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Exploración de datos de dos variables
diagramas de dispersión y la recta de mínimos cuadrados
Dos cosas medidas en cada individuo: ¿una dice algo sobre la otra y cuánto?
Los científicos forenses estiman la estatura de una persona a partir de un solo hueso. La figura grafica la longitud del fémur (hueso del muslo) contra la estatura de 14 adultos. Las personas más altas tienen fémures más largos y los puntos quedan cerca de una recta.
¿Qué recta? Una recta trazada entre los puntos falla en cada uno por un residuo, en rojo. Eleva al cuadrado cada residuo (los cuadrados rojos) y suma sus áreas. Al girar la recta de prueba, el área total cambia; la recta de mínimos cuadrados es la que la hace mínima: aquí ŷ = 49.8 + 2.64x, con un área total de 126 cm².
El capítulo empieza con las variables categóricas (tablas de doble entrada, gráficas de barras, porcentajes condicionales), luego describe diagramas de dispersión, mide la asociación lineal con la correlación r, ajusta y revisa la recta de mínimos cuadrados, y pregunta qué le hace un solo punto inusual, o una curva.
¿un patrón o el azar?
Dos variables están asociadas cuando conocer el valor de una te dice algo sobre el valor de la otra.
La estadística empieza con una pregunta sobre la variación. ¿Los adultos con fémures más largos tienden a ser más altos? ¿El modo en que un estudiante llega a la escuela depende de dónde vive? Cada pregunta relaciona dos variables medidas en los mismos individuos.
Los datos siempre varían, así que puede aparecer algún patrón solo por azar. La figura lo pone a prueba. A la izquierda están los pares reales, r = 0.95. A la derecha, las mismas 14 estaturas se mezclan al azar entre los mismos 14 fémures, una y otra vez. Mezclar rompe cualquier vínculo real, así que el patrón que quede es azar.
Abajo, la correlación de cada una de 40 mezclas. Se dispersan alrededor de 0 y la más alejada es −0.81. La 0.95 real queda más allá de todas: el azar por sí solo no es una explicación creíble para un patrón tan fuerte.
Ese es el razonamiento de todo el curso en miniatura: pregunta qué produciría el azar por sí solo y observa si los datos se parecen a eso. Las unidades posteriores lo hacen exacto.
tablas de doble entrada y gráficas de barras
Una tabla de doble entrada cuenta los individuos en cada combinación de dos variables categóricas.
A 300 estudiantes se les preguntó dónde viven y cómo suelen llegar a la escuela:
| caminar o ir en bicicleta | bus | car | total |
|---|
| city | 48 | 36 | 16 | 100 |
|---|
| suburb | 22 | 50 | 48 | 120 |
|---|
| rural | 6 | 30 | 44 | 80 |
|---|
| total | 76 | 116 | 108 | 300 |
|---|
Los totales de los bordes son los conteos marginales: cada variable por separado. 108 de los 300 estudiantes llegan en auto, sin importar el lugar.
Las barras lado a lado (izquierda) dibujan los conteos. Son fáciles de leer, pero difíciles de comparar cuando los grupos tienen tamaños distintos: hay 120 estudiantes de suburbio pero solo 80 de zona rural, así que los conteos engañan.
Las barras segmentadas (derecha) lo resuelven: cada grupo es una barra de altura 100%, dividida en las proporciones de sus propios estudiantes. Los estudiantes rurales llegan en auto 55% de las veces, los de la ciudad 16%. Un gráfico de mosaico (2.3) además hace que el ancho de cada barra corresponda al tamaño de su grupo.
Elige según la pregunta qué variable divide las barras. Para comparar cómo viajan los lugares, haz una barra por lugar.
tres tipos de frecuencia relativa
Una frecuencia relativa divide una cuenta entre un total. El total entre el que dividas determina su significado.
- Conjunta: una celda entre el total de la tabla. 44 de 300 estudiantes son rurales y van en auto: 44/300 = 14.7%.
- Marginal: el total de un renglón o una columna entre el total de la tabla. 108/300 = 36% de todos los estudiantes van en auto.
- Condicional: una celda entre el total de su propio renglón o columna. De los estudiantes rurales, 44/80 = 55% van en auto. De quienes van en auto, 44/108 = 40.7% son rurales.
Las dos últimas son distintas: «de los estudiantes rurales, la proporción que va en auto» y «de quienes van en auto, la proporción rural» se dividen entre totales diferentes. Lee el enunciado y busca el grupo que aparece después de de o de dado: ese total es el denominador.
El gráfico de mosaico muestra las tres a la vez. El ancho de cada columna es la proporción marginal de su lugar; la altura de cada bloque es una proporción condicional dentro del lugar; por eso el área de cada bloque es una proporción conjunta. El bloque rural en auto es 14.7% de todo el mosaico.
comparar las distribuciones condicionales
Dos variables categóricas están asociadas cuando la distribución condicional de una difiere entre las categorías de la otra.
Las distribuciones condicionales del medio de transporte, para cada lugar y para todos los estudiantes juntos:
| caminar o ir en bicicleta | bus | car |
|---|
| city | 48% | 36% | 16% |
|---|
| suburb | 18% | 42% | 40% |
|---|
| rural | 8% | 38% | 55% |
|---|
| todos | 25% | 39% | 36% |
|---|
Si el transporte no dependiera del lugar, todos los renglones coincidirían con el renglón «todos», y las barras segmentadas se cortarían a la misma altura. No es así: la proporción de quienes van en auto aumenta de 16% en la ciudad a 40% en los suburbios y 55% en el campo, mientras que la de quienes caminan o van en bicicleta baja de 48% a 8%. Existe una asociación entre el lugar donde vive un estudiante y cómo llega a la escuela.
Compara porcentajes, no conteos. 48 estudiantes suburbanos en auto superan a 44 rurales, y aun así una proporción menor de los estudiantes suburbanos va en auto.
Una asociación en los datos no es prueba de causa. Vivir en el campo no necesariamente causa que se use auto: la distancia a la escuela, una variable que no está en la tabla, puede explicar gran parte. El capítulo 8 prueba si una diferencia así podría deberse al azar (la prueba χ²).
dirección, forma, fuerza y características inusuales
Un diagrama de dispersión muestra dos variables cuantitativas medidas en los mismos individuos, con un punto por individuo.
La variable explicativa va en el eje x: la que puede explicar o predecir. La variable respuesta va en el eje y: el resultado. Aquí la longitud del fémur explica la estatura.
| fémur (cm) | 39.0 | 39.8 | 40.7 | 40.9 | 40.9 | 43.1 | 43.5 |
|---|
| estatura (cm) | 154.3 | 152.9 | 160.5 | 162.1 | 156.1 | 159.8 | 162.2 |
|---|
| fémur (cm) | 44.1 | 45.2 | 46.5 | 46.9 | 47.2 | 48.7 | 49.8 |
|---|
| estatura (cm) | 163.3 | 168.2 | 169.7 | 180.1 | 172.3 | 178.2 | 183.1 |
|---|
Describe un diagrama de dispersión con cuatro características, en contexto:
- Dirección: positiva (a mayor x, mayor y), negativa o ninguna.
- Forma: lineal, curva o grupos.
- Fuerza: qué tan cerca siguen los puntos la forma: fuerte, moderada o débil.
- Características inusuales: valores atípicos, huecos, grupos.
Aquí: hay una asociación lineal, positiva y fuerte entre la longitud del fémur y la estatura de estos adultos, sin valores atípicos claros. Los diagramas pequeños muestran otros patrones: uno negativo más débil, una curva fuerte y ninguno.
la fuerza de una asociación lineal, como un número
La correlación r mide la dirección y la fuerza de una asociación lineal entre dos variables cuantitativas.
Estandariza cada variable: zx y zy indican a cuántas desviaciones estándar está un valor de su media. Las rectas en las medias dividen la gráfica en cuatro cuadrantes. Un punto arriba y a la derecha (o abajo y a la izquierda) tiene un producto zxzy positivo, un rectángulo rojo; arriba y a la izquierda o abajo y a la derecha, uno negativo, azul.
Suma las áreas con signo y divide entre n − 1. Para los fémures, 14 productos suman 12.305, y 12.305/13 = 0.947. Casi toda el área es roja: una asociación positiva fuerte.
r está entre −1 y 1. Su signo es la dirección; su tamaño es la fuerza: cerca de ±1 los puntos están cerca de una recta, cerca de 0 no hay patrón lineal. Interprétala en contexto: r = 0.95 indica que hay una asociación lineal, positiva y fuerte entre la longitud del fémur y la estatura.
En el examen, calcula r con calculadora; entiende qué significa.
solo lineal, sensible a valores atípicos, no implica causalidad
r es un resumen de un patrón de línea recta. Mira siempre primero el diagrama de dispersión.
- Solo lineal. La gráfica roja tiene una relación curva fuerte, y aun así r = −0.02. Una r cercana a 0 significa que no hay asociación lineal, no que no haya asociación. Una r alta tampoco prueba que una recta sea la forma correcta.
- Sin unidades. r no cambia si cualquiera de las variables cambia de unidades: con los fémures en pulgadas, r sigue siendo 0.947. Intercambiar x y y tampoco la cambia.
- No es resistente. Como la media, r puede cambiar mucho por un solo punto atípico (2.9).
- No es causalidad. Una correlación fuerte no significa que cambiar x cambie y. Una variable de confusión puede influir en ambas (las ventas de helados y los ahogamientos aumentan con el calor del verano), o la relación puede ir en sentido contrario. Solo un experimento bien diseñado (capítulo 3) demuestra causa.
Los cuatro diagramas pequeños: fuerte, positiva, lineal, r = 0.97; moderada, negativa, lineal, r = −0.71; fuerte, curva, r = −0.02; sin asociación, r = 0.01.
una recta para predecir y a partir de x
A regression line models how a response y changes with an explanatory x, and predicts y for a given x.
ŷ (y-hat) is a predicted value, not an observed one: write the hat. b is the slope and a the y-intercept. Write the model in context: predicted height = 49.8 + 2.64 (femur length).
Predicting. For a femur of 45.0 cm, ŷ = 49.8 + 2.64(45.0) = 168.5 cm. That is the average height the model gives for adults with that femur length; any one of them may be taller or shorter.
Extrapolation is predicting outside the range of x in the data, here 39.0 to 49.8 cm. The line has no evidence there: the form may change. A child’s 30 cm femur gives ŷ = 128.9 cm, from a model built on adults only. In the figure the dot turns grey whenever it leaves the data’s range.
lo que la recta no capta y la gráfica de residuos
Un residuo es un valor observado menos su valor predicho: qué tan arriba o abajo de la recta queda el punto.
El adulto con fémur de 46.9 cm mide 180.1 cm. La recta predice 173.5 cm, así que el residuo es 180.1 − 173.5 = 6.6 cm: 6.6 cm más alto de lo predicho. Un residuo negativo significa que la recta sobreestimó. Para la recta de mínimos cuadrados, los residuos suman 0.
Una gráfica de residuos representa cada residuo contra x (o contra ŷ). En la figura cada residuo baja desde el diagrama de dispersión hasta la gráfica de abajo: la recta puesta en horizontal en 0.
- Sin patrón, una dispersión pareja alrededor de 0: un modelo lineal es adecuado. Eso es lo que muestran los fémures.
- Una curva en los residuos: la relación no es lineal; otra forma ajustaría mejor (2.9).
- Un abanico, con dispersión que crece con x: las predicciones son menos precisas para x grandes.
Una gráfica de residuos muestra el patrón restante con más claridad que el diagrama de dispersión, porque se ha quitado la tendencia de la recta.
la recta que hace más pequeños los residuos al cuadrado
La recta de regresión de mínimos cuadrados es la recta que hace la suma de los residuos al cuadrado lo más pequeña posible.
A la derecha, la suma de los residuos al cuadrado para cada pendiente (cada recta que pasa por el punto de las medias): una parábola, con su mínimo en b = 2.64. Cualquier otra pendiente da un total mayor.
Así, la recta siempre pasa por (x̄, ȳ) = (44.02, 165.91), y su pendiente tiene el signo de r. Un aumento de una desviación estándar en x predice un aumento de r desviaciones estándar en y: menos de una, la «regresión a la media».
Interpretación. Pendiente: por cada 1 cm adicional de longitud del fémur, la estatura predicha aumenta unos 2.64 cm. Ordenada al origen: un adulto con un fémur de 0 cm tendría una estatura predicha de 49.8 cm; eso es extrapolación y aquí no tiene significado, como suele pasar con la ordenada al origen.
Hacer la regresión de x sobre y da una recta diferente. Predice la respuesta a partir de la variable explicativa, no al revés.
qué tan bien ajusta la recta y qué tanto se equivoca normalmente
Dos números indican qué tan buenas son las predicciones de la recta: el coeficiente de determinación r2 y la desviación estándar de los residuos s.
El software imprime la recta así:
| Predictor | Coef | SE Coef |
|---|
| Constante | 49.807 | 11.454 |
| Fémur | 2.6375 | 0.2594 |
S = 3.2393 R-sq = 89.6%
Lee a junto a Constante y b junto a la variable explicativa: ŷ = 49.8 + 2.64x. (SE Coef corresponde al capítulo 9.)
r2 = 89.6%: sin la recta, las desviaciones al cuadrado de las estaturas respecto de ȳ suman 1210 cm²; respecto de la recta, 126. La recta elimina 1 − 126/1210 = 89.6% de esa variación. En contexto: aproximadamente 89.6% de la variación de la estatura se explica por el modelo lineal con la longitud del fémur.
s = 3.24 cm, calculada a partir de los residuos (se divide entre n − 2):
En contexto: las estaturas reales suelen diferir de las que predice la recta en unos 3.2 cm. La banda azul es ŷ ± s.
lo que un solo punto puede hacerle a la recta
Un punto inusual puede cambiar mucho una regresión, o casi nada. Su ubicación decide cuál de los dos casos ocurre.
- Un valor atípico en regresión es un punto con un residuo grande: muy por encima o por debajo de la recta.
- Un punto de alto apalancamiento tiene un valor de x lejos de x̄. Puede inclinar la recta.
- Un punto influyente es aquel cuya eliminación cambia notablemente la pendiente, la ordenada al origen o la correlación. Los puntos de alto apalancamiento suelen serlo.
El punto rojo se agrega a los 14 adultos y se mueve. La recta gris es la que se obtiene sin él:
| el punto 15 | b | a | r |
|---|
| ninguno | 2.64 | 49.8 | 0.947 |
| (66, 223.9) | 2.64 | 49.8 | 0.985 |
| (66, 197.9) | 1.76 | 88.0 | 0.931 |
| (44, 183.9) | 2.64 | 51.1 | 0.846 |
Muy a la derecha y sobre la recta: alto apalancamiento, pero no influye en la pendiente; incluso aumenta r. Muy a la derecha y debajo de la recta: arrastra la pendiente de 2.64 a 1.76, es influyente. Cerca de x̄ y muy arriba: un valor atípico que reduce r a 0.846 pero casi no mueve la pendiente.
Nunca elimines sin más un punto inusual. Revisa si hay un error; si es real, presenta el ajuste con él y sin él.
los logaritmos enderezan el crecimiento exponencial
Cuando un diagrama de dispersión se curva, transformar una variable puede hacerlo lineal; entonces la recta de mínimos cuadrados puede modelarlo.
Se contó un cultivo de bacterias cada hora durante 10 horas. Los conteos se curvan hacia arriba: cada hora multiplica el conteo en vez de sumarle. Una recta ajusta mal aunque r = 0.900: su gráfica de residuos es una curva clara.
Toma logaritmos de los conteos. El crecimiento exponencial se vuelve lineal: la figura pasa de uno a otro. Respecto de t, log10(conteo) es recto, r = 0.998, y sus residuos no muestran patrón.
Predecir requiere deshacer la transformación. En t = 8.5 horas: log10(conteo) = 1.594 + 0.1626(8.5) = 2.976, así que conteo ≈ 102.976 = 946. La pendiente indica que el conteo predicho se multiplica por 100.1626 = 1.454 cada hora.
Otras curvas requieren otras transformaciones: log y contra log x endereza un modelo de potencia, y = axb; una raíz cuadrada o un recíproco pueden enderezar otras. Elige la transformación cuya gráfica de residuos no muestre patrón.
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