Statistics · AP Statistics
द्वि-चर आँकड़ों की पड़ताल
प्रकीर्ण आलेख और न्यूनतम वर्ग रेखा
हर व्यक्ति पर दो चीज़ें मापी गईं: क्या एक दूसरे के बारे में बताती है, और कितना?
फ़ॉरेन्सिक वैज्ञानिक एक हड्डी से व्यक्ति की ऊँचाई का अनुमान लगाते हैं। आकृति 14 वयस्कों के लिए ऊरु अस्थि (जाँघ की हड्डी) की लंबाई बनाम ऊँचाई दिखाती है। लंबे लोगों की ऊरु अस्थि लंबी होती है, और बिंदु एक सीधी रेखा के पास रहते हैं।
कौन-सी रेखा? बिंदुओं से होकर खींची गई एक रेखा हर बिंदु से एक अवशिष्ट जितनी चूकती है, लाल में। हर अवशिष्ट का वर्ग लीजिए (लाल वर्ग) और उनके क्षेत्रफल जोड़िए। परीक्षण रेखा घूमने पर कुल क्षेत्रफल बदलता है; न्यूनतम वर्ग रेखा वह है जो इसे सबसे छोटा करती है: यहाँ ŷ = 49.8 + 2.64x, कुल क्षेत्रफल 126 cm² के साथ।
अध्याय श्रेणीबद्ध चरों (द्वि-मार्गी सारणियाँ, दंड आलेख, सप्रतिबंध प्रतिशत) से शुरू होता है, फिर प्रकीर्ण आलेखों का वर्णन करता है, सहसंबंध r से रैखिक संबंध मापता है, न्यूनतम वर्ग रेखा बैठाकर जाँचता है, और पूछता है कि कोई एक असामान्य बिंदु या वक्र उस पर क्या असर डालता है।
कोई पैटर्न, या संयोग?
दो चर संबद्ध होते हैं जब एक का मान जानने से दूसरे के मान के बारे में कुछ पता चलता है।
सांख्यिकी विचरण के प्रश्न से शुरू होती है। क्या लंबी ऊरु अस्थि वाले वयस्क प्रायः लंबे होते हैं? क्या विद्यार्थी का स्कूल पहुँचने का तरीका इस पर निर्भर करता है कि वह कहाँ रहता है? हर प्रश्न उन्हीं इकाइयों पर मापे गए दो चरों को जोड़ता है।
आँकड़े हमेशा बदलते हैं, इसलिए कोई पैटर्न केवल संयोग से भी दिख सकता है। आकृति यही परखती है। बाईं ओर वास्तविक युग्म हैं, r = 0.95। दाईं ओर वही 14 ऊँचाइयाँ उन्हीं 14 ऊरु अस्थियों के बीच बार-बार यादृच्छिक रूप से फेंटी जाती हैं। फेंटने से कोई भी वास्तविक संबंध टूट जाता है, इसलिए जो पैटर्न बचता है वह संयोग है।
नीचे 40 फेरबदलों में से हर एक का सहसंबंध है। वे 0 के आसपास बिखरते हैं, और सबसे दूर वाला −0.81 है। वास्तविक 0.95 उन सभी से आगे है: इतने प्रबल पैटर्न की व्याख्या केवल संयोग से करना विश्वसनीय नहीं है।
यही पूरे पाठ्यक्रम का तर्क है, छोटे रूप में: पूछिए कि केवल संयोग से क्या बनता, और देखिए कि आँकड़े वैसे लगते हैं या नहीं। आगे की इकाइयाँ इसे सटीक बनाती हैं।
द्विमार्गी सारणियाँ और दंड आलेख
एक द्वि-मार्गी सारणी दो श्रेणीबद्ध चरों के हर संयोजन में इकाइयों की गिनती करती है।
300 विद्यार्थियों से पूछा गया कि वे कहाँ रहते हैं और आमतौर पर स्कूल कैसे जाते हैं:
| पैदल या साइकिल | bus | car | कुल |
|---|
| city | 48 | 36 | 16 | 100 |
|---|
| suburb | 22 | 50 | 48 | 120 |
|---|
| rural | 6 | 30 | 44 | 80 |
|---|
| कुल | 76 | 116 | 108 | 300 |
|---|
किनारों के कुल उपांत गणनाएँ हैं: हर चर अकेले। 300 में से 108 विद्यार्थी कार से आते हैं, चाहे स्थान कोई भी हो।
साथ-साथ दंड (बाएँ) गणनाएँ दिखाते हैं। इन्हें पढ़ना आसान है, पर जब समूहों का आकार अलग हो तो तुलना कठिन है: उपनगर में 120 विद्यार्थी हैं पर ग्रामीण क्षेत्र में केवल 80, इसलिए गणनाएँ भ्रमित करती हैं।
खंडित दंड (दाएँ) इसे ठीक करते हैं: हर समूह 100% ऊँचाई का एक दंड है, जो अपने विद्यार्थियों के हिस्सों में कटा है। ग्रामीण विद्यार्थी 55% समय कार से आते हैं, शहरी 16%। एक मोज़ेक आलेख (2.3) हर दंड की चौड़ाई भी समूह के आकार के अनुसार रखता है।
प्रश्न के अनुसार चुनिए कि दंड किस चर से बँटें। यह तुलना करने के लिए कि अलग-अलग जगहें कैसे यात्रा करती हैं, हर जगह के लिए एक दंड बनाइए।
तीन प्रकार की सापेक्ष बारंबारता
सापेक्ष बारंबारता किसी गणना को कुल संख्या से भाग देकर मिलती है। आप किस कुल से भाग देते हैं, यही उसका अर्थ तय करता है।
- संयुक्त: एक कोष्ठक को सारणी के कुल से भाग देना। 300 में से 44 विद्यार्थी ग्रामीण हैं और कार से आते हैं: 44/300 = 14.7%।
- सीमांत: किसी पंक्ति या स्तंभ के कुल को सारणी के कुल से भाग देना। सभी विद्यार्थियों में से 108/300 = 36% कार से आते हैं।
- सप्रतिबंध: एक कोष्ठक को उसकी अपनी पंक्ति या स्तंभ के कुल से भाग देना। ग्रामीण विद्यार्थियों में से 44/80 = 55% कार से आते हैं। कार से आने वालों में से 44/108 = 40.7% ग्रामीण हैं।
अंतिम दोनों अलग हैं: ‘ग्रामीण विद्यार्थियों में कार से आने वालों का अनुपात’ और ‘कार से आने वालों में ग्रामीणों का अनुपात’ अलग-अलग कुल से भाग देते हैं। में से या दिया गया के बाद आए समूह को देखिए: वही कुल हर होता है।
मोज़ेक आलेख तीनों को एक साथ दिखाता है। प्रत्येक स्तंभ की चौड़ाई उस स्थान का सीमांत अनुपात है; प्रत्येक खंड की ऊँचाई उस स्थान के भीतर सप्रतिबंध अनुपात है; इसलिए प्रत्येक खंड का क्षेत्रफल संयुक्त अनुपात है। ग्रामीण कार वाला खंड पूरे मोज़ेक का 14.7% है।
सप्रतिबंध बंटनों की तुलना कीजिए
दो श्रेणीगत चर तब सहसंबद्ध (साहचर्य वाले) होते हैं जब एक का सप्रतिबंध बंटन दूसरे की श्रेणियों में अलग-अलग हो।
प्रत्येक स्थान के लिए और सभी विद्यार्थियों के लिए यात्रा के सप्रतिबंध बंटन:
| पैदल या साइकिल | bus | car |
|---|
| city | 48% | 36% | 16% |
|---|
| suburb | 18% | 42% | 40% |
|---|
| rural | 8% | 38% | 55% |
|---|
| सभी | 25% | 39% | 36% |
|---|
यदि यात्रा का तरीका स्थान पर निर्भर न होता, तो हर पंक्ति ‘सभी’ वाली पंक्ति जैसी होती, और खंडित पट्टियाँ समान ऊँचाइयों पर कटतीं। ऐसा नहीं है: कार का अनुपात शहर में 16% से बढ़कर उपनगर में 40% और गाँव में 55% हो जाता है, जबकि पैदल या साइकिल से आने वाले 48% से घटकर 8% रह जाते हैं। विद्यार्थी के रहने के स्थान और स्कूल पहुँचने के तरीके के बीच साहचर्य है।
प्रतिशतों की तुलना कीजिए, गणनाओं की नहीं। उपनगर के 48 कार सवार ग्रामीण 44 से अधिक हैं, फिर भी उपनगर के विद्यार्थियों का कम अनुपात कार से आता है।
आँकड़ों में साहचर्य कारण का प्रमाण नहीं है। गाँव में रहना अपने आप गाड़ी से आने का कारण नहीं हो सकता: स्कूल की दूरी, जो सारणी में नहीं है, इसका बड़ा हिस्सा समझा सकती है। अध्याय 8 जाँचता है कि क्या ऐसा अंतर संयोग से हो सकता है (χ² परीक्षण)।
दिशा, रूप, सामर्थ्य और असामान्य विशेषताएँ
प्रकीर्ण आलेख एक ही व्यक्तियों पर मापे गए दो मात्रात्मक चरों को दिखाता है, प्रति व्यक्ति एक बिंदु।
व्याख्यात्मक चर x-अक्ष पर जाता है: वह जो समझा या पूर्वानुमान दे सके। अनुक्रिया चर y-अक्ष पर जाता है: परिणाम। यहाँ जाँघ की हड्डी की लंबाई ऊँचाई को समझाती है।
| ऊरु अस्थि (cm) | 39.0 | 39.8 | 40.7 | 40.9 | 40.9 | 43.1 | 43.5 |
|---|
| ऊँचाई (cm) | 154.3 | 152.9 | 160.5 | 162.1 | 156.1 | 159.8 | 162.2 |
|---|
| ऊरु अस्थि (cm) | 44.1 | 45.2 | 46.5 | 46.9 | 47.2 | 48.7 | 49.8 |
|---|
| ऊँचाई (cm) | 163.3 | 168.2 | 169.7 | 180.1 | 172.3 | 178.2 | 183.1 |
|---|
प्रकीर्ण आलेख का वर्णन संदर्भ सहित चार विशेषताओं से कीजिए:
- दिशा: धनात्मक (बड़े x के साथ बड़ा y), ऋणात्मक, या कोई नहीं।
- रूप: रैखिक, वक्राकार, या समूह।
- सामर्थ्य: बिंदु रूप का कितना निकट अनुसरण करते हैं: प्रबल, मध्यम या दुर्बल।
- असामान्य विशेषताएँ: बहिर्गामी मान, अंतराल, समूह।
यहाँ: इन वयस्कों के लिए जाँघ की हड्डी की लंबाई और ऊँचाई के बीच प्रबल, धनात्मक, रैखिक साहचर्य है, और कोई स्पष्ट बहिर्गामी मान नहीं है। छोटे आलेख अन्य प्रतिरूप दिखाते हैं: एक दुर्बल ऋणात्मक, एक प्रबल वक्र, और कोई साहचर्य नहीं।
रैखिक साहचर्य का सामर्थ्य, एक संख्या के रूप में
सहसंबंध r दो मात्रात्मक चरों के बीच रैखिक साहचर्य की दिशा और सामर्थ्य मापता है।
प्रत्येक चर को मानकीकृत कीजिए: zx और zy बताते हैं कि कोई मान अपने माध्य से कितने मानक विचलन दूर है। माध्यों पर खिंची रेखाएँ आलेख को चार चतुर्थांशों में बाँटती हैं। ऊपर-दाएँ (या नीचे-बाएँ) के बिंदु का गुणनफल zxzy धनात्मक होता है, एक लाल आयत; ऊपर-बाएँ या नीचे-दाएँ का ऋणात्मक, नीला।
चिह्न सहित क्षेत्रफल जोड़िए और n − 1 से भाग दीजिए। जाँघ की हड्डियों के लिए, 14 गुणनफलों का योग 12.305 है, और 12.305/13 = 0.947। लगभग सारा क्षेत्रफल लाल है: प्रबल धनात्मक साहचर्य।
r का मान −1 और 1 के बीच होता है। उसका चिह्न दिशा है; उसका परिमाण सामर्थ्य है: ±1 के निकट बिंदु एक रेखा के पास होते हैं, 0 के निकट कोई रैखिक प्रतिरूप नहीं होता। इसकी व्याख्या संदर्भ में कीजिए: r = 0.95 बताता है कि जाँघ की हड्डी की लंबाई और ऊँचाई के बीच प्रबल, धनात्मक, रैखिक साहचर्य है।
परीक्षा में r कैलकुलेटर से निकालिए; उसका अर्थ जानिए।
केवल रैखिक, बहिर्गामी मानों के प्रति संवेदनशील, कारण नहीं
r सरल रेखा वाले प्रतिरूप का सारांश है। हमेशा पहले प्रकीर्ण आलेख देखिए।
- केवल रैखिक। लाल आलेख में प्रबल वक्राकार संबंध है, फिर भी r = −0.02। 0 के निकट r का अर्थ है कोई रैखिक साहचर्य नहीं, कोई साहचर्य नहीं ऐसा नहीं। ऊँचा r यह भी सिद्ध नहीं करता कि रेखा सही रूप है।
- कोई इकाई नहीं। किसी चर की इकाई बदलने पर r वही रहता है: जाँघ की हड्डियाँ इंच में लेने पर भी r = 0.947 रहता है। x और y की अदला-बदली से भी वह नहीं बदलता।
- प्रतिरोधी नहीं। माध्य की तरह, एक दूरस्थ बिंदु r को बहुत बदल सकता है (2.9)।
- कारण नहीं। प्रबल सहसंबंध का अर्थ यह नहीं कि x बदलने से y बदलता है। कोई छिपा हुआ चर दोनों को चला सकता है (गर्मी में आइसक्रीम की बिक्री और डूबने की घटनाएँ दोनों बढ़ती हैं), या संबंध उलटी दिशा में हो सकता है। केवल सुनियोजित प्रयोग (अध्याय 3) कारण दिखाता है।
चार छोटे आलेख: प्रबल, धनात्मक, रैखिक, r = 0.97; मध्यम, ऋणात्मक, रैखिक, r = −0.71; प्रबल, वक्राकार, r = −0.02; कोई सहसंबंध नहीं, r = 0.01।
x से y का पूर्वानुमान लगाने वाली रेखा
समाश्रयण रेखा यह प्रतिरूपित करती है कि अनुक्रिया y व्याख्यात्मक x के साथ कैसे बदलती है, और दिए गए x के लिए y का पूर्वानुमान देती है।
ŷ (y-हैट) पूर्वानुमानित मान है, प्रेक्षित नहीं: हैट अवश्य लिखिए। b ढाल है और a y-अंतःखंड। प्रतिरूप को संदर्भ में लिखिए: पूर्वानुमानित ऊँचाई = 49.8 + 2.64 (जाँघ की हड्डी की लंबाई)।
पूर्वानुमान। 45.0 cm की जाँघ की हड्डी के लिए, ŷ = 49.8 + 2.64(45.0) = 168.5 cm। यह उस लंबाई की जाँघ की हड्डी वाले वयस्कों के लिए प्रतिरूप द्वारा दी गई औसत ऊँचाई है; उनमें से कोई भी अधिक लंबा या छोटा हो सकता है।
बहिर्वेशन आँकड़ों में x के परिसर के बाहर पूर्वानुमान करना है, यहाँ 39.0 से 49.8 cm। रेखा के पास वहाँ कोई प्रमाण नहीं है: रूप बदल सकता है। किसी बच्चे की 30 cm की जाँघ की हड्डी से ŷ = 128.9 cm मिलता है, जबकि प्रतिरूप केवल वयस्कों पर बना है। आकृति में बिंदु आँकड़ों के परिसर से बाहर जाते ही धूसर हो जाता है।
रेखा क्या चूक जाती है, और अवशिष्ट आलेख
अवशिष्ट प्रेक्षित मान में से उसका पूर्वानुमानित मान घटाने पर मिलता है: बिंदु रेखा से कितना ऊपर या नीचे है।
जाँघ की हड्डी 46.9 cm वाले वयस्क की ऊँचाई 180.1 cm है। रेखा 173.5 cm का पूर्वानुमान देती है, इसलिए अवशिष्ट 180.1 − 173.5 = 6.6 cm है: पूर्वानुमान से 6.6 cm अधिक लंबा। ऋणात्मक अवशिष्ट का अर्थ है कि रेखा ने अधिक आँका। न्यूनतम वर्ग रेखा के लिए अवशिष्टों का योग 0 होता है।
अवशिष्ट आलेख प्रत्येक अवशिष्ट को x (या ŷ) के विरुद्ध आलेखित करता है। आकृति में प्रत्येक अवशिष्ट प्रकीर्ण आलेख से नीचे के आलेख में गिरता है: रेखा को 0 पर समतल रखकर।
- कोई प्रतिरूप नहीं, 0 के आसपास समान बिखराव: रैखिक प्रतिरूप उपयुक्त है। जाँघ की हड्डियों में यही दिखता है।
- अवशिष्टों में वक्र: संबंध रैखिक नहीं है; कोई अन्य रूप बेहतर बैठेगा (2.9)।
- पंखा, x के साथ बढ़ता फैलाव: बड़े x के लिए पूर्वानुमान कम सटीक हैं।
अवशिष्ट आलेख बचा हुआ प्रतिरूप प्रकीर्ण आलेख से अधिक स्पष्ट दिखाता है, क्योंकि रेखा की प्रवृत्ति हटा दी गई है।
वह रेखा जो वर्गित अवशिष्टों को सबसे छोटा बनाती है
न्यूनतम वर्ग समाश्रयण रेखा वह रेखा है जो वर्गित अवशिष्टों के योग को यथासंभव छोटा बनाती है।
दाईं ओर, प्रत्येक ढाल (माध्य बिंदु से गुज़रने वाली प्रत्येक रेखा) के लिए वर्गित अवशिष्टों का योग: एक परवलय, जो b = 2.64 पर न्यूनतम है। कोई अन्य ढाल बड़ा योग देता है।
इसलिए रेखा सदैव (x̄, ȳ) = (44.02, 165.91) से गुज़रती है, और उसकी ढाल का चिह्न r का चिह्न होता है। x में एक मानक विचलन की वृद्धि y में r मानक विचलन की वृद्धि का पूर्वानुमान देती है: एक से कम, यही ‘माध्य की ओर समाश्रयण’ है।
व्याख्या। ढाल: जाँघ की हड्डी की लंबाई में प्रत्येक अतिरिक्त 1 cm पर पूर्वानुमानित ऊँचाई लगभग 2.64 cm बढ़ती है। अंतःखंड: 0 cm की जाँघ की हड्डी वाले वयस्क की पूर्वानुमानित ऊँचाई 49.8 cm होगी; यह बहिर्वेशन है और यहाँ कोई अर्थ नहीं रखता, जैसा अंतःखंड के साथ प्रायः होता है।
x का y पर समाश्रयण एक अलग रेखा देता है। अनुक्रिया का पूर्वानुमान व्याख्यात्मक चर से कीजिए, उलटा नहीं।
रेखा कितनी अच्छी बैठती है, और आम तौर पर कितनी दूर रहती है
दो संख्याएँ बताती हैं कि रेखा के पूर्वानुमान कितने अच्छे हैं: निर्धारण गुणांक r2 और अवशेषों का मानक विचलन s।
सॉफ़्टवेयर रेखा को इस तरह दिखाता है:
| Predictor | Coef | SE Coef |
|---|
| Constant | 49.807 | 11.454 |
| Femur | 2.6375 | 0.2594 |
S = 3.2393 R-sq = 89.6%
a को Constant के आगे और b को व्याख्यात्मक चर के आगे पढ़िए: ŷ = 49.8 + 2.64x। (SE Coef अध्याय 9 के लिए है।)
r2 = 89.6%: रेखा के बिना, ऊँचाइयों के ȳ से वर्ग विचलनों का योग 1210 cm² है; रेखा के सापेक्ष, 126। रेखा इसका 1 − 126/1210 = 89.6% भाग हटा देती है। संदर्भ में: ऊँचाई के विचरण का लगभग 89.6% भाग फीमर की लंबाई वाले रैखिक मॉडल से समझाया जाता है।
s = 3.24 cm, अवशेषों से (n − 2 से भाग दीजिए):
संदर्भ में: वास्तविक ऊँचाइयाँ रेखा द्वारा अनुमानित ऊँचाइयों से आम तौर पर लगभग 3.2 cm भिन्न होती हैं। नीला पट्टा ŷ ± s है।
एक बिंदु रेखा के साथ क्या कर सकता है
एक असामान्य बिंदु प्रतmissing समाश्रयण को बहुत बदल सकता है, या बहुत कम। यह इस पर निर्भर है कि वह कहाँ स्थित है।
- समाश्रयण में बाह्यगामी वह बिंदु है जिसका अवशेष बड़ा हो: रेखा से बहुत ऊपर या नीचे।
- उच्च-उत्तोलन बिंदु का x-मान x̄ से बहुत दूर होता है। इसमें रेखा को झुका देने की शक्ति होती है।
- प्रभावशाली बिंदु वह है जिसे हटाने पर ढलान, अंतःखंड या सहसंबंध स्पष्ट रूप से बदल जाता है। उच्च-उत्तोलन बिंदु अक्सर ऐसे होते हैं।
लाल बिंदु को 14 वयस्कों में जोड़कर खिसकाया गया है। धूसर रेखा उसके बिना है:
| 15वाँ बिंदु | b | a | r |
|---|
| कोई नहीं | 2.64 | 49.8 | 0.947 |
| (66, 223.9) | 2.64 | 49.8 | 0.985 |
| (66, 197.9) | 1.76 | 88.0 | 0.931 |
| (44, 183.9) | 2.64 | 51.1 | 0.846 |
बहुत दाएँ और रेखा पर: उच्च उत्तोलन, पर ढलान पर प्रभावशाली नहीं; यह r को और बढ़ा देता है। बहुत दाएँ और रेखा के नीचे: यह ढलान को 2.64 से 1.76 कर देता है, प्रभावशाली। x̄ के पास और बहुत ऊपर: बाह्यगामी जो r को 0.846 कर देता है पर ढलान को मुश्किल से हिलाता है।
किसी असामान्य बिंदु को कभी यूँ ही न हटाइए। उसमें त्रुटि जाँचिए; यदि वह वास्तविक है, तो उसके साथ और उसके बिना, दोनों फिट बताइए।
लघुगणक चरघातांकी वृद्धि को सीधा कर देते हैं
जब प्रकीर्ण आलेख वक्र हो, तो किसी चर का रूपांतरण उसे रैखिक बना सकता है; तब न्यूनतम वर्ग रेखा उसका मॉडल बना सकती है।
बैक्टीरिया के एक संवर्धन को 10 घंटे तक हर घंटे गिना गया। गिनतियाँ ऊपर की ओर मुड़ती हैं: हर घंटे गिनती जुड़ने के बजाय गुणित होती है। रेखा खराब बैठती है, भले ही r = 0.900 हो: उसका अवशेष आलेख स्पष्ट वक्र है।
गिनतियों के लघुगणक लीजिए। चरघातांकी वृद्धि रैखिक हो जाती है: आकृति दोनों के बीच बदलती है। t के विरुद्ध log10(गिनती) सीधा है, r = 0.998, और उसके अवशेषों में कोई पैटर्न नहीं है।
पूर्वानुमान के लिए रूपांतरण को पलटना पड़ता है। t = 8.5 घंटे पर: log10(गिनती) = 1.594 + 0.1626(8.5) = 2.976, अतः गिनती ≈ 102.976 = 946। ढलान बताती है कि अनुमानित गिनती हर घंटे 100.1626 = 1.454 गुना हो जाती है।
अन्य वक्रों के लिए अन्य रूपांतरण चाहिए: log y बनाम log x घात मॉडल y = axb को सीधा करता है; वर्गमूल या व्युत्क्रम दूसरों को सीधा कर सकता है। वह रूपांतरण चुनिए जिसका अवशेष आलेख कोई पैटर्न न दिखाए।
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