Inferensi untuk kemiringan · AP Statistics

Bab 9 · Inferensi untuk kemiringan

apakah tren ini nyata?

Garis kuadrat terkecil menggambarkan satu sampel. Inferensi bertanya apa yang dikatakan garis itu tentang garis untuk seluruh populasi.

Seorang guru memilih 18 siswa secara acak dan mencatat berapa jam masing-masing belajar untuk sebuah ujian dan nilai yang diperoleh. Secara umum, makin banyak jam, makin tinggi nilainya. Tetapi apakah tren itu nyata, atau mungkinkah sampel sekecil ini menunjukkannya secara kebetulan?

Gambar ini membangun sebuah populasi yang jawabannya diketahui. Garis hitam adalah garis regresi populasi-nya: rata-rata nilai pada setiap jumlah jam. Pada setiap x, nilai menyebar normal di sekitar garis (kurva biru). Nilai setiap siswa diambil dari kurva pada jam belajarnya.

Garis merah dicocokkan pada sampel: kemiringan b = 2.247, sedangkan kemiringan populasi β = 2.5. Dalam praktik β tidak pernah diketahui, dan b adalah satu-satunya yang kita punya.

Bab ini menyatakan modelnya, menunjukkan bagaimana b bervariasi dari sampel ke sampel, memeriksa syarat-syaratnya, membangun selang kepercayaan untuk β, menguji apakah β = 0, membacanya dari keluaran komputer, dan diakhiri dengan memilih prosedur yang tepat di antara semua prosedur dalam kursus ini.

9.1 · Model regresi populasi

distribusi normal y pada setiap x

Inferensi untuk kemiringan mengasumsikan sebuah model: pada setiap nilai x, respons y berdistribusi normal, berpusat pada garis lurus, dengan simpangan yang sama.

\begin{aligned}\mu_y &= \alpha + \beta x \\ y &= \alpha + \beta x + \varepsilon,\quad \varepsilon \sim N(0,\ \sigma)\end{aligned}

α, β, dan σ adalah parameter: intersep dan kemiringan garis regresi populasi, serta simpangan baku y terhadap garis itu, yang sama untuk setiap x. Sampel menaksir masing-masing dengan sebuah statistik:

parameter	statistik	pada gambar
α (intersep)	a	50 → 49.783
β (kemiringan)	b	2.5 → 2.247
σ (SD terhadap garis)	s	9 → 9.834
μ_y (rata-rata y pada x)	ŷ	α + βx → a + bx

β adalah perubahan rata-rata nilai untuk setiap tambahan satu jam, di seluruh siswa sekolah itu. Di sini β = 2.5: pada 3 jam rata-ratanya 57.5, pada 5 jam 62.5.

s menaksir σ dari residu, dengan membagi oleh n − 2 karena dua bilangan (a dan b) sudah ditaksir lebih dahulu:

s = \sqrt{\frac{\sum (y_i - \hat y_i)^2}{n-2}} = 9.834

Pertanyaan di balik setiap uji dalam bab ini: apakah titik-titiknya benar-benar segaris, atau apakah kemiringan seperti b bisa muncul secara kebetulan walaupun β = 0?

9.1 · Kemiringan sampel bervariasi

distribusi sampling b

Sampel lain dari populasi yang sama memberi garis lain, dan kemiringan lain. Kemiringan dari semua sampel yang mungkin membentuk distribusi sampling b.

Pada gambar, 18 jam yang sama dipertahankan dan nilai baru diambil, sebanyak 100 kali. Setiap garis hasil fit (merah, lalu abu-abu) miring sedikit berbeda di sekitar garis sebenarnya, dan setiap kemiringan jatuh ke dalam diagram titik.

Jika model terpenuhi, distribusi sampling b berdistribusi normal, berpusat pada β (b adalah penaksir tak bias), dengan simpangan baku

\sigma_b = \frac{\sigma}{\sigma_x\sqrt n} = \frac{9}{2.625\sqrt{18}} = 0.808

dengan σ_x adalah simpangan baku nilai-nilai x (dibagi n). Kemiringan sebanyak 100 itu memiliki rata-rata 2.47 dan simpangan baku 0.83, mendekati 2.5 dan 0.81.

Yang membuat b kurang bervariasi: pencaran di sekitar garis lebih kecil (σ lebih kecil), sebaran x lebih lebar (σ_x lebih besar), dan sampel lebih besar. Menyebarkan nilai x mengunci sebuah garis lebih baik daripada menumpuknya.

σ tidak diketahui, sehingga diganti dengan s, dan σ_x√n dengan s_x√(n − 1). Itu menghasilkan galat baku kemiringan, dan standardisasi dengannya menghasilkan distribusi t dengan n − 2 derajat kebebasan:

SE_b = \frac{s}{s_x\sqrt{n-1}} = \frac{9.834}{2.702\sqrt{17}} = 0.883

t = \frac{b-\beta}{SE_b},\qquad df = n-2

9.2 · Syarat inferensi

LINER: linear, independen, normal, SD sama, acak

Selang dan uji hanya dapat dipercaya jika modelnya sesuai. Periksa lima syarat, masing-masing dengan data, sebelum menghitung apa pun.

syarat	cara memeriksa
Linear	diagram pencar kira-kira lurus; plot residu tidak menunjukkan lengkungan
Independen	pengambilan sampel tanpa pengembalian: n ≤ 10% populasi
Normal	histogram atau diagram titik residu: tidak ada kemiringan kuat atau pencilan
Equal SD (SD sama)	plot residu: tidak melebar seperti kipas, pencaran sama pada setiap x
Random (acak)	sampel acak atau eksperimen terandomisasi

Untuk 18 siswa ini: plot residu (tengah) berupa pita tanpa pola di sekitar 0, tanpa lengkungan dan tanpa bentuk kipas, sehingga syarat linear dan SD sama terpenuhi. Histogram residu (kanan) memiliki satu puncak dan tidak miring kuat; residu terbesar adalah 21.2, sekitar 2.2 s, bukan pencilan ekstrem. Siswa-siswa itu adalah sampel acak, dan 18 ≤ 10% dari 950 siswa di sekolah itu.

Kesalahan umum. Periksa kenormalan pada residu, bukan pada x atau y. Tidak ada aturan “n ≥ 30” yang membenarkan plot residu yang miring di sini. Plot residu yang melengkung berarti kemiringan bukan ringkasan yang tepat: tidak ada selang yang dapat memperbaikinya.

9.2 · Membaca keluaran regresi

Coef, SE Coef, T, P, S, dan R-Sq

Perangkat lunak mencetak regresi dalam tabel standar. Setiap angka yang dibutuhkan bab ini ada di dalamnya.

Prediktor	Koef	SE Koef	T	P
Konstanta	49.783	4.749	10.48	0.000
Jam	2.247	0.883	2.55	0.022
S = 9.834 R-Sq = 28.8% R-Sq(adj) = 24.4%

Koef. Baris Constant memberi intersep a; baris yang bernama variabel penjelas memberi kemiringan b:

\widehat{\text{score}} = 49.783 + 2.247\,(\text{hours})

SE Koef untuk Hours adalah SE_b = 0.883. T = Koef/SE Koef = 2.55: statistik uji untuk H₀: β = 0. P = 0.022 adalah nilai-P dua arahnya.

S = s = 9.834: nilai sebenarnya biasanya berbeda dari nilai prediksi sekitar 9.8 poin. R-Sq = r²: 28.8% variasi nilai dijelaskan oleh model linear terhadap jam belajar. Maka r = +√0.288 = 0.537, positif seperti kemiringannya.

Menafsirkan kemiringan: untuk setiap tambahan satu jam belajar, nilai prediksi naik sekitar 2.247 poin.

Kesalahan umum. T dan P pada baris Constant menguji α = 0, yang jarang layak ditanyakan. S bukan SE_b. R-Sq(adj) tidak diperlukan dalam kursus ini.

9.2 · Interval kepercayaan untuk kemiringan

b ± t*·SE_b, dengan n − 2 derajat kebebasan

Interval kepercayaan untuk β adalah kemiringan sampel, ditambah dan dikurangi margin kesalahan.

b \pm t^*\,SE_b, \qquad df = n - 2

Hitung. Dengan n = 18, df = 16 dan untuk tingkat kepercayaan 95% t* = 2.120. Dari keluaran:

\begin{aligned}2.247 &\pm 2.120\,(0.883) \\ = 2.247 &\pm 1.872 = (0.375,\ 4.119)\end{aligned}

Simpulkan. Kita 95% yakin bahwa interval dari 0.375 sampai 4.119 memuat kemiringan garis regresi populasi yang menghubungkan nilai ujian dengan jam belajar untuk siswa di sekolah ini. Artinya, rata-rata nilai naik antara 0.38 dan 4.12 poin untuk setiap tambahan satu jam.

Tingkat kepercayaan berkaitan dengan metodenya: pada sampel yang diulang-ulang, sekitar 95% interval yang dibuat dengan cara ini memuat β. Di sebelah kanan, 24 dari 25 interval dari 25 sampel memuatnya. Satu interval tertentu pasti memuat β atau tidak.

Gambar ini mengubah tingkat dari 80% sampai 99%: tingkat yang lebih tinggi membutuhkan t* yang lebih besar dan menghasilkan interval yang lebih lebar. Pada 99%, t* = 2.921 dan intervalnya adalah (−0.332, 4.826).

Jawaban lengkap menyebutkan prosedurnya (interval t untuk kemiringan), memeriksa syarat-syaratnya, melakukan perhitungan, dan menyimpulkan sesuai konteks.

9.3 · Membenarkan klaim dengan interval

apakah kemiringan yang diklaim termasuk nilai yang masuk akal?

Nilai-nilai di dalam interval kepercayaan adalah nilai β yang masuk akal. Nilai klaim di luar interval merupakan bukti yang menentang klaim itu.

Apakah ada hubungan? Jika β = 0, rata-rata nilai tidak berubah menurut jam belajar: tidak ada hubungan linear. 0 tidak berada dalam interval 95% (0.375, 4.119), dan semua nilai di dalamnya positif. Jadi data memberi bukti meyakinkan bahwa β > 0: di populasi, lebih banyak jam belajar berkaitan dengan rata-rata nilai yang lebih tinggi.

Pada 99% intervalnya adalah (−0.332, 4.826). Interval ini memuat 0, sehingga pada tingkat itu 0 masuk akal: buktinya belum cukup kuat untuk menyingkirkan kemungkinan tidak ada hubungan.

Sebuah klaim. Sebuah perusahaan les mengatakan setiap tambahan satu jam belajar bernilai 5 poin rata-rata. 5 berada di atas kedua interval, sehingga data memberi bukti meyakinkan yang menentang klaim itu: kemiringan sebenarnya tampaknya lebih kecil.

Interval C% dan uji dua sisi pada α = 1 − C sejalan: uji menolak β = β₀ tepat ketika β₀ berada di luar interval. Interval memberi informasi lebih: seberapa besar kemiringan yang masuk akal.

Kesalahan umum. Nilai di dalam interval itu masuk akal, bukan terbukti: “0 ada di dalam interval, jadi tidak ada hubungan” adalah salah. Begitu pula “ada peluang 95% bahwa β berada di dalam interval” adalah salah: β bersifat tetap; 95% adalah tingkat keberhasilan metode dalam memuat β.

9.4 · Menyusun uji untuk kemiringan

H₀: β = 0, melawan hipotesis alternatif yang ingin kamu tunjukkan

Uji signifikansi untuk kemiringan menanyakan apakah kemiringan sampel terlalu jauh dari nilai hipotesis, biasanya 0, untuk dianggap kebetulan.

Hipotesisnya mengenai kemiringan populasi β, tidak pernah mengenai b:

\begin{aligned}H_0\!&: \beta = 0 \\ H_a\!&: \beta > 0,\ \ \beta < 0\ \ \text{or}\ \ \beta \neq 0\end{aligned}

H₀: β = 0 berarti tidak ada hubungan linear: rata-rata y sama untuk setiap x. Definisikan β dalam konteks: “kemiringan garis regresi populasi yang menghubungkan nilai ujian dengan jam belajar untuk semua siswa di sekolah”. Pilih H_a dari soal, sebelum melihat data.

Guru menanyakan apakah nilai dan jam belajar berhubungan linear sama sekali, jadi H_a: β ≠ 0, pada α = 0.05. Prosedurnya adalah uji t untuk kemiringan, dengan syarat LINER yang sama, yang diperiksa di 9.2.

Mengapa perlu uji. Di sebelah kanan ada dunia H₀: garis sebenarnya datar, dan sampel diambil darinya dengan jam belajar dan sebaran yang sama seperti data kita. Garis hasil pencocokannya tetap miring, secara kebetulan. Dari 200 sampel seperti itu, 3 memiliki kemiringan securam milik kita, 2.247, ke arah mana pun. Kemiringan kita tidak lazim jika H₀ benar.

H₀ dapat menyebut nilai lain, β = β₀, seperti kemiringan yang diklaim; ujinya sama dengan β₀ menggantikan 0.

9.5 · Melaksanakan uji untuk kemiringan

t = (b − β₀)/SE_b, dan P dari distribusi t

Statistik uji menghitung berapa kesalahan baku jarak kemiringan sampel dari kemiringan hipotesis.

t = \frac{b - \beta_0}{SE_b} = \frac{2.247 - 0}{0.883} = 2.54

dengan df = n − 2 = 16. Keluaran mencetak T = 2.55, dari b dan SE_b yang belum dibulatkan; keduanya boleh dipakai.

Nilai P adalah peluang, jika H₀ benar, mendapat t sejauh ini atau lebih. H_a bersisi dua, jadi kedua ekor dihitung: P = 2P(t ≥ 2.55) = 0.022, seperti yang dicetak keluaran. Pada gambar, sampel nol dari 9.4 menjatuhkan nilai t-nya ke kurva t; 4 dari 200, 0.020, jatuh di ekor merah.

Menafsirkannya. Dengan anggapan tidak ada hubungan linear antara jam belajar dan nilai di populasi, peluang mendapatkan kemiringan sampel yang sejauh 2.247 dari 0 atau lebih, hanya karena kebetulan, adalah 0.022.

Simpulkan. Karena P = 0.022 < α = 0.05, tolak H₀. Ada bukti meyakinkan adanya hubungan linear antara jam belajar dan nilai ujian untuk siswa di sekolah ini.

Kesalahan umum. Jangan pernah “menerima H₀”: katakan gagal menolaknya. Nilai P bukan peluang bahwa H₀ benar. Dan siswa-siswa ini menentukan sendiri waktu belajarnya: ini studi observasional, jadi hanya menunjukkan asosiasi, bukan bahwa belajar lebih lama menyebabkan nilai lebih tinggi. Hanya eksperimen acak yang mendukung sebab-akibat.

9.5 · Uji satu sisi, klaim lain, dan galat

saat P yang tercetak bukan jawabannya

T dan P pada keluaran menjawab satu pertanyaan: uji dua sisi untuk β = 0. Pertanyaan lain butuh langkah tambahan kecil.

Satu sisi. Untuk H_a: β > 0, nilai P adalah satu ekor. Bila b berada di sisi yang diprediksi H_a, bagi dua P yang tercetak: 0.022/2 = 0.0110. Bila b berada di sisi lain, nilai P adalah 1 dikurangi itu, dan tidak ada bukti untuk H_a.

β₀ lain. Untuk menguji klaim perusahaan les, H₀: β = 5 melawan H_a: β < 5, hitung t secara manual:

t = \frac{2.247 - 5}{0.883} = -3.12

P = P(t \le -3.12) = 0.0033

Dengan df = 16: ada bukti kuat bahwa kemiringan sebenarnya kurang dari 5, seperti yang ditunjukkan interval di 9.3.

Uji dan interval sejalan. P = 0.022 < 0.05, dan interval 95% tidak memuat 0. P = 0.022 > 0.01, dan interval 99% memuat 0.

Kesalahan. Galat Tipe I di sini berarti menyimpulkan bahwa jam belajar dan nilai berhubungan linear padahal di populasi tidak; peluangnya adalah α. Galat Tipe II berarti melewatkan hubungan yang sebenarnya ada. Sampel yang lebih besar, sebaran x yang lebih lebar, dan α yang lebih besar semuanya membuat galat Tipe II lebih kecil kemungkinannya.

9.6 · Memilih prosedur inferensi

cocokkan prosedur dengan pertanyaannya

Setiap prosedur dalam pelajaran ini menjawab satu jenis pertanyaan. Tiga pertanyaan tentang data akan menentukannya.

1. Apa yang diukur? Satu kategori untuk tiap individu (proporsi, cacah), satu angka (rata-rata), atau dua angka untuk tiap individu (kemiringan). 2. Berapa sampel atau kelompok, dan apakah berpasangan? 3. Estimasi atau uji? “Seberapa besar…” atau “estimasikan…” meminta interval; “apakah ada bukti meyakinkan…” meminta uji.

prosedur	kapan
1-prop z	satu variabel kategorik, satu sampel: p
2-prop z	satu variabel kategorik, dua kelompok: p₁ − p₂
χ² kecocokan	satu variabel kategorik, seluruh distribusinya terhadap suatu klaim
1-sampel t	satu variabel kuantitatif, satu sampel: μ
t berpasangan	dua pengukuran pada tiap individu: μ_diff
2-sampel t	satu variabel kuantitatif, dua kelompok independen: μ₁ − μ₂
χ² homogenitas	satu variabel kategorik, beberapa sampel atau perlakuan terpisah
χ² independensi	dua variabel kategorik dalam satu sampel
t untuk kemiringan	dua variabel kuantitatif, hubungan linear: β

Petunjuk pada kalimat soal: “proporsi”, “persen” → z; “rata-rata” → t; “hubungan” antarvariabel kategorik → χ²; antarvariabel kuantitatif → kemiringan.

Kesalahan umum. Data berpasangan dianalisis sebagai dua sampel (orang yang sama diukur dua kali adalah berpasangan). Homogenitas dan independensi tertukar: itu tergantung desainnya, beberapa sampel atau satu. Pertanyaan tentang korelasi membutuhkan uji kemiringan, bukan uji χ².