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Statistics · AP Statistics

अनुपातों के लिए अनुमिति

अध्याय 6 · अनुपातों के लिए अनुमिति

p के लिए अंतराल और परीक्षण

प्रतिदर्श अनुपात समष्टि अनुपात का आकलन करता है। अनुमिति बताती है कि उस पर कितना भरोसा किया जाए।

आकृति में एक शहर से 500 वयस्कों के 50 यादृच्छिक प्रतिदर्श लिए गए हैं, जहाँ p = 0.60 अनुपात के लोग नई साइकिल लेन का समर्थन करते हैं। आकृति p जानती है; वास्तविक सर्वेक्षण इसे कभी नहीं जानता।

प्रत्येक प्रतिदर्श अपना p̂ (एक बिंदु) और उसके चारों ओर 95% विश्वास्यता अंतराल (एक छड़) देता है। ऊर्ध्वाधर रेखा p है। 50 में से 47 अंतराल इसे पार करते हैं; 3 लाल अंतराल इसे चूक जाते हैं।

यह अध्याय ऐसे अंतराल बनाता है और बताता है कि “95% विश्वास” का क्या अर्थ है और क्या नहीं। फिर यह प्रश्न को पलटता है: सार्थकता परीक्षण पूछता है कि यदि p का कोई दावा किया गया मान सही हो, तो क्या प्रतिदर्श आश्चर्यजनक होगा, और उस निर्णय में कौन-सी त्रुटियाँ हो सकती हैं। अंत में, दो अनुपातों के अंतर के लिए यही दो उपकरण।

6.1 · सामान्य क्यों?

p̂ का प्रतिचयन बंटन

प्रतिदर्श अनुपात एक प्रतिदर्श से दूसरे में बदलते हैं। प्रतिदर्श पर्याप्त बड़ा हो तो उनका बंटन लगभग सामान्य होता है, इसलिए सामान्य मॉडल बताता है कि कौन-से परिणाम असामान्य हैं।

आकृति में p = 0.1 वाली समष्टि से यादृच्छिक प्रतिदर्श लिए जाते हैं, और प्रत्येक प्रतिदर्श का p̂ एक आयतचित्र में गिरता है: बाईं ओर 20 के प्रतिदर्श, दाईं ओर 200 के। लाल वक्र सामान्य मॉडल है।

\mu_{\hat p} = p \qquad \sigma_{\hat p} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}

p̂ का केंद्र p पर है: यह एक अनभिनत आकलक है। n बढ़ने पर इसका प्रसार घटता है: σ, n = 20 के लिए 0.067 और n = 200 के लिए 0.021 है। प्रतिदर्श 10 गुना होने पर प्रसार √10 गुना कम हो जाता है।

बड़ी गणनाएँ। आकार लगभग सामान्य तब होता है जब np ≥ 10 और n(1 − p) ≥ 10 हो। n = 20 के साथ np = 2: आयतचित्र दाईं ओर विषम है और 0 के पास सिमटा है, और सामान्य वक्र अपने क्षेत्रफल का 6.8% भाग 0 से नीचे रखता है, जहाँ p̂ नहीं जा सकता। n = 200 के साथ np = 20 और n(1 − p) = 180: वक्र ठीक बैठता है।

10% शर्त। σ का सूत्र स्वतंत्र प्रेक्षण मानता है। प्रतिस्थापन के बिना प्रतिचयन में यह तब पर्याप्त रूप से सही रहता है जब प्रतिदर्श समष्टि के अधिकतम 10% हो।

उदाहरण। n = 200 के साथ p̂ ≥ 0.15 की कितनी संभावना है? z = (0.15 − 0.1)/0.0212 = 2.36, और P(Z ≥ 2.36) = 0.0092। 0.1 से इतना ऊपर का प्रतिदर्श केवल संयोग से बहुत असामान्य होगा।

6.2 · विश्वास्यता अंतराल बनाना

प्रतिदर्शज ± (क्रांतिक मान)(मानक त्रुटि)

विश्वास्यता अंतराल p के संभावित मानों का एक परास देता है: प्रतिदर्श का p̂, धन और ऋण त्रुटि सीमा।

एक शहर के 500 वयस्कों का यादृच्छिक प्रतिदर्श: 290 नई साइकिल लेन का समर्थन करते हैं, इसलिए p̂ = 290/500 = 0.580। p के लिए एक-प्रतिदर्श z अंतराल:

\begin{aligned}\hat p &\pm z^*\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}} \\ &= 0.580 \pm 1.960\sqrt{\frac{(0.58)(0.42)}{500}} \\ &= 0.580 \pm 0.043 = (0.537,\ 0.623)\end{aligned}

95% के लिए z* = 1.960: मानक सामान्य का मध्य 95% −1.960 और 1.960 के बीच होता है। मानक त्रुटि अज्ञात p की जगह p̂ का उपयोग करती है। त्रुटि सीमा z* × SE = 0.043 है।

शर्त	जाँच
यादृच्छिक	वयस्कों का यादृच्छिक प्रतिदर्श
10%	500 ≤ शहर के 820,000 वयस्कों का 10%
बड़ी गणनाएँ	np̂ = 290 और n(1 − p̂) = 210, दोनों ≥ 10

यह क्यों काम करता है। 95% प्रतिदर्शों में p̂, p के 1.96σ के भीतर आता है (नीली पट्टी)। जब भी ऐसा होता है, p̂ के दोनों ओर 1.96 SE तक फैला अंतराल p को पार कर लेता है। आकृति में प्रतिदर्श 6 पट्टी के बाहर आता है, और उसका अंतराल चूक जाता है।

परीक्षा में प्रक्रिया का नाम लिखिए, शर्तों की जाँच कीजिए, गणना कीजिए और अंतराल को संदर्भ में बताइए।

6.2 · त्रुटि सीमा और प्रतिदर्श आकार

प्रतिचयन से पहले n चुनना

n बढ़ने पर त्रुटि सीमा घटती है, पर धीरे-धीरे: 1/√n की तरह। सर्वेक्षण की योजना बनाने के लिए पहले त्रुटि सीमा चुनिए, फिर n के लिए हल कीजिए।

\begin{aligned}&z^*\sqrt{\frac{p^*(1-p^*)}{n}} \le \text{ME} \\ &n \ge \Big(\frac{z^*}{\text{ME}}\Big)^2 p^*(1-p^*)\end{aligned}

p* , p का एक अनुमान है। कोई अनुमान न हो तो p* = 0.5 लीजिए: इससे p*(1 − p*) = 0.25 होता है, जो इसका सबसे बड़ा मान है, इसलिए p चाहे जो निकले, प्राप्त n पर्याप्त रहता है।

उदाहरण। 95% विश्वास स्तर पर अधिकतम 0.03 की त्रुटि सीमा:

n \ge \Big(\frac{1.960}{0.03}\Big)^2(0.5)(0.5) = 1067.1

इसलिए n = 1068। सदैव ऊपर पूर्णांकित कीजिए: 1067 से त्रुटि सीमा 0.03 से थोड़ी अधिक आएगी। किसी पायलट अध्ययन के अनुमान p* = 0.2 के साथ 683 पर्याप्त हैं (नीला वक्र)।

त्रुटि सीमा आधी करने के लिए प्रतिदर्श चार गुना चाहिए: n वर्गमूल के नीचे है।

त्रुटि सीमा केवल यादृच्छिक प्रतिचयन के संयोगवश परिवर्तन को शामिल करती है। यह अपर्याप्त कवरेज, अनुत्तर या प्रश्न के पक्षपाती शब्दों से आए अभिनति के बारे में कुछ नहीं कहती।

6.3 · विश्वास्यता अंतराल की व्याख्या

95% विश्वास का क्या अर्थ है, और क्या नहीं

अंतराल p के बारे में एक दावा है। विश्वास स्तर उस विधि के बारे में दावा है जिसने इसे बनाया।

अंतराल। “हमें 95% विश्वास है कि 0.537 से 0.623 तक का अंतराल शहर के उन सभी वयस्कों का वास्तविक अनुपात पकड़ता है जो साइकिल लेन का समर्थन करते हैं।” प्राचल का नाम संदर्भ में लिखिए।

विश्वास स्तर। “यदि हम 500 के कई यादृच्छिक प्रतिदर्श लें और प्रत्येक से 95% अंतराल बनाएँ, तो लगभग 95% अंतराल वास्तविक अनुपात को पकड़ लेंगे।” आकृति में 50 में से 47 ऐसा करते हैं; 3 लाल अंतराल चूक जाते हैं, और उनके बारे में किसी चीज़ ने हमें चेताया नहीं।

यह नहीं: “इसकी 95% प्रायिकता है कि p, 0.537 और 0.623 के बीच है।” p निश्चित है; यह अंतराल उसे या तो पकड़ता है या नहीं पकड़ता। यह 95% वयस्कों या 95% प्रतिदर्श अनुपातों के बारे में भी नहीं है।

दावे का औचित्य। अंतराल के भीतर का प्रत्येक मान p का एक संभावित मान है।

दावा	(0.537, 0.623) से
बहुमत इसका समर्थन करता है, p > 0.5	विश्वसनीय: प्रत्येक संभावित मान 0.5 से ऊपर है
p = 0.60	संभावित: यह अंतराल के भीतर है
p ≥ 0.65	संभावित नहीं: अंतराल इससे नीचे है

संभावित का अर्थ सिद्ध नहीं है: अंतराल यह नहीं दिखाता कि p = 0.60, केवल यह कि 0.60 को नकारा नहीं जा सकता।

6.3 · विश्वास स्तर और चौड़ाई

अधिक विश्वास की कीमत चौड़ाई है; अधिक आँकड़े उसे वापस दिलाते हैं

ऊँचे विश्वास स्तर के लिए बड़ा z* चाहिए, इसलिए अंतराल चौड़ा होता है। बड़ा प्रतिदर्श मानक त्रुटि को घटाता है, इसलिए अंतराल भी संकरा होता है।

स्तर	z*	त्रुटि सीमा	अंतराल
90%	1.645	0.036	(0.544, 0.616)
95%	1.960	0.043	(0.537, 0.623)
99%	2.576	0.057	(0.523, 0.637)
95%, n = 2,000	1.960	0.022	(0.558, 0.602)

सब एक ही p̂ = 0.58 से। आकृति में लाल अंतराल 80.0% से 99.5% तक के स्तरों से गुज़रता है; नीले अंतराल का प्रतिदर्श चार गुना है, और त्रुटि सीमा आधी।

99% अंतराल p को अधिक बार पकड़ता है, पर कम बताता है। ऊँचा विश्वास और संकरा अंतराल दोनों चाहिए तो बड़ा प्रतिदर्श चाहिए।

विश्वास स्तर आँकड़ों से पहले चुना जाता है; यह इसकी प्रायिकता नहीं है कि कोई विशेष अंतराल सही है। न स्तर और न n यह बदलता है कि अंतराल का केंद्र कहाँ है: p̂।

6.4 · परीक्षण तैयार करना

परिकल्पनाएँ और शर्तें, p₀ के साथ

एक सार्थकता परीक्षण पूछता है कि क्या प्रतिदर्श p के बारे में किए गए किसी दावे के विरुद्ध ठोस प्रमाण देता है।

एक फ़ोन निर्माता कहता है कि उसके 25% फ़ोन को दो वर्ष के भीतर मरम्मत की ज़रूरत पड़ती है। एक उपभोक्ता समूह को इससे अधिक का संदेह है। निर्माता के 400 फ़ोनों के एक यादृच्छिक प्रतिदर्श में 118 को मरम्मत की ज़रूरत पड़ी: p̂ = 0.295।

H_0\!: p = 0.25 \qquad H_a\!: p > 0.25

जहाँ p निर्माता के सभी फ़ोनों का वह अनुपात है जिन्हें दो वर्ष के भीतर मरम्मत की ज़रूरत पड़ती है। शून्य परिकल्पना H₀ यह दावा है, “0.25 से कोई अंतर नहीं”; वैकल्पिक परिकल्पना H_a वह है जिसके पक्ष में समूह प्रमाण पाना चाहता है। परिकल्पनाएँ प्राचल p के बारे में होती हैं, कभी p̂ के बारे में नहीं, और आँकड़े देखने से पहले तय की जाती हैं।

जब प्रश्न में कोई दिशा हो तो H_a एकपक्षीय (> या <) होती है, और जब कोई भी अंतर मायने रखे तो द्विपक्षीय (≠)।

शर्त	जाँच
यादृच्छिक	निर्माता के फ़ोनों का एक यादृच्छिक प्रतिदर्श
10%	400 ≤ उसके सभी फ़ोनों का 10%
बड़ी गणना	np₀ = 100 और n(1 − p₀) = 300, दोनों ≥ 10

बड़ी गणना की जाँच में p₀ का उपयोग होता है, p̂ का नहीं: परीक्षण यह मानकर चलता है कि यदि H₀ सत्य हो तो क्या होगा। आकृति p = 0.25 से 400 के 200 प्रतिदर्श खींचती है; वे सामान्य वक्र के आसपास जमा होते हैं, जिसका केंद्र 0.25 और मानक विचलन 0.0217 है।

z = \frac{\hat p - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}} = \frac{0.295 - 0.25}{0.0217} = 2.08

6.5 · p-मान की व्याख्या

यदि H₀ सत्य होती तो यह कितना आश्चर्यजनक है

p-मान वह प्रायिकता है, यह मानते हुए कि H₀ सत्य है, कि प्रेक्षित प्रतिदर्शज जितना या उससे अधिक चरम प्रतिदर्शज मिले, H_a की दिशा में।

\text{p-value} = P(Z \ge 2.08) = 0.019

आकृति में, p = 0.25 से खींचे गए 200 प्रतिदर्शों में से 5 ने 0.295 या उससे अधिक पाया: भिन्न 0.025, जो सामान्य मॉडल के 0.019 के करीब है।

संदर्भ में: “यह मानते हुए कि निर्माता के सभी फ़ोनों में से 25% को मरम्मत की ज़रूरत पड़ती है, 400 फ़ोनों के एक यादृच्छिक प्रतिदर्श में केवल संयोग से 0.295 या उससे अधिक का प्रतिदर्श अनुपात मिलने की प्रायिकता 0.019 है।”

छोटा p-मान बताता है कि यदि H₀ सत्य होती तो ये आँकड़े दुर्लभ होते: H₀ के विरुद्ध प्रमाण। बड़ा p-मान बताता है कि ये आँकड़े ऐसे हैं जैसे H₀ से अक्सर मिलते हैं: इसके विरुद्ध कोई प्रमाण नहीं।

यह नहीं: H₀ के सत्य होने की प्रायिकता, और न ही यह कि परिणाम संयोग से आया। p-मान की गणना H₀ को मानकर की जाती है।

द्विपक्षीय H_a के लिए दोनों पुच्छ गिनिए: p-मान |z| के बाहर के क्षेत्रफल का दोगुना होता है।

6.6 · परीक्षण का निष्कर्ष

p-मान की α से तुलना करें

आँकड़ों से पहले सार्थकता स्तर α चुनिए। यदि p-मान α से कम हो, तो H₀ को अस्वीकार कीजिए; यदि नहीं, तो H₀ को अस्वीकार करने में विफल रहिए।

α = 0.05 पर: 0.019 < 0.05, इसलिए H₀ अस्वीकार कीजिए। “क्योंकि 0.019 का p-मान α = 0.05 से कम है, हम H₀ को अस्वीकार करते हैं। हमारे पास ठोस प्रमाण है कि निर्माता के सभी फ़ोनों में से 25% से अधिक को दो वर्ष के भीतर मरम्मत की ज़रूरत पड़ती है।”

α = 0.01 पर: 0.019 > 0.01, इसलिए H₀ को अस्वीकार करने में विफल रहिए। “हमारे पास इसका ठोस प्रमाण नहीं है कि 25% से अधिक को मरम्मत की ज़रूरत पड़ती है।”

कभी “H₀ को स्वीकार करना” नहीं कहिए: किसी दावे के विरुद्ध प्रमाण न मिलने से वह सत्य सिद्ध नहीं होता।

परीक्षण प्रतिदर्शज के साथ वही निर्णय: जब z क्रांतिक मान से आगे हो तो अस्वीकार कीजिए; α = 0.05 एकपक्षीय के लिए z* = 1.645, 0.01 के लिए 2.326। आकृति में α 0.005 से 0.1 तक बदलता है; नीला क्षेत्र z* के आगे है, और निर्णय z = 2.08 पार करते ही पलट जाता है।

जिस परिणाम का p-मान α से कम हो, वह उस स्तर पर सांख्यिकीय रूप से सार्थक कहलाता है। सार्थक होने का अर्थ बड़ा या महत्वपूर्ण होना नहीं है।

6.7 · त्रुटियाँ और सामर्थ्य

प्रथम प्रकार की त्रुटि, द्वितीय प्रकार की त्रुटि और पहचानने की शक्ति

परीक्षण दो तरह से गलत हो सकता है। इसकी शक्ति वह संभावना है कि यह गलत H₀ को सही पकड़ ले।

	H₀ सत्य	H₀ असत्य
H₀ अस्वीकार	प्रथम प्रकार की त्रुटि, प्रायिकता α	सही: शक्ति
अस्वीकार करने में विफल	सही	द्वितीय प्रकार की त्रुटि, प्रायिकता β

संदर्भ में: प्रथम प्रकार की त्रुटि यह निष्कर्ष निकालना होगी कि 25% से अधिक फ़ोनों को मरम्मत की ज़रूरत पड़ती है, जबकि वास्तव में 25% को पड़ती है; निर्माता पर गलत आरोप लगता है। द्वितीय प्रकार की त्रुटि वास्तविक अधिकता को चूक जाना होगी; मालिक मरम्मत पर खर्च करते रहते हैं।

मान लीजिए सत्य p = 0.3 है। α = 0.05 पर परीक्षण तब अस्वीकार करता है जब p̂ > 0.2856। n = 400 के साथ:

\begin{aligned}\text{power} &= P(\hat p > 0.2856 \mid p = 0.30) \\ &= 0.735 \\ \beta &= 1 - \text{power} = 0.265\end{aligned}

n	100	200	400	800
शक्ति	0.322	0.496	0.735	0.937

शक्ति बढ़ती है बड़े प्रतिदर्श के साथ (वक्र संकरे हो जाते हैं, जैसा आकृति में है), बड़े α के साथ (α = 0.1 और n = 400 पर, 0.834), और p₀ से दूर वास्तविक p के साथ। α घटाने से प्रथम प्रकार की त्रुटियाँ घटती हैं पर β बढ़ता है: निश्चित n पर दोनों में समझौता करना पड़ता है।

6.8 · अंतर के लिए अंतराल

p̂₁ − p̂₂, दो स्वतंत्र प्रतिदर्शों से

दो अनुपातों की तुलना के लिए उनके अंतर का आकलन कीजिए: (p̂₁ − p̂₂) ± z* × SE।

400 किशोरों और 500 वयस्कों के स्वतंत्र यादृच्छिक प्रतिदर्श: 248 किशोर और 255 वयस्क कहते हैं कि वे मुख्यतः सोशल मीडिया से समाचार लेते हैं। p̂₁ = 0.62, p̂₂ = 0.51, अंतर 0.11।

\begin{aligned}\text{SE} &= \sqrt{\frac{\hat p_1(1-\hat p_1)}{n_1} + \frac{\hat p_2(1-\hat p_2)}{n_2}} \\ &= \sqrt{0.000589 + 0.000500} \\ &= 0.0330\end{aligned}

\begin{aligned}(\hat p_1 - \hat p_2) &\pm z^*\,\text{SE} \\ &= 0.11 \pm 1.960(0.0330) \\ &= 0.11 \pm 0.065 \\ &= (0.045,\ 0.175)\end{aligned}

प्रसरण जुड़ते हैं, मानक त्रुटियाँ नहीं: दो स्वतंत्र आकलनों का अंतर दोनों में से किसी भी एक से अधिक बदलता है।

शर्त	जाँच
यादृच्छिक	दो स्वतंत्र यादृच्छिक प्रतिदर्श (या यादृच्छिकीकृत प्रयोग के दो समूह)
10%	प्रत्येक प्रतिदर्श अपनी समष्टि का ≤ 10%
बड़ी गणना	248, 152, 255, 245: चारों ≥ 10

बताइए कि समूह 1 कौन है। क्रम चिह्न तय करता है: वयस्क घटा किशोर देने पर (-0.175, -0.045) मिलेगा।

6.9 · अंतर के बारे में दावे का औचित्य

क्या 0, p₁ − p₂ का संभावित मान है?

यदि 0 अंतराल के बाहर है, तो आँकड़े ठोस प्रमाण देते हैं कि दोनों अनुपात भिन्न हैं। यदि 0 अंतराल के भीतर है, तो नहीं देते।

संदर्भ में: “हमें 95% विश्वास है कि 0.045 से 0.175 तक का अंतराल उन लोगों के अनुपातों के वास्तविक अंतर (किशोर घटा वयस्क) को समेटता है जो मुख्यतः सोशल मीडिया से समाचार लेते हैं।”

हर मान 0 से ऊपर है, इसलिए ठोस प्रमाण है कि वयस्कों की तुलना में किशोरों का बड़ा अनुपात ऐसा करता है: 4.5 से 17.5 प्रतिशत अंकों के बीच के अंतर से।

एक छोटा अध्ययन। 100 किशोरों और 100 वयस्कों से वही p̂ (-0.027, 0.247) (नीला) देते हैं। 0 भीतर है: 0 का अंतर संभावित है, इसलिए ये आँकड़े अंतर का ठोस प्रमाण नहीं देते।

यह इसका प्रमाण नहीं कि कोई अंतर नहीं है: अंतराल 0.25 जितने बड़े अंतर की भी अनुमति देता है। बड़ा प्रतिदर्श इसे संकरा करता है।

पूरी तरह ऋणात्मक अंतराल p₁ < p₂ का प्रमाण होगा। जिस अंतराल में 0 हो, वह α = 1 − C पर द्विपक्षीय परीक्षण के अस्वीकार करने में विफल रहने जैसा ही निष्कर्ष है।

6.10 · द्विप्रतिदर्श परीक्षण तैयार करना

H₀: कोई अंतर नहीं, और संयोजित अनुपात

द्वि-प्रतिदर्श z परीक्षण पूछता है कि क्या दो प्रतिदर्श अनुपातों का अंतर संयोग से मिलने वाले अंतर से बड़ा है।

एक प्रयोग में 300 स्वयंसेवकों को यादृच्छिक रूप से बाँटा गया: 150 को टेक्स्ट अनुस्मारक मिला, 150 को नहीं। अनुस्मारक वाले समूह के 87 ने फ़्लू का टीका लगवाया (0.58) और बाकी में से 66 ने (0.44)।

\begin{aligned}H_0\!&: p_1 - p_2 = 0 \\ H_a\!&: p_1 - p_2 > 0\end{aligned}

जहाँ p₁ और p₂ उन लोगों के वास्तविक अनुपात हैं जो अनुस्मारक के साथ और उसके बिना फ़्लू का टीका लगवाएँगे।

संयोजन। H₀ कहती है कि दोनों अनुपात समान हैं, इसलिए परीक्षण दोनों समूहों को मिलाकर वह एक साझा मान आँकता है, यानी संयोजित (संयुक्त) अनुपात। आकृति में दोनों समूह मिल जाते हैं और टीके उनमें समान रूप से बँट जाते हैं:

\hat p_c = \frac{X_1 + X_2}{n_1 + n_2} = \frac{87 + 66}{150 + 150} = 0.510

शर्त	जाँच
यादृच्छिक	दोनों उपचारों में यादृच्छिक आबंटन
10%	आवश्यक नहीं: किसी समष्टि से प्रतिचयन नहीं
बड़ी गणना	p̂_c के साथ: 76.5, 73.5, 76.5, 73.5, सभी ≥ 10

6.11 · द्विप्रतिदर्श परीक्षण करना

z, p-मान और संदर्भ में निष्कर्ष

परीक्षण सांख्यिकी प्रेक्षित अंतर को मानक त्रुटियों में मापती है, जिसमें मानक त्रुटि p̂_c से निकाली जाती है।

\begin{aligned}\text{SE} &= \sqrt{\hat p_c(1-\hat p_c)\Big(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}\Big)} \\ &= \sqrt{(0.51)(0.49)\Big(\frac{1}{150} + \frac{1}{150}\Big)} \\ &= 0.0577\end{aligned}

\begin{aligned}z &= \frac{(\hat p_1 - \hat p_2) - 0}{\text{SE}} \\ &= \frac{0.58 - 0.44}{0.0577} = 2.43\end{aligned}

p-मान = P(Z ≥ 2.43) = 0.0076, यानी आकृति में लाल पुच्छ।

निष्कर्ष। “क्योंकि 0.0076 का p-मान α = 0.05 से कम है, हम H₀ को अस्वीकार करते हैं। हमारे पास पुख्ता प्रमाण है कि टेक्स्ट अनुस्मारक से इन स्वयंसेवकों जैसे लोगों में फ़्लू का टीका लगवाने वालों का अनुपात बढ़ता है।”

यादृच्छिक आबंटन से निष्कर्ष कारण के बारे में हो सकता है। स्वयंसेवक यादृच्छिक प्रतिदर्श नहीं थे, इसलिए यह केवल उन्हीं जैसे लोगों पर लागू होता है।

परीक्षण के लिए पूल कीजिए, क्योंकि H₀ कहता है कि p₁ = p₂। अंतराल के लिए पूल मत कीजिए, क्योंकि उसमें ऐसी कोई धारणा नहीं होती।

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