Statistics · AP Statistics
एक-चर आँकड़ों की पड़ताल
आकार, केंद्र और प्रसार
सांख्यिकी आँकड़ों से सीखने का विज्ञान है, और आँकड़े बदलते रहते हैं।
एक कक्षा के 40 विद्यार्थियों ने दो प्रश्नों के उत्तर दिए: आप विद्यालय कैसे जाते हैं, और इसमें कितने मिनट लगते हैं? आकृति में हर गेंद एक विद्यार्थी है, जो अपने यात्रा-समय पर संख्या रेखा पर गिरती है।
कोई दो सुबहें एक-जैसी नहीं होतीं। समय 8 से 56 मिनट तक फैले हैं, और लगभग तीन चौथाई 26 या उससे कम हैं। यह पैटर्न, यानी कौन-से मान आते हैं और कितनी बार, उस चर का बंटन है।
बिंदुओं के नीचे, एक हिस्टोग्राम उन्हीं समयों को 5-मिनट के वर्गों में गिनता है, और उसके नीचे एक संचयी ग्राफ़ उन्हें जोड़ता जाता है।
यह अध्याय चरों के प्रकारों के नाम बताता है, उन्हें सारणियों और ग्राफ़ में दर्शाता है, किसी बंटन का वर्णन उसके आकार, केंद्र और फैलाव से करता है, हर एक को एक संख्या से मापता है, और सबसे उपयोगी मॉडल पर समाप्त होता है: प्रसामान्य बंटन।
आँकड़ों से हम क्या सीख सकते हैं?
आँकड़े व्यष्टियों के बारे में जानकारी हैं; चर वह विशेषता है जो एक व्यष्टि से दूसरे में बदलती है।
यहाँ व्यष्टि वे 40 विद्यार्थी हैं। लाल गेंद विद्यार्थी 5 है: bus से यात्रा करता है, 29 मिनट। एक विद्यार्थी आँकड़ा-समूह की एक पंक्ति है; हर चर एक स्तंभ है।
| student | mode | समय (min) |
|---|
| 1 | walk | 8 |
| 2 | bike | 13 |
| 3 | bike | 14 |
| 4 | car | 12 |
| 5 | bus | 29 |
एक सांख्यिकीय प्रश्न अपने उत्तर में विचरण की अपेक्षा करता है। “विद्यार्थी 5 को विद्यालय पहुँचने में कितना समय लगता है?” का एक ही उत्तर है। “इस कक्षा के विद्यार्थियों को विद्यालय पहुँचने में कितना समय लगता है?” के 40 उत्तर हैं, और यह उनके बंटन के बारे में पूछता है।
विचरण हर जगह है, इसलिए आँकड़ों में कोई पैटर्न वास्तविक हो सकता है या संयोग। सांख्यिकी दोनों को अलग करती है। वह हमेशा वही प्रश्न पूछती है: किसे मापा गया, क्या मापा गया, कैसे, और किसके बारे में क्या निष्कर्ष निकाला जा सकता है।
ये 40 उत्तर इस कक्षा का वर्णन करते हैं। विद्यालय के सभी विद्यार्थियों के बारे में निष्कर्ष के लिए उनका एक यादृच्छिक नमूना चाहिए (अध्याय 3)।
गुणात्मक और मात्रात्मक चर
एक श्रेणीगत चर हर व्यष्टि को एक समूह में रखता है। एक मात्रात्मक चर हर व्यष्टि को एक संख्या देता है जिसे गिना या मापा जा सके।
विद्यार्थी कैसे यात्रा करता है (पैदल, साइकिल, बस, कार) श्रेणीगत है। मिनटों में यात्रा-समय मात्रात्मक है: उस पर अंकगणित का अर्थ बनता है, और उसके मान संख्या पैमाने पर होते हैं।
आकृति में वही 40 गेंदें दोनों दृश्यों के बीच घूमती हैं। संख्या रेखा पर हर एक अपने समय पर है; यात्रा-साधन के अनुसार छाँटने पर वे चार समूहों में बँट जाती हैं। व्यष्टियाँ नहीं बदलतीं, केवल वह चर बदलता है जिसे हम देखते हैं।
मात्रात्मक चर असतत (गिनती, जिन्हें सूचीबद्ध किया जा सके: भाई-बहनों की संख्या) या सतत (किसी अंतराल पर माप: समय, ऊँचाई) होते हैं।
सावधान। संख्याएँ हमेशा मात्रात्मक नहीं होतीं। ज़िप कोड या जर्सी नंबर किसी समूह का लेबल है; उसके औसत का कोई अर्थ नहीं, इसलिए वह श्रेणीगत है। किसी मात्रात्मक चर को समूहों में बाँटकर श्रेणीगत बनाया जा सकता है: “20 मिनट से अधिक, हाँ या नहीं।”
बारंबारता और सापेक्ष बारंबारता
एक बारंबारता सारणी हर श्रेणी को उसकी गिनती के साथ सूचीबद्ध करती है। एक सापेक्ष बारंबारता सारणी हर गिनती को कुल के अनुपात के रूप में देती है।
| mode | frequency | सापेक्ष बारंबारता | percent |
|---|
| walk | 7 | 0.175 | 17.5% |
| bike | 8 | 0.200 | 20.0% |
| bus | 14 | 0.350 | 35.0% |
| car | 11 | 0.275 | 27.5% |
| total | 40 | 1.000 | 100.0% |
सापेक्ष बारंबारताओं का योग 1 (या 100%) होता है, पूर्णांकन को छोड़कर। इनसे अलग-अलग आकार के समूहों की तुलना हो पाती है: 25 की कक्षा और 2000 का विद्यालय, दोनों में 35% बस-यात्री हो सकते हैं।
संदर्भ में। 40 में से 14 विद्यार्थी, यानी 14/40 = 0.350 का अनुपात, बस से आते हैं: इस कक्षा के विद्यालय पहुँचने का सबसे आम तरीका।
सबसे आम श्रेणी श्रेणीगत चर का बहुलक है। दो श्रेणीगत चरों की एक साथ सारणी, यानी द्वि-मार्गी सारणी, अध्याय 2 में आती है।
दंड आलेख और वृत्त आलेख
एक दंड आलेख (bar chart) प्रत्येक श्रेणी को एक ऐसे दंड के रूप में बनाता है जिसकी ऊँचाई उसकी बारंबारता या सापेक्ष बारंबारता होती है। एक वृत्त आलेख (pie chart) प्रत्येक श्रेणी को वृत्त का एक अनुपाती त्रिज्यखंड देता है।
दंड आलेख में दंड अलग-अलग खड़े होते हैं, क्योंकि श्रेणियों के बीच कोई पैमाना नहीं होता, और उनका क्रम हमारा चुनाव है। उन्हें ऊँचाई के क्रम में रखने से सबसे बड़ी श्रेणी आसानी से दिखती है।
वृत्त आलेख के त्रिज्यखंड का कोण = उसकी सापेक्ष बारंबारता × 360° है: बस वाले खंड का कोण 0.350 × 360° = 126° है। वृत्त आलेख तभी काम करता है जब श्रेणियाँ मिलकर एक पूर्ण बनाती हों और हर व्यक्ति ठीक एक श्रेणी में हो।
श्रेणीगत बंटन का वर्णन। सबसे अधिक और सबसे कम बारंबारता वाली श्रेणियों के नाम बताइए, और संदर्भ में अनुपातों से तुलना कीजिए: “35% विद्यार्थी बस से आते हैं, जो किसी भी अन्य साधन से अधिक है; 17.5% पैदल आते हैं।”
भ्रामक आलेख। जिस दंड आलेख का ऊर्ध्वाधर अक्ष शून्य से शुरू नहीं होता, वह अंतरों को बढ़ा-चढ़ाकर दिखाता है। चित्र और 3D वृत्त आलेख, जो ऊँचाई के साथ क्षेत्रफल और गहराई भी बदल देते हैं, वे भी ऐसा ही करते हैं। आकृति से पहले पैमाना पढ़िए।
बिंदु आलेख, तना-पत्ती आलेख, आयतचित्र और संचयी आलेख
मात्रात्मक चर का आलेख संख्या रेखा पर उसका बंटन दिखाता है: मान कहाँ हैं, और वे कैसे गुच्छित और फैले हुए हैं।
एक बिंदु आलेख (dotplot) प्रत्येक व्यक्ति के मान के ऊपर एक बिंदु रखता है। एक तना-पत्ती आलेख (stemplot) प्रत्येक मान को तने (यहाँ दहाई) और पत्ती (इकाई) में बाँटता है:
| 0 | 8 8 8 9 9 9 |
|---|
| 1 | 0 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 4 5 7 7 7 8 |
|---|
| 2 | 2 2 2 3 4 5 6 6 8 8 9 9 |
|---|
| 3 | 0 5 5 8 |
|---|
| 4 | |
|---|
| 5 | 6 |
|---|
कुंजी: 1 | 4 का अर्थ है 14 मिनट। दोनों हर मान को सुरक्षित रखते हैं।
एक आयतचित्र (histogram) समान अंतरालों, यानी वर्गों में मान गिनता है, यहाँ वर्ग की चौड़ाई 5 मिनट है; आयत सटे होते हैं, क्योंकि पैमाना सतत है। ठीक 15 का समय 15 से 20 वाले वर्ग में जाता है। वर्ग की अलग चौड़ाई चित्र को बदल सकती है, इसलिए ऐसी चौड़ाई चुनिए जो विवरण छिपाए बिना आकार दिखाए।
एक संचयी आलेख प्रत्येक वर्ग के अंत पर उससे नीचे के मानों का अनुपात आलेखित करता है। इससे शतमक पढ़े जाते हैं: कक्षा के 70% ने 25 मिनट से कम समय लिया, और आलेख माध्यिका पर 0.5 को पार करता है, लगभग 17 मिनट पर।
आकार, केंद्र, फैलाव और असामान्य विशेषताएँ
किसी बंटन का वर्णन उसके आकार, केंद्र, फैलाव और किसी भी असामान्य विशेषता से कीजिए, हमेशा आँकड़ों के संदर्भ में।
आकार। सममित: दोनों पक्ष लगभग एक-दूसरे का प्रतिबिंब होते हैं। दायीं ओर skewed: बड़े मानों की ओर लंबी पूँछ। बायीं ओर skewed: छोटे मानों की ओर लंबी पूँछ। skew का नाम उसकी पूँछ से पड़ता है, शिखर से नहीं। शिखर भी गिनिए: एकशिखरी, द्विशिखरी (दो गुच्छे, अक्सर दो समूहों का मिश्रण), या एकसमान (कोई स्पष्ट शिखर नहीं)।
असामान्य विशेषताएँ। अंतराल (जहाँ कोई मान नहीं), गुच्छे, और बाह्यस्थ मान: शेष से बहुत दूर के मान।
कक्षा का वर्णन। आने-जाने के समयों का बंटन एकशिखरी है और दायीं ओर skewed है, जिसका शिखर 10 से 15 मिनट पर है। माध्यिका लगभग 17 मिनट है, और समय 8 से 56 मिनट तक फैले हैं। 38 से 56 मिनट तक एक अंतराल है, और 56 मिनट संभावित बाह्यस्थ मान है।
“लगभग” जैसे शब्द यहाँ उचित हैं: आकार का निर्णय आँख से होता है। 1.7 और 1.8 केंद्र और फैलाव को संख्याएँ देते हैं और बाह्यस्थ मानों का नियम बताते हैं।
माध्य, माध्यिका, और कौन-सा प्रतिरोधी है
माध्य मानों के योग को उनकी संख्या से भाग देने पर मिलता है। माध्यिका क्रम में रखने के बाद बीच का मान है।
कक्षा के नौ मान, क्रम में: 8, 8, 8, 9, 12, 13, 14, 26, 29। माध्य 127/9 = 14.1 मिनट है। माध्यिका 9 मानों में से 5वाँ मान, 12 मिनट है। सम संख्या होने पर माध्यिका बीच के दो मानों का माध्य होती है।
माध्य संतुलन बिंदु है। मानों को एक पट्टी पर रखिए: वह x̄ (लाल) पर संतुलित होती है, जहाँ दोनों ओर की दूरियाँ एक-दूसरे को निरस्त करती हैं। माध्यिका (नीली) केवल गिनती करती है: प्रत्येक ओर आधे मान।
प्रतिरोधकता। आकृति में 29 मिनट का आना-जाना खिसककर 59 हो जाता है। माध्य उसके साथ 17.4 मिनट पर चला जाता है; माध्यिका 12 पर ही रहती है। माध्यिका चरम मानों के प्रति प्रतिरोधी है; माध्य नहीं।
इसलिए दायीं ओर skewed बंटन में माध्य पूँछ की ओर खिंचकर माध्यिका से ऊपर होता है: पूरी कक्षा के लिए x̄ = 19.4 और माध्यिका 17 है। बायीं ओर skewed में माध्य माध्यिका से नीचे होता है। skewed बंटन या बाह्यस्थ मानों वाले बंटन के लिए माध्यिका बताइए।
परिसर, IQR और मानक विचलन
मानक विचलन मानों की उनके माध्य से विशिष्ट दूरी मापता है।
| x | x − x̄ | (x − x̄)² |
|---|
| 8 | −6.11 | 37.35 |
| 13 | −1.11 | 1.23 |
| 14 | −0.11 | 0.01 |
| 12 | −2.11 | 4.46 |
| 29 | 14.89 | 221.68 |
| 26 | 11.89 | 141.35 |
| 9 | −5.11 | 26.12 |
| 8 | −6.11 | 37.35 |
| 8 | −6.11 | 37.35 |
विचलन (लाल) का योग शून्य होता है; उनके वर्गों का योग 506.89 है। n − 1 = 8 से भाग देने पर प्रसरण, s² = 63.36, मिलता है, और उसका वर्गमूल लेने पर s = 7.96 मिनट।
संदर्भ में व्याख्या कीजिए: ये नौ आने-जाने के समय अपने माध्य 14.1 मिनट से सामान्यतः लगभग 8.0 मिनट भिन्न होते हैं। s केवल तभी 0 होता है जब सभी मान समान हों, और माध्य की तरह यह प्रतिरोधी नहीं है।
परिसर = अधिकतम − न्यूनतम। चतुर्थक Q1 और Q3 निचले और ऊपरी आधे भागों की माध्यिकाएँ हैं (n विषम होने पर माध्यिका को छोड़कर); अंतर-चतुर्थक परिसर, IQR = Q3 − Q1, बीच के आधे भाग का फैलाव है, और प्रतिरोधी है। pवाँ शतमक वह मान है जिससे नीचे p% आँकड़े हों।
पूरी कक्षा के लिए: परिसर 48, IQR 26 − 11 = 15, s = 10.4 मिनट।
हर मान में जोड़ना और गुणा करना
हर मान में कोई अचर जोड़ने से केंद्र खिसकता है और फैलाव वही रहता है। हर मान को किसी अचर से गुणा करने पर दोनों उसी से गुणा हो जाते हैं।
°C में दस दैनिक उच्चतम तापमान, जिन्हें F = 1.8C + 32 से °F में बदला गया है। आकृति यह दो चरणों में करती है: हर मान × 1.8 (बिंदु फैल जाते हैं), फिर + 32 (वे साथ-साथ खिसकते हैं)।
| mean | median | SD | IQR |
|---|
| °C | 21.3 | 22 | 2.95 | 6 |
| °F | 70.34 | 71.6 | 5.30 | 10.8 |
y = a + bx (b > 0) के लिए: केंद्र और स्थिति के माप (माध्य, माध्यिका, चतुर्थक, शतमक) a + b × पुराना मान हो जाते हैं। फैलाव के माप (परिसर, IQR, SD) b से गुणा होते हैं और a की उपेक्षा करते हैं। प्रसरण b² से गुणा होता है। आकार नहीं बदलता।
आम गलती: मानक विचलन में 32 जोड़ देना। हर मान को खिसकाने से वे सब साथ-साथ खिसकते हैं; उनके बीच की और उनके माध्य से दूरियाँ वही रहती हैं।
बॉक्सप्लॉट और 1.5 × IQR नियम
बॉक्स आलेख (boxplot) पाँच-संख्या सारांश बनाता है: Q1 से Q3 तक एक बॉक्स, माध्यिका पर एक रेखा, और उन सबसे छोटे और सबसे बड़े मानों तक मूँछें जो बाह्यस्थ नहीं हैं।
| min | Q1 | median | Q3 | max |
|---|
| 8 | 11 | 17 | 26 | 56 |
1.5 × IQR नियम। कोई मान बाह्यस्थ है यदि वह Q1 से 1.5 × IQR से अधिक नीचे या Q3 से अधिक ऊपर है:
कोई समय −11.5 से नीचे नहीं है; 56, 48.5 से ऊपर है, इसलिए वह बाह्यस्थ है और अलग से दिखाया गया है। दायीं मूँछ 38 पर रुकती है, जो बाह्यस्थ न होने वाला सबसे बड़ा समय है। कुछ लोग एक और नियम अपनाते हैं: माध्य से 2 मानक विचलन से अधिक दूर, यहाँ 40.2 से ऊपर।
बॉक्स आलेख skew दिखाता है: यहाँ दायीं मूँछ लंबी है और माध्यिका Q1 के पास है, इसलिए समय दायीं ओर skewed हैं। यह बाकी चीज़ें छिपा देता है: अंतराल, शिखरों की संख्या, और n। आँकड़ों का हर चौथाई भाग, न कि लंबाई का हर चौथाई, लगभग एक चौथाई मान रखता है।
आकार, केंद्र, फैलाव और बाह्यस्थ मान, अगल-बगल
बंटनों की तुलना करने के लिए उन्हें एक ही पैमाने पर बनाइए और आकार, केंद्र, फैलाव और असामान्य विशेषताओं की तुलना कीजिए, संदर्भ में और तुलनात्मक शब्दों में।
| n | min | Q1 | median | Q3 | max | IQR |
|---|
| bus | 14 | 17 | 22 | 26 | 30 | 38 | 8 |
| car | 11 | 8 | 10 | 12 | 28 | 56 | 18 |
आकार। बस से आने-जाने के समय लगभग सममित हैं। कार से आने-जाने के समय दायीं ओर skewed हैं, जिनमें 56 मिनट पर एक बाह्यस्थ मान है (Q3 + 1.5 × IQR = 55 से ऊपर)।
केंद्र। बस से आने-जाने की माध्यिका, 26 मिनट, कार की माध्यिका, 12 मिनट, से 14 मिनट अधिक है।
फैलाव। कार से आने-जाने के समय अधिक बदलते हैं: IQR 18 मिनट बनाम 8, और परिसर 48 बनाम 21।
जब बंटन skewed हो या उसमें बाह्यस्थ मान हों, तो माध्यिकाओं और IQR की तुलना कीजिए। संख्याओं की सूची तुलना नहीं है: बताइए कि कौन बड़ा है। तुलना के लिए आलेख: अगल-बगल बिंदु आलेख, समांतर बॉक्स आलेख, पीठ-से-पीठ तना-पत्ती आलेख, और एक ही पैमाने पर एक के ऊपर एक आयतचित्र।
अनुभवजन्य नियम और z-मान
एक प्रसामान्य बंटन सममित, एकशीर्षी और घंटाकार होता है। यह अपने माध्य μ और मानक विचलन σ से निर्धारित होता है, जिसे N(μ, σ) लिखा जाता है।
वयस्क महिलाओं की ऊँचाई cm में N(163, 7) के निकट है। आयतचित्र उनमें से 200 का है, जिसे इस तरह बनाया गया है कि उसका क्षेत्रफल 1 हो, और उसके ऊपर प्रसामान्य वक्र है। μ और σ किसी मॉडल या समष्टि का वर्णन करते हैं; x̄ और s आँकड़ों का वर्णन करते हैं (यहाँ 163.7 और 6.9 cm)।
अनुभवजन्य नियम। किसी भी प्रसामान्य बंटन में लगभग 68% मान μ से 1σ के भीतर, 95% मान 2σ के भीतर और 99.7% मान 3σ के भीतर होते हैं।
| within | 1 SD | 2 SD | 3 SD |
|---|
| प्रसामान्य मॉडल | 68% | 95% | 99.7% |
| 200 ऊँचाइयाँ | 73.0% | 94.5% | 99.5% |
z-अंक। एक मानकीकृत अंक बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है, और किस दिशा में:
175 cm लंबी महिला माध्य ऊँचाई से 1.71 मानक विचलन ऊपर है। z-अंक अलग-अलग पैमानों के मानों की तुलना करते हैं; मानकीकरण से ऐसा बंटन मिलता है जिसका माध्य 0 और SD 1 होता है, यानी मानक प्रसामान्य बंटन।
क्षेत्रफल, शतमक और किसी शतमक पर मान
प्रसामान्य मॉडल में किसी अंतराल में मानों का अनुपात उस अंतराल के ऊपर वक्र के नीचे का क्षेत्रफल होता है।
किसी मान से नीचे। कितने अनुपात की महिलाएँ 170 cm से छोटी हैं?
लगभग 84.1% महिलाएँ 170 cm से छोटी हैं: 170 cm लगभग 84वें शतमक पर है। इससे ऊपर 1 − 0.841 = 0.159 है।
दो मानों के बीच। P(155 < X < 170) = P(-1.14 < Z < 1.00) = 0.715।
शतमक से मान। 90वें शतमक के बाईं ओर क्षेत्रफल 0.90 है, z = 1.282 पर:
हल वैसे दिखाइए जैसा परीक्षा माँगती है: बंटन और उसके प्राचल बताइए, सीमा और वांछित क्षेत्रफल चिह्नित कीजिए (रेखाचित्र), z-अंक या कैलकुलेटर का कमांड लिखिए जिसके इनपुट नामित हों (normalcdf: lower 155, upper 170, μ = 163, σ = 7), और उत्तर संदर्भ में दीजिए।
प्रसामान्यता के लिए आँकड़ों की जाँच
आँकड़ों पर प्रसामान्य मॉडल लगाने से पहले जाँच लीजिए कि आँकड़े प्रसामान्य दिखते हैं या नहीं। कई वास्तविक बंटन प्रसामान्य नहीं होते।
आँकड़ों का आलेख बनाइए। प्रसामान्य मॉडल के लिए बिंदु-आलेख या आयतचित्र लगभग सममित और एकशीर्षी होना चाहिए, और उसमें कोई बहिर्वर्ती मान नहीं होना चाहिए।
अनुभवजन्य नियम जाँचिए। माध्य से 1, 2 और 3 मानक विचलन के भीतर मानों की गिनती कीजिए। ऊँचाइयों के लिए 73.0%, 94.5%, 99.5% मिलता है, जो 68, 95, 99.7 के निकट है।
प्रसामान्य प्रायिकता आलेख देखिए। प्रत्येक मान को उस z-अंक के सामने आलेखित किया जाता है जो आँकड़े ठीक प्रसामान्य होने पर उसका होता। प्रसामान्य आँकड़े एक सीधी रेखा के निकट रहते हैं, जैसा ऊँचाइयों में है। विषम आँकड़े मुड़ते हैं: यात्रा समय दाईं ओर ऊपर की ओर मुड़ते हैं, यानी लंबी दाईं पूँछ।
अकेला अनुभवजन्य नियम भ्रामक हो सकता है। 72.5% यात्रा समय माध्य से एक SD के भीतर हैं, जो 68% के निकट है। पर x̄ − 2s = 19.4 − 2(10.4) = −1.4 मिनट है, जो असंभव समय है: प्रसामान्य मॉडल इससे नीचे लगभग 2.3% यात्राएँ मानता। जब माध्य 0 की निचली सीमा से दो SD से कम ऊपर हो, तो दाईं ओर विषमता का संदेह कीजिए।
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