Uji khi-kuadrat · AP Statistics · Atlas of Statistics

Bab 8 · Uji khi-kuadrat

frekuensi terhadap harapan

Uji khi-kuadrat menanyakan apakah frekuensi dalam kategori terlalu jauh dari yang diprediksi oleh suatu hipotesis untuk dianggap kebetulan semata.

Sebuah pembuat permen menyatakan bahwa isi kantongnya adalah 24% blue, 20% orange, 16% green, 14% yellow, 13% red, 13% brown. Satu kantong berisi 200 dihitung (batang hitam). Jika klaim itu benar, kantong tersebut seharusnya berisi sekitar 200 × 0.24 = 48 permen biru, dan seterusnya (bayangan biru).

Tidak ada kantong yang cocok persis. Batang merah adalah selisihnya, amatan − harapan. Setiap selisih dikuadratkan dan dibagi dengan frekuensi harapannya, lalu bagian-bagian itu bertumpuk menjadi satu angka, yaitu statistik khi-kuadrat, χ² = 12.11.

χ² kecil berarti frekuensi dekat dengan klaim; χ² besar berarti tidak. Bab ini menanyakan seberapa besar yang terlalu besar: untuk satu variabel terhadap distribusi yang diklaim (kecocokan), dan untuk tabel dua arah (homogenitas dan independensi).

8.1 · Apakah hasilku tak terduga?

apa yang dihasilkan oleh kebetulan semata

Sampel acak bervariasi. Untuk menilai suatu hasil, bandingkan dengan hasil yang dihasilkan kebetulan semata ketika klaim itu benar.

Gambar ini mengisi 300 kantong berisi 200 secara acak dari campuran yang persis sesuai klaim. Setiap kantong simulasi (kiri) sedikit meleset dari frekuensi harapan, dan χ²-nya muncul sebagai satu titik pada diagram titik.

Bahkan ketika klaim benar, χ² tidak pernah 0, dan biasanya bernilai beberapa satuan. Nilai-nilai sebanyak 300 ini rata-ratanya 4.99. Hanya 10 dari 300 (merah) yang mencapai 12.11 milik kantong sebenarnya: proporsinya 0.033.

Itulah logika setiap uji: jika klaim itu benar, seberapa sering kita melihat hasil setidaknya seekstrem ini? Jika jarang, hasilnya adalah bukti yang signifikan secara statistik terhadap klaim. Jika sering, data tidak memberi alasan untuk meragukannya, dan itu bukan bukti bahwa klaim tersebut benar.

Kurva abu-abu adalah distribusi χ² yang didekati oleh tumpukan titik. Kurva ini memungkinkan kita mencari peluang tanpa simulasi (8.3).

8.2 · Menyusun uji kecocokan

hipotesis, frekuensi harapan, syarat

Uji khi-kuadrat kecocokan menguji apakah distribusi satu variabel kategorik sesuai dengan distribusi yang diklaim.

Hipotesis berkaitan dengan proporsi populasi, bukan frekuensi sampel:

H₀: p_biru = 0.24, p_oranye = 0.2, … , p_cokelat = 0.13 (distribusi yang diklaim benar).
H_a: setidaknya satu proporsi berbeda dari klaim.

H_a bukan “semuanya berbeda”, dan tidak menyebut arah.

Frekuensi harapan adalah n × p_i, dihitung dari H₀:

warna	blue	orange	green	yellow	red	brown
p yang diklaim	0.24	0.2	0.16	0.14	0.13	0.13
harapan	48	40	32	28	26	26

Jumlahnya n = 200, dan tidak harus bilangan bulat: jangan dibulatkan.

Syarat. Acak: sampel acak (atau eksperimen teracak). 10%: pengambilan tanpa pengembalian, n ≤ 10% dari populasi (200 permen jauh kurang dari 10% seluruh permen pembuatnya). Frekuensi besar: setiap frekuensi harapan setidaknya 5; di sini yang terkecil adalah 26. Periksa frekuensi harapan, bukan frekuensi amatan.

8.3 · Statistik khi-kuadrat

selisih kuadrat, diskalakan dengan nilai harapan

Statistik χ² menjumlahkan, untuk setiap kategori, selisih kuadrat antara amatan dan harapan, dibagi frekuensi harapan.

\chi^2 = \sum \frac{(\text{observed} - \text{expected})^2}{\text{expected}}

warna	O	E	O − E	(O − E)²/E
blue	34	48	−14	4.08
orange	48	40	+8	1.60
green	41	32	+9	2.53
yellow	19	28	−9	2.89
red	27	26	+1	0.04
brown	31	26	+5	0.96
total	200	200	0	12.11

Selisihnya selalu berjumlah 0, sehingga tidak bisa dijumlahkan begitu saja: pengkuadratan membuat setiap selisih berarti. Pembagian dengan E membuat selisih lebih berarti bila yang diharapkan sedikit: meleset 10 dari harapan 20 lebih berarti daripada meleset 10 dari harapan 200.

Derajat kebebasan adalah banyak kategori dikurangi satu: df = 6 − 1 = 5. Setelah lima frekuensi diketahui, yang keenam ditentukan oleh totalnya.

Kontribusi terbesar menunjukkan di mana data dan klaim paling berbeda: blue, 4.08 dari 12.11, dengan 34 teramati dibanding 48 yang diharapkan: permen blue lebih sedikit daripada yang diklaim.

8.3 · Nilai p dan kesimpulan

seberapa jauh ke dalam ekor

Nilai-p adalah luas di bawah kurva χ² dengan df uji tersebut, pada dan di luar χ² teramati: nilai besar merupakan bukti terhadap H₀, jadi uji ini selalu melihat ekor kanan.

p = P(\chi^2_{5} \ge 12.11) = 0.033

Simulasi pada 8.1 menghasilkan 0.033, hampir sama dengan jawaban ini.

Interpretasi. Dengan mengasumsikan distribusi yang diklaim pembuat permen benar, peluang memperoleh χ² sebesar 12.11 atau lebih besar karena kebetulan semata dalam sampel acak 200 permen adalah 0.033.

Kesimpulan. Karena p = 0.033 < α = 0.05, tolak H₀. Ada bukti meyakinkan bahwa distribusi warna permen pembuat ini berbeda dari klaimnya.

Dengan tabel, bukan teknologi: nilai kritis untuk df = 5 dan ekor 0.05 adalah χ²* = 11.07 (biru). 12.11 > 11.07, jadi p < 0.05.

Seandainya p di atas α, kesimpulannya adalah “tidak ada bukti meyakinkan bahwa distribusinya berbeda”: bukan “klaim itu benar”, dan bukan “terima H₀”. Uji χ² juga tidak dapat menyatakan ke arah mana distribusinya menyimpang; untuk itu, lihat kontribusi terbesar.

8.3 · Distribusi khi-kuadrat

satu keluarga, satu untuk setiap df

Distribusi χ² adalah keluarga kurva kepadatan, satu untuk setiap derajat kebebasan.

Masing-masing hanya bernilai 0 atau lebih, karena χ² adalah jumlah kuadrat. Masing-masing miring ke kanan. Rata-ratanya adalah df, dan untuk df ≥ 2 puncaknya berada di df − 2.

Saat df bertambah, kurva bergeser ke kanan, melebar, dan menjadi kurang miring (kurva merah bergerak dari df = 1 sampai 12). Lebih banyak kategori berarti lebih banyak suku dalam jumlah, sehingga χ² yang lebih besar diharapkan bahkan ketika H₀ benar.

Jadi χ² yang sama bisa menjadi bukti kuat pada satu df dan tidak berarti pada df lain. Nilai kritis atasnya:

df	1	2	3	4	5	10
ekor 0.05	3.84	5.99	7.81	9.49	11.07	18.31
ekor 0.01	6.63	9.21	11.34	13.28	15.09	23.21

Pemeriksaan kasar: χ² yang dekat dengan df-nya adalah hal biasa. 12.11 milik permen ini lebih dari dua kali df-nya, yaitu 5.

Distribusi χ² hanyalah pendekatan terhadap distribusi sampling sebenarnya dari statistik ini. Pendekatan itu baik bila setiap frekuensi harapan setidaknya 5: itulah sebabnya syarat ini penting.

8.4 · Frekuensi harapan pada tabel dua arah

dari total marginal

Untuk tabel dua arah, setiap frekuensi harapan adalah total baris dikali total kolom, dibagi total tabel.

\text{expected count} = \frac{\text{row total} \times \text{column total}}{\text{table total}}

Sampel acak 400 orang dewasa, masing-masing diklasifikasikan menurut kelompok usia dan sumber berita utama. Frekuensi amatan, dengan frekuensi harapan dalam tanda kurung:

	online	TV	print	total
18–34	64 (48.2)	46 (49.6)	24 (36.2)	134
35–54	43 (47.5)	48 (48.8)	41 (35.6)	132
55+	37 (48.2)	54 (49.6)	43 (36.2)	134
total	144	148	108	400

Mengapa ini berhasil. Secara keseluruhan, 144 dari 400 orang dewasa (36%) mendapat berita mereka online. Jika kelompok usia tidak berpengaruh, proporsi yang sama dari 134 orang dewasa berusia 18–34 akan demikian: 134 × 144/400 = 48.24.

Frekuensi harapan memiliki marjin yang sama dengan frekuensi amatan. Gambar ini menghitung satu sel pada satu waktu: tutup merah adalah frekuensi harapan, dan ubin biru adalah dua total yang menjadi asalnya.

Pertahankan desimalnya. Frekuensi harapan adalah rata-rata dari banyak sampel, bukan frekuensi yang dapat diamati.

8.5 · Homogenitas atau independensi?

rancangan penelitian yang menentukan

Tabel dua arah yang sama dapat berasal dari dua rancangan, dan rancangan itulah yang menentukan ujinya.

Homogenitas (kiri): sampel acak yang terpisah dari beberapa populasi (atau kelompok dalam eksperimen), dengan satu variabel kategorik dicatat. Di sini, satu sampel dari tiap kelompok usia, dan setiap orang ditanya sumber beritanya. Total baris ditentukan oleh rancangan.

H₀: distribusi sumber berita sama untuk ketiga kelompok usia. H_a: distribusi sumber berita tidak sama untuk ketiganya.

Independensi (kanan): satu sampel acak dari satu populasi, dengan dua variabel kategorik dicatat untuk setiap individu. Hanya total tabel yang ditetapkan; berapa banyak yang masuk ke tiap kelompok usia bergantung pada peluang.

H₀: tidak ada asosiasi antara kelompok usia dan sumber berita pada orang dewasa (keduanya independen). H_a: ada asosiasi (keduanya tidak independen).

	homogenitas	independensi
sampel	satu per populasi atau kelompok	satu
variabel	satu	dua
pertanyaan	distribusinya sama di tiap kelompok?	ada asosiasi?

Hitungannya sama: frekuensi harapan, χ², df, dan nilai p. Syarat, untuk keduanya: sampel acak (atau penugasan acak); setiap sampel paling banyak 10% dari populasinya; setiap frekuensi harapan paling sedikit 5.

8.6 · Melakukan uji untuk tabel dua arah

χ² dan df = (r − 1)(c − 1)

Untuk tabel dua arah, χ² menjumlahkan (O − E)²/E pada setiap sel, dan df = (baris − 1)(kolom − 1).

Sampel sumber berita adalah satu sampel dengan dua variabel: uji independensi, pada α = 0.05.

H₀: kelompok usia dan sumber berita utama independen pada orang dewasa. H_a: keduanya berasosiasi.

Syarat. Sampel acak; 400 kurang dari 10% dari seluruh orang dewasa; frekuensi harapan terkecil adalah 35.6, paling sedikit 5.

Kontribusi tiap sel (kolom merah):

	online	TV	print
18–34	5.15	0.26	4.10
35–54	0.43	0.01	0.81
55+	2.62	0.39	1.29

\chi^2 = 15.06 \qquad \text{df} = (3-1)(3-1) = 4

Mengapa (r − 1)(c − 1): dengan margin tetap, setelah sudut 2 × 2 dari tabel terisi, semua sel lainnya ditentukan oleh totalnya.

Kontribusi terbesar: 18–34, online (5.15: 64 teramati, 48.2 harapan) dan 18–34, print (4.10: 24 teramati, 36.2 harapan). Orang dewasa yang lebih muda cenderung daring dan menjauhi media cetak.

8.6 · Kesimpulan, dalam konteks

bukti adanya asosiasi, bukan sebab-akibat

Nilai p adalah luas daerah di luar χ² di bawah kurva dengan df = (r − 1)(c − 1), dan kesimpulannya mengenai populasi, sesuai konteks.

p = P(\chi^2_{4} \ge 15.06) = 0.0046

Kesimpulan. Karena p = 0.0046 < α = 0.05, tolak H₀. Ada bukti yang meyakinkan adanya asosiasi antara kelompok usia dan sumber berita utama pada orang dewasa.

Dengan nilai kritis: χ²* = 9.49 untuk df = 4, dan 15.06 > 9.49.

Bukan sebab-akibat. Ini adalah studi observasional: uji ini menemukan asosiasi, dan tidak menyatakan bahwa usia menyebabkan pilihan sumber berita. Hanya eksperimen acak, yang diuji homogenitasnya pada kelompok perlakuannya, yang dapat menunjukkan sebab-akibat.

Seandainya frekuensi yang sama berasal dari tiga sampel terpisah, kesimpulannya akan berbunyi: ada bukti yang meyakinkan bahwa distribusi sumber berita berbeda di antara ketiga kelompok usia.

Kesalahan umum. Menulis hipotesis tentang sampel; memakai persentase sebagai ganti frekuensi; memeriksa frekuensi teramati, bukan frekuensi harapan; df = rc − 1; menyimpulkan H₀ benar ketika p besar.

8.7 · Selecting a procedure

z untuk proporsi, atau χ²

Untuk data kategorik, pilihan prosedur bergantung pada banyaknya sampel, banyaknya variabel, dan banyaknya kategori.

data	prosedur
satu sampel, variabel dua kategori, klaim tentang p	uji z satu sampel (atau interval) untuk p
dua sampel atau kelompok, variabel dua kategori	z dua sampel untuk p₁ − p₂
satu sampel, satu variabel dengan beberapa kategori, terhadap suatu klaim	χ² kecocokan, df = k − 1
beberapa sampel atau kelompok, satu variabel	χ² homogenitas, df = (r − 1)(c − 1)
satu sampel, dua variabel	χ² independensi, df = (r − 1)(c − 1)

Prosedur z melakukan pendugaan: menghasilkan selang kepercayaan dan memungkinkan H_a satu sisi (“lebih besar dari”). Uji χ² hanya menguji, dan H_a-nya tidak memiliki arah.

Dengan dua kelompok dan dua kategori, uji z dua sampel dengan H_a dua sisi dan uji χ² homogenitas memberikan nilai p yang sama (χ² = z²).

Baca rancangannya lebih dulu: bagaimana sampel diambil, dan apa yang dicatat tentang setiap individu? Gambar menunjukkan pola yang ditinggalkan tiap rancangan pada data, dan memilih satu prosedur untuk tiap pertanyaan.