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Statistics · AP Statistics

प्रतिचयन बंटन

अध्याय 5 · प्रतिचयन बंटन

प्रतिदर्शज कैसे बदलता है

यादृच्छिक प्रतिदर्श से परिकलित कोई प्रतिदर्शज एक प्रतिदर्श से दूसरे प्रतिदर्श में बदलता रहता है। इसका प्रतिचयन बंटन बताता है कि कितना बदलता है और किस पैटर्न में।

ऊपर का बोर्ड एक समष्टि है: किसी बड़े विद्यालय के हर विद्यार्थी ने पिछली गर्मियों में कितनी किताबें पढ़ीं। यह दाईं ओर विषम है, इसका माध्य μ = 2.54 किताबें और मानक विचलन σ = 2.41 किताबें है।

एक बार में दस विद्यार्थी यादृच्छिक रूप से चुने जाते हैं (लाल)। उनका माध्य x̄ वहाँ है जहाँ शंकु उन्हें संतुलित करता है, और वह नीचे के बिंदु-आलेख में गिरता है। 120 प्रतिदर्शों के बाद माध्यों का केंद्र 2.45 है, जो μ के पास है, और मानक विचलन केवल 0.80 है। उनका ढेर समष्टि की तुलना में कहीं अधिक सममित है।

यह अध्याय इसी ढेर के बारे में है: प्रतिदर्श अलग-अलग क्यों होते हैं, प्रसामान्य मॉडल उनके बारे में क्या कहता है, और p̂ तथा x̄ के प्रतिचयन बंटनों का केंद्र, फैलाव और आकार, अकेले और अंतर के रूप में। ये आगे की इकाइयों के हर विश्वास अंतराल और परीक्षण का आधार हैं।

5.1 · मेरा प्रतिदर्श आपके जैसा क्यों नहीं है?

प्रतिचयन परिवर्तनशीलता

एक ही समष्टि से लिए गए अलग-अलग यादृच्छिक प्रतिदर्श प्रतिदर्शज के अलग-अलग मान देते हैं। यह प्रतिचयन परिवर्तनशीलता है, और यह कोई गलती नहीं है।

शुरुआती उदाहरण से 10 विद्यार्थियों के पहले 4 प्रतिदर्श और उनके माध्य:

\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}

प्रतिदर्श	पढ़ी गई किताबें	x̄
1	0, 0, 0, 2, 2, 5, 0, 4, 2, 3	1.8
2	8, 0, 2, 0, 4, 1, 0, 2, 6, 1	2.4
3	0, 7, 2, 0, 1, 5, 3, 3, 0, 0	2.1
4	5, 1, 0, 1, 3, 0, 6, 1, 0, 8	2.5

कोई भी प्रतिदर्श समष्टि माध्य μ = 2.54 से ठीक मेल नहीं खाता; हर एक केवल संयोग से अलग है। कौन से विद्यार्थी चुने जाते हैं, यह यादृच्छिक है, इसलिए प्रतिदर्शज भी यादृच्छिक है।

इस परिवर्तन में एक पैटर्न है। कई प्रतिदर्शों में x̄ के मान μ के आसपास जमा होते हैं, और बड़े प्रतिदर्श और कसकर जमा होते हैं। इस पैटर्न को जानकर हम कह सकते हैं कि प्रतिदर्श का परिणाम सच्चाई से कितना दूर हो सकता है, और इसलिए कोई परिणाम चौंकाने वाला है या नहीं।

यादृच्छिक चयन ही इस पैटर्न को पूर्वानुमेय बनाता है। सुविधा प्रतिदर्श, जैसे एक कक्षा के विद्यार्थी, हर बार एक ही दिशा में गलत हो सकता है, और कोई सूत्र नहीं बता सकता कि कितना।

5.1 · क्या यह केवल संयोग है?

सिमुलेशन से प्रायिकता का आकलन

एक अनुकरण किसी संयोग प्रक्रिया की कई बार नकल करता है। जितने दोहरावों में कोई घटना होती है, उनका अनुपात उसकी प्रायिकता का आकलन देता है।

एक नगर परिषद का दावा है कि उसके आधे मतदाता, p = 0.5, एक नए पार्क का समर्थन करते हैं। 40 मतदाताओं के यादृच्छिक प्रतिदर्श में 26 ने हाँ कहा: p̂ = 0.650। अगर दावा सही है, तो क्या यह उससे अधिक है जितना संयोग आसानी से दे सकता है?

मॉडल। हर मतदाता प्रायिकता 0.5 से हाँ कहता है (सिक्का उछालना, या यादृच्छिक अंक: 0–4 हाँ, 5–9 नहीं)। एक परीक्षण 40 मतदाताओं का है; p̂ दर्ज कीजिए। इसे 100 बार दोहराइए। आकृति इसे चलाती है: लाल गेंदें हाँ हैं।

परिणाम। 100 में से 4 अनुकरित प्रतिदर्शों में p̂ ≥ 0.650 मिला, इसलिए आकलित प्रायिकता 4/100 = 0.04 है। (द्विपद का यथार्थ मान 0.040 है।)

निष्कर्ष। अगर आधे मतदाता पार्क का समर्थन करते हैं, तो इतना या इससे ऊँचा परिणाम केवल लगभग 4% बार आता है। यह असामान्य है, इसलिए प्रतिदर्श कुछ प्रमाण देता है कि आधे से अधिक इसका समर्थन करते हैं। यह दावे को गलत सिद्ध नहीं करता: असंभावित परिणाम भी होते हैं।

100 का दूसरा रन थोड़ी अलग गिनती देगा। अधिक दोहराव प्रायिकता का बेहतर आकलन देते हैं।

5.2 · सामान्य बंटन, फिर से

क्षेत्रफल और कटऑफ

प्रसामान्य बंटन में प्रायिकता वक्र के नीचे का क्षेत्रफल होती है। पहले मानकीकरण कीजिए, फिर क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

एक बाग़ के सेबों के भार लगभग प्रसामान्य हैं, जिनमें μ = 150 g और σ = 12 g है। z-मान बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है:

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

एक क्षेत्रफल। कितने अनुपात के सेबों का भार 140 g और 165 g के बीच है?

\begin{aligned} z_1 &= \frac{140 - 150}{12} = -0.83 \\ z_2 &= \frac{165 - 150}{12} = 1.25 \\ P(140 < X < 165) &= P(-0.83 < Z < 1.25) \\ &= 0.692 \end{aligned}

लगभग 69.2% सेब (लाल)। 165 g से ऊपर उनमें से 0.106 हैं।

एक कट-ऑफ। सबसे भारी 10% सेबों में आने के लिए सेब कितना भारी होना चाहिए? जिस z के नीचे क्षेत्रफल 0.90 है वह 1.28 है, इसलिए x = 150 + 1.28 × 12 = 165.4 g (नीला)।

परीक्षा में कार्य दिखाइए: बंटन और उसके प्राचल, सीमा और वांछित क्षेत्रफल का नाम लिखिए, या नामांकित रेखाचित्र बनाइए। केवल कैलकुलेटर का सिंटैक्स, जैसे normalcdf(…), कोई अंक नहीं दिलाता।

5.2 · प्राचल और प्रतिदर्शज

एक निश्चित संख्या और एक यादृच्छिक संख्या

प्राचल समष्टि का वर्णन करता है; प्रतिदर्शज प्रतिदर्श का वर्णन करता है। प्रतिदर्शज से प्राचल का आकलन किया जाता है।

	प्राचल	प्रतिदर्शज
माध्य	μ	x̄
मानक विचलन	σ	s
अनुपात	p	p̂

बाग़ के सभी सेबों का माध्य भार, μ = 150 g (नीला), एक प्राचल है: एक निश्चित संख्या, जो प्रायः अज्ञात होती है। 8 सेबों के एक यादृच्छिक प्रतिदर्श से x̄ = 159.1 g और s = 17.0 g मिला: ये प्रतिदर्शज हैं। अगले प्रतिदर्श से x̄ = 150.8 g मिला।

प्रतिदर्श यादृच्छिक होने के कारण प्रतिदर्शज एक यादृच्छिक चर है। उसी आकार के सभी संभव प्रतिदर्शों पर वह जो मान लेता है, उसका प्रायिकता बंटन उसका प्रतिचयन बंटन है।

अंतर पहचानने के लिए पूछिए कि संख्या पूरी समष्टि से आई है (प्राचल) या हाथ में मौजूद आँकड़ों से (प्रतिदर्शज)। प्राचल ग्रीक अक्षरों, या p, का उपयोग करते हैं; प्रतिदर्शज रोमन अक्षरों, या हैट का।

5.3 · केंद्रीय सीमा प्रमेय

माध्य सामान्य हो जाते हैं

केंद्रीय सीमा प्रमेय (CLT): जब n पर्याप्त बड़ा हो, तो समष्टि का आकार चाहे जो हो, x̄ का प्रतिचयन बंटन लगभग प्रसामान्य होता है।

आकृति शुरुआती उदाहरण की विषम समष्टि से हर आकार के 400 यादृच्छिक प्रतिदर्श लेती है और उनके माध्य आलेखित करती है:

n	x̄ का माध्य	x̄ का मानक विचलन	σ/√n
2	2.64	1.79	1.71
10	2.53	0.77	0.76
30	2.53	0.43	0.44

तीन बातें एक साथ सही हैं। केंद्र μ = 2.54 पर बना रहता है। फैलाव σ/√n की तरह घटता है। और आकार बदलता है: n = 2 पर माध्य अब भी दाईं ओर विषम हैं, n = 30 पर लाल प्रसामान्य वक्र उन पर कसकर बैठता है।

\mu_{\bar{x}} = \mu \qquad \sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

कितना बड़ा पर्याप्त है, यह समष्टि पर निर्भर करता है: वह जितनी अधिक विषम हो, n उतना बड़ा होना चाहिए। AP का अंगूठा-नियम n ≥ 30 है।

एक आम गलती: CLT x̄ के बंटन के बारे में है, आँकड़ों के बंटन के बारे में नहीं। विषम समष्टि से लिया गया बड़ा प्रतिदर्श भी विषम दिखता है; ऐसे कई प्रतिदर्शों के माध्य ही प्रसामान्य आकार में जमा होते हैं।

5.4 · अभिनत और अनभिनत बिंदु आकलन

निशाना और परिशुद्धता

प्राचल का आकलन करने वाला प्रतिदर्शज बिंदु आकलक कहलाता है। यह अनभिनत होता है जब उसके प्रतिचयन बंटन का माध्य प्राचल के बराबर हो।

हर लक्ष्य एक आकलक है। नीला केंद्र बिंदु प्राचल है; हर तीर एक यादृच्छिक प्रतिदर्श से मिला आकलन है।

अभिनति केंद्र के बारे में है। ऊपर के दो आकलक केंद्र बिंदु पर केंद्रित हैं: अनभिनत। नीचे के दो प्रतिदर्श दर प्रतिदर्श एक ओर गिरते हैं: अभिनत।

परिवर्तनशीलता फैलाव के बारे में है: आकलन एक प्रतिदर्श से दूसरे में कितना बिखरते हैं। बाईं ओर के दो कम बदलते हैं, दाईं ओर के दो बहुत। सबसे अच्छे आकलक (लाल) में अभिनति और परिवर्तनशीलता दोनों कम हैं।

x̄ μ का और p̂ p का अनभिनत आकलक है: 5.3 में हर n पर x̄ का केंद्र μ पर था। प्रतिदर्श का अधिकतम समष्टि के अधिकतम के लिए अभिनत है: वह कभी बड़ा नहीं हो सकता, और प्रायः छोटा होता है।

बड़े प्रतिदर्श परिवर्तनशीलता घटाते हैं, अभिनति नहीं। 5.3 से, x̄ का मानक विचलन n = 10 पर 0.77 से घटकर n = 30 पर 0.43 हो गया। पर अभिनत विधि, जैसे स्वैच्छिक-प्रतिक्रिया सर्वेक्षण, कितने भी लोग उत्तर दें, अभिनत ही रहती है: वह बस और सटीकता से चूकती है।

5.5 · p̂ का प्रतिदर्श बंटन

केंद्र p, प्रसार √(p(1 − p)/n)

प्रतिदर्श अनुपात p̂ के प्रतिचयन बंटन का माध्य p होता है और उसका मानक विचलन n बढ़ने पर घटता है।

8,000 विद्यार्थियों वाले एक विद्यालय जिले में 35% पैदल स्कूल जाते हैं (लाल मनके)। आकृति 50 विद्यार्थियों के यादृच्छिक प्रतिदर्श लेती है और हर प्रतिदर्श का p̂ बिंदु-आलेख में डालती है।

\begin{aligned} \mu_{\hat{p}} &= p = 0.35 \\ \sigma_{\hat{p}} &= \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \\ &= \sqrt{\frac{0.35(0.65)}{50}} = 0.0675 \end{aligned}

	p̂ का माध्य	p̂ का मानक विचलन
100 अनुकरित प्रतिदर्श	0.353	0.0657
सूत्र	0.35	0.0675

मानक विचलन की व्याख्या। इस जिले के 50 विद्यार्थियों के यादृच्छिक प्रतिदर्शों में, पैदल जाने वालों का प्रतिदर्श अनुपात सच्चे अनुपात, 0.35, से प्रायः लगभग 0.067 बदलता है।

क्योंकि n वर्गमूल के अंदर है, प्रतिदर्श का आकार चार गुना करने पर मानक विचलन आधा हो जाता है: 200 के प्रतिदर्श 0.0337 देंगे।

5.5 · जब p̂ लगभग सामान्य हो

10% और बड़ी गणना की शर्तें

दो शर्तें हमें p̂ के लिए सूत्रों और प्रसामान्य मॉडल का उपयोग करने देती हैं। कोई भी गणना करने से पहले दोनों को संदर्भ में जाँचिए।

10% शर्त। प्रतिस्थापन के बिना प्रतिचयन में, जब n ≤ समष्टि का 10% हो, तो चयन लगभग स्वतंत्र माने जा सकते हैं। यहाँ 50 ≤ 0.10(8,000) = 800, इसलिए σ_p̂ = 0.0675 का उपयोग किया जा सकता है।

बड़ी गणना की शर्त। जब np ≥ 10 और n(1 − p) ≥ 10 हो, तो प्रतिचयन बंटन लगभग प्रसामान्य होता है। यहाँ 50(0.35) = 17.5 और 50(0.65) = 32.5: दोनों कम से कम 10 हैं। कम गणना होने पर बंटन विषम होता है, जो निकटतर सिरे, 0 या 1, से दूर झुका होता है।

एक प्रायिकता। 50 के प्रतिदर्श में कम से कम 45% पैदल चलने वाले होने की कितनी संभावना है?

\begin{aligned} z &= \frac{0.45 - 0.35}{0.0675} = 1.48 \\ P(\hat{p} \ge 0.45) &= P(Z \ge 1.48) = 0.069 \end{aligned}

छायांकित पुच्छ। 100 अनुकारित प्रतिदर्शों में से 7 में p̂ ≥ 0.45 मिला: 0.07, जो मॉडल के निकट है।

इन शर्तों में प्राचल p का उपयोग कीजिए, p̂ का नहीं: प्रतिचयन बंटन वास्तविक अनुपात का होता है।

5.6 · प्रतिदर्श अनुपातों के अंतर

अनुपात से दो समूहों की तुलना

दो स्वतंत्र यादृच्छिक प्रतिदर्शों के लिए, अंतर p̂₁ − p̂₂ का अपना प्रतिचयन बंटन होता है, जिसका केंद्र p₁ − p₂ पर होता है।

ज़िला 1 वही ज़िला है जिसका 5.5 है: 35% पैदल चलते हैं; प्रतिदर्श 50 के हैं। ज़िला 2 में 25% पैदल चलते हैं; प्रतिदर्श 60 के हैं। प्रतिदर्शों की हर जोड़ी एक अंतर देती है (लाल पट्टी), जो बिंदु-आलेख में गिरता है।

\begin{aligned}\mu_{\hat{p}_1 - \hat{p}_2} &= p_1 - p_2 = 0.10 \\ \sigma_{\hat{p}_1 - \hat{p}_2} &= \sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1} + \frac{p_2(1-p_2)}{n_2}} \\ &= \sqrt{\frac{0.35(0.65)}{50} + \frac{0.25(0.75)}{60}} = 0.0876\end{aligned}

प्रसरण जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: संयोग के दो स्वतंत्र स्रोत अंतर को किसी एक से अधिक बदलने वाला बनाते हैं। मानक विचलन नहीं जुड़ते; प्रसरण जुड़ते हैं।

शर्तें। स्वतंत्र यादृच्छिक प्रतिदर्श; प्रत्येक अपनी समष्टि के 10% से कम; और चारों गणनाएँ कम से कम 10: 17.5, 32.5, 15, 45। तब प्रतिचयन बंटन लगभग प्रसामान्य होता है।

एक प्रायिकता। ज़िला 2 का प्रतिदर्श कितनी बार अधिक अनुपात दिखाएगा?

\begin{aligned} z &= \frac{0 - 0.10}{0.0876} = -1.14 \\ P(\hat{p}_1 - \hat{p}_2 < 0) &= P(Z < -1.14) = 0.127 \end{aligned}

लगभग 13% बार, भले ही ज़िला 1 में सचमुच अधिक पैदल चलने वाले हैं। आकृति में 100 में से 11 अंतर 0 से नीचे रहे।

5.7 · x̄ का प्रतिदर्श बंटन

केंद्र μ, प्रसार σ/√n

प्रतिदर्श माध्य x̄ का एक प्रतिचयन बंटन होता है, जिसका माध्य μ और मानक विचलन σ/√n है।

\mu_{\bar{x}} = \mu \qquad \sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{12}{\sqrt{9}} = 4\ \text{g}

बाग़ के सेबों के लिए, N(150, 12), 9 के यादृच्छिक प्रतिदर्श के माध्य भार का मानक विचलन 4 g है: लाल वक्र, जो समष्टि के वक्र से एक तिहाई चौड़ा है।

आकार। यदि समष्टि प्रसामान्य है, तो किसी भी n के लिए x̄ प्रसामान्य होता है। यदि नहीं, तो n ≥ 30 होने पर केंद्रीय सीमा प्रमेय x̄ को लगभग प्रसामान्य बनाता है। विषम या अज्ञात समष्टि से छोटा प्रतिदर्श लेने पर दोनों में से कुछ नहीं लागू होता, और प्रसामान्य गणना उचित नहीं है। SD सूत्र को भी 10% शर्त चाहिए।

एक प्रायिकता। 155 g से भारी एक सेब का z = (155 − 150)/12 = 0.42 है। 9 के माध्य का 155 g से अधिक होने पर z = (155 − 150)/4 = 1.25 है:

\begin{aligned} P(X > 155) &= P(Z > 0.42) = 0.338 \\ P(\bar{x} > 155) &= P(Z > 1.25) = 0.106 \end{aligned}

भारी सेब आम है; 9 का भारी औसत आम नहीं है, क्योंकि प्रतिदर्श में हल्के और भारी सेब एक-दूसरे को संतुलित कर देते हैं। सबसे आम भूल है σ से भाग देना, जबकि प्रश्न x̄ के बारे में हो।

5.8 · प्रतिदर्श माध्यों के अंतर

माध्य से दो समूहों की तुलना

दो समष्टियों के स्वतंत्र यादृच्छिक प्रतिदर्शों के लिए, x̄₁ − x̄₂ का माध्य μ₁ − μ₂ होता है, और उसका प्रसरण दोनों प्रसरणों का योग होता है।

किस्म A के सेबों का भार N(150, 12) ग्राम है और किस्म B का N(140, 10)। यादृच्छिक रूप से 9 A और 16 B लीजिए और उनके माध्यों की तुलना कीजिए (ऊपरी पट्ट पर लाल पट्टी)।

\begin{aligned}\mu_{\bar{x}_1 - \bar{x}_2} &= \mu_1 - \mu_2 = 150 - 140 = 10\ \text{g} \\ \sigma_{\bar{x}_1 - \bar{x}_2} &= \sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}} \\ &= \sqrt{\frac{12^2}{9} + \frac{10^2}{16}} = 4.72\ \text{g}\end{aligned}

आकार। दोनों समष्टियाँ प्रसामान्य हैं, इसलिए अंतर प्रसामान्य है। अन्यथा केंद्रीय सीमा प्रमेय के लिए प्रत्येक प्रतिदर्श में n ≥ 30 चाहिए। प्रत्येक प्रतिदर्श अपनी समष्टि के 10% से कम होना चाहिए, और प्रतिदर्श एक-दूसरे से स्वतंत्र हों।

एक प्रायिकता। B प्रतिदर्श का औसतन भारी निकलना कितना संभव है?

\begin{aligned} z &= \frac{0 - 10}{4.72} = -2.12 \\ P(\bar{x}_A - \bar{x}_B < 0) &= P(Z < -2.12) = 0.017 \end{aligned}

दुर्लभ: इन प्रतिदर्श आकारों के साथ, भारी किस्म लगभग हमेशा भारी माध्य दिखाती है। छोटे प्रतिदर्श लाल वक्र को चौड़ा और छायांकित क्षेत्र को बड़ा कर देंगे।

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