Inferensi untuk rata-rata · AP Statistics

Bab 7 · Inferensi untuk rata-rata

Prosedur t untuk μ

Rata-rata sampel adalah penduga yang baik bagi rata-rata populasi, tetapi hanya perkiraan. Inferensi untuk rata-rata menunjukkan seberapa baik, hanya dengan memakai sampel.

Gambar ini adalah simulasi, jadi kali ini kebenarannya diketahui: sebuah populasi dengan rata-rata μ = 250 dan simpangan baku 5. Berulang kali diambil sampel acak berukuran 10, dan dari tiap sampel saja dibangun sebuah interval, x̄ ± t*·s/√n.

Interval bergerak mengikuti sampelnya. 19 dari 20 interval ini menangkap μ; yang meleset berwarna merah. Dalam jangka panjang 95% interval menangkapnya, dan itulah arti “percaya 95%”.

Bab ini: mengapa t dan bukan z (7.1); interval kepercayaan dan uji signifikansi untuk satu rata-rata (7.2–7.5), termasuk data berpasangan; hal yang sama untuk selisih dua rata-rata (7.6–7.9); dan cara memilih prosedur (7.10).

7.1 · Distribusi t

haruskah saya khawatir tentang galat?

Untuk membakukan x̄ kita memerlukan σ, yang hampir tidak pernah kita ketahui. Jika s sampel dipakai sebagai penggantinya, kita mendapat statistik yang lebih bervariasi daripada z: statistik ini memiliki distribusi t.

Untuk sampel acak, x̄ memiliki rata-rata μ dan simpangan baku σ/√n. Dengan s sebagai pengganti σ, galat baku x̄ adalah s/√n, dan

t = \frac{\bar{x} - \mu}{s/\sqrt{n}}, \qquad df = n - 1

s juga berubah dari sampel ke sampel, dan pada sampel kecil nilainya sering terlalu kecil, sehingga t jatuh jauh dari 0 lebih sering daripada z. Distribusi t berpusat di 0, simetris, dan berbentuk lonceng, dengan ekor yang lebih tebal daripada distribusi normal baku. Derajat kebebasan menentukan bentuknya: saat df bertambah, s menaksir σ dengan lebih baik dan kurvanya mendekati distribusi normal.

df	2	5	10	15	30	100	∞ (z)
t* untuk 95%	4.303	2.571	2.228	2.131	2.042	1.984	1.960

Pada gambar: dengan df = 4, P(|t| > 2) = 0.116, dibandingkan 0.046 untuk z. Jika memakai z* = 1.96 pada sampel kecil, interval yang diperoleh terlalu sempit: interval itu memuat μ lebih jarang daripada yang diklaim. t* memperbaiki hal itu.

Galat selalu mungkin terjadi. Sebuah interval bisa saja tidak memuat μ; sebuah uji bisa menolak hipotesis nol yang benar (galat Tipe I) atau gagal menolak hipotesis nol yang salah (Tipe II). Metode ini menyatakan seberapa sering hal itu terjadi, bukan apakah itu terjadi kali ini.

7.2 · Interval kepercayaan untuk μ

statistik ± (nilai kritis)(galat baku)

Interval t satu sampel menaksir rata-rata populasi μ dari satu sampel acak.

Sebuah mesin kopi diatur untuk menuangkan 250 mL. Sampel acak berisi 16 cangkir (mL):

244.3	248.9	253.8	247.8	246.1	248.6	247.2	243.3
250.6	248.3	245.3	243.7	254.8	251.9	243.4	245.6

x̄ = 247.73 mL, s = 3.60 mL. Dengan df = 15, t* = 2.131 untuk tingkat kepercayaan 95%.

\begin{aligned}\bar{x} \pm t^*\frac{s}{\sqrt{n}} &= 247.73 \pm 2.131\cdot\frac{3.60}{\sqrt{16}} \\ &= 247.73 \pm 1.92 \\ &= (245.81,\ 249.64)\ \text{mL}\end{aligned}

Pada gambar, bola biru adalah x̄, batang gelap menunjukkan satu galat baku ke tiap arah, dan batang merah menunjukkan seluruh interval: t* galat baku ke tiap arah.

Tafsirkan dalam konteks: kita 95% yakin bahwa interval dari 245.81 sampai 249.64 mL memuat rata-rata sebenarnya volume semua cangkir yang dituangkan mesin ini.

Margin galat, t*·s/√n, membesar seiring tingkat kepercayaan (90%: ±1.58; 99%: ±2.65) dan mengecil saat n bertambah, seperti 1/√n: sampel empat kali lebih besar, margin separuhnya.

7.2 · Memeriksa syarat-syarat

acak, 10%, dan normal atau sampel besar

Interval atau uji t hanya dapat dipercaya jika tiga syarat terpenuhi. Nyatakan masing-masing, dalam konteks, sebelum menghitung.

Acak. Data berasal dari sampel acak atau eksperimen teracak.

10%. Saat pengambilan sampel tanpa pengembalian, n ≤ 10% dari populasi, sehingga pengamatan hampir saling bebas.

Normal/Sampel besar. Populasi kira-kira berdistribusi normal, atau n ≥ 30. Jika n < 30 dan bentuk populasi tidak diketahui, gambarkan sampelnya: tidak boleh ada kemencengan kuat dan tidak boleh ada pencilan.

Gambar menunjukkan tiga sampel pada satu skala.

	n	sampel	Normal/Besar?
A	12	kira-kira simetris, tanpa pencilan	ya
B	12	sangat condong ke kanan, 1 pencilan	tidak
C	40	condong ke kanan	ya, n ≥ 30

Pada B, Q₁ = 2.40 dan Q₃ = 6.15, sehingga nilai di atas 6.15 + 1.5(3.75) = 11.78 adalah pencilan: 13.7 adalah pencilan. Dengan hanya 12 nilai, x̄ dan s tertarik olehnya, dan prosedur t tidak aman. C juga condong, tetapi dengan 40 nilai, teorema limit pusat membuat distribusi sampling x̄ mendekati normal.

Untuk cangkir kopi, 16 < 30, tetapi diagram titiknya tidak menunjukkan kemencengan kuat atau pencilan, sehingga interval 7.2 tetap berlaku.

7.3 · Membenarkan klaim dengan interval

nilai-nilai μ yang masuk akal

Interval kepercayaan memberikan nilai-nilai μ yang masuk akal. Nilai yang diklaim di luar interval tidak masuk akal; nilai di dalamnya masuk akal, tetapi belum terbukti.

Pembuat mesin mengklaim mesinnya menuangkan rata-rata 250 mL. Interval 95%, 245.81 sampai 249.64 mL, tidak memuat 250 (garis biru). Semua nilai yang masuk akal berada di bawahnya: interval ini memberikan bukti meyakinkan bahwa mesin menuangkan rata-rata kurang dari 250 mL.

Pada tingkat kepercayaan 99%, intervalnya 245.07 sampai 250.38 mL. Interval itu memuat 250, sehingga pada tingkat ini klaim tersebut masuk akal. Kepercayaan yang lebih tinggi berarti interval lebih lebar, dan lebih sedikit nilai yang disingkirkan.

Arti “95% yakin”. Metode ini memuat μ pada 95% dari semua sampel acak yang mungkin, seperti pada gambar pembuka. Satu interval ini memuat μ atau tidak; kita tidak tahu yang mana.

Kesalahan umum.

“Ada peluang 95% bahwa μ berada di antara 245.81 dan 249.64.” Salah: μ tetap; peluang itu milik metodenya.
“95% cangkir berisi antara 245.81 dan 249.64 mL.” Salah: interval ini untuk rata-rata, bukan untuk cangkir satu per satu, yang variasinya jauh lebih besar.
“250 ada di interval 99%, jadi rata-ratanya 250.” Salah: itu hanya satu dari banyak nilai yang masuk akal.

7.4 · Menyusun uji untuk μ

hipotesis tentang rata-rata populasi

Uji t satu sampel menanyakan apakah sampel memberikan bukti meyakinkan terhadap nilai μ₀ yang diklaim untuk rata-rata populasi.

Seorang inspektur kualitas memeriksa apakah mesin menyimpang dari target, ke arah mana pun:

H_0\!: \mu = 250 \qquad H_a\!: \mu \ne 250

dengan μ adalah rata-rata sebenarnya volume, dalam mL, semua cangkir yang dituangkan mesin. Hipotesis menyangkut parameter μ, tidak pernah x̄, dan dipilih sebelum melihat data. Jika hanya pengisian kurang yang penting, H_a: μ < 250 akan menjadi hipotesis satu arah.

Taraf signifikansi, α = 0.05, juga dipilih sebelumnya: ini adalah peluang galat Tipe I, yaitu menolak H₀ padahal benar.

Syaratnya sama dengan syarat interval: sampel acak; 16 cangkir kurang dari 10% dari semua cangkir yang dituangkan; tidak ada kemencengan kuat atau pencilan pada sampel, karena 16 < 30.

Pertanyaan yang dijawab uji ini: rata-rata sampel, 247.73 mL (biru), berada di bawah 250. Apakah cukup jauh di bawahnya, dihitung dalam galat baku, sehingga kebetulan saja merupakan penjelasan yang tidak mungkin?

7.5 · Melakukan uji untuk μ

statistik t dan nilai-p-nya

Statistik uji menghitung berapa galat baku jarak x̄ dari μ₀. Nilai-p adalah peluang mendapatkan hasil yang setidaknya sama ekstrem jika H₀ benar.

\begin{aligned}t &= \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}} = \frac{247.73 - 250}{3.60/\sqrt{16}} \\ &= -2.53, \quad df = 15\end{aligned}

Untuk H_a: μ ≠ 250, kedua ekor dihitung (merah): nilai-p = 2P(t ≤ −2.53) = 0.023.

Simpulkan dalam konteks. Karena 0.023 < α = 0.05, kita menolak H₀. Ada bukti meyakinkan bahwa rata-rata sebenarnya volume semua cangkir yang dituangkan mesin ini bukan 250 mL.

Tafsirkan nilai-p: dengan anggapan rata-rata sebenarnya 250 mL, ada peluang 0.023 untuk mendapatkan rata-rata sampel yang setidaknya sejauh 247.73 mL dari 250, ke arah mana pun, hanya karena kebetulan pada sampel acak berisi 16 cangkir.

Uji ini sejalan dengan interval 95% pada 7.3, yang tidak memuat 250: uji dua arah pada α = 0.05 menolak tepat nilai-nilai yang tidak termasuk dalam interval 95%. Pada α = 0.01 kita tidak akan menolak, karena 250 berada di interval 99%.

Gagal menolak tidak pernah membuktikan H₀ benar; itu hanya berarti buktinya tidak meyakinkan.

7.5 · Data berpasangan

satu sampel selisih

Bila setiap individu diukur dua kali, atau individu datang dalam pasangan berpadanan, analisis selisihnya: selisih itu merupakan satu sampel, dan prosedur t satu sampel berlaku untuknya.

12 siswa yang dipilih secara acak mengikuti tes kecepatan membaca (kata per menit) sebelum dan sesudah kursus singkat. Pada gambar, setiap siswa adalah batang yang menghubungkan sebelum (abu-abu) ke sesudah (hitam). Batang-batang itu bergeser agar mulai dari 0, dan panjangnya adalah selisih d = sesudah − sebelum:

sebelum	208	135	209	170	169	245	195	160	230	207	212	195
sesudah	213	133	229	183	177	260	203	171	226	231	223	205
d	5	−2	20	13	8	15	8	11	−4	24	11	10

x̄_d = 9.92, s_d = 8.01. Ujilah H₀: μ_d = 0 terhadap H_a: μ_d > 0, dengan μ_d adalah rata-rata kenaikan sebenarnya untuk siswa seperti ini.

\begin{aligned}t &= \frac{\bar{x}_d - 0}{s_d/\sqrt{n}} = \frac{9.92}{8.01/\sqrt{12}} \\ &= 4.29, \quad df = 11\end{aligned}

nilai-p = 0.0006: ada bukti meyakinkan bahwa kursus meningkatkan rata-rata kecepatan membaca. Interval 95% untuk μ_d adalah 4.83 sampai 15.00 kata per menit (merah).

Syarat diperiksa pada selisihnya: sampel acak, 12 < 10% dari semua siswa seperti ini, dan, karena 12 < 30, dotplot selisih tanpa kemiringan kuat atau pencilan.

7.6 · Interval kepercayaan untuk μ₁ − μ₂

dua sampel independen

Untuk membandingkan rata-rata dua populasi (atau dua perlakuan), gunakan interval t dua sampel untuk μ₁ − μ₂.

Seorang penguji menguji sampel acak dua merek baterai pada senter yang sama (lama menyala dalam jam):

	n	x̄ (jam)	s (jam)
merek A	14	11.94	1.27
merek B	12	10.68	1.07

\begin{aligned}SE &= \sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}} \\ &= \sqrt{\frac{1.27^2}{14} + \frac{1.07^2}{12}} = 0.460 \\[4pt] &(\bar{x}_1 - \bar{x}_2) \pm t^*\,SE \\ &= 1.26 \pm 2.064(0.460) \\ &= (0.31,\ 2.21)\ \text{h}\end{aligned}

Derajat kebebasan. Teknologi memakai rumus yang di sini memberikan df = 24.0, sehingga t* = 2.064. Tanpa teknologi, pilihan konservatif adalah n − 1 yang lebih kecil = 11, t* = 2.201: interval sedikit lebih lebar, (0.25, 2.27). Sebutkan mana yang kamu pakai.

Syarat: dua sampel acak independen (atau dua kelompok yang dibentuk dengan penugasan acak); setiap n ≤ 10% dari populasinya; setiap n ≥ 30, atau tidak ada sampel yang menunjukkan kemiringan kuat atau pencilan.

Interpretasi: kita 95% yakin bahwa interval dari 0.31 sampai 2.21 jam memuat selisih sebenarnya antara rata-rata masa pakai baterai, merek A dikurangi merek B.

7.7 · Membenarkan klaim tentang μ₁ − μ₂

di mana posisi 0?

Untuk selisih rata-rata, nilai yang dicari biasanya 0: tidak ada perbedaan. Jika 0 berada di luar interval, interval itu memberikan bukti meyakinkan adanya perbedaan.

Klaim 1: merek A rata-rata bertahan lebih lama. Setiap nilai dari 0.31 sampai 2.21 jam bernilai positif, jadi 0 tidak masuk akal: ada bukti meyakinkan bahwa μ_A − μ_B > 0, yaitu merek A rata-rata bertahan lebih lama.

Klaim 2: merek A rata-rata bertahan paling sedikit 2 jam lebih lama. 2 berada di dalam interval, jadi masuk akal, tetapi nilai yang jauh di bawahnya juga masuk akal, sampai 0.31. Interval ini tidak memberikan bukti meyakinkan untuk klaim ini (juga tidak menentangnya).

Baca tandanya sesuai urutan pengurangan. A − B dari 0.31 sampai 2.21 sama artinya dengan B − A dari −2.21 sampai −0.31.

Kesimpulan ini tentang rata-rata populasi yang disampel. Jika data berasal dari eksperimen acak, kesimpulan itu juga tentang sebab dan akibat; dari sampel acak tidak demikian.

7.8 · Menyusun uji untuk μ₁ − μ₂

berpasangan atau dua sampel?

Pertama tentukan bagaimana data dihasilkan. Dua pengukuran pada setiap individu, atau pasangan berpadanan, memerlukan uji t berpasangan pada selisihnya; dua kelompok independen memerlukan uji t dua sampel.

Untuk dua kelompok independen:

\begin{aligned}&H_0\!: \mu_1 - \mu_2 = 0 \\ &H_a\!: \mu_1 - \mu_2 > 0,\ < 0 \text{ or } \ne 0\end{aligned}

dengan μ₁ dan μ₂ didefinisikan dalam konteks serta dinyatakan mana yang dikurangi dari mana. Untuk pasangan, parameternya adalah satu selisih rata-rata μ_d.

Mengapa penting. Kecepatan membaca dari 7.5, yang keliru diperlakukan sebagai dua sampel independen:

	SE	t	nilai-p
berpasangan (benar)	2.31	4.29	0.0006
dua sampel (salah)	13.30	0.75	0.232

Rata-rata sama, selisih sama 9.92. Tetapi siswa berbeda satu sama lain jauh lebih besar (s ≈ 31 kata per menit) daripada perubahan pada satu siswa (s_d = 8.01). Analisis dua sampel menganggap seluruh sebaran antarsiswa itu sebagai gangguan; pemasangan menghilangkannya. Pada gambar, interval biru adalah analisis yang salah, yang merah yang benar.

Prosedur dua sampel juga mensyaratkan kelompok yang independen, dan skor sebelum dan sesudah dari satu siswa tidak independen.

7.9 · Melakukan uji untuk μ₁ − μ₂

uji t dua sampel

Statistik uji adalah selisih rata-rata sampel, dikurangi nilainya di bawah H₀, dihitung dalam satuan galat baku.

Penguji pada 7.6 bertanya sebelumnya apakah merek A bertahan lebih lama. H₀: μ_A − μ_B = 0, H_a: μ_A − μ_B > 0, dengan setiap μ adalah rata-rata masa pakai sebenarnya merek itu pada senter ini, pada α = 0.05.

\begin{aligned}t &= \frac{(\bar{x}_A - \bar{x}_B) - 0}{\sqrt{\dfrac{s_A^2}{n_A} + \dfrac{s_B^2}{n_B}}} \\ &= \frac{11.94 - 10.68}{0.460} = 2.74\end{aligned}

Dengan df = 24.0 (teknologi), nilai-p adalah P(t ≥ 2.74) = 0.0057, yaitu ekor merah (diperbesar di sudut); dengan df konservatif = 11 nilainya 0.0096. Keduanya kurang dari 0.05.

Simpulkan: tolak H₀. Ada bukti meyakinkan bahwa baterai merek A rata-rata bertahan lebih lama daripada merek B pada senter ini.

Jangan menggabungkan kedua simpangan baku: kursus AP memakai galat baku tak tergabung seperti di atas. Dan jangan menjalankan dua uji satu sampel lalu membandingkannya: pertanyaannya tentang selisih, jadi prosedurnya juga harus demikian.

7.10 · Memilih prosedur

memilih, melaksanakan, dan mengomunikasikan

Sebagian besar pekerjaan ada pada pemilihan. Tanyakan berurutan: parameter jenis apa, berapa sampel, dan menduga atau menguji?

Rata-rata atau proporsi? Data kuantitatif (sebuah pengukuran untuk tiap individu) mengarah ke rata-rata μ dan t. Data kategorik (ya atau tidak) mengarah ke proporsi p dan z (Bab 6). Rata-rata memakai t karena σ diduga dengan s.

Satu sampel, berpasangan, atau dua sampel? Data berpasangan adalah satu sampel selisih. Dua sampel independen, atau dua kelompok perlakuan, memakai prosedur dua sampel.

Interval atau uji? “Duga” atau “berapa banyak” meminta interval; “apakah ada bukti meyakinkan” meminta uji.

prosedur	galat baku	df
t satu sampel	s/√n	n − 1
t berpasangan	s_d/√n	n − 1 (pasangan)
t dua sampel	√(s₁²/n₁ + s₂²/n₂)	teknologi, atau n − 1 yang lebih kecil

Lalu komunikasikan, dalam empat langkah: Nyatakan parameter dan hipotesis (atau tingkat kepercayaan) dalam konteks; Rencanakan: sebutkan prosedur dan periksa acak, 10%, dan sampel normal/besar; Kerjakan: statistik, df, dan nilai-p atau interval; Simpulkan dalam konteks, dikaitkan dengan α, tanpa mengklaim lebih dari yang diizinkan rancangan.