Menjelajahi data satu variabel · AP Statistics

Bab 1 · Menjelajahi data satu variabel

bentuk, pusat, dan sebaran

Statistika adalah ilmu untuk belajar dari data, dan data itu bervariasi.

40 siswa dalam satu kelas menjawab dua pertanyaan: bagaimana kamu pergi ke sekolah, dan berapa menit waktu yang dibutuhkan? Pada gambar, setiap bola adalah satu siswa, jatuh ke garis bilangan pada waktu tempuhnya.

Tidak ada dua pagi yang sama. Waktunya berkisar dari 8 sampai 56 menit, dan sekitar tiga perempatnya 26 atau kurang. Pola itu, yaitu nilai mana yang muncul dan seberapa sering, adalah distribusi variabel tersebut.

Di bawah titik-titik, sebuah histogram menghitung waktu yang sama dalam kelas berlebar 5 menit, dan di bawahnya sebuah grafik kumulatif menjumlahkannya.

Bab ini menamai jenis-jenis variabel, menggambarnya dalam tabel dan grafik, mendeskripsikan distribusi menurut bentuk, pusat, dan sebarannya, mengukur masing-masing dengan sebuah angka, dan diakhiri dengan model yang paling berguna: distribusi normal.

1.1 · Pengantar statistika

apa yang dapat kita pelajari dari data?

Data adalah informasi tentang individu; variabel adalah karakteristik yang berubah dari satu individu ke individu lain.

Di sini individunya adalah 40 siswa. Bola merah adalah siswa 5: berangkat dengan bus, 29 menit. Satu siswa adalah satu baris data; setiap variabel adalah satu kolom.

student	mode	waktu (menit)
1	walk	8
2	bike	13
3	bike	14
4	car	12
5	bus	29

Pertanyaan statistik mengharapkan adanya variasi pada jawabannya. “Berapa lama siswa 5 sampai di sekolah?” hanya punya satu jawaban. “Berapa lama siswa di kelas ini sampai di sekolah?” punya 40, dan menanyakan distribusinya.

Variasi ada di mana-mana, jadi pola dalam data bisa nyata atau bisa hanya kebetulan. Statistika memisahkan keduanya. Pertanyaan yang diajukan selalu sama: siapa yang diukur, apa yang diukur, bagaimana, dan apa yang dapat disimpulkan tentang siapa.

40 jawaban ini menggambarkan kelas ini. Kesimpulan tentang semua siswa di sekolah memerlukan sampel acak dari mereka (Bab 3).

1.2 · Bahasa variasi

variabel kategorik dan kuantitatif

Variabel kategorik menempatkan setiap individu ke dalam suatu kelompok. Variabel kuantitatif memberi setiap individu sebuah angka yang dapat dihitung atau diukur.

Cara siswa berangkat (jalan kaki, sepeda, bus, mobil) bersifat kategorik. Waktu tempuh dalam menit bersifat kuantitatif: aritmetika pada nilainya bermakna, dan nilainya terletak pada skala bilangan.

Pada gambar, 40 bola yang sama berpindah di antara dua tampilan. Pada garis bilangan, setiap bola berada pada waktunya; saat diurutkan menurut moda, mereka terbagi menjadi empat kelompok. Individunya tidak berubah, hanya variabel yang kita amati.

Variabel kuantitatif bersifat diskret (cacah yang dapat didaftar: banyak saudara kandung) atau kontinu (pengukuran pada suatu interval: waktu, tinggi badan).

Hati-hati. Angka tidak selalu kuantitatif. Kode pos atau nomor punggung hanya melabeli kelompok; rata-ratanya tidak bermakna, jadi variabel itu kategorik. Variabel kuantitatif dapat dijadikan kategorik dengan pengelompokan: “lebih dari 20 menit, ya atau tidak.”

1.3 · Menyajikan variabel kategorik dengan tabel

frekuensi dan frekuensi relatif

Tabel frekuensi mendaftar setiap kategori beserta cacahnya. Tabel frekuensi relatif memberi setiap cacah sebagai proporsi dari total.

\text{relative frequency} = \frac{\text{frequency}}{\text{total}}

mode	frequency	frekuensi relatif	percent
walk	7	0.175	17.5%
bike	8	0.200	20.0%
bus	14	0.350	35.0%
car	11	0.275	27.5%
total	40	1.000	100.0%

Frekuensi relatif berjumlah 1 (atau 100%), selain pembulatan. Frekuensi relatif memungkinkan kelompok berukuran berbeda dibandingkan: kelas berisi 25 siswa dan sekolah berisi 2000 siswa masing-masing bisa 35% pengendara bus.

Dalam konteks. 14 dari 40 siswa, yaitu proporsi 14/40 = 0.350, naik bus: cara paling umum kelas ini berangkat ke sekolah.

Kategori yang paling sering muncul adalah modus dari variabel kategorik. Tabel dua variabel kategorik sekaligus, yaitu tabel dua arah, dibahas di Bab 2.

1.4 · Menyajikan variabel kategorik dengan grafik

diagram batang dan diagram lingkaran

Diagram batang menggambarkan setiap kategori sebagai batang yang tingginya sama dengan frekuensi atau frekuensi relatifnya. Diagram lingkaran memberi setiap kategori juring lingkaran yang sebanding.

Batang pada diagram batang dibuat terpisah, karena di antara kategori tidak ada skala, dan urutannya adalah pilihan. Mengurutkan batang dari yang tertinggi membuat kategori terbesar mudah terlihat.

Sudut juring lingkaran sama dengan frekuensi relatifnya × 360°: juring bus adalah 0.350 × 360° = 126°. Diagram lingkaran hanya cocok jika kategorinya membentuk satu keseluruhan dan setiap individu berada tepat dalam satu kategori.

Mendeskripsikan distribusi kategorik. Sebutkan kategori yang paling sering dan paling jarang, dan bandingkan dengan proporsi, sesuai konteks: “35% siswa naik bus, lebih banyak daripada moda lainnya; 17.5% berjalan kaki.”

Grafik yang menyesatkan. Diagram batang yang sumbu vertikalnya tidak dimulai dari nol melebih-lebihkan perbedaan. Gambar dan diagram lingkaran 3D yang mengubah luas dan kedalaman, bukan hanya tinggi, juga demikian. Baca skalanya sebelum melihat bentuknya.

1.5 · Menyajikan variabel kuantitatif dengan grafik

plot titik, plot batang-daun, histogram, dan grafik kumulatif

Grafik variabel kuantitatif menunjukkan distribusinya pada garis bilangan: di mana nilai-nilainya berada, dan bagaimana nilai itu menggumpal dan menyebar.

Plot titik menempatkan satu titik untuk setiap individu di atas nilainya. Plot batang-daun memisahkan setiap nilai menjadi batang (di sini puluhan) dan daun (satuan):

0	8 8 8 9 9 9
1	0 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 4 5 7 7 7 8
2	2 2 2 3 4 5 6 6 8 8 9 9
3	0 5 5 8
4
5	6

Kunci: 1 | 4 berarti 14 menit. Keduanya mempertahankan setiap nilai.

Histogram menghitung nilai dalam interval yang sama lebar, atau kelas, di sini selebar 5 menit; batang-batangnya saling menempel, karena skalanya kontinu. Waktu tepat 15 masuk ke kelas 15 sampai 20. Lebar kelas yang berbeda dapat mengubah gambar, jadi pilih lebar yang menunjukkan bentuk tanpa menyembunyikan detail.

Grafik kumulatif memplot, pada ujung setiap kelas, proporsi nilai di bawahnya. Grafik ini menunjukkan persentil: 70% siswa di kelas menempuh waktu kurang dari 25 menit, dan grafik memotong 0.5 di median, sekitar 17 menit.

1.6 · Mendeskripsikan distribusi variabel kuantitatif

bentuk, pusat, sebaran, dan ciri tak biasa

Deskripsikan distribusi menurut bentuk, pusat, sebaran, dan ciri tak biasa, selalu sesuai konteks data.

Bentuk. Simetris: kedua sisi kurang lebih saling mencerminkan. Miring ke kanan: ekor panjang ke arah nilai yang lebih besar. Miring ke kiri: ekor panjang ke arah nilai yang lebih kecil. Kemiringan dinamai menurut ekornya, bukan puncaknya. Hitung juga puncaknya: unimodal, bimodal (dua gugus, sering kali dua kelompok bercampur), atau seragam (tanpa puncak yang jelas).

Ciri tak biasa. Celah (rentang tanpa nilai), gugus, dan pencilan: nilai yang jauh dari yang lain.

Kelas ini, dideskripsikan. Distribusi waktu perjalanan bersifat unimodal dan miring ke kanan, dengan puncak pada 10 sampai 15 menit. Mediannya sekitar 17 menit, dan waktunya berkisar dari 8 sampai 56 menit. Ada celah dari 38 sampai 56 menit, dan 56 menit mungkin pencilan.

Kata “sekitar” dan “kurang lebih” pantas dipakai di sini: bentuk dinilai dengan mata. 1.7 dan 1.8 memberi angka pada pusat dan sebaran serta aturan untuk pencilan.

1.7 · Statistik ringkasan: pemusatan

mean, median, dan mana yang tahan terhadap pencilan

Rata-rata adalah jumlah nilai dibagi banyaknya nilai. Median adalah nilai tengah setelah nilai diurutkan.

\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}

Sembilan siswa dalam kelas, berurutan: 8, 8, 8, 9, 12, 13, 14, 26, 29. Rata-ratanya 127/9 = 14.1 menit. Median adalah nilai ke-5 dari 9 nilai, yaitu 12 menit. Jika banyak data genap, median adalah rata-rata dua nilai tengah.

Rata-rata adalah titik keseimbangan. Letakkan nilai-nilai pada sebuah balok: balok seimbang di x̄ (merah), tempat jarak di kedua sisi saling meniadakan. Median (biru) hanya menghitung banyaknya: separuh nilai di tiap sisi.

Resistensi. Pada gambar, perjalanan 29 menit bergeser menjadi 59. Rata-rata ikut bergeser, menjadi 17.4 menit; median tetap di 12. Median bersifat resisten terhadap nilai ekstrem; rata-rata tidak.

Jadi pada distribusi miring ke kanan, rata-rata tertarik ke arah ekor, di atas median: untuk seluruh kelas x̄ = 19.4 dan median 17. Pada distribusi miring ke kiri, rata-rata berada di bawah median. Untuk distribusi miring atau yang memiliki pencilan, laporkan median.

1.7 · Statistik ringkasan: sebaran

jangkauan, IQR, dan simpangan baku

Simpangan baku mengukur jarak khas nilai-nilai dari rata-ratanya.

s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}}

x	x − x̄	(x − x̄)²
8	−6.11	37.35
13	−1.11	1.23
14	−0.11	0.01
12	−2.11	4.46
29	14.89	221.68
26	11.89	141.35
9	−5.11	26.12
8	−6.11	37.35
8	−6.11	37.35

Simpangan (merah) berjumlah nol; kuadratnya berjumlah 506.89. Bagi dengan n − 1 = 8 untuk mendapatkan variansi, s² = 63.36, lalu akarkan: s = 7.96 menit.

Interpretasikan sesuai konteks: kesembilan waktu perjalanan ini biasanya menyimpang sekitar 8.0 menit dari rata-ratanya, 14.1 menit. s bernilai 0 hanya jika semua nilai sama, dan seperti rata-rata, ia tidak resisten.

Jangkauan adalah maks − min. Kuartil Q₁ dan Q₃ adalah median dari separuh bawah dan separuh atas (median sendiri dikeluarkan bila n ganjil); jangkauan antarkuartil, IQR = Q₃ − Q₁, adalah sebaran separuh data bagian tengah, dan resisten. Persentil ke-p adalah nilai yang memiliki p% data di bawahnya.

Untuk seluruh kelas: jangkauan 48, IQR 26 − 11 = 15, s = 10.4 menit.

1.7 · Mengubah satuan

menambah dan mengalikan setiap nilai

Menambahkan konstanta pada setiap nilai menggeser pusat dan tidak mengubah sebaran. Mengalikan setiap nilai dengan konstanta mengalikan keduanya.

Sepuluh suhu tertinggi harian dalam °C, diubah ke °F dengan F = 1.8C + 32. Gambar melakukannya dalam dua langkah: setiap nilai × 1.8 (titik-titik menyebar), lalu + 32 (semuanya bergeser bersama).

	mean	median	SD	IQR
°C	21.3	22	2.95	6
°F	70.34	71.6	5.30	10.8

\begin{aligned}\bar{x}_F &= 1.8\,\bar{x}_C + 32 = 1.8(21.3) + 32 = 70.34 \\ s_F &= 1.8\,s_C = 1.8(2.946) = 5.30\end{aligned}

Untuk y = a + bx (b > 0): ukuran pemusatan dan posisi (rata-rata, median, kuartil, persentil) menjadi a + b × nilai lama. Ukuran sebaran (jangkauan, IQR, simpangan baku) dikalikan b dan tidak terpengaruh a. Variansi dikalikan b². Bentuknya tidak berubah.

Kesalahan umum: menambahkan 32 pada simpangan baku. Menggeser setiap nilai memindahkan semuanya bersama; jarak di antara nilai-nilai itu, dan dari rata-ratanya, tetap sama.

1.8 · Representasi grafis dari statistik ringkasan

diagram kotak garis dan aturan 1.5 × IQR

Diagram kotak garis menggambarkan ringkasan lima angka: kotak dari Q₁ sampai Q₃, garis pada median, dan garis (whisker) sampai nilai terkecil dan terbesar yang bukan pencilan.

min	Q₁	median	Q₃	max
8	11	17	26	56

Aturan 1.5 × IQR. Suatu nilai adalah pencilan jika terletak lebih dari 1.5 × IQR di bawah Q₁ atau di atas Q₃:

\begin{aligned}\text{IQR} &= 26 - 11 = 15 \\ Q_1 - 1.5\,\text{IQR} &= 11 - 22.5 = -11.5 \\ Q_3 + 1.5\,\text{IQR} &= 26 + 22.5 = 48.5\end{aligned}

Tidak ada waktu di bawah −11.5; 56 berada di atas 48.5, jadi ia pencilan, yang digambar tersendiri. Whisker kanan berhenti di 38, waktu terbesar yang bukan pencilan. Aturan lain yang dipakai sebagian orang: lebih dari 2 simpangan baku dari rata-rata, di sini di atas 40.2.

Diagram kotak garis menunjukkan kemiringan: di sini whisker kanan lebih panjang dan median lebih dekat ke Q₁, jadi waktunya miring ke kanan. Diagram ini menyembunyikan hal lain: celah, banyaknya puncak, dan n. Setiap seperempat data, bukan setiap seperempat panjang, memuat sekitar seperempat nilai.

1.9 · Membandingkan distribusi variabel kuantitatif

bentuk, pusat, sebaran, dan pencilan, berdampingan

Untuk membandingkan distribusi, gambarlah pada satu skala dan bandingkan bentuk, pusat, sebaran, dan ciri tak biasa, sesuai konteks dan dengan kata-kata perbandingan.

	n	min	Q₁	median	Q₃	max	IQR
bus	14	17	22	26	30	38	8
car	11	8	10	12	28	56	18

Bentuk. Perjalanan dengan bus kurang lebih simetris. Perjalanan dengan mobil miring ke kanan, dengan pencilan pada 56 menit (di atas Q₃ + 1.5 × IQR = 55).

Pusat. Median perjalanan dengan bus, 26 menit, lebih lama 14 menit daripada median perjalanan dengan mobil, 12 menit.

Sebaran. Perjalanan dengan mobil lebih bervariasi: IQR 18 menit dibandingkan 8, dan jangkauan 48 dibandingkan 21.

Bandingkan median dan IQR jika distribusi miring atau memiliki pencilan. Daftar angka bukanlah perbandingan: katakan mana yang lebih besar. Grafik untuk membandingkan: plot titik berdampingan, diagram kotak garis paralel, plot batang-daun punggung-bersandar, dan histogram yang ditumpuk pada skala yang sama.

1.10 · Distribusi normal

aturan empiris dan skor z

Distribusi normal bersifat simetris, berpuncak tunggal, dan berbentuk lonceng. Distribusi ini ditentukan oleh rata-rata μ dan simpangan baku σ, ditulis N(μ, σ).

Tinggi badan perempuan dewasa mendekati N(163, 7) dalam cm. Histogramnya adalah 200 mereka, digambar sehingga luasnya 1, dengan kurva normal di atasnya. μ dan σ menggambarkan model atau populasi; x̄ dan s menggambarkan data (di sini 163.7 dan 6.9 cm).

Aturan empiris. Pada setiap distribusi normal, sekitar 68% nilai berada dalam 1σ dari μ, 95% dalam 2σ, dan 99.7% dalam 3σ.

within	1 SD	2 SD	3 SD
model normal	68%	95%	99.7%
tinggi 200 orang	73.0%	94.5%	99.5%

Skor z. Skor standar menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata, dan ke arah mana:

z = \frac{x - \mu}{\sigma} = \frac{175 - 163}{7} = 1.71

Seorang perempuan dengan tinggi 175 cm berada 1.71 simpangan baku di atas rata-rata tinggi. Skor z membandingkan nilai pada skala yang berbeda; standardisasi menghasilkan distribusi dengan rata-rata 0 dan SD 1, yaitu normal baku.

1.10 · Perhitungan normal

luas, persentil, dan nilai pada suatu persentil

Pada model normal, proporsi nilai dalam suatu interval adalah luas daerah di bawah kurva pada interval itu.

Di bawah suatu nilai. Berapa proporsi perempuan yang lebih pendek dari 170 cm?

\begin{aligned}z &= \frac{170 - 163}{7} = 1.00 \\ P(X < 170) &= P(Z < 1.00) \\ &= 0.841\end{aligned}

Sekitar 84.1% perempuan lebih pendek dari 170 cm: 170 cm berada di sekitar persentil ke-84. Di atasnya adalah 1 − 0.841 = 0.159.

Di antara dua nilai. P(155 < X < 170) = P(-1.14 < Z < 1.00) = 0.715.

Nilai dari persentil. Persentil ke-90 memiliki luas 0.90 di sebelah kirinya, pada z = 1.282:

\begin{aligned}x &= \mu + z\sigma \\ &= 163 + 1.282(7) = 172.0\ \text{cm}\end{aligned}

Tunjukkan pengerjaan seperti yang diminta ujian: sebutkan distribusi dan parameternya, tandai batas dan luas yang dicari (sebuah sketsa), berikan skor z atau perintah kalkulator dengan masukan yang diberi label (normalcdf: lower 155, upper 170, μ = 163, σ = 7), lalu jawab sesuai konteks.

1.10 · Apakah model normal masuk akal?

memeriksa kenormalan data

Sebelum memakai model normal untuk data, periksa apakah data tampak normal. Banyak distribusi nyata tidak normal.

Gambarkan datanya. Model normal memerlukan dotplot atau histogram yang kira-kira simetris dan berpuncak tunggal, tanpa pencilan.

Periksa aturan empiris. Hitung nilai yang berada dalam 1, 2, dan 3 simpangan baku dari rata-rata. Data tinggi memberikan 73.0%, 94.5%, 99.5%, mendekati 68, 95, 99.7.

Lihat plot peluang normal. Setiap nilai diplot terhadap skor z yang akan dimilikinya jika data benar-benar normal. Data normal jatuh dekat garis lurus, seperti data tinggi. Data yang menceng melengkung: waktu perjalanan melengkung ke atas di sisi kanan, yaitu ekor kanan yang panjang.

Aturan empiris saja dapat menyesatkan. 72.5% waktu perjalanan berada dalam satu SD dari rata-rata, mendekati 68%. Namun x̄ − 2s = 19.4 − 2(10.4) = −1.4 menit, waktu yang mustahil: model normal akan menempatkan sekitar 2.3% perjalanan di bawahnya. Jika rata-rata kurang dari dua SD di atas batas bawah 0, curigai kemencengan ke kanan.