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ढलानों के लिए अनुमिति
क्या प्रवृत्ति वास्तविक है?
न्यूनतम वर्ग रेखा एक प्रतिदर्श का वर्णन करती है। अनुमिति पूछती है कि वह रेखा पूरी समष्टि की रेखा के बारे में क्या बताती है।
एक शिक्षक यादृच्छिक रूप से 18 विद्यार्थी चुनता है और दर्ज करता है कि हर एक ने परीक्षा के लिए कितने घंटे पढ़ाई की और कितने अंक पाए। कुल मिलाकर, जितने ज़्यादा घंटे, उतने ज़्यादा अंक। पर क्या यह प्रवृत्ति वास्तविक है, या इतना छोटा प्रतिदर्श इसे संयोग से भी दिखा सकता है?
आकृति एक ऐसी समष्टि बनाती है जिसका उत्तर ज्ञात है। काली रेखा उसकी समष्टि समाश्रयण रेखा है: हर घंटे-संख्या पर औसत अंक। हर x पर अंक रेखा के आसपास सामान्य रूप से फैले होते हैं (नीले वक्र)। हर विद्यार्थी के अंक उसके घंटों वाले वक्र से लिए गए हैं।
लाल रेखा प्रतिदर्श पर फिट की गई है: ढलान b = 2.247, जबकि समष्टि की ढलान β = 2.5 है। व्यवहार में β कभी ज्ञात नहीं होता, और हमारे पास केवल b होता है।
इस अध्याय में मॉडल बताया गया है, दिखाया गया है कि b प्रतिदर्श-दर-प्रतिदर्श कैसे बदलता है, शर्तों की जाँच की गई है, β के लिए विश्वास अंतराल बनाया गया है, β = 0 का परीक्षण किया गया है, यह सब कंप्यूटर आउटपुट से पढ़ा गया है, और अंत में पाठ्यक्रम की सभी प्रक्रियाओं में से सही प्रक्रिया चुनना सिखाया गया है।
प्रत्येक x पर y का प्रसामान्य बंटन
ढलान की अनुमिति एक मॉडल मानती है: x के हर मान पर प्रतिक्रियाएँ y सामान्य होती हैं, एक सीधी रेखा पर केंद्रित, और उनका प्रसार समान होता है।
α, β और σ प्राचल हैं: समष्टि समाश्रयण रेखा का अंतःखंड और ढलान, और उस रेखा के आसपास y का मानक विचलन, जो हर x के लिए समान है। प्रतिदर्श इनमें से हर एक का अनुमान एक प्रतिदर्शज से लगाता है:
| प्राचल | प्रतिदर्शज | आकृति में |
|---|
| α (अंतःखंड) | a | 50 → 49.783 |
| β (ढलान) | b | 2.5 → 2.247 |
| σ (रेखा के आसपास SD) | s | 9 → 9.834 |
| μy (x पर औसत y) | ŷ | α + βx → a + bx |
β विद्यालय के सभी विद्यार्थियों में हर अतिरिक्त घंटे पर औसत अंकों में होने वाला परिवर्तन है। यहाँ β = 2.5: 3 घंटे पर औसत 57.5 है, 5 घंटे पर 62.5।
s अवशिष्टों से σ का अनुमान लगाता है, और n − 2 से भाग देता है क्योंकि पहले दो संख्याओं (a और b) का अनुमान लगाया गया था:
इस अध्याय के हर परीक्षण के पीछे का प्रश्न: क्या बिंदु सचमुच एक रेखा में हैं, या β = 0 होने पर भी b जैसी ढलान संयोग से मिल सकती है?
b का प्रतिचयन बंटन
उसी समष्टि का दूसरा प्रतिदर्श दूसरी रेखा और दूसरी ढलान देता है। सभी संभव प्रतिदर्शों की ढलानें मिलकर b का प्रतिचयन बंटन बनाती हैं।
आकृति में वही 18 घंटे रखे गए हैं और नए अंक 100 बार लिए गए हैं। हर फिट की गई रेखा (लाल, फिर धूसर) वास्तविक रेखा के आसपास थोड़ी अलग झुकती है, और हर ढलान डॉटप्लॉट में गिरती है।
जब मॉडल सही हो, तब b का प्रतिचयन बंटन सामान्य होता है, β पर केंद्रित (b एक अनभिनत आकलक है), और उसका मानक विचलन है
जहाँ σx x मानों का मानक विचलन है (n से भाग देकर)। 100 ढलानों का माध्य 2.47 और मानक विचलन 0.83 है, जो 2.5 और 0.81 के निकट हैं।
क्या b को कम परिवर्तनशील बनाता है: रेखा के आसपास कम बिखराव (छोटा σ), x में अधिक प्रसार (बड़ा σx), और बड़ा प्रतिदर्श। x मानों को फैलाने से रेखा उन्हें पास-पास रखने की तुलना में बेहतर तय होती है।
σ अज्ञात है, इसलिए उसकी जगह s लिया जाता है, और σx√n की जगह sx√(n − 1)। इससे ढलान की मानक त्रुटि मिलती है, और उससे मानकीकरण करने पर n − 2 स्वातंत्र्य कोटि वाला t बंटन मिलता है:
LINER: रैखिक, स्वतंत्र, सामान्य, समान SD, यादृच्छिक
अंतराल और परीक्षण तभी भरोसेमंद हैं जब मॉडल उपयुक्त हो। कोई भी गणना करने से पहले आँकड़ों से पाँच शर्तों की जाँच कीजिए।
| शर्त | जाँच कैसे करें |
|---|
| L रैखिक (Linear) | प्रकीर्ण आलेख लगभग सीधा; अवशिष्ट आलेख में कोई वक्र नहीं |
| I स्वतंत्र (Independent) | प्रतिस्थापन के बिना प्रतिचयन: n ≤ समष्टि का 10% |
| N सामान्य (Normal) | अवशिष्टों का हिस्टोग्राम या डॉटप्लॉट: कोई प्रबल विषमता या बहिर्वर्ती नहीं |
| E समान SD (Equal SD) | अवशिष्ट आलेख: कोई पंखा-आकार नहीं, हर x पर समान बिखराव |
| R यादृच्छिक (Random) | यादृच्छिक प्रतिदर्श या यादृच्छिकीकृत प्रयोग |
इन 18 विद्यार्थियों के लिए: अवशिष्ट आलेख (बीच में) 0 के आसपास बिना किसी पैटर्न की पट्टी है, न कोई वक्र, न पंखा, इसलिए रैखिक और समान-SD शर्तें पूरी होती हैं। अवशिष्टों के हिस्टोग्राम (दाएँ) में एक शिखर है और कोई प्रबल विषमता नहीं; सबसे बड़ा अवशिष्ट 21.2 है, लगभग 2.2 s, कोई चरम बहिर्वर्ती नहीं। विद्यार्थी एक यादृच्छिक प्रतिदर्श थे, और 18 ≤ विद्यालय के 950 विद्यार्थियों का 10%।
आम गलतियाँ। सामान्यता की जाँच अवशिष्टों पर कीजिए, x या y पर नहीं। यहाँ “n ≥ 30” जैसा कोई नियम नहीं है जो विषम अवशिष्ट आलेख को माफ़ कर दे। वक्राकार अवशिष्ट आलेख का अर्थ है कि ढलान गलत सारांश है: कोई अंतराल इसे ठीक नहीं कर सकता।
Coef, SE Coef, T, P, S और R-Sq
सॉफ़्टवेयर समाश्रयण को एक मानक तालिका में छापता है। इस अध्याय के लिए ज़रूरी हर संख्या उसमें है।
| पूर्वकथक | गुणांक | गुणांक का SE | T | P |
|---|
| अचर | 49.783 | 4.749 | 10.48 | 0.000 |
| घंटे | 2.247 | 0.883 | 2.55 | 0.022 |
| S = 9.834 R-Sq = 28.8% R-Sq(adj) = 24.4% |
Coef (गुणांक)। Constant पंक्ति अंतःखंड a देती है; व्याख्यात्मक चर के नाम वाली पंक्ति ढलान b देती है:
Hours का SE Coef SEb = 0.883 है। T = Coef/SE Coef = 2.55: H0: β = 0 के लिए परीक्षण प्रतिदर्शज। P = 0.022 उसका द्वि-पुच्छीय P-मान है।
S = s = 9.834: वास्तविक अंक अनुमानित अंकों से प्रायः लगभग 9.8 अंक भिन्न होते हैं। R-Sq = r2: अंकों में 28.8% परिवर्तन घंटों पर आधारित रैखिक मॉडल से समझाया जाता है। तब r = +√0.288 = 0.537, ढलान की तरह धनात्मक।
ढलान की व्याख्या: पढ़ाई के हर अतिरिक्त घंटे के लिए, अनुमानित अंक लगभग 2.247 अंक बढ़ते हैं।
आम गलतियाँ। Constant पंक्ति के T और P α = 0 का परीक्षण करते हैं, जो शायद ही पूछने लायक प्रश्न है। S, SEb नहीं है। R-Sq(adj) की इस पाठ्यक्रम में ज़रूरत नहीं है।
b ± t*·SEb, n − 2 स्वातंत्र्य कोटि के साथ
β के लिए विश्वास्यता अंतराल, प्रतिदर्श ढलान में त्रुटि-सीमा जोड़ने और घटाने से बनता है।
करें। n = 18, df = 16 और 95% विश्वास स्तर के लिए t* = 2.120। आउटपुट से:
निष्कर्ष। हमें 95% विश्वास है कि 0.375 से 4.119 तक का अंतराल इस विद्यालय के विद्यार्थियों के लिए परीक्षा अंक और पढ़ाई के घंटों को जोड़ने वाली समष्टि समाश्रयण रेखा के ढलान को समाहित करता है। अर्थात, प्रत्येक अतिरिक्त घंटे के लिए माध्य अंक 0.38 से 4.12 अंकों के बीच बढ़ता है।
विश्वास स्तर विधि के बारे में है: बार-बार प्रतिदर्श लेने पर इस तरह बने लगभग 95% अंतराल β को समाहित करते हैं। दाईं ओर, 25 प्रतिदर्शों के 25 अंतरालों में से 24 ऐसा करते हैं। कोई एक विशेष अंतराल या तो β को समाहित करता है या नहीं करता।
आकृति स्तर को 80% से 99% तक बदलती है: ऊँचे स्तर के लिए बड़ा t* चाहिए और अंतराल चौड़ा होता है। 99% पर t* = 2.921 और अंतराल (−0.332, 4.826) है।
पूरा उत्तर प्रक्रिया का नाम बताता है (ढलान के लिए t अंतराल), शर्तों की जाँच करता है, गणना करता है और संदर्भ में निष्कर्ष देता है।
क्या दावा किया गया ढलान संभावित मानों में है?
विश्वास्यता अंतराल के भीतर के मान β के संभावित मान हैं। अंतराल के बाहर का दावा किया गया मान उस दावे के विरुद्ध साक्ष्य है।
क्या कोई संबंध है? यदि β = 0, तो माध्य अंक घंटों के साथ नहीं बदलता: कोई रैखिक संबंध नहीं। 0, 95% अंतराल (0.375, 4.119) में नहीं है, और इसका प्रत्येक मान धनात्मक है। अतः आँकड़े β > 0 का विश्वसनीय साक्ष्य देते हैं: समष्टि में अधिक घंटे ऊँचे माध्य अंकों के साथ जाते हैं।
99% पर अंतराल (−0.332, 4.826) है। इसमें 0 शामिल है, इसलिए उस स्तर पर 0 संभावित है: साक्ष्य संबंध न होने को नकारने के लिए पर्याप्त मज़बूत नहीं है।
एक दावा। एक ट्यूशन कंपनी कहती है कि पढ़ाई का प्रत्येक अतिरिक्त घंटा औसतन 5 अंकों के बराबर है। 5 दोनों अंतरालों से ऊपर है, इसलिए आँकड़े दावे के विरुद्ध विश्वसनीय साक्ष्य देते हैं: वास्तविक ढलान इससे छोटा प्रतीत होता है।
C% अंतराल और α = 1 − C पर द्वि-पुच्छीय परीक्षण सहमत होते हैं: परीक्षण β = β0 को ठीक तभी अस्वीकार करता है जब β0 अंतराल के बाहर हो। अंतराल अधिक बताता है: ढलान संभवतः कितना बड़ा है।
सामान्य गलतियाँ। अंतराल के भीतर का मान संभावित है, सिद्ध नहीं: “0 अंतराल में है, इसलिए कोई संबंध नहीं” गलत है। और “β के अंतराल में होने की 95% प्रायिकता है” भी गलत है: β निश्चित है; 95% विधि की समाहित करने की दर है।
H0: β = 0, उस वैकल्पिक के विरुद्ध जिसे आप दिखाना चाहते हैं
ढलान के लिए सार्थकता परीक्षण पूछता है कि क्या प्रतिदर्श ढलान किसी परिकल्पित मान, प्रायः 0, से इतनी दूर है कि उसे संयोग नहीं कहा जा सकता।
परिकल्पनाएँ समष्टि ढलान β के बारे में होती हैं, कभी b के बारे में नहीं:
H0: β = 0 का अर्थ है कोई रैखिक संबंध नहीं: y का माध्य हर x पर समान है। β को संदर्भ में परिभाषित कीजिए: “विद्यालय के सभी विद्यार्थियों के लिए परीक्षा अंक और पढ़ाई के घंटों को जोड़ने वाली समष्टि समाश्रयण रेखा का ढलान”। आँकड़े देखने से पहले प्रश्न से Ha चुनिए।
शिक्षक पूछते हैं कि क्या अंक और घंटे रैखिक रूप से संबंधित हैं, इसलिए Ha: β ≠ 0, α = 0.05 पर। प्रक्रिया ढलान के लिए t परीक्षण है, उन्हीं LINER शर्तों के साथ, जिनकी जाँच 9.2 में की गई थी।
परीक्षण क्यों ज़रूरी है। दाईं ओर H0 की दुनिया है: वास्तविक रेखा सपाट है, और उसी से हमारे जितने घंटों और उतने ही बिखराव वाले प्रतिदर्श लिए गए हैं। उनकी फिट की गई रेखाएँ फिर भी संयोग से झुकी होती हैं। ऐसे 200 प्रतिदर्शों में से 3 का ढलान हमारे जितना तीखा था, 2.247, किसी भी दिशा में। यदि H0 सत्य होती तो हमारा ढलान असामान्य होता।
H0 कोई और मान, β = β0, भी बता सकती है, जैसे दावा किया गया ढलान; परीक्षण वही रहता है, बस 0 की जगह β0 आता है।
t = (b − β0)/SEb, और P t बंटन से
परीक्षण सांख्यिकी गिनती है कि प्रतिदर्श ढलान परिकल्पित ढलान से कितनी मानक त्रुटियों की दूरी पर है।
जहाँ df = n − 2 = 16। आउटपुट T = 2.55 छापता है, जो अपूर्णांकित b और SEb से निकला है; दोनों ठीक हैं।
P-मान वह प्रायिकता है कि, यदि H0 सत्य है, तो t कम से कम इतना दूर हो। Ha द्वि-पुच्छीय है, इसलिए दोनों पुच्छ गिने जाते हैं: P = 2P(t ≥ 2.55) = 0.022, जैसा आउटपुट छापता है। आकृति में 9.4 के शून्य प्रतिदर्श अपने t मान t वक्र पर गिराते हैं; 200 में से 4, 0.020, लाल पुच्छों में आते हैं।
व्याख्या। यह मानते हुए कि समष्टि में घंटों और अंकों के बीच कोई रैखिक संबंध नहीं है, केवल संयोग से 0 से कम से कम 2.247 दूर प्रतिदर्श ढलान मिलने की प्रायिकता 0.022 है।
निष्कर्ष। क्योंकि P = 0.022 < α = 0.05, H0 को अस्वीकार कीजिए। इस विद्यालय के विद्यार्थियों के लिए पढ़ाई के घंटों और परीक्षा अंकों के बीच रैखिक संबंध का विश्वसनीय साक्ष्य है।
सामान्य गलतियाँ। कभी “H0 स्वीकार” न कहिए: उसे अस्वीकार करने में विफल कहिए। P-मान H0 के सत्य होने की प्रायिकता नहीं है। और इन विद्यार्थियों ने अपना पढ़ाई का समय स्वयं चुना: यह प्रेक्षणात्मक अध्ययन था, इसलिए यह साहचर्य दिखाता है, यह नहीं कि अधिक पढ़ना ऊँचे अंकों का कारण है। केवल यादृच्छिक प्रयोग कारण का समर्थन करता है।
जब प्रिंट किया गया P उत्तर नहीं होता
आउटपुट के T और P एक ही प्रश्न का उत्तर देते हैं: β = 0 का द्वि-पुच्छीय परीक्षण। अन्य प्रश्नों के लिए थोड़ा और कदम चाहिए।
एक-पुच्छीय। Ha: β > 0 के लिए P-मान एक पुच्छ है। जब b उसी ओर हो जिसकी Ha भविष्यवाणी करती है, तो छपे P को आधा कीजिए: 0.022/2 = 0.0110। जब b दूसरी ओर हो, तो P-मान उसका 1 से घटाव है, और Ha के पक्ष में कोई साक्ष्य नहीं है।
कोई अन्य β0। ट्यूशन कंपनी के दावे को परखने के लिए, H0: β = 5 बनाम Ha: β < 5, t हाथ से निकालिए:
df = 16 के साथ: प्रबल साक्ष्य है कि वास्तविक ढलान 5 से कम है, जैसा 9.3 के अंतराल ने दिखाया था।
परीक्षण और अंतराल सहमत हैं। P = 0.022 < 0.05, और 95% अंतराल 0 को छोड़ देता है। P = 0.022 > 0.01, और 99% अंतराल 0 को भीतर ले लेता है।
त्रुटियाँ। यहाँ प्रकार I त्रुटि यह निष्कर्ष निकालना होगी कि घंटे और अंक रैखिक रूप से संबंधित हैं जबकि समष्टि में नहीं हैं; इसकी प्रायिकता α है। प्रकार II त्रुटि मौजूद संबंध को चूक जाना होगी। बड़े प्रतिदर्श, x में अधिक फैलाव और बड़ा α, तीनों प्रकार II त्रुटि को कम संभावित बनाते हैं।
प्रक्रिया को प्रश्न से मिलाइए
पाठ्यक्रम की हर प्रक्रिया एक तरह के प्रश्न का उत्तर देती है। आँकड़ों के बारे में तीन प्रश्न उसे चुनते हैं।
1. क्या मापा गया? प्रत्येक इकाई की एक श्रेणी (अनुपात, गणना), एक संख्या (माध्य), या प्रत्येक इकाई की दो संख्याएँ (ढलान)। 2. कितने प्रतिदर्श या समूह हैं, और क्या वे युग्मित हैं? 3. आकलन या परीक्षण? “कितना बड़ा…” या “आकलन कीजिए…” अंतराल माँगता है; “क्या विश्वसनीय साक्ष्य है…” परीक्षण।
| प्रक्रिया | कब |
|---|
| 1-अनुपात z | एक श्रेणीगत चर, एक प्रतिदर्श: p |
| 2-अनुपात z | एक श्रेणीगत चर, दो समूह: p1 − p2 |
| χ² सुसंगति-उत्तमता | एक श्रेणीगत चर, उसका पूरा बंटन किसी दावे के विरुद्ध |
| 1-प्रतिदर्श t | एक मात्रात्मक चर, एक प्रतिदर्श: μ |
| युग्मित t | प्रत्येक इकाई पर दो माप: μdiff |
| 2-प्रतिदर्श t | एक मात्रात्मक चर, दो स्वतंत्र समूह: μ1 − μ2 |
| χ² समरूपता | एक श्रेणीगत चर, कई अलग प्रतिदर्श या उपचार |
| χ² स्वतंत्रता | एक प्रतिदर्श में दो श्रेणीगत चर |
| ढलान के लिए t | दो मात्रात्मक चर, रैखिक संबंध: β |
शब्दों में संकेत: “अनुपात”, “प्रतिशत” → z; “माध्य”, “औसत” → t; श्रेणीगत चरों के बीच “संबंध” → χ²; मात्रात्मक चरों के बीच → ढलान।
सामान्य गलतियाँ। युग्मित आँकड़ों का दो प्रतिदर्शों की तरह विश्लेषण (जिन्हीं लोगों को दो बार मापा गया, वे युग्मित हैं)। समरूपता और स्वतंत्रता में भ्रम: यह अभिकल्प पर निर्भर है, कई प्रतिदर्श या एक। सहसंबंध के प्रश्न के लिए ढलान परीक्षण चाहिए, χ² परीक्षण नहीं।
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