7 · Kesalahan dan kuasa uji

Galat Tipe I, Tipe II, dan kuasa untuk mendeteksi

Sebuah uji dapat salah dengan dua cara. Kuasa uji adalah peluangnya menetapkan dengan benar bahwa H₀ yang salah memang salah.

	H₀ benar	H₀ salah
tolak H₀	Galat Tipe I, peluang α	benar: kuasa
gagal menolak	benar	Galat Tipe II, peluang β

Dalam konteks: galat Tipe I berarti menyimpulkan bahwa lebih dari 25% ponsel perlu diperbaiki padahal sebenarnya 25%; produsen dituduh secara keliru. Galat Tipe II berarti melewatkan kelebihan yang nyata; para pemilik terus membayar perbaikan.

Misalkan kenyataannya p = 0.3. Pada α = 0.05 uji menolak jika p̂ > 0.2856. Dengan n = 400:

\begin{aligned}\text{power} &= P(\hat p > 0.2856 \mid p = 0.30) \\ &= 0.735 \\ \beta &= 1 - \text{power} = 0.265\end{aligned}

n	100	200	400	800
kuasa	0.322	0.496	0.735	0.937

Kuasa meningkat dengan sampel yang lebih besar (kurva menyempit, seperti pada gambar), α yang lebih besar (pada α = 0.1 dan n = 400, 0.834), dan p sebenarnya yang lebih jauh dari p₀. Menurunkan α mengurangi galat Tipe I tetapi menaikkan β: keduanya saling tukar pada n tetap.

6.8 · Interval untuk selisih

p̂₁ − p̂₂, dari dua sampel independen

Untuk membandingkan dua proporsi, taksir selisihnya: (p̂₁ − p̂₂) ± z* × SE.

Sampel acak independen berisi 400 remaja dan 500 orang dewasa: 248 remaja dan 255 orang dewasa mengatakan bahwa mereka terutama mendapat berita dari media sosial. p̂₁ = 0.62, p̂₂ = 0.51, selisihnya 0.11.

\begin{aligned}\text{SE} &= \sqrt{\frac{\hat p_1(1-\hat p_1)}{n_1} + \frac{\hat p_2(1-\hat p_2)}{n_2}} \\ &= \sqrt{0.000589 + 0.000500} \\ &= 0.0330\end{aligned}

\begin{aligned}(\hat p_1 - \hat p_2) &\pm z^*\,\text{SE} \\ &= 0.11 \pm 1.960(0.0330) \\ &= 0.11 \pm 0.065 \\ &= (0.045,\ 0.175)\end{aligned}

Yang dijumlahkan adalah variansnya, bukan galat bakunya: selisih dua taksiran independen lebih bervariasi daripada masing-masing taksiran.

syarat	pemeriksaan
Acak	dua sampel acak independen (atau dua kelompok dari eksperimen teracak)
10%	tiap sampel ≤ 10% dari populasinya
Cacah besar	248, 152, 255, 245: keempatnya ≥ 10

Sebutkan mana yang kelompok 1. Urutan menentukan tandanya: orang dewasa dikurangi remaja akan menghasilkan (-0.175, -0.045).

6.9 · Membenarkan klaim tentang selisih

apakah 0 nilai yang masuk akal untuk p₁ − p₂?

Jika 0 berada di luar interval, data memberikan bukti yang meyakinkan bahwa kedua proporsi berbeda. Jika 0 berada di dalam, data tidak memberikannya.

Dalam konteks: “Kita yakin 95% bahwa interval dari 0.045 sampai 0.175 memuat selisih sebenarnya (remaja dikurangi orang dewasa) dalam proporsi yang terutama mendapat berita dari media sosial.”

Setiap nilai berada di atas 0, sehingga ada bukti yang meyakinkan bahwa proporsi remaja yang melakukannya lebih besar daripada orang dewasa: selisihnya antara 4.5 dan 17.5 poin persentase.

Studi yang lebih kecil. p̂ yang sama dari 100 remaja dan 100 orang dewasa menghasilkan (-0.027, 0.247) (biru). 0 berada di dalam: selisih 0 masuk akal, sehingga data ini tidak memberikan bukti yang meyakinkan adanya perbedaan.

Itu bukan bukti bahwa tidak ada perbedaan: interval itu juga memungkinkan selisih sebesar 0.25. Sampel yang lebih besar mempersempitnya.

Interval yang seluruhnya negatif merupakan bukti bahwa p₁ < p₂. Interval yang memuat 0 memberi kesimpulan yang sama dengan uji dua sisi pada α = 1 − C yang gagal menolak.

6.10 · Menyusun uji dua sampel

H₀: tidak ada perbedaan, dan proporsi gabungan

Uji z dua sampel menanyakan apakah selisih antara dua proporsi sampel lebih besar daripada yang diberikan oleh kebetulan.

Dalam sebuah eksperimen, 300 sukarelawan ditugaskan secara acak: 150 mendapat pengingat lewat pesan teks, 150 tidak. 87 dari kelompok yang diingatkan menerima suntikan flu (0.58) dan 66 dari kelompok lainnya (0.44).

\begin{aligned}H_0\!&: p_1 - p_2 = 0 \\ H_a\!&: p_1 - p_2 > 0\end{aligned}

dengan p₁ dan p₂ adalah proporsi sebenarnya yang akan menerima suntikan flu dengan dan tanpa pengingat.

Penggabungan. H₀ menyatakan kedua proporsi sama, sehingga uji ini menaksir satu nilai bersama dari kedua kelompok sekaligus, yaitu proporsi gabungan (pooled). Pada gambar kedua kelompok menyatu dan suntikan tersebar merata di antara keduanya:

\hat p_c = \frac{X_1 + X_2}{n_1 + n_2} = \frac{87 + 66}{150 + 150} = 0.510

syarat	pemeriksaan
Acak	penugasan acak ke dua perlakuan
10%	tidak diperlukan: tidak ada penarikan sampel dari populasi
Cacah besar	dengan p̂_c: 76.5, 73.5, 76.5, 73.5, semuanya ≥ 10

6.11 · Melakukan uji dua sampel

z, nilai-p, dan kesimpulan dalam konteks

Statistik uji mengukur selisih yang teramati dalam satuan galat baku, dengan galat baku dihitung dari p̂_c.

\begin{aligned}\text{SE} &= \sqrt{\hat p_c(1-\hat p_c)\Big(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}\Big)} \\ &= \sqrt{(0.51)(0.49)\Big(\frac{1}{150} + \frac{1}{150}\Big)} \\ &= 0.0577\end{aligned}

\begin{aligned}z &= \frac{(\hat p_1 - \hat p_2) - 0}{\text{SE}} \\ &= \frac{0.58 - 0.44}{0.0577} = 2.43\end{aligned}

nilai-p = P(Z ≥ 2.43) = 0.0076, ekor merah pada gambar.

Kesimpulan. “Karena nilai-p sebesar 0.0076 kurang dari α = 0.05, kita menolak H₀. Kita memiliki bukti yang meyakinkan bahwa pengingat melalui pesan teks meningkatkan proporsi orang seperti para sukarelawan ini yang menerima suntikan flu.”

Penugasan acak memungkinkan kesimpulan tentang sebab-akibat. Para sukarelawan bukan sampel acak, jadi kesimpulan hanya berlaku untuk orang yang serupa dengan mereka.

Gabungkan (pooling) untuk uji, karena H₀ menyatakan p₁ = p₂. Jangan digabung untuk interval, yang tidak membuat asumsi demikian.