Distribuciones muestrales · AP Statistics

Capítulo 5 · Distribuciones muestrales

cómo varía un estadístico

Un estadístico calculado a partir de una muestra aleatoria cambia de una muestra a otra. Su distribución muestral indica cuánto cambia y con qué patrón.

El tablero superior es una población: el número de libros que leyó cada estudiante de una escuela grande el verano pasado. Está sesgada a la derecha, con media μ = 2.54 libros y desviación estándar σ = 2.41 libros.

Se eligen al azar diez estudiantes a la vez (en rojo). Su media, x̄, es el punto donde el cono los equilibra, y cae en el diagrama de puntos de abajo. Después de 120 muestras, las medias tienen un centro de 2.45, cercano a μ, y una desviación estándar de solo 0.80. Su acumulación es mucho más simétrica que la población.

Este capítulo trata de esa acumulación: por qué las muestras difieren, qué dice el modelo normal sobre ellas, y el centro, la dispersión y la forma de las distribuciones muestrales de p̂ y x̄, solas y como diferencias. Son la base de cada intervalo de confianza y prueba de las unidades siguientes.

5.1 · ¿Por qué mi muestra no es como la tuya?

variabilidad muestral

Distintas muestras aleatorias de la misma población dan distintos valores de un estadístico. Esto es la variabilidad muestral, y no es un error.

Las primeras 4 muestras de 10 estudiantes de la apertura, y sus medias:

\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}

muestra	libros leídos	x̄
1	0, 0, 0, 2, 2, 5, 0, 4, 2, 3	1.8
2	8, 0, 2, 0, 4, 1, 0, 2, 6, 1	2.4
3	0, 7, 2, 0, 1, 5, 3, 3, 0, 0	2.1
4	5, 1, 0, 1, 3, 0, 6, 1, 0, 8	2.5

Ninguna muestra coincide exactamente con la media poblacional, μ = 2.54; cada una se desvía solo por azar. Qué estudiantes se eligen es aleatorio, así que el estadístico también lo es.

La variación tiene un patrón. En muchas muestras, los valores de x̄ se agrupan alrededor de μ, y las muestras más grandes se agrupan más estrechamente. Conocer ese patrón nos permite decir qué tan lejos de la verdad es probable que esté el resultado de una muestra, y por tanto si un resultado es sorprendente.

La selección aleatoria es lo que hace predecible el patrón. Una muestra por conveniencia, como los estudiantes de un salón, puede desviarse en la misma dirección cada vez, y ninguna fórmula puede decir cuánto.

5.1 · ¿Será solo el azar?

estimar una probabilidad mediante simulación

Una simulación imita muchas veces un proceso aleatorio. La fracción de repeticiones en las que ocurre algo estima su probabilidad.

Un ayuntamiento afirma que la mitad de sus votantes, p = 0.5, apoya un nuevo parque. En una muestra aleatoria de 40 votantes, 26 dijeron que sí: p̂ = 0.650. ¿Es más de lo que el azar podría producir fácilmente, si la afirmación es cierta?

El modelo. Cada votante dice que sí con probabilidad 0.5 (una moneda o un dígito aleatorio: 0–4 sí, 5–9 no). Un ensayo son 40 votantes; se registra p̂. Se repite 100 veces. La figura lo ejecuta: las bolas rojas son sí.

El resultado. 4 de las 100 muestras simuladas dieron p̂ ≥ 0.650, así que la probabilidad estimada es 4/100 = 0.04. (El valor binomial exacto es 0.040.)

La conclusión. Si la mitad de los votantes apoya el parque, un resultado al menos así de alto ocurre solo cerca del 4% de las veces. Eso es inusual, así que la muestra da cierta evidencia de que más de la mitad lo apoya. No prueba que la afirmación sea falsa: los resultados improbables sí ocurren.

Una segunda ejecución de 100 daría un conteo ligeramente distinto. Más repeticiones dan una mejor estimación de la probabilidad.

5.2 · La distribución normal, otra vez

áreas y valores de corte

En una distribución normal, una probabilidad es un área bajo la curva. Estandariza y luego encuentra el área.

Los pesos de las manzanas de un huerto son aproximadamente normales, con μ = 150 g y σ = 12 g. Una puntuación z indica a cuántas desviaciones estándar de la media está un valor:

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

Un área. ¿Qué proporción de las manzanas pesa entre 140 g y 165 g?

\begin{aligned} z_1 &= \frac{140 - 150}{12} = -0.83 \\ z_2 &= \frac{165 - 150}{12} = 1.25 \\ P(140 < X < 165) &= P(-0.83 < Z < 1.25) \\ &= 0.692 \end{aligned}

Cerca de 69.2% de las manzanas (en rojo). Por encima de 165 g hay 0.106 de ellas.

Un valor de corte. ¿Qué tan pesada debe ser una manzana para estar en el 10% más pesado? La z con área 0.90 por debajo es 1.28, así que x = 150 + 1.28 × 12 = 165.4 g (en azul).

En el examen, muestra el procedimiento: nombra la distribución y sus parámetros, el límite y el área buscada, o un esquema rotulado. La sintaxis de la calculadora sola, como normalcdf(…), no recibe crédito.

5.2 · Parámetros y estadísticos

un número fijo y uno aleatorio

Un parámetro describe una población; un estadístico describe una muestra. Un estadístico se usa para estimar un parámetro.

	parámetro	estadístico
media	μ	x̄
desviación estándar	σ	s
proporción	p	p̂

El peso medio de todas las manzanas del huerto, μ = 150 g (en azul), es un parámetro: un número fijo, usualmente desconocido. Una muestra aleatoria de 8 manzanas dio x̄ = 159.1 g y s = 17.0 g: estadísticos. La siguiente muestra dio x̄ = 150.8 g.

Como la muestra es aleatoria, un estadístico es una variable aleatoria. Su distribución de probabilidad, los valores que toma en todas las muestras posibles del mismo tamaño, es su distribución muestral.

Para distinguirlos, pregunta si el número vino de toda la población (parámetro) o de los datos disponibles (estadístico). Los parámetros usan letras griegas, o p; los estadísticos usan letras latinas, o un acento circunflejo.

5.3 · El teorema del límite central

las medias se vuelven normales

El teorema del límite central (TLC): cuando n es suficientemente grande, la distribución muestral de x̄ es aproximadamente normal, sea cual sea la forma de la población.

La figura toma 400 muestras aleatorias de cada tamaño de la población sesgada de la apertura y grafica sus medias:

n	media de las x̄	DE de las x̄	σ/√n
2	2.64	1.79	1.71
10	2.53	0.77	0.76
30	2.53	0.43	0.44

Tres cosas se cumplen a la vez. El centro se mantiene en μ = 2.54. La dispersión disminuye como σ/√n. Y la forma cambia: con n = 2 las medias siguen sesgadas a la derecha; con n = 30 la curva normal roja se ajusta bien a ellas.

\mu_{\bar{x}} = \mu \qquad \sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

Qué tan grande es suficiente depende de la población: cuanto más sesgada, mayor debe ser n. La regla práctica de AP es n ≥ 30.

Un error común: el TLC trata de la distribución de x̄, no de los datos. Una muestra grande de una población sesgada también se ve sesgada; son las medias de muchas de esas muestras las que se acumulan en forma normal.

5.4 · Estimadores puntuales sesgados e insesgados

puntería y precisión

Un estadístico que se usa para estimar un parámetro es un estimador puntual. Es insesgado cuando la media de su distribución muestral es igual al parámetro.

Cada blanco es un estimador. El centro azul es el parámetro; cada dardo es la estimación de una muestra aleatoria.

El sesgo tiene que ver con el centro. Los dos estimadores de arriba se centran en el blanco: insesgados. Los dos de abajo caen hacia un lado, muestra tras muestra: sesgados.

La variabilidad tiene que ver con la dispersión: cuánto se dispersan las estimaciones de una muestra a otra. Los dos de la izquierda varían poco, los dos de la derecha mucho. El mejor estimador (en rojo) tiene poco sesgo y poca variabilidad.

x̄ es un estimador insesgado de μ y p̂ de p: en 5.3 las x̄ se centraron en μ con cada n. El máximo muestral es sesgado para el máximo poblacional: nunca puede ser mayor, y suele ser menor.

Las muestras más grandes reducen la variabilidad, no el sesgo. Según 5.3, la DE de x̄ bajó de 0.77 con n = 10 a 0.43 con n = 30. Pero un método sesgado, como una encuesta de respuesta voluntaria, sigue sesgado sin importar cuántos la contesten: solo falla con más precisión.

5.5 · La distribución muestral de p̂

centro p, dispersión √(p(1 − p)/n)

La proporción muestral p̂ tiene una distribución muestral con media p y una desviación estándar que disminuye al crecer n.

En un distrito escolar de 8,000 estudiantes, el 35% va caminando a la escuela (cuentas rojas). La figura toma muestras aleatorias de 50 estudiantes y coloca la p̂ de cada muestra en el diagrama de puntos.

\begin{aligned} \mu_{\hat{p}} &= p = 0.35 \\ \sigma_{\hat{p}} &= \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \\ &= \sqrt{\frac{0.35(0.65)}{50}} = 0.0675 \end{aligned}

	media de p̂	DE de p̂
100 muestras simuladas	0.353	0.0657
las fórmulas	0.35	0.0675

Interpretación de la DE. En muestras aleatorias de 50 estudiantes de este distrito, la proporción muestral de los que van caminando suele variar alrededor de 0.067 respecto de la proporción verdadera, 0.35.

Como n está bajo la raíz cuadrada, cuadruplicar el tamaño de la muestra reduce la DE a la mitad: muestras de 200 darían 0.0337.

5.5 · Cuándo p̂ es aproximadamente normal

las condiciones del 10% y de conteos grandes

Dos condiciones nos permiten usar las fórmulas y un modelo normal para p̂. Verifica ambas, en contexto, antes de hacer cualquier cálculo.

Condición del 10 %. Al muestrear sin reemplazo, las extracciones son casi independientes cuando n ≤ 10 % de la población. Aquí 50 ≤ 0.10(8,000) = 800, así que se puede usar σ_p̂ = 0.0675.

Condición de conteos grandes. La distribución muestral es aproximadamente normal cuando np ≥ 10 y n(1 − p) ≥ 10. Aquí 50(0.35) = 17.5 y 50(0.65) = 32.5: ambos son al menos 10. Con conteos menores la distribución es asimétrica, alejándose del extremo más cercano, 0 o 1.

Una probabilidad. ¿Qué tan probable es que una muestra de 50 tenga al menos 45 % de estudiantes que caminan?

\begin{aligned} z &= \frac{0.45 - 0.35}{0.0675} = 1.48 \\ P(\hat{p} \ge 0.45) &= P(Z \ge 1.48) = 0.069 \end{aligned}

La cola sombreada. En las 100 muestras simuladas, 7 tuvieron p̂ ≥ 0.45: 0.07, cerca del modelo.

En estas condiciones usa p, el parámetro, y no p̂: la distribución muestral pertenece a la proporción verdadera.

5.6 · Diferencias de proporciones muestrales

comparar dos grupos por proporción

Para dos muestras aleatorias independientes, la diferencia p̂₁ − p̂₂ tiene su propia distribución muestral, centrada en p₁ − p₂.

El distrito 1 es el distrito de 5.5: 35 % caminan; muestras de 50. En el distrito 2, 25 % caminan; muestras de 60. Cada par de muestras da una diferencia (la barra roja), que cae en el diagrama de puntos.

\begin{aligned}\mu_{\hat{p}_1 - \hat{p}_2} &= p_1 - p_2 = 0.10 \\ \sigma_{\hat{p}_1 - \hat{p}_2} &= \sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1} + \frac{p_2(1-p_2)}{n_2}} \\ &= \sqrt{\frac{0.35(0.65)}{50} + \frac{0.25(0.75)}{60}} = 0.0876\end{aligned}

Las varianzas se suman, incluso en una diferencia: dos fuentes independientes de azar hacen que la diferencia varíe más que cualquiera de ellas sola. Las desviaciones estándar no se suman; las varianzas sí.

Condiciones. Muestras aleatorias independientes; cada una menor que el 10 % de su población; y los cuatro conteos de al menos 10: 17.5, 32.5, 15, 45. Entonces la distribución muestral es aproximadamente normal.

Una probabilidad. ¿Con qué frecuencia la muestra del distrito 2 mostraría la proporción más alta?

\begin{aligned} z &= \frac{0 - 0.10}{0.0876} = -1.14 \\ P(\hat{p}_1 - \hat{p}_2 < 0) &= P(Z < -1.14) = 0.127 \end{aligned}

Alrededor de 13 % de las veces, aunque el distrito 1 realmente tenga más estudiantes que caminan. En la figura, 11 de 100 diferencias quedaron por debajo de 0.

5.7 · La distribución muestral de x̄

centro μ, dispersión σ/√n

La media muestral x̄ tiene una distribución muestral con media μ y desviación estándar σ/√n.

\mu_{\bar{x}} = \mu \qquad \sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{12}{\sqrt{9}} = 4\ \text{g}

Para las manzanas del huerto, N(150, 12), el peso medio de una muestra aleatoria de 9 tiene una desviación estándar de 4 g: la curva roja, un tercio de ancha que la de la población.

Forma. Si la población es normal, x̄ es normal para cualquier n. Si no lo es, el TLC hace que x̄ sea aproximadamente normal cuando n ≥ 30. Con una muestra pequeña de una población sesgada o desconocida, no se cumple ninguna de las dos cosas y no se justifica un cálculo normal. La fórmula de la DE también requiere la condición del 10 %.

Una probabilidad. Una manzana de más de 155 g tiene z = (155 − 150)/12 = 0.42. La media de 9 por encima de 155 g tiene z = (155 − 150)/4 = 1.25:

\begin{aligned} P(X > 155) &= P(Z > 0.42) = 0.338 \\ P(\bar{x} > 155) &= P(Z > 1.25) = 0.106 \end{aligned}

Una manzana pesada es común; un promedio pesado de 9 no lo es, porque las manzanas ligeras y pesadas de una muestra se compensan. El error más común es dividir entre σ cuando la pregunta es sobre x̄.

5.8 · Diferencias de medias muestrales

comparar dos grupos por media

Para muestras aleatorias independientes de dos poblaciones, x̄₁ − x̄₂ tiene media μ₁ − μ₂, y su varianza es la suma de las dos varianzas.

Las manzanas de la variedad A pesan N(150, 12) gramos y las de la variedad B, N(140, 10). Toma al azar 9 manzanas A y 16 B y compara sus medias (la barra roja en el tablero superior).

\begin{aligned}\mu_{\bar{x}_1 - \bar{x}_2} &= \mu_1 - \mu_2 = 150 - 140 = 10\ \text{g} \\ \sigma_{\bar{x}_1 - \bar{x}_2} &= \sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}} \\ &= \sqrt{\frac{12^2}{9} + \frac{10^2}{16}} = 4.72\ \text{g}\end{aligned}

Forma. Ambas poblaciones son normales, así que la diferencia es normal. De lo contrario, cada muestra necesita n ≥ 30 para el TLC. Además, cada muestra debe ser menor que el 10 % de su población, y las muestras deben ser independientes entre sí.

Una probabilidad. ¿Qué tan probable es que la muestra B resulte más pesada en promedio?

\begin{aligned} z &= \frac{0 - 10}{4.72} = -2.12 \\ P(\bar{x}_A - \bar{x}_B < 0) &= P(Z < -2.12) = 0.017 \end{aligned}

Poco probable: con estos tamaños de muestra, la variedad más pesada casi siempre muestra la media más pesada. Con muestras más pequeñas, la curva roja sería más ancha y el área sombreada, mayor.