Statistics · AP Statistics
प्रायिकता और यादृच्छिक चर
संयोग, गिना हुआ
संयोग को एक-एक मामले में नहीं बताया जा सकता, पर लंबे समय में बताया जा सकता है। प्रायिकता उसी लंबे समय की गणित है।
आकृति में हर गेंद पिनों की 10 पंक्तियों से गिरती है। हर पिन पर वह समान संयोग से बाएँ या दाएँ जाती है, इसलिए कोई नहीं बता सकता कि अगली गेंद कहाँ गिरेगी।
फिर भी 240 गेंदें ऐसी आकृति में ढेर बनाती हैं जिसका पूर्वानुमान लगाया जा सकता है। लाल निशान हर खाने की अपेक्षित ऊँचाइयाँ हैं, जो किसी गेंद के गिरने से पहले निकाली गई थीं। बीच के तीन खानों में 65.6% गेंदें होनी चाहिए; उनमें 240 में से 164 हैं, यानी 68.3%।
यह अध्याय पूछता है कि कोई पैटर्न कब केवल संयोग है, सिमुलेशन से प्रायिकताओं का आकलन करता है, और उन्हें जोड़ने के नियम बनाता है: पूरक, “या”, “और”, सप्रतिबंध प्रायिकता और स्वतंत्रता। फिर वह परिणामों को संख्याओं में बदलता है। एक यादृच्छिक चर का एक बंटन होता है जिसका माध्य और मानक विचलन होता है, और ये निश्चित तरीकों से जुड़ते हैं। दो बंटन बार-बार आते हैं: द्विपद (आकृति में लगा बोर्ड) और ज्यामितीय।
क्या यह केवल संयोग है?
एक यादृच्छिक प्रक्रिया संयोग से परिणाम बनाती है। लगातार दोहराव और गुच्छे उसके उत्पादन का हिस्सा हैं, इसलिए यादृच्छिक आँकड़ों में किसी पैटर्न का कोई अर्थ होना आवश्यक नहीं।
आकृति में एक ग्रिड एक सिक्के को 50 बार उछालने का है। दूसरा किसी व्यक्ति ने यादृच्छिक दिखने की कोशिश में लिखा है। लोग लगातार दोहराव से बचते हैं, और इसी से पकड़े जाते हैं:
| असली उछाल | गढ़े हुए |
|---|
| heads | 19 | 25 |
| H ↔ T बदलाव | 25 | 35 |
| सबसे लंबा क्रम | 5 | 3 |
निष्पक्ष सिक्के के हर उछाल के बाद अगला उछाल प्रायिकता 1/2 से बदलता है, इसलिए लगभग 24.5 बदलाव सामान्य हैं। बनावटी क्रम में 35 बार बदलाव होता है; वास्तविक में 25 बार।
केवल संयोग से ऐसा कितनी बार होता है? निष्पक्ष सिक्के के 50 उछालों के 10,000 सिमुलेट किए गए सेटों (पट्टियों) में 82% में 5 या अधिक की शृंखला थी। केवल 2.0% में सबसे लंबी शृंखला 3 या उससे कम थी। 5 पट की शृंखला सामान्य है। असामान्य तो बनावटी क्रम है।
इसलिए किसी बास्केटबॉल खिलाड़ी की लगातार सफलता, या किसी कस्बे में बीमारियों का गुच्छा, अपने आप में किसी बात का प्रमाण नहीं है। पहले पूछिए कि यादृच्छिक संयोग से ऐसा पैटर्न कितनी बार बनता है। यह प्रश्न पूरे पाठ्यक्रम में चलता है।
दीर्घकालिक सापेक्ष बारंबारता
किसी परिणाम की प्रायिकता वह अनुपात है जितनी बार वह बहुत लंबी पुनरावृत्तियों की शृंखला में घटित होता है।
बड़ी संख्याओं का नियम। जैसे-जैसे कोई संयोग प्रक्रिया अधिक बार दोहराई जाती है, किसी परिणाम की सापेक्ष बारंबारता उसकी प्रायिकता के करीब आती जाती है। आकृति में प्रयोग 1 में पहले 10 फेंकों में 4 छक्के (0.400), 50 में 14 (0.280) और 600 में 95 (0.158) आए। हर प्रयोग शुरू में भटकता है और 1/6 ≈ 0.167 के पास टिक जाता है।
यह कथन केवल लंबे समय के लिए है। पासे की कोई स्मृति नहीं होती: बिना छक्के वाले क्रम के बाद भी छक्का आने की संभावना नहीं बढ़ती। शुरुआती विचलन सुधारे नहीं जाते; वे बाद के अनेक फेंकों में दब जाते हैं।
सिमुलेशन किसी संयोग प्रक्रिया की नकल करके प्रायिकता का आकलन करता है:
1. बताइए कि यादृच्छिक संख्याओं से एक परीक्षण की नकल कैसे होगी। 2. बताइए कि क्या दर्ज किया जाएगा। 3. कई परीक्षण चलाइए। 4. सापेक्ष बारंबारता को आकलन मानिए।
उदाहरण। पासे को चार बार फेंकने पर कम से कम एक छक्का आने की प्रायिकता क्या है? एक परीक्षण: 1 से 6 तक के चार यादृच्छिक पूर्णांक, हर एक एक फेंक। दर्ज कीजिए कि कोई 6 है या नहीं। पहले 6 परीक्षण:
| trial | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|
| rolls | 2 2 4 4 | 5 5 1 4 | 5 4 5 6 | 2 1 4 6 | 6 6 2 4 | 5 2 5 3 |
| छक्का? | no | no | yes | yes | yes | no |
1000 परीक्षणों में से 539 में छक्का था: आकलन 0.539। सटीक मान (4.3) 1 − (5/6)4 = 0.518 है। अधिक परीक्षण औसतन इसके और करीब का आकलन देंगे। यादृच्छिक अंकों की तालिका के साथ फलकों के लिए 1–6 लीजिए और 0, 7, 8 तथा 9 छोड़ दीजिए।
प्रतिदर्श समष्टि, घटनाएँ और पूरक
किसी संयोग प्रक्रिया का प्रतिदर्श समष्टि S उसके सभी संभावित परिणामों का समुच्चय है। एक घटना परिणामों का समुच्चय है, और उसकी प्रायिकता 0 से 1 के बीच की संख्या है।
दो पासे फेंकिए। प्रतिदर्श समष्टि में 6 × 6 = 36 परिणाम हैं, आकृति में हर एक के लिए एक टाइल, और सब समप्रायिक हैं। जब परिणाम समप्रायिक हों,
घटना A, “योग 7 है”, में 6 परिणाम (लाल) हैं: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)। इसलिए P(A) = 6/36 = 0.167। क्रम मायने रखता है: (1, 6) और (6, 1) अलग परिणाम हैं।
हर घटना में 0 ≤ P(A) ≤ 1 और P(S) = 1 होता है: S में कुछ न कुछ हमेशा घटित होता है। प्रायिकता 0 वाली घटना कभी घटित नहीं होती; प्रायिकता 1 वाली हमेशा होती है।
पूरक AC वह घटना है कि A घटित नहीं होती। A और AC में कोई साझा परिणाम नहीं है और वे मिलकर S को भरते हैं, इसलिए
“कम से कम एक” के लिए पूरक सबसे तेज़ तरीका है। P(कम से कम एक छक्का) = 1 − P(कोई छक्का नहीं) = 1 − 25/36 = 11/36: ऊपर की पंक्ति और दाएँ स्तंभ की टाइलें गिनिए, वे 11 हैं।
घटनाएँ जो साथ नहीं घट सकतीं
दो घटनाएँ परस्पर अपवर्जी (असंयुक्त) होती हैं जब वे दोनों एक साथ घटित नहीं हो सकतीं: P(A ∩ B) = 0।
संकेतन: A ∩ B (“A और B”) वह घटना है कि दोनों घटित हों; A ∪ B (“A या B”) वह घटना है कि कम से कम एक घटित हो। वेन आरेख में आयत प्रतिदर्श समष्टि है, और यहाँ क्षेत्रफल पैमाने के अनुसार बनाए गए हैं: हर क्षेत्र का क्षेत्रफल उसकी प्रायिकता है।
किसी दाता का ABO रक्त समूह चार में से एक होता है:
| type | O | A | B | AB |
|---|
| probability | 0.44 | 0.42 | 0.10 | 0.04 |
घटनाएँ “समूह A” और “समूह B” परस्पर अपवर्जी हैं: किसी का दोनों समूह नहीं होता (समूह AB अपने आप में अलग समूह है)। उनकी डिस्कें एक-दूसरे को नहीं ढकतीं, इसलिए क्षेत्रफल सीधे जुड़ते हैं:
आकृति में डार्ट यादृच्छिक रूप से गिरते हैं, इसलिए किसी क्षेत्र में गिरने का हिस्सा उसके क्षेत्रफल के करीब पहुँचता है: A या B में गिरने का हिस्सा 0.52 के करीब पहुँचता है। शेष, O या AB, की प्रायिकता 0.48 = 1 − 0.52 है।
प्रायिकताओं को इस तरह तभी जोड़िए जब घटनाएँ परस्पर अपवर्जी हों। यदि वे एक-दूसरे को ढक सकती हैं, तो साझा भाग दो बार गिना जाता है (4.6)।
B दिए होने पर A की प्रायिकता
सप्रतिबंध प्रायिकता P(A | B) वह प्रायिकता है कि A घटित हो, यह दिया हुआ हो कि B घटित हो चुकी है। B का पता होने से प्रतिदर्श समष्टि सिकुड़कर B हो जाती है।
एक सर्वेक्षण में 500 चालकों से पूछा गया कि क्या उन्होंने पिछले महीने गाड़ी चलाते समय टेक्स्ट किया था:
| texted | नहीं किया | total |
|---|
| 16–24 | 72 | 48 | 120 |
| 25 और उससे अधिक आयु | 95 | 285 | 380 |
| total | 167 | 333 | 500 |
एक चालक यादृच्छिक रूप से चुनिए। T को “टेक्स्ट किया” और Y को “आयु 16–24” मानिए। P(T) = 167/500 = 0.334। लेकिन यह दिया हो कि चालक 16–24 का है, तो केवल वही पंक्ति गिनी जाती है:
दाईं ओर की आकृति हर पंक्ति को अलग दिखाती है: युवा चालकों में से 0.60 ने टेक्स्ट किया, जबकि बड़े चालकों में से 0.25 ने।
क्रम मायने रखता है। P(Y | T) = 72/167 = 0.431: टेक्स्ट करने वाले चालकों में से 43.1% युवा थे। अंश वही है; हर वह है जो दिया गया है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर परिभाषा गुणन नियम बन जाती है, P(A ∩ B) = P(B) · P(A | B): P(T ∩ Y) = 0.24 × 0.60 = 0.144 = 72/500।
शाखाओं के साथ गुणा कीजिए, शाखाओं के आर-पार जोड़िए
जब कोई संयोग प्रक्रिया चरणों में होती है, तो वृक्ष आरेख हर चरण के परिणामों को शाखाओं के रूप में दिखाता है। किसी पथ की प्रायिकता उसके साथ की प्रायिकताओं का गुणनफल होती है।
किसी आबादी के 4% लोगों को एक रोग है। एक जाँच रोगी लोगों में से 90% के लिए पॉज़िटिव आती है, और जिन्हें रोग नहीं है उनमें से 10% के लिए भी। दूसरे चरण की शाखाएँ सप्रतिबंध प्रायिकताएँ हैं: 0.9 P(+ | रोग) है।
| path | probability | प्रति 1000 लोग |
|---|
| रोग है, + | 0.04 × 0.9 = 0.036 | 36 |
| रोग है, − | 0.04 × 0.10 = 0.004 | 4 |
| रोग नहीं, + | 0.96 × 0.1 = 0.096 | 96 |
| रोग नहीं, − | 0.96 × 0.90 = 0.864 | 864 |
दो पथ पॉज़िटिव जाँच पर समाप्त होते हैं। वे परस्पर अपवर्जी हैं, इसलिए उनकी प्रायिकताएँ जुड़ती हैं: P(+) = 0.036 + 0.096 = 0.132।
किसी की जाँच पॉज़िटिव आती है। उसे रोग (C) होने की प्रायिकता क्या है?
केवल लगभग 27%। 1000 लोगों में 36 सही पॉज़िटिव और 96 गलत पॉज़िटिव हैं: रोग दुर्लभ है, इसलिए अनेक स्वस्थ लोगों में कुछ गलतियाँ भी रोगियों से अधिक हो जाती हैं। आकृति 400 लोगों को यादृच्छिक रूप से वृक्ष में भेजती है; लाल और नीले पत्तों को देखिए।
योग नियम, और कब एक का पता होना दूसरे के बारे में कुछ नहीं बताता
घटनाएँ A और B स्वतंत्र हैं, यदि यह जान लेने से कि एक घटित हुई है, दूसरी की प्रायिकता नहीं बदलती: P(A | B) = P(A)।
एक विद्यालय में 35% विद्यार्थी AP Statistics (S) लेते हैं, 25% AP Biology (B) लेते हैं और 10% दोनों लेते हैं। वृत्त एक-दूसरे को ढकते हैं।
योग नियम। P(S) और P(B) जोड़ने पर उभयनिष्ठ भाग (लाल) दो बार गिना जाता है, इसलिए उसे एक बार घटा दीजिए:
अतः 0.50 कोई भी नहीं लेते। परस्पर अपवर्जी घटनाओं के लिए P(A ∩ B) = 0 होता है, और नियम वही बन जाता है जो 4.4 में है।
स्वतंत्रता की जाँच। P(S | B) = 0.10/0.25 = 0.40, लेकिन P(S) = 0.35। यह जानने से कि विद्यार्थी Biology लेता है, उसके Statistics लेने की संभावना बढ़ जाती है, इसलिए S और B स्वतंत्र नहीं हैं। यही जाँच दूसरे रूप में: यदि वे स्वतंत्र होतीं, तो P(S ∩ B) = P(S) · P(B) = 0.0875 होता, 0.10 नहीं।
स्वतंत्र घटनाओं के लिए ही, और केवल तभी, गुणन नियम P(A ∩ B) = P(A) · P(B) बन जाता है। दो अलग पासे स्वतंत्र हैं: P(दोनों पर छह) = 1/6 × 1/6 = 1/36।
इन दोनों विचारों को आपस में न मिलाइए। परस्पर अपवर्जी घटनाएँ (धनात्मक प्रायिकताओं वाली) कभी स्वतंत्र नहीं होतीं: यदि एक घटित होती है, तो दूसरी की प्रायिकता 0 हो जाती है। 4.5 में P(संदेश भेजा | 16–24) = 0.600 ≠ P(संदेश भेजा) = 0.334, इसलिए संदेश भेजना और आयु वर्ग स्वतंत्र नहीं हैं।
परिणाम संख्याओं के रूप में
एक यादृच्छिक चर संख्यात्मक मान लेता है, जो किसी संयोग प्रक्रिया के परिणाम पर निर्भर करते हैं। उसका प्रायिकता बंटन उसके संभावित मान और उनकी प्रायिकताएँ बताता है।
मान लीजिए X एक कस्बे में यादृच्छिक रूप से चुने गए परिवार के पास कारों की संख्या है। X विविक्त है: यह अलग-अलग मानों की एक सूची में से मान लेता है।
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|
| P(X = x) | 0.08 | 0.32 | 0.38 | 0.15 | 0.07 |
| P(X ≤ x) | 0.08 | 0.40 | 0.78 | 0.93 | 1.00 |
वैध बंटन में हर प्रायिकता 0 और 1 के बीच होती है, और उनका योग 1 होता है। आकृति में स्तंभ P(X = x) हैं। काली सीढ़ियाँ संचयी प्रायिकताएँ P(X ≤ x) हैं, यानी बाईं ओर से जोड़े गए स्तंभ।
शब्दों को ध्यान से पढ़िए:
P(X ≥ 2), “कम से कम दो”: 0.38 + 0.15 + 0.07 = 0.60, या 1 − P(X ≤ 1) = 1 − 0.40।
P(X > 2), “दो से अधिक”: 0.22, 2 को छोड़कर।
P(1 ≤ X ≤ 3) = P(X ≤ 3) − P(X ≤ 0) = 0.93 − 0.08 = 0.85।
लाल बिंदु यादृच्छिक रूप से चुने गए परिवार हैं: अब तक हर मान का अनुपात। जैसे-जैसे चयन बढ़ते हैं, वे स्तंभों पर टिक जाते हैं। यह फिर से बड़ी संख्याओं का नियम है: प्रायिकता बंटन मानों का दीर्घकालिक प्रतिरूप है।
संतुलन बिंदु, और उससे एक सामान्य दूरी
यादृच्छिक चर का माध्य (प्रत्याशित मान) μX उसका दीर्घकालिक औसत मान है। मानक विचलन σX उसके मानों की उस माध्य से एक सामान्य दूरी है।
हर मान को उसकी प्रायिकता से भारित किया जाता है:
माध्य हिस्टोग्राम का संतुलन बिंदु है (लाल फन्नी)। यह ज़रूरी नहीं कि X का कोई संभव मान हो: किसी परिवार के पास 1.81 कारें नहीं होतीं।
संदर्भ में। “यदि कई परिवार यादृच्छिक रूप से चुने जाएँ, तो प्रति परिवार कारों की औसत संख्या लगभग 1.81 होगी।” “यादृच्छिक रूप से चुने गए परिवार के पास कारों की संख्या सामान्यतः माध्य 1.81 से लगभग 1.02 कारों से भिन्न होती है।”
प्रसरण σ2X = 1.0339 है। एक short-cut वही संख्या देता है: Σx2P(x) − μ2 = 4.31 − 1.812 = 1.0339।
अक्ष के नीचे काली गेंद अब तक चुने गए सभी परिवारों का माध्य है। यह इधर-उधर डोलती है, फिर μ पर टिक जाती है: माध्यों के लिए बड़ी संख्याओं का नियम।
एक रैखिक रूपांतरण: Y = a + bX
यादृच्छिक चर में कोई अचर जोड़ने से उसका माध्य खिसक जाता है और फैलाव वैसा ही रहता है। किसी अचर से गुणा करने पर दोनों उसी से गुणा हो जाते हैं।
एक चक्र को एक बार घुमाया जाता है। X, यानी जिस संख्या पर वह रुकता है, का बंटन यह है:
| x | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|
| P(X = x) | 0.4 | 0.3 | 0.2 | 0.1 |
μX = 2 और σX = 1। खेलने की कीमत $7 है, और पुरस्कार संख्या का $3 गुना है। शुद्ध लाभ Y = 3X − 7 डॉलर है।
आकृति इसे दो चरणों में करती है। 3 से गुणा करने पर स्तंभ 3 गुना दूर फैल जाते हैं: माध्य और मानक विचलन दोनों तीन गुना हो जाते हैं। 7 घटाने पर हर स्तंभ 7 नीचे खिसक जाता है: माध्य बदलता है, फैलाव नहीं। दोनों चरणों में ऊँचाइयाँ नहीं बदलतीं, इसलिए आकार वही रहता है।
संदर्भ में। कई खेलों में खिलाड़ी औसतन प्रति खेल $1 हारता है। खिलाड़ी तभी धन जीतता है जब X ≥ 3 हो: P(Y > 0) = 0.3।
प्रसरण b2 से गुणा होता है: σ2Y = 32 × 1 = 9। अचर जोड़ने से केंद्र (माध्य, माध्यिका, चतुर्थक) बदलता है; गुणा करने से केंद्र और फैलाव के हर माप (SD, IQR, परिसर) बदलते हैं।
माध्य जुड़ते हैं; स्वतंत्र चरों के प्रसरण जुड़ते हैं
योग का माध्य माध्यों का योग होता है। जब चर स्वतंत्र हों, तो योग और अंतर दोनों का प्रसरण प्रसरणों का योग होता है।
चक्र घुमाइए (X, पिछले पृष्ठ से) और एक निष्पक्ष पासा फेंकिए (Y, माध्य 3.5, SD 1.708)। घुमाना और फेंकना स्वतंत्र हैं। उनका कुल T = X + Y है, जिसका बंटन लाल रंग में है, जो परिणामों के हर युग्म को जोड़कर मिला है।
मानक विचलन नहीं जुड़ते: 1 + 1.71 = 2.71 बहुत बड़ा है। वे समकोण त्रिभुज की भुजाओं की तरह मिलते हैं (आकृति के दाईं ओर)।
अंतर। D = Y − X का माध्य 3.5 − 2 = 1.5 है, और इसका प्रसरण अब भी σ2X + σ2Y है, इसलिए σD = 1.979। कोई यादृच्छिक राशि घटाने से परिवर्तनशीलता बढ़ती है; कभी घटती नहीं।
माध्य का नियम किसी भी यादृच्छिक चर के लिए सही है। प्रसरण के नियम के लिए स्वतंत्रता चाहिए। और दो बार घुमाना X1 + X2, 2X के बराबर नहीं है: इसका SD √2 σX है, जबकि 2X का SD 2σX है।
प्रसामान्य चर। स्वतंत्र प्रसामान्य यादृच्छिक चरों का योग या अंतर प्रसामान्य होता है। एक रिले की दो दौड़ें N(24, 1.5) और N(26.5, 2) मिनट लेती हैं। कुल N(50.5, 2.5) है, जहाँ √(1.52 + 22) = 2.5। P(कुल < 48) = P(z < −1.00) = 0.1587।
n प्रयासों में सफलताएँ गिनना
एक द्विपद यादृच्छिक चर निश्चित संख्या के स्वतंत्र परीक्षणों में सफलताओं की गिनती करता है, जिनमें हर परीक्षण की सफलता की प्रायिकता समान होती है।
चारों शर्तों (BINS) की जाँच कीजिए: Binary, हर परीक्षण सफलता या असफलता; Independent, यानी परीक्षण स्वतंत्र; परीक्षणों की निश्चित Number n; हर परीक्षण में सफलता की Same प्रायिकता p।
बोर्ड पर हर कील एक परीक्षण है और “दाएँ” जाना सफलता है: n = 10, p = 0.5। X, यानी दाएँ जाने की संख्या, वह खाना है जिसमें गेंद गिरती है। खाना 6 में गिरने के लिए गेंद को 6 कीलों पर दाएँ जाना होगा, कुल 10 में से। ऐसे हर मार्ग की प्रायिकता (1/2)10 है, और ऐसे C(10, 6) = 210 मार्ग हैं:
खाना 6 में 240 × 0.205 ≈ 49 गेंदें गिरनी चाहिए; उसमें 47 गिरीं।
संदर्भ में। एक खिलाड़ी अपने 70% फ्री थ्रो करती है और 10 लेती है, जिन्हें हम स्वतंत्र मानते हैं। X, यानी सफल थ्रो की संख्या, द्विपद है, जिसमें n = 10, p = 0.7।
P(X = 8) = C(10, 8)(0.7)8(0.3)2 = 0.2335।
P(X ≥ 8) = 1 − P(X ≤ 7) = 1 − 0.6172 = 0.3828: “कम से कम” में पूरक की संचयी प्रायिकता का उपयोग होता है।
द्विपद नहीं: बिना प्रतिस्थापन के ताश के पत्ते निकालना (परीक्षण स्वतंत्र नहीं हैं); पहली चित आने तक उछालें गिनना (कोई निश्चित n नहीं: यह 4.12 है)।
μ = np, σ = √(np(1 − p))
द्विपद बंटन अपने दो प्राचलों, n और p, से तय होता है। इसका माध्य और मानक विचलन इन्हीं से निकलते हैं।
बोर्ड के लिए μ = 10(0.5) = 5 और σ = √(10 × 0.5 × 0.5) = 1.58। माध्य से एक σ के भीतर के बिन, 4, 5, 6, प्रायिकता का 0.656 रखते हैं।
ये 4.9 के नियमों का ही उपयोग हैं। X, 10 स्वतंत्र प्रयासों का योग है, जिनमें प्रत्येक प्रायिकता p से 1 और अन्यथा 0 मान देता है। एक प्रयास का माध्य p और प्रसरण p(1 − p) है। माध्य जुड़ते हैं, और प्रसरण भी।
संदर्भ में। फ्री थ्रो के लिए μ = 10(0.7) = 7 और σ = √(10 × 0.7 × 0.3) = 1.45। “10 फ्री थ्रो के कई सेटों में वह औसतन 7 बनाती है; बनाए गए थ्रो की संख्या सामान्यतः 7 से लगभग 1.45 बदलती है।”
आकार। p = 0.5 होने पर बंटन सममित होता है। p के 0 या 1 के पास होने पर यह विषम होता है, और n बढ़ने पर कम। जब np ≥ 10 और n(1 − p) ≥ 10 हो, तो यह प्रायः प्रसामान्य के निकट होता है, जिसका उपयोग इकाई 5 करती है।
10% प्रतिबंध। प्रतिस्थापन के बिना प्रतिचयन प्रयासों को परतंत्र बना देता है। यदि प्रतिदर्श समष्टि के 10% से अधिक नहीं है, तो परतंत्रता नगण्य रहती है और द्विपद मॉडल अब भी ठीक रहता है।
पहली सफलता तक के प्रयास
ज्यामितीय यादृच्छिक चर स्वतंत्र प्रयासों में, जिनमें सफलता की प्रायिकता समान रहती है, पहली सफलता तक (उसे मिलाकर) के प्रयासों को गिनता है।
एक अनाज ब्रांड अपने 20% डिब्बों में इनाम रखता है। इनाम मिलने तक एक-एक करके डिब्बे खोलिए; X खोले गए डिब्बों की संख्या है। प्रयासों की संख्या तय नहीं है, इसलिए X द्विपद नहीं है। प्रयास x (x = 1, 2, 3, …) पर पहली सफलता के लिए पहले x − 1 प्रयास विफल होने चाहिए:
हर पट्टी अपनी पिछली पट्टी की 0.8 गुनी है, इसलिए बंटन सदा दाईं ओर विषम रहता है, और इसका सबसे संभावित मान सदा 1 होता है।
P(X ≤ 3) = 1 − P(पहले 3 में कोई इनाम नहीं) = 1 − 0.83 = 0.488।
P(X > 5) = 0.85 = 0.328: पहले पाँच डिब्बे सब विफल।
संदर्भ में। “यदि इसे बार-बार दोहराया जाए, तो इनाम पाने में औसतन 5 डिब्बे लगेंगे।” आकृति एक के बाद एक दौर चलाती है: लाल डिब्बे तक डिब्बे खुलते हैं, फिर गेंद उस दौर का X दर्शाती है।
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