Statistics · AP Statistics
Exploración de datos de una variable
forma, centro y dispersión
La estadística es la ciencia de aprender a partir de datos, y los datos varían.
40 estudiantes de un grupo respondieron dos preguntas: ¿cómo llegas a la escuela y cuántos minutos tardas? En la figura, cada bola es un estudiante que cae sobre la recta numérica en su tiempo de traslado.
No hay dos mañanas iguales. Los tiempos van de 8 a 56 minutos, y cerca de tres cuartos de ellos son de 26 o menos. Ese patrón, qué valores ocurren y con qué frecuencia, es la distribución de la variable.
Debajo de los puntos, un histograma cuenta los mismos tiempos en intervalos de 5 minutos, y debajo una gráfica acumulada los va sumando.
Este capítulo nombra los tipos de variables, las representa en tablas y gráficas, describe una distribución por su forma, centro y dispersión, mide cada una con un número y termina con el modelo más útil de todos: la distribución normal.
¿qué podemos aprender de los datos?
Los datos son información sobre individuos; una variable es una característica que cambia de un individuo a otro.
Aquí los individuos son los 40 estudiantes. La bola roja es el estudiante 5: viaja en bus, 29 minutos. Un estudiante es una fila del conjunto de datos; cada variable es una columna.
| student | mode | tiempo (min) |
|---|
| 1 | walk | 8 |
| 2 | bike | 13 |
| 3 | bike | 14 |
| 4 | car | 12 |
| 5 | bus | 29 |
Una pregunta estadística espera variabilidad en su respuesta. «¿Cuánto tarda el estudiante 5 en llegar a la escuela?» tiene una sola respuesta. «¿Cuánto tardan en llegar a la escuela los estudiantes de este grupo?» tiene 40, y pregunta por su distribución.
La variación está en todas partes, así que un patrón en los datos puede ser real o producto del azar. La estadística distingue entre ambos. Las preguntas que plantea son siempre las mismas: a quién se midió, qué se midió, cómo, y qué se puede concluir y sobre quiénes.
Estas 40 respuestas describen a este grupo. Para sacar conclusiones sobre todos los estudiantes de la escuela haría falta una muestra aleatoria de ellos (capítulo 3).
variables categóricas y cuantitativas
Una variable categórica asigna cada individuo a un grupo. Una variable cuantitativa asigna a cada individuo un número que se puede contar o medir.
La forma en que un estudiante se traslada (a pie, en bici, en autobús, en auto) es categórica. El tiempo de traslado en minutos es cuantitativo: tiene sentido hacer aritmética con él y sus valores están en una escala numérica.
En la figura, las mismas 40 bolas pasan de una vista a otra. En la recta numérica cada una está en su tiempo; ordenadas por medio de transporte, forman cuatro grupos. Los individuos no cambian, solo la variable que observamos.
Las variables cuantitativas son discretas (conteos que se pueden enumerar: el número de hermanos) o continuas (mediciones en un intervalo: un tiempo, una estatura).
Ojo. Los números no siempre son cuantitativos. Un código postal o el número de una camiseta identifica un grupo; su promedio no significa nada, así que es categórico. Una variable cuantitativa puede volverse categórica al agrupar: «más de 20 minutos, sí o no».
frecuencia y frecuencia relativa
Una tabla de frecuencias enumera cada categoría con su conteo. Una tabla de frecuencias relativas da cada conteo como proporción del total.
| mode | frequency | frecuencia relativa | percent |
|---|
| walk | 7 | 0.175 | 17.5% |
| bike | 8 | 0.200 | 20.0% |
| bus | 14 | 0.350 | 35.0% |
| car | 11 | 0.275 | 27.5% |
| total | 40 | 1.000 | 100.0% |
Las frecuencias relativas suman 1 (o 100%), salvo por el redondeo. Permiten comparar grupos de distintos tamaños: un grupo de 25 y una escuela de 2000 pueden tener 35% de usuarios del autobús.
En contexto. 14 de los 40 estudiantes, una proporción de 14/40 = 0.350, van en autobús: la forma más común en que este grupo llega a la escuela.
La categoría más común es la moda de una variable categórica. Una tabla de dos variables categóricas a la vez, una tabla de doble entrada, aparece en el capítulo 2.
gráficas de barras y gráficas circulares
Un gráfico de barras dibuja cada categoría como una barra cuya altura es su frecuencia o su frecuencia relativa. Un gráfico circular da a cada una un sector del círculo en proporción.
Las barras de un gráfico de barras están separadas, porque entre las categorías no hay una escala, y su orden es una elección. Ordenarlas por altura facilita ver la mayor.
El ángulo de un sector circular es su frecuencia relativa × 360°: el sector del autobús es 0.350 × 360° = 126°. Un gráfico circular solo funciona cuando las categorías forman un todo y cada individuo está en exactamente una.
Cómo describir una distribución categórica. Nombra las categorías más y menos frecuentes, y compara con proporciones, en contexto: “35% de los estudiantes viajan en autobús, más que en cualquier otro medio; 17.5% caminan.”
Gráficos engañosos. Un gráfico de barras cuyo eje vertical no empieza en cero exagera las diferencias. Las imágenes y los gráficos circulares en 3D, que cambian el área y la profundidad además de la altura, también lo hacen. Lee la escala antes que la forma.
diagramas de puntos, diagramas de tallo y hojas, histogramas y gráficos acumulados
Un gráfico de una variable cuantitativa muestra su distribución en una recta numérica: dónde están los valores y cómo se agrupan y se dispersan.
Un diagrama de puntos coloca un punto por individuo sobre su valor. Un diagrama de tallo y hojas divide cada valor en un tallo (aquí las decenas) y una hoja (las unidades):
| 0 | 8 8 8 9 9 9 |
|---|
| 1 | 0 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 4 5 7 7 7 8 |
|---|
| 2 | 2 2 2 3 4 5 6 6 8 8 9 9 |
|---|
| 3 | 0 5 5 8 |
|---|
| 4 | |
|---|
| 5 | 6 |
|---|
Clave: 1 | 4 significa 14 minutos. Ambos conservan todos los valores.
Un histograma cuenta los valores en intervalos iguales, o clases, aquí de 5 minutos de ancho; las barras se tocan, porque la escala es continua. Un tiempo de exactamente 15 va en la clase de 15 a 20. Un ancho de clase distinto puede cambiar la imagen, así que elige uno que muestre la forma sin ocultar detalles.
Un gráfico acumulado marca, al final de cada clase, la proporción de valores por debajo. Sirve para leer percentiles: 70% del grupo tardó menos de 25 minutos, y el gráfico cruza 0.5 en la mediana, alrededor de 17 minutos.
forma, centro, dispersión y características inusuales
Describe una distribución por su forma, centro, dispersión y cualquier característica inusual, siempre en el contexto de los datos.
Forma. Simétrica: los dos lados son más o menos un reflejo uno del otro. Sesgada a la derecha: una cola larga hacia los valores mayores. Sesgada a la izquierda: una cola larga hacia los valores menores. El sesgo se nombra por su cola, no por su pico. Cuenta también los picos: unimodal, bimodal (dos grupos, a menudo dos poblaciones mezcladas) o uniforme (sin un pico claro).
Características inusuales. Huecos (tramos sin valores), agrupamientos y valores atípicos: valores lejos del resto.
El grupo, descrito. La distribución de los tiempos de traslado es unimodal y sesgada a la derecha, con su pico entre 10 y 15 minutos. La mediana es de unos 17 minutos, y los tiempos van de 8 a 56 minutos. Hay un hueco de 38 a 56 minutos, y 56 minutos es un posible valor atípico.
Las palabras “alrededor de” y “más o menos” van aquí: la forma se juzga a simple vista. En 1.7 y 1.8 se ponen números al centro y a la dispersión, y se da una regla para los valores atípicos.
media, mediana y cuál es resistente
La media es la suma de los valores dividida entre cuántos son. La mediana es el valor central una vez ordenados.
Nueve del grupo, en orden: 8, 8, 8, 9, 12, 13, 14, 26, 29. La media es 127/9 = 14.1 minutos. La mediana es el 5.º de los 9 valores, 12 minutos. Con una cantidad par, la mediana es la media de los dos centrales.
La media es el punto de equilibrio. Pon los valores sobre una viga: se equilibra en x̄ (rojo), donde las distancias a cada lado se cancelan. La mediana (azul) solo cuenta: la mitad de los valores a cada lado.
Resistencia. En la figura, el traslado de 29 minutos se desplaza hasta 59. La media lo sigue, hasta 17.4 minutos; la mediana se queda en 12. La mediana es resistente a los valores extremos; la media no.
Así, en una distribución sesgada a la derecha la media es atraída hacia la cola, por encima de la mediana: para todo el grupo x̄ = 19.4 y la mediana es 17. Si está sesgada a la izquierda, la media queda por debajo de la mediana. Para una distribución sesgada o con valores atípicos, informa la mediana.
rango, RIC y desviación estándar
La desviación estándar mide la distancia típica de los valores a su media.
| x | x − x̄ | (x − x̄)² |
|---|
| 8 | −6.11 | 37.35 |
| 13 | −1.11 | 1.23 |
| 14 | −0.11 | 0.01 |
| 12 | −2.11 | 4.46 |
| 29 | 14.89 | 221.68 |
| 26 | 11.89 | 141.35 |
| 9 | −5.11 | 26.12 |
| 8 | −6.11 | 37.35 |
| 8 | −6.11 | 37.35 |
Las desviaciones (rojo) suman cero; sus cuadrados suman 506.89. Divide entre n − 1 = 8 para obtener la varianza, s² = 63.36, y saca la raíz cuadrada: s = 7.96 minutos.
Interprétala en contexto: estos nueve tiempos de traslado varían típicamente unos 8.0 minutos respecto de su media de 14.1 minutos. s es 0 solo cuando todos los valores son iguales, y, como la media, no es resistente.
El rango es máx − mín. Los cuartiles Q1 y Q3 son las medianas de las mitades inferior y superior (sin incluir la propia mediana cuando n es impar); el rango intercuartílico, RIC = Q3 − Q1, es la dispersión de la mitad central, y es resistente. El percentil p es el valor que deja p% de los datos por debajo.
Para todo el grupo: rango 48, RIC 26 − 11 = 15, s = 10.4 minutos.
sumar o multiplicar cada valor
Sumar una constante a cada valor desplaza el centro y deja igual la dispersión. Multiplicar cada valor por una constante multiplica ambos.
Diez temperaturas máximas diarias en °C, convertidas a °F con F = 1.8C + 32. La figura lo hace en dos pasos: cada valor × 1.8 (los puntos se separan), y luego + 32 (se mueven juntos).
| mean | median | SD | IQR |
|---|
| °C | 21.3 | 22 | 2.95 | 6 |
| °F | 70.34 | 71.6 | 5.30 | 10.8 |
Para y = a + bx (b > 0): las medidas de centro y de posición (media, mediana, cuartiles, percentiles) se vuelven a + b × el valor anterior. Las medidas de dispersión (rango, RIC, DE) se multiplican por b e ignoran a. La varianza se multiplica por b². La forma no cambia.
El error común: sumar 32 a la desviación estándar. Desplazar todos los valores los mueve juntos; las distancias entre ellos, y a su media, siguen igual.
el diagrama de caja y la regla de 1.5 × RIC
Un diagrama de caja dibuja el resumen de cinco números: una caja de Q1 a Q3, una línea en la mediana y bigotes hasta los valores menor y mayor que no son atípicos.
| min | Q1 | median | Q3 | max |
|---|
| 8 | 11 | 17 | 26 | 56 |
La regla de 1.5 × RIC. Un valor es atípico si queda a más de 1.5 × RIC por debajo de Q1 o por encima de Q3:
Ningún tiempo está por debajo de −11.5; 56 está por encima de 48.5, así que es atípico y se dibuja aparte. El bigote derecho llega hasta 38, el mayor tiempo que no lo es. Otra regla que algunos usan: a más de 2 desviaciones estándar de la media, aquí por encima de 40.2.
Un diagrama de caja muestra el sesgo: aquí el bigote derecho es más largo y la mediana queda más cerca de Q1, así que los tiempos están sesgados a la derecha. Oculta lo demás: el hueco, el número de picos y n. Cada cuarto de los datos, no cada cuarto de la longitud, contiene alrededor de un cuarto de los valores.
forma, centro, dispersión y valores atípicos, lado a lado
Para comparar distribuciones, dibújalas en una misma escala y compara forma, centro, dispersión y características inusuales, en contexto y con palabras comparativas.
| n | min | Q1 | median | Q3 | max | IQR |
|---|
| bus | 14 | 17 | 22 | 26 | 30 | 38 | 8 |
| car | 11 | 8 | 10 | 12 | 28 | 56 | 18 |
Forma. Los traslados en autobús son más o menos simétricos. Los traslados en auto están sesgados a la derecha, con un valor atípico en 56 minutos (por encima de Q3 + 1.5 × RIC = 55).
Centro. La mediana del traslado en autobús, 26 minutos, es 14 minutos mayor que la mediana del traslado en auto, 12 minutos.
Dispersión. Los traslados en auto varían más: un RIC de 18 minutos frente a 8, y un rango de 48 frente a 21.
Compara medianas y RIC cuando una distribución está sesgada o tiene valores atípicos. Una lista de números no es una comparación: di cuál es mayor. Gráficos para comparar: diagramas de puntos lado a lado, diagramas de caja paralelos, diagramas de tallo y hojas espalda con espalda e histogramas apilados en la misma escala.
la regla empírica y las puntuaciones z
Una distribución normal es simétrica, tiene un solo pico y forma de campana. Queda determinada por su media μ y su desviación estándar σ, que se escribe N(μ, σ).
Las estaturas de las mujeres adultas son casi N(163, 7) en cm. El histograma muestra 200 de ellas, dibujado de modo que su área sea 1, con la curva normal encima. μ y σ describen un modelo o una población; x̄ y s describen datos (aquí 163.7 y 6.9 cm).
La regla empírica. En cualquier distribución normal, alrededor del 68% de los valores está a 1σ de μ, el 95% a 2σ y el 99.7% a 3σ.
| within | 1 DE | 2 DE | 3 DE |
|---|
| modelo normal | 68% | 95% | 99.7% |
| las 200 estaturas | 73.0% | 94.5% | 99.5% |
Puntuaciones z. Una puntuación estandarizada indica a cuántas desviaciones estándar está un valor de la media y en qué dirección:
Una mujer de 175 cm de estatura está 1.71 desviaciones estándar por encima de la estatura media. Las puntuaciones z permiten comparar valores de escalas distintas; al estandarizar se obtiene una distribución con media 0 y DE 1, la normal estándar.
áreas, percentiles y el valor en un percentil
En un modelo normal, la proporción de valores en un intervalo es el área bajo la curva sobre ese intervalo.
Por debajo de un valor. ¿Qué proporción de las mujeres mide menos de 170 cm?
Alrededor de 84.1% de las mujeres miden menos de 170 cm: 170 cm corresponde aproximadamente al percentil 84. Por encima es 1 − 0.841 = 0.159.
Entre dos valores. P(155 < X < 170) = P(-1.14 < Z < 1.00) = 0.715.
Un valor a partir de un percentil. El percentil 90 tiene un área de 0.90 a su izquierda, en z = 1.282:
Muestra el procedimiento como lo pide el examen: nombra la distribución y sus parámetros, marca el límite y el área buscada (un bosquejo), da la puntuación z o el comando de la calculadora con sus datos rotulados (normalcdf: límite inferior 155, límite superior 170, μ = 163, σ = 7) y responde en contexto.
comprobar la normalidad de los datos
Antes de usar un modelo normal con datos, verifica que los datos parezcan normales. Muchas distribuciones reales no lo son.
Grafica los datos. Un modelo normal requiere un diagrama de puntos o un histograma aproximadamente simétrico y con un solo pico, sin valores atípicos.
Verifica la regla empírica. Cuenta los valores que están a 1, 2 y 3 desviaciones estándar de la media. Las estaturas dan 73.0%, 94.5%, 99.5%, cercano a 68, 95, 99.7.
Observa una gráfica de probabilidad normal. Cada valor se grafica contra la puntuación z que tendría si los datos fueran exactamente normales. Los datos normales quedan cerca de una recta, como las estaturas. Los datos sesgados se curvan: los tiempos de traslado se curvan hacia arriba a la derecha, la larga cola derecha.
La regla empírica por sí sola puede engañar. 72.5% de los tiempos de traslado están a una DE de la media, cerca del 68%. Pero x̄ − 2s = 19.4 − 2(10.4) = −1.4 minutos, un tiempo imposible: un modelo normal pondría alrededor de 2.3% de los traslados por debajo de ese valor. Cuando la media está a menos de dos DE por encima de un piso de 0, sospecha un sesgo a la derecha.
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