Statistics · AP Statistics
काई-वर्ग परीक्षण
प्रत्याशाओं के सामने गणनाएँ
काई-वर्ग परीक्षण यह पूछता है कि श्रेणियों में गिनतियाँ किसी परिकल्पना के अनुमान से इतनी दूर तो नहीं कि उसका कारण केवल संयोग माना जा सके।
एक कैंडी निर्माता का दावा है कि उसके पैकेट 24% blue, 20% orange, 16% green, 14% yellow, 13% red, 13% brown हैं। 200 का एक पैकेट गिना जाता है (काली पट्टियाँ)। यदि दावा सही है, तो पैकेट में लगभग 200 × 0.24 = 48 नीली कैंडी होनी चाहिए, और इसी तरह आगे (नीली छायाएँ)।
कोई पैकेट ठीक-ठीक मेल नहीं खाता। लाल छड़ें अंतर हैं: प्रेक्षित − प्रत्याशित। प्रत्येक अंतर का वर्ग करके उसे उसकी प्रत्याशित गिनती से भाग दिया जाता है, और ये टुकड़े मिलकर एक संख्या बनाते हैं, काई-वर्ग प्रतिदर्शज, χ² = 12.11।
छोटा χ² यानी गिनतियाँ दावे के पास हैं; बड़ा χ² यानी नहीं हैं। यह अध्याय पूछता है कि कितना बड़ा χ² बहुत बड़ा है: एक चर के लिए दावा किए गए बंटन के विरुद्ध (अनुरूपता की सुसंगति), और द्वि-मार्गी सारणियों के लिए (समांगता और स्वतंत्रता)।
केवल संयोग से क्या मिलेगा
यादृच्छिक प्रतिदर्श बदलते रहते हैं। किसी परिणाम को परखने के लिए उसकी तुलना उन परिणामों से कीजिए जो दावा सही होने पर केवल संयोग से मिलते हैं।
आकृति दावा किए गए मिश्रण से ही यादृच्छिक रूप से 200 के 300 पैकेट भरती है। प्रत्येक अनुकरणित पैकेट (बाएँ) प्रत्याशित गिनतियों से थोड़ा भिन्न होता है, और उसका χ² बिंदु आलेख में एक बिंदु बनकर आता है।
दावा सही होने पर भी χ² कभी 0 नहीं होता, और आमतौर पर कुछ इकाइयों का होता है। इन 300 मानों का औसत 4.99 है। 300 में से केवल 10 (लाल) असली पैकेट के 12.11 तक पहुँचते हैं: अनुपात 0.033।
यही हर परीक्षण का तर्क है: यदि दावा सही होता, तो हमें कम से कम इतना चरम परिणाम कितनी बार मिलता? यदि कभी-कभार, तो परिणाम दावे के विरुद्ध सांख्यिकीय रूप से सार्थक साक्ष्य है। यदि अक्सर, तो आँकड़े संदेह का कोई कारण नहीं देते, पर यह दावे के सही होने का प्रमाण नहीं है।
धूसर वक्र वह χ² बंटन है जिसकी ओर बिंदु जमा होते हैं। इससे हम अनुकरण के बिना प्रायिकता निकाल सकते हैं (8.3)।
परिकल्पनाएँ, प्रत्याशित गणनाएँ, शर्तें
अनुरूपता की सुसंगति के लिए काई-वर्ग परीक्षण यह जाँचता है कि एक श्रेणीबद्ध चर का बंटन दावा किए गए बंटन से मेल खाता है या नहीं।
परिकल्पनाएँ समष्टि के अनुपातों के बारे में होती हैं, प्रतिदर्श की गिनतियों के बारे में कभी नहीं:
H0: pनीला = 0.24, pनारंगी = 0.2, … , pभूरा = 0.13 (दावा किया गया बंटन सही है)।
Ha: कम से कम एक अनुपात दावे से भिन्न है।
Ha का अर्थ “सभी भिन्न हैं” नहीं है, और यह कोई दिशा नहीं बताती।
प्रत्याशित गिनतियाँ n × pi होती हैं, जो H0 से निकाली जाती हैं:
| रंग | blue | orange | green | yellow | red | brown |
|---|
| दावा किया गया p | 0.24 | 0.2 | 0.16 | 0.14 | 0.13 | 0.13 |
|---|
| प्रत्याशित | 48 | 40 | 32 | 28 | 26 | 26 |
|---|
इनका योग n = 200 होता है, और ये पूर्ण संख्याएँ होना ज़रूरी नहीं: इन्हें पूर्णांकित न कीजिए।
शर्तें। यादृच्छिक: यादृच्छिक प्रतिदर्श (या यादृच्छिकीकृत प्रयोग)। 10%: प्रतिस्थापन के बिना प्रतिचयन में n ≤ समष्टि का 10% (200 कैंडी निर्माता की कुल कैंडी के 10% से बहुत कम हैं)। बड़ी गिनतियाँ: हर प्रत्याशित गिनती कम से कम 5 हो; यहाँ सबसे छोटी 26 है। प्रत्याशित गिनतियाँ जाँचिए, प्रेक्षित नहीं।
अंतर के वर्ग, प्रत्याशित गिनती के अनुसार पैमाने पर
χ² प्रतिदर्शज हर श्रेणी के लिए प्रेक्षित और प्रत्याशित के अंतर का वर्ग, प्रत्याशित गिनती से भाग देकर, जोड़ता है।
| रंग | O | E | O − E | (O − E)²/E |
|---|
| blue | 34 | 48 | −14 | 4.08 |
| orange | 48 | 40 | +8 | 1.60 |
| green | 41 | 32 | +9 | 2.53 |
| yellow | 19 | 28 | −9 | 2.89 |
| red | 27 | 26 | +1 | 0.04 |
| brown | 31 | 26 | +5 | 0.96 |
| कुल | 200 | 200 | 0 | 12.11 |
|---|
अंतरों का योग हमेशा 0 होता है, इसलिए उन्हें जैसे हैं वैसे नहीं जोड़ा जा सकता: वर्ग करने से हर अंतर गिना जाता है। E से भाग देने पर जहाँ कम की अपेक्षा थी वहाँ अंतर अधिक महत्व पाता है: 20 प्रत्याशित में से 10 का चूकना 200 में से 10 के चूकने से अधिक मायने रखता है।
स्वातंत्र्य कोटि श्रेणियों की संख्या में से एक घटाने पर मिलती है: df = 6 − 1 = 5। पाँच गिनतियाँ ज्ञात होने पर छठी कुल से तय हो जाती है।
सबसे बड़ा योगदान बताता है कि आँकड़े और दावा सबसे अधिक कहाँ असहमत हैं: blue, 12.11 में से 4.08, जिसमें 34 प्रेक्षित बनाम 48 प्रत्याशित हैं: दावे से कम blue कैंडी।
पुच्छ में कितनी दूर
p-मान परीक्षण की df वाले χ² वक्र के नीचे प्रेक्षित χ² पर और उसके आगे का क्षेत्रफल है: बड़े मान H0 के विरुद्ध साक्ष्य हैं, इसलिए परीक्षण हमेशा दायीं पुच्छ देखता है।
8.1 के अनुकरण ने 0.033 दिया, जो लगभग यही उत्तर है।
व्याख्या। निर्माता का दावा किया गया बंटन सही मानने पर, 200 कैंडी के यादृच्छिक प्रतिदर्श में केवल संयोग से 12.11 या उससे बड़ा χ² मिलने की प्रायिकता 0.033 है।
निष्कर्ष। चूँकि p = 0.033 < α = 0.05, H0 अस्वीकार कीजिए। इस बात के विश्वसनीय साक्ष्य हैं कि इस निर्माता की कैंडी का रंग-बंटन दावे से भिन्न है।
प्रौद्योगिकी की जगह सारणी से: df = 5 और पुच्छ 0.05 के लिए क्रांतिक मान χ²* = 11.07 है (नीला)। 12.11 > 11.07, इसलिए p < 0.05।
यदि p α से ऊपर होता, तो निष्कर्ष होता “बंटन भिन्न होने के विश्वसनीय साक्ष्य नहीं हैं”: कभी “दावा सही है” नहीं, और कभी “H0 स्वीकार” नहीं। χ² परीक्षण यह भी नहीं बता सकता कि बंटन किस ओर भटका है; इसके लिए सबसे बड़े योगदान देखिए।
एक परिवार, प्रत्येक df के लिए एक
χ² बंटन घनत्व वक्रों का एक परिवार है, प्रत्येक स्वातंत्र्य कोटि के लिए एक।
प्रत्येक केवल 0 या उससे अधिक मान लेता है, क्योंकि χ² वर्गों का योग है। प्रत्येक दायीं ओर विषम है। इसका माध्य df है, और df ≥ 2 के लिए इसका शिखर df − 2 पर है।
df बढ़ने पर वक्र दायीं ओर खिसकता है, फैलता है और कम विषम होता है (लाल वक्र df = 1 से 12 तक चलता है)। अधिक श्रेणियाँ यानी योग में अधिक टुकड़े, इसलिए H0 सही होने पर भी बड़े χ² की अपेक्षा होती है।
इसलिए वही χ² एक df पर मज़बूत साक्ष्य और दूसरे पर बिल्कुल नहीं हो सकता। ऊपरी क्रांतिक मान:
| df | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 10 |
|---|
| पुच्छ 0.05 | 3.84 | 5.99 | 7.81 | 9.49 | 11.07 | 18.31 |
|---|
| पुच्छ 0.01 | 6.63 | 9.21 | 11.34 | 13.28 | 15.09 | 23.21 |
|---|
मोटी जाँच: अपनी df के आसपास का χ² सामान्य है। कैंडी का 12.11 उसकी df 5 के दोगुने से अधिक है।
χ² बंटन प्रतिदर्शज के वास्तविक प्रतिचयन बंटन का केवल एक सन्निकटन है। यह तब अच्छा है जब हर प्रत्याशित गिनती कम से कम 5 हो: इसीलिए यह शर्त मायने रखती है।
सीमांतों से
द्वि-मार्गी सारणी में प्रत्येक प्रत्याशित गिनती पंक्ति के कुल गुणा स्तंभ के कुल को सारणी के कुल से भाग देने पर मिलती है।
400 वयस्कों का एक यादृच्छिक प्रतिदर्श, प्रत्येक को आयु वर्ग और मुख्य समाचार स्रोत के अनुसार वर्गीकृत किया गया। प्रेक्षित गिनतियाँ, कोष्ठक में प्रत्याशित गिनतियों के साथ:
| online | TV | print | कुल |
|---|
| 18–34 | 64 (48.2) | 46 (49.6) | 24 (36.2) | 134 |
|---|
| 35–54 | 43 (47.5) | 48 (48.8) | 41 (35.6) | 132 |
|---|
| 55+ | 37 (48.2) | 54 (49.6) | 43 (36.2) | 134 |
|---|
| कुल | 144 | 148 | 108 | 400 |
|---|
यह क्यों काम करता है। कुल मिलाकर 400 वयस्कों में से 144 (36%) अपनी खबरें online से पाते हैं। यदि आयु वर्ग से कोई फ़र्क न पड़ता, तो 18–34 आयु के 134 वयस्कों में भी यही हिस्सा होता: 134 × 144/400 = 48.24।
प्रत्याशित गिनतियों के सीमांत वही होते हैं जो प्रेक्षित के। आकृति एक-एक खाने का हिसाब लगाती है: लाल ढक्कन प्रत्याशित गिनती है, नीली टाइलें वे दो कुल हैं जिनसे वह बनती है।
दशमलव रखिए। प्रत्याशित गिनतियाँ अनेक प्रतिदर्शों का औसत हैं, ऐसी गिनतियाँ नहीं जो प्रेक्षित की जा सकें।
अभिकल्पना तय करती है
एक ही द्वि-मार्गी सारणी दो अलग अभिकल्पों से आ सकती है, और अभिकल्प तय करता है कि कौन-सा परीक्षण करना है।
समरूपता (बाएँ): कई समष्टियों (या किसी प्रयोग के समूहों) से अलग-अलग यादृच्छिक प्रतिदर्श, जिनमें एक श्रेणीबद्ध चर दर्ज किया जाता है। यहाँ हर आयु-वर्ग से एक प्रतिदर्श लिया गया, और हर व्यक्ति से उसका समाचार स्रोत पूछा गया। पंक्ति-योग अभिकल्प द्वारा चुने गए थे।
H0: तीनों आयु-वर्गों के लिए समाचार स्रोत का बंटन समान है। Ha: तीनों के लिए समाचार स्रोत का बंटन समान नहीं है।
स्वतंत्रता (दाएँ): एक समष्टि से एक यादृच्छिक प्रतिदर्श, जिसमें हर व्यक्ति के लिए दो श्रेणीबद्ध चर दर्ज किए जाते हैं। केवल सारणी का कुल निश्चित था; हर आयु-वर्ग में कितने आएँगे, यह संयोग पर निर्भर है।
H0: वयस्कों में आयु-वर्ग और समाचार स्रोत के बीच कोई साहचर्य नहीं है (वे स्वतंत्र हैं)। Ha: साहचर्य है (वे स्वतंत्र नहीं हैं)।
| समरूपता | स्वतंत्रता |
|---|
| प्रतिदर्श | प्रत्येक समष्टि या समूह से एक | एक |
| चर | एक | दो |
| प्रश्न | क्या प्रत्येक में बंटन समान है? | क्या साहचर्य है? |
गणना समान है: प्रत्याशित गणना, χ², df और p-मान। दोनों के लिए शर्तें: यादृच्छिक प्रतिदर्श (या यादृच्छिक आबंटन); प्रत्येक प्रतिदर्श अपनी समष्टि का अधिकतम 10%; हर प्रत्याशित गणना कम से कम 5।
χ² और df = (r − 1)(c − 1)
द्वि-मार्गी सारणी के लिए, χ² हर कक्ष पर (O − E)²/E जोड़ता है, और df = (पंक्तियाँ − 1)(स्तंभ − 1)।
समाचार-स्रोत वाला प्रतिदर्श दो चरों वाला एक प्रतिदर्श है: α = 0.05 पर स्वतंत्रता का परीक्षण।
H0: वयस्कों में आयु-वर्ग और मुख्य समाचार स्रोत स्वतंत्र हैं। Ha: वे सहसंबद्ध हैं।
शर्तें। यादृच्छिक प्रतिदर्श; 400 सभी वयस्कों के 10% से कम है; सबसे छोटी प्रत्याशित गणना 35.6 है, जो कम से कम 5 है।
प्रत्येक कक्ष का योगदान (लाल स्तंभ):
| online | TV | print |
|---|
| 18–34 | 5.15 | 0.26 | 4.10 |
|---|
| 35–54 | 0.43 | 0.01 | 0.81 |
|---|
| 55+ | 2.62 | 0.39 | 1.29 |
|---|
(r − 1)(c − 1) क्यों: सीमांत योग निश्चित हों तो सारणी का 2 × 2 कोना भरते ही बाकी हर कक्ष योगों से निकल आता है।
सबसे बड़े योगदान: 18–34, online (5.15: 64 प्रेक्षित, 48.2 प्रत्याशित) और 18–34, print (4.10: 24 प्रेक्षित, 36.2 प्रत्याशित)। युवा वयस्क ऑनलाइन की ओर झुकते हैं और प्रिंट से दूर रहते हैं।
साहचर्य का प्रमाण, कारण का नहीं
p-मान χ² के आगे का वह क्षेत्रफल है जो df = (r − 1)(c − 1) वाले वक्र के नीचे आता है, और निष्कर्ष संदर्भ में समष्टियों के बारे में होता है।
निष्कर्ष। चूँकि p = 0.0046 < α = 0.05, H0 अस्वीकृत होती है। वयस्कों में आयु-वर्ग और मुख्य समाचार स्रोत के बीच साहचर्य का ठोस प्रमाण है।
क्रांतिक मान से: df = 4 के लिए χ²* = 9.49, और 15.06 > 9.49।
कारण नहीं। यह एक प्रेक्षणात्मक अध्ययन है: परीक्षण साहचर्य पाता है, और यह नहीं बताता कि आयु समाचार स्रोत के चुनाव का कारण है। केवल यादृच्छिक प्रयोग, जिसे उपचार समूहों में समरूपता के लिए परखा जाए, कारण दिखा सकता है।
यदि वही गणनाएँ तीन अलग प्रतिदर्शों से आई होतीं, तो निष्कर्ष यह होता: इस बात का ठोस प्रमाण कि तीनों आयु-वर्गों में समाचार स्रोत का बंटन भिन्न है।
आम गलतियाँ। परिकल्पनाएँ प्रतिदर्श के बारे में लिखना; गणना की जगह प्रतिशत का उपयोग; प्रत्याशित की जगह प्रेक्षित गणना जाँचना; df = rc − 1; p बड़ा होने पर H0 को सत्य मान लेना।
अनुपातों के लिए z, या χ²
श्रेणीबद्ध आँकड़ों के लिए चुनाव इस पर निर्भर है कि कितने प्रतिदर्श हैं, कितने चर हैं और कितनी श्रेणियाँ हैं।
| आँकड़े | प्रक्रिया |
|---|
| एक प्रतिदर्श, दो श्रेणियों वाला चर, p के बारे में दावा | p के लिए एक-प्रतिदर्श z परीक्षण (या अंतराल) |
| दो प्रतिदर्श या समूह, दो श्रेणियों वाला चर | p1 − p2 के लिए द्वि-प्रतिदर्श z |
| एक प्रतिदर्श, कई श्रेणियों वाला एक चर, एक दावे के विरुद्ध | χ² समंजन-उत्कृष्टता परीक्षण, df = k − 1 |
| कई प्रतिदर्श या समूह, एक चर | χ² समरूपता, df = (r − 1)(c − 1) |
| एक प्रतिदर्श, दो चर | χ² स्वतंत्रता, df = (r − 1)(c − 1) |
z प्रक्रियाएँ आकलन करती हैं: वे विश्वास्यता अंतराल देती हैं और एकतरफ़ा Ha (“से अधिक”) की अनुमति देती हैं। χ² परीक्षण केवल परीक्षण करते हैं, और उनकी Ha की कोई दिशा नहीं होती।
दो समूहों और दो श्रेणियों के साथ, दोतरफ़ा Ha वाला द्वि-प्रतिदर्श z परीक्षण और समरूपता का χ² परीक्षण समान p-मान देते हैं (χ² = z2)।
पहले अभिकल्प पढ़िए: प्रतिदर्श कैसे लिया गया, और हर व्यक्ति के बारे में क्या दर्ज हुआ? आकृति दिखाती है कि हर अभिकल्प आँकड़ों में कौन-सा रूप छोड़ता है, और हर प्रश्न के लिए एक चुनती है।
← माध्यों के लिए अनुमिति · ढलानों के लिए अनुमिति →