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Statistics · AP Statistics

माध्यों के लिए अनुमिति

अध्याय 7 · माध्यों के लिए अनुमिति

μ के लिए t प्रक्रियाएँ

प्रतिदर्श माध्य समष्टि माध्य का अच्छा अनुमान है, पर केवल अनुमान ही। माध्यों के लिए अनुमिति बताती है कि यह कितना अच्छा है, और इसके लिए केवल प्रतिदर्श का उपयोग करती है।

यह आकृति एक अनुकरण है, इसलिए इस बार सच पता है: एक समष्टि जिसका माध्य μ = 250 और मानक विचलन 5 है। बार-बार 10 का एक यादृच्छिक प्रतिदर्श लिया जाता है, और केवल हर प्रतिदर्श से एक अंतराल बनाया जाता है, x̄ ± t*·s/√n।

अंतराल अपने प्रतिदर्शों के साथ हिलते रहते हैं। इन 20 में से 19 μ को समेटते हैं; जो चूक जाता है वह लाल है। लंबे समय में उनमें से 95% इसे समेटते हैं, और “95% विश्वास” का यही अर्थ है।

इस अध्याय में: z नहीं, t क्यों (7.1); एक माध्य के लिए विश्वास अंतराल और सार्थकता परीक्षण (7.2–7.5), युग्मित आँकड़ों सहित; दो माध्यों के अंतर के लिए वही (7.6–7.9); और प्रक्रिया कैसे चुनें (7.10)।

7.1 · t बंटन

क्या मुझे त्रुटि की चिंता करनी चाहिए?

x̄ को मानकीकृत करने के लिए हमें σ चाहिए, जो हमें लगभग कभी ज्ञात नहीं होता। उसकी जगह प्रतिदर्श का s रखने पर ऐसा प्रतिदर्शज मिलता है जो z से अधिक बदलता है: इसका t बंटन होता है।

यादृच्छिक प्रतिदर्श के लिए x̄ का माध्य μ और मानक विचलन σ/√n होता है। σ की जगह s लेने पर x̄ की मानक त्रुटि s/√n होती है, और

t = \frac{\bar{x} - \mu}{s/\sqrt{n}}, \qquad df = n - 1

s भी एक प्रतिदर्श से दूसरे में बदलता है, और छोटे प्रतिदर्श में वह अक्सर बहुत छोटा आता है, इसलिए t, z की तुलना में 0 से दूर अधिक बार पड़ता है। t बंटन 0 पर केंद्रित, सममित और घंटाकार होता है, और मानक प्रसामान्य बंटन से इसकी पूँछें भारी होती हैं। इसका आकार इसकी स्वातंत्र्य कोटि तय करती है: जैसे-जैसे df बढ़ता है, s, σ को बेहतर ढंग से पकड़ता है और वक्र प्रसामान्य के पास पहुँचता है।

df	2	5	10	15	30	100	∞ (z)
95% के लिए t*	4.303	2.571	2.228	2.131	2.042	1.984	1.960

आकृति में: df = 4 के लिए P(|t| > 2) = 0.116 है, जबकि z के लिए 0.046। छोटे प्रतिदर्श के साथ z* = 1.96 लेने पर अंतराल बहुत संकरे आते हैं: वे μ को अपने दावे से कम बार पकड़ते हैं। t* इसे सुधारता है।

त्रुटि हमेशा संभव है। कोई अंतराल μ को चूक सकता है; कोई परीक्षण सत्य शून्य परिकल्पना को अस्वीकार कर सकता है (प्रथम प्रकार की त्रुटि) या असत्य को अस्वीकार करने में विफल हो सकता है (द्वितीय प्रकार)। ये विधियाँ बताती हैं कि ऐसा कितनी बार होता है, यह नहीं कि इस बार हुआ या नहीं।

7.2 · μ के लिए विश्वास अंतराल

प्रतिदर्शज ± (क्रांतिक मान)(मानक त्रुटि)

एक-प्रतिदर्श t अंतराल एक यादृच्छिक प्रतिदर्श से समष्टि माध्य μ का अनुमान लगाता है।

एक कॉफ़ी मशीन 250 mL डालने के लिए सेट है। 16 कपों का एक यादृच्छिक प्रतिदर्श (mL):

244.3	248.9	253.8	247.8	246.1	248.6	247.2	243.3
250.6	248.3	245.3	243.7	254.8	251.9	243.4	245.6

x̄ = 247.73 mL, s = 3.60 mL। df = 15 के साथ 95% विश्वास के लिए t* = 2.131।

\begin{aligned}\bar{x} \pm t^*\frac{s}{\sqrt{n}} &= 247.73 \pm 2.131\cdot\frac{3.60}{\sqrt{16}} \\ &= 247.73 \pm 1.92 \\ &= (245.81,\ 249.64)\ \text{mL}\end{aligned}

आकृति में नीली गेंद x̄ है, गहरी छड़ दोनों ओर एक मानक त्रुटि है, और लाल छड़ पूरा अंतराल है: दोनों ओर t* मानक त्रुटियाँ।

संदर्भ में व्याख्या कीजिए: हमें 95% विश्वास है कि 245.81 से 249.64 mL तक का अंतराल इस मशीन द्वारा डाले गए सभी कपों के वास्तविक माध्य आयतन को पकड़ता है।

त्रुटि सीमा, t*·s/√n, विश्वास स्तर के साथ बढ़ती है (90%: ±1.58; 99%: ±2.65) और n बढ़ने पर 1/√n की तरह घटती है: चार गुना प्रतिदर्श, आधी त्रुटि सीमा।

7.2 · शर्तों की जाँच

यादृच्छिक, 10%, और प्रसामान्य या बड़ा प्रतिदर्श

t अंतराल या परीक्षण तभी भरोसेमंद होता है जब तीन शर्तें पूरी हों। गणना से पहले हर शर्त को संदर्भ में लिखिए।

यादृच्छिक। आँकड़े यादृच्छिक प्रतिदर्श या यादृच्छिकीकृत प्रयोग से आए हों।

10%। प्रतिस्थापन के बिना प्रतिचयन करते समय n ≤ समष्टि का 10% हो, ताकि प्रेक्षण लगभग स्वतंत्र रहें।

प्रसामान्य/बड़ा प्रतिदर्श। समष्टि लगभग प्रसामान्य हो, या n ≥ 30 हो। यदि n < 30 है और समष्टि का आकार अज्ञात है, तो प्रतिदर्श का आलेख बनाइए: उसमें प्रबल skew और बाह्यक नहीं होने चाहिए।

आकृति में एक ही पैमाने पर तीन प्रतिदर्श हैं।

	n	प्रतिदर्श	प्रसामान्य/बड़ा?
A	12	लगभग सममित, कोई बाह्यक नहीं	हाँ
B	12	दाईं ओर प्रबल रूप से skewed, 1 बाह्यक	नहीं
C	40	दाईं ओर skewed	हाँ, n ≥ 30

B में Q₁ = 2.40 और Q₃ = 6.15 है, इसलिए 6.15 + 1.5(3.75) = 11.78 से ऊपर का कोई भी मान बाह्यक है: 13.7 बाह्यक है। केवल 12 मानों के साथ x̄ और s उससे खिंच जाते हैं, और t प्रक्रिया सुरक्षित नहीं है। C भी skewed है, पर 40 मानों के साथ केंद्रीय सीमा प्रमेय के कारण x̄ का प्रतिचयन बंटन प्रसामान्य के निकट होता है।

कॉफ़ी कपों के लिए 16 < 30 है, पर उनके बिंदु-आलेख में प्रबल skew या बाह्यक नहीं दिखते, इसलिए 7.2 का अंतराल मान्य रहता है।

7.3 · अंतराल से किसी दावे का औचित्य

μ के संभावित मान

विश्वास अंतराल μ के संभावित मान देता है। अंतराल के बाहर का दावा किया गया मान संभावित नहीं है; भीतर का मान संभावित है, पर सिद्ध नहीं।

मशीन बनाने वाले का दावा है कि वह औसतन 250 mL डालती है। 95% अंतराल, 245.81 से 249.64 mL, में 250 (नीली रेखा) नहीं आता। सभी संभावित मान उससे नीचे हैं: अंतराल इस बात का विश्वसनीय प्रमाण देता है कि मशीन औसतन 250 mL से कम डालती है।

99% विश्वास पर अंतराल 245.07 से 250.38 mL है। इसमें 250 आता है, इसलिए इस स्तर पर दावा संभावित है। अधिक विश्वास का अर्थ है चौड़ा अंतराल, और कम मान अस्वीकृत।

“95% विश्वास” का अर्थ। यह विधि सभी संभावित यादृच्छिक प्रतिदर्शों में से 95% में μ को पकड़ती है, जैसा आरंभिक आकृति में है। यह एक अंतराल या तो μ को पकड़ता है या नहीं; हमें नहीं पता कि कौन-सा।

सामान्य गलतियाँ।

“इस बात की 95% प्रायिकता है कि μ 245.81 और 249.64 के बीच है।” नहीं: μ निश्चित है; प्रायिकता विधि की है।
“95% कपों में 245.81 से 249.64 mL तक भरा होता है।” नहीं: अंतराल माध्य के लिए है, अलग-अलग कपों के लिए नहीं, जो कहीं अधिक बदलते हैं।
“250 99% अंतराल में है, इसलिए माध्य 250 है।” नहीं: यह अनेक संभावित मानों में से केवल एक है।

7.4 · μ के लिए परीक्षण तैयार करना

जनसंख्या माध्य के बारे में परिकल्पनाएँ

एक-प्रतिदर्श t परीक्षण पूछता है कि क्या प्रतिदर्श समष्टि माध्य के दावा किए गए मान μ₀ के विरुद्ध विश्वसनीय प्रमाण देता है।

एक गुणवत्ता निरीक्षक जाँचता है कि क्या मशीन लक्ष्य से किसी भी दिशा में भटकी हुई है:

H_0\!: \mu = 250 \qquad H_a\!: \mu \ne 250

जहाँ μ मशीन द्वारा डाले गए सभी कपों का वास्तविक माध्य आयतन है, mL में। परिकल्पनाएँ प्राचल μ के बारे में होती हैं, x̄ के बारे में कभी नहीं, और वे आँकड़े देखने से पहले चुनी जाती हैं। यदि केवल कम भरना मायने रखता, तो H_a: μ < 250 एकपक्षीय होती।

सार्थकता स्तर, α = 0.05, भी पहले से चुना जाता है: यह प्रथम प्रकार की त्रुटि की प्रायिकता है, यानी H₀ सत्य होने पर उसे अस्वीकार करना।

शर्तें वही हैं जो अंतराल के लिए थीं: यादृच्छिक प्रतिदर्श; 16 कप, डाले गए सभी कपों के 10% से कम; प्रतिदर्श में प्रबल skew या बाह्यक नहीं, क्योंकि 16 < 30।

परीक्षण जिस प्रश्न का उत्तर देता है: प्रतिदर्श माध्य, 247.73 mL (नीला), 250 से नीचे है। क्या वह मानक त्रुटियों में गिनने पर इतना नीचे है कि केवल संयोग उसकी असंभावित व्याख्या हो?

7.5 · μ के लिए परीक्षण करना

t प्रतिदर्शज और उसका p-मान

परीक्षण प्रतिदर्शज गिनता है कि x̄, μ₀ से कितनी मानक त्रुटियों की दूरी पर है। p-मान वह प्रायिकता है कि H₀ सत्य होने पर कम से कम इतना चरम परिणाम मिले।

\begin{aligned}t &= \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}} = \frac{247.73 - 250}{3.60/\sqrt{16}} \\ &= -2.53, \quad df = 15\end{aligned}

H_a: μ ≠ 250 के लिए दोनों पूँछें गिनी जाती हैं (लाल): p-मान = 2P(t ≤ −2.53) = 0.023।

संदर्भ में निष्कर्ष लिखिए। क्योंकि 0.023 < α = 0.05 है, हम H₀ को अस्वीकार करते हैं। इस बात का विश्वसनीय प्रमाण है कि इस मशीन द्वारा डाले गए सभी कपों का वास्तविक माध्य आयतन 250 mL नहीं है।

p-मान की व्याख्या कीजिए: यह मानने पर कि वास्तविक माध्य 250 mL है, 16 कपों के यादृच्छिक प्रतिदर्श में केवल संयोग से किसी भी दिशा में 250 से कम से कम उतनी दूर, यानी 247.73 mL जितना, प्रतिदर्श माध्य मिलने की प्रायिकता 0.023 है।

परीक्षण 7.3 के 95% अंतराल से मेल खाता है, जिसने 250 को बाहर रखा था: α = 0.05 पर दो-पक्षीय परीक्षण ठीक उन्हीं मानों को अस्वीकार करता है जिन्हें 95% अंतराल बाहर छोड़ता है। α = 0.01 पर हम अस्वीकार नहीं करते, क्योंकि 250 99% अंतराल में आता है।

अस्वीकार न कर पाना कभी यह सिद्ध नहीं करता कि H₀ सत्य है; यह केवल कहता है कि प्रमाण विश्वसनीय नहीं है।

7.5 · युग्मित आँकड़े

अंतरों का एक प्रतिदर्श

जब हर व्यक्ति को दो बार मापा जाए, या व्यक्ति मिलान किए गए युग्मों में हों, तो अंतरों का विश्लेषण कीजिए: वे एक ही प्रतिदर्श होते हैं, और उन पर एक-प्रतिदर्श t प्रक्रियाएँ लागू होती हैं।

12 यादृच्छिक रूप से चुने गए विद्यार्थी एक छोटे पाठ्यक्रम से पहले और बाद में पढ़ने की गति का परीक्षण (शब्द प्रति मिनट) देते हैं। आकृति में हर विद्यार्थी एक छड़ है जो पहले (धूसर) को बाद (काला) से जोड़ती है। छड़ें खिसककर 0 से शुरू होती हैं, और उनकी लंबाइयाँ अंतर d = बाद − पहले हैं:

पहले	208	135	209	170	169	245	195	160	230	207	212	195
बाद	213	133	229	183	177	260	203	171	226	231	223	205
d	5	−2	20	13	8	15	8	11	−4	24	11	10

x̄_d = 9.92, s_d = 8.01। H₀: μ_d = 0 का परीक्षण H_a: μ_d > 0 के विरुद्ध कीजिए, जहाँ μ_d ऐसे विद्यार्थियों का वास्तविक माध्य सुधार है।

\begin{aligned}t &= \frac{\bar{x}_d - 0}{s_d/\sqrt{n}} = \frac{9.92}{8.01/\sqrt{12}} \\ &= 4.29, \quad df = 11\end{aligned}

p-मान = 0.0006: इस बात के पुख्ता साक्ष्य हैं कि पाठ्यक्रम माध्य पढ़ने की गति बढ़ाता है। μ_d का 95% अंतराल 4.83 से 15.00 शब्द प्रति मिनट है (लाल)।

शर्तों की जाँच अंतरों पर की जाती है: यादृच्छिक प्रतिदर्श, 12 < ऐसे सभी विद्यार्थियों का 10%, और चूँकि 12 < 30, अंतरों का बिंदु-आलेख जिसमें कोई तीव्र विषमता या बाह्य मान न हो।

7.6 · μ₁ − μ₂ के लिए विश्वास अंतराल

दो स्वतंत्र प्रतिदर्श

दो समष्टियों (या दो उपचारों) के माध्यों की तुलना के लिए μ₁ − μ₂ का द्वि-प्रतिदर्श t अंतराल इस्तेमाल कीजिए।

एक समीक्षक एक ही टॉर्च में दो ब्रांड की बैटरियों के यादृच्छिक प्रतिदर्शों का परीक्षण करता है (रोशनी के घंटे):

	n	x̄ (h)	s (h)
ब्रांड A	14	11.94	1.27
ब्रांड B	12	10.68	1.07

\begin{aligned}SE &= \sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}} \\ &= \sqrt{\frac{1.27^2}{14} + \frac{1.07^2}{12}} = 0.460 \\[4pt] &(\bar{x}_1 - \bar{x}_2) \pm t^*\,SE \\ &= 1.26 \pm 2.064(0.460) \\ &= (0.31,\ 2.21)\ \text{h}\end{aligned}

स्वातंत्र्य कोटि। प्रौद्योगिकी एक सूत्र इस्तेमाल करती है जो यहाँ df = 24.0 देता है, इसलिए t* = 2.064। उसके बिना, रूढ़िवादी विकल्प छोटा n − 1 = 11 है, t* = 2.201: थोड़ा चौड़ा अंतराल, (0.25, 2.27)। बताइए कि आपने कौन-सा इस्तेमाल किया।

शर्तें: दो स्वतंत्र यादृच्छिक प्रतिदर्श (या यादृच्छिक नियतन से बने दो समूह); प्रत्येक n ≤ अपनी समष्टि का 10%; प्रत्येक n ≥ 30, या किसी भी प्रतिदर्श में तीव्र विषमता या बाह्य मान न हों।

व्याख्या: हमें 95% विश्वास है कि 0.31 से 2.21 घंटे का अंतराल बैटरी जीवन के माध्यों के वास्तविक अंतर को समेटता है, ब्रांड A घटा ब्रांड B।

7.7 · μ₁ − μ₂ के बारे में दावे का औचित्य

0 कहाँ पड़ता है?

माध्यों के अंतर के लिए देखने योग्य मान प्रायः 0 होता है: कोई अंतर नहीं। यदि 0 अंतराल के बाहर है, तो अंतराल अंतर के पुख्ता साक्ष्य देता है।

दावा 1: ब्रांड A औसतन अधिक चलता है। 0.31 से 2.21 घंटे का हर मान धनात्मक है, इसलिए 0 संभावित नहीं है: इस बात के पुख्ता साक्ष्य हैं कि μ_A − μ_B > 0, यानी ब्रांड A औसतन अधिक चलता है।

दावा 2: ब्रांड A औसतन कम से कम 2 घंटे अधिक चलता है। 2 अंतराल के भीतर है, इसलिए संभावित है, पर उससे काफ़ी नीचे के मान भी हैं, 0.31 तक। अंतराल इस दावे के पक्ष (या विपक्ष) में पुख्ता साक्ष्य नहीं देता।

चिह्न को घटाने के क्रम के साथ पढ़िए। A − B का 0.31 से 2.21 होना वही कथन है जो B − A का −2.21 से −0.31 होना।

निष्कर्ष प्रतिचयित समष्टियों के माध्यों के बारे में है। यदि आँकड़े यादृच्छिक प्रयोग से आए होते, तो यह कारण और प्रभाव के बारे में भी होता; यादृच्छिक प्रतिदर्शों से नहीं।

7.8 · μ₁ − μ₂ के लिए परीक्षण तैयार करना

युग्मित या द्वि-प्रतिदर्श?

पहले तय कीजिए कि आँकड़े कैसे बने। प्रत्येक व्यक्ति के दो माप, या मिलान किए गए युग्म, अंतरों पर युग्मित t परीक्षण माँगते हैं; दो स्वतंत्र समूह द्वि-प्रतिदर्श t परीक्षण माँगते हैं।

दो स्वतंत्र समूहों के लिए:

\begin{aligned}&H_0\!: \mu_1 - \mu_2 = 0 \\ &H_a\!: \mu_1 - \mu_2 > 0,\ < 0 \text{ or } \ne 0\end{aligned}

संदर्भ में μ₁ और μ₂ को परिभाषित कीजिए और बताइए कि किसमें से किसे घटाया गया है। युग्मों के लिए प्राचल एकल माध्य अंतर μ_d है।

यह क्यों मायने रखता है। 7.5 की पढ़ने की गतियाँ, जिन्हें गलती से दो स्वतंत्र प्रतिदर्श मान लिया गया:

	SE	t	p-मान
युग्मित (सही)	2.31	4.29	0.0006
द्वि-प्रतिदर्श (गलत)	13.30	0.75	0.232

वही माध्य, वही अंतर 9.92। लेकिन विद्यार्थी एक-दूसरे से कहीं अधिक भिन्न हैं (s ≈ 31 शब्द प्रति मिनट) बनिस्बत इसके कि कोई एक विद्यार्थी कितना बदलता है (s_d = 8.01)। द्वि-प्रतिदर्श विश्लेषण विद्यार्थियों के बीच के इस सारे फैलाव को शोर गिनता है; युग्मन उसे हटा देता है। आकृति में नीला अंतराल गलत विश्लेषण है, लाल सही।

द्वि-प्रतिदर्श प्रक्रिया में समूहों का स्वतंत्र होना भी ज़रूरी है, और एक विद्यार्थी के पहले और बाद के अंक स्वतंत्र नहीं होते।

7.9 · μ₁ − μ₂ के लिए परीक्षण करना

द्वि-प्रतिदर्श t परीक्षण

परीक्षण सांख्यिकी प्रतिदर्श माध्यों का अंतर है, उसमें से H₀ के अंतर्गत उसका मान घटाकर, मानक त्रुटियों में गिना हुआ।

7.6 के समीक्षक ने पहले ही पूछा था कि क्या ब्रांड A अधिक चलता है। H₀: μ_A − μ_B = 0, H_a: μ_A − μ_B > 0, जहाँ प्रत्येक μ इस टॉर्च में उस ब्रांड का वास्तविक माध्य जीवन है, α = 0.05 पर।

\begin{aligned}t &= \frac{(\bar{x}_A - \bar{x}_B) - 0}{\sqrt{\dfrac{s_A^2}{n_A} + \dfrac{s_B^2}{n_B}}} \\ &= \frac{11.94 - 10.68}{0.460} = 2.74\end{aligned}

df = 24.0 (प्रौद्योगिकी) के साथ, p-मान P(t ≥ 2.74) = 0.0057 है, यानी लाल पुच्छ (कोने में बड़ा किया हुआ); रूढ़िवादी df = 11 के साथ यह 0.0096 है। दोनों में यह 0.05 से कम है।

निष्कर्ष: H₀ को अस्वीकार कीजिए। इस बात के पुख्ता साक्ष्य हैं कि इस टॉर्च में ब्रांड A की बैटरियाँ औसतन ब्रांड B से अधिक चलती हैं।

दोनों मानक विचलनों को पूल मत कीजिए: AP पाठ्यक्रम ऊपर दी गई अपूलित मानक त्रुटि इस्तेमाल करता है। और दो एक-प्रतिदर्श परीक्षण चलाकर उनकी तुलना भी मत कीजिए: प्रश्न अंतर के बारे में है, इसलिए प्रक्रिया भी वैसी ही होनी चाहिए।

7.10 · प्रक्रिया चुनना

चयन, निष्पादन और संप्रेषण

अधिकांश काम चुनाव में है। क्रम से पूछिए: किस प्रकार का प्राचल, कितने प्रतिदर्श, और आकलन या परीक्षण?

माध्य या अनुपात? मात्रात्मक आँकड़े (प्रत्येक व्यक्ति का एक माप) माध्य μ और t तक ले जाते हैं। श्रेणीगत आँकड़े (हाँ या नहीं) अनुपात p और z तक ले जाते हैं (अध्याय 6)। माध्य में t इसलिए आता है क्योंकि σ का आकलन s से किया जाता है।

एक प्रतिदर्श, युग्मित, या दो प्रतिदर्श? युग्मित आँकड़े अंतरों का एक प्रतिदर्श होते हैं। दो स्वतंत्र प्रतिदर्श, या दो उपचार समूह, द्वि-प्रतिदर्श प्रक्रियाएँ इस्तेमाल करते हैं।

अंतराल या परीक्षण? “आकलन कीजिए” या “कितना” अंतराल माँगता है; “क्या पुख्ता साक्ष्य है” परीक्षण माँगता है।

प्रक्रिया	मानक त्रुटि	df
एक-प्रतिदर्श t	s/√n	n − 1
युग्मित t	s_d/√n	n − 1 (युग्म)
द्वि-प्रतिदर्श t	√(s₁²/n₁ + s₂²/n₂)	प्रौद्योगिकी, या छोटा n − 1

फिर संप्रेषण कीजिए, चार चरणों में: बताइए प्राचल और परिकल्पनाएँ (या विश्वास स्तर) संदर्भ में; योजना: प्रक्रिया का नाम लिखिए और यादृच्छिक, 10% तथा प्रसामान्य/बड़े प्रतिदर्श की जाँच कीजिए; कीजिए: सांख्यिकी, df और p-मान या अंतराल; निष्कर्ष संदर्भ में, α से जोड़कर, डिज़ाइन जितना अनुमति देता है उससे अधिक दावा किए बिना।

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