Statistics · AP Statistics
Probabilidad y variables aleatorias
el azar, contado
El azar no se puede predecir caso por caso, pero sí a largo plazo. La probabilidad es la matemática de ese largo plazo.
En la figura, cada bola cae por 10 filas de clavos. En cada clavo va a la izquierda o a la derecha con la misma probabilidad, así que nadie puede decir dónde caerá la siguiente bola.
Sin embargo, 240 bolas se acumulan en una forma que se puede predecir. Las marcas rojas son las alturas esperadas en cada casilla, calculadas antes de que cayera cualquier bola. Las tres casillas centrales deberían contener 65.6% de las bolas; contienen 164 de 240, es decir, 68.3%.
Este capítulo pregunta cuándo un patrón es solo azar, estima probabilidades mediante simulación y construye las reglas para combinarlas: complementos, “o”, “y”, probabilidad condicional e independencia. Después convierte los resultados en números. Una variable aleatoria tiene una distribución con media y desviación estándar, que se combinan de formas fijas. Dos distribuciones aparecen una y otra vez: la binomial (el tablero de la figura) y la geométrica.
¿será solo el azar?
Un proceso aleatorio genera resultados por azar. Las rachas y los grupos son parte de lo que produce, así que un patrón en datos aleatorios no tiene por qué significar algo.
Una cuadrícula de la figura son 50 lanzamientos de una moneda justa. La otra la escribió una persona que intentaba parecer aleatoria. La gente evita las rachas, y eso la delata:
| lanzamientos reales | inventados |
|---|
| heads | 19 | 25 |
| cambios H ↔ T | 25 | 35 |
| racha más larga | 5 | 3 |
Después de cada lanzamiento de una moneda justa, el siguiente cambia con probabilidad 1/2, así que lo típico son unos 24.5 cambios. La secuencia inventada cambia 35 veces; la real, 25.
¿Con qué frecuencia ocurre esto solo por azar? En 10,000 conjuntos simulados de 50 lanzamientos justos (las barras), 82% tuvo una racha de 5 o más. Solo 2.0% tuvo una racha más larga de 3 o menos. La racha de 5 cruces es normal. La secuencia inventada es la inusual.
Por eso, la racha de un jugador de baloncesto, o un grupo de enfermedades en un pueblo, no es evidencia de nada por sí solo. Primero pregunta con qué frecuencia el azar produciría un patrón así. Esa pregunta recorre el resto del curso.
la frecuencia relativa a largo plazo
La probabilidad de un resultado es la proporción de veces que ocurriría en una serie muy larga de repeticiones.
La ley de los grandes números. Cuando un proceso aleatorio se repite cada vez más veces, la frecuencia relativa de un resultado se acerca a su probabilidad. En la figura, la serie 1 tuvo 4 seises en sus primeros 10 lanzamientos (0.400), 14 en 50 (0.280) y 95 en 600 (0.158). Toda serie oscila al principio y se estabiliza cerca de 1/6 ≈ 0.167.
Esto es una afirmación solo sobre el largo plazo. Un dado no tiene memoria: después de una serie sin seises, un seis no es más probable. Las desviaciones iniciales no se corrigen; las diluyen los muchos lanzamientos que siguen.
Una simulación imita un proceso aleatorio para estimar una probabilidad:
1. Describe cómo se imita un ensayo con números aleatorios. 2. Indica qué se registra. 3. Realiza muchos ensayos. 4. Toma la frecuencia relativa como estimación.
Ejemplo. ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos un seis en cuatro lanzamientos de un dado? Un ensayo: cuatro enteros aleatorios del 1 al 6, cada uno es un lanzamiento. Registra si alguno es 6. Los primeros 6 ensayos:
| trial | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|
| rolls | 2 2 4 4 | 5 5 1 4 | 5 4 5 6 | 2 1 4 6 | 6 6 2 4 | 5 2 5 3 |
| ¿un seis? | no | no | yes | yes | yes | no |
De 1000 ensayos, 539 tuvieron un seis: una estimación de 0.539. El valor exacto (4.3) es 1 − (5/6)4 = 0.518. Con más ensayos, la estimación se acercaría más a él, en promedio. Con una tabla de dígitos aleatorios, usa 1–6 para las caras y omite 0, 7, 8 y 9.
espacios muestrales, eventos y complementos
El espacio muestral S de un proceso aleatorio es el conjunto de todos sus resultados posibles. Un evento es un conjunto de resultados, y su probabilidad es un número de 0 a 1.
Lanza dos dados. El espacio muestral tiene 6 × 6 = 36 resultados, uno por cada casilla de la figura, todos igualmente probables. Cuando los resultados son igualmente probables,
El evento A, “la suma es 7”, tiene 6 resultados (en rojo): (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1). Así que P(A) = 6/36 = 0.167. El orden importa: (1, 6) y (6, 1) son resultados distintos.
Todo evento cumple 0 ≤ P(A) ≤ 1, y P(S) = 1: siempre ocurre algo de S. Un evento con probabilidad 0 nunca ocurre; uno con probabilidad 1 siempre ocurre.
El complemento AC es el evento de que A no ocurra. A y AC no comparten resultados y juntos llenan S, así que
El complemento es el camino rápido para “al menos uno”. P(al menos un seis) = 1 − P(ningún seis) = 1 − 25/36 = 11/36: cuenta las casillas de la fila superior y la columna derecha, y hay 11.
eventos que no pueden ocurrir juntos
Dos eventos son mutuamente excluyentes (disjuntos) cuando no pueden ocurrir ambos: P(A ∩ B) = 0.
La notación: A ∩ B (“A y B”) es el evento de que ocurran ambos; A ∪ B (“A o B”) es el evento de que ocurra al menos uno. En un diagrama de Venn el rectángulo es el espacio muestral, y aquí las áreas están dibujadas a escala: el área de cada región es su probabilidad.
El tipo de sangre ABO de un donador es uno de cuatro:
| type | O | A | B | AB |
|---|
| probability | 0.44 | 0.42 | 0.10 | 0.04 |
Los eventos “tipo A” y “tipo B” son mutuamente excluyentes: nadie tiene ambos (el tipo AB es un tipo aparte). Sus círculos no se traslapan, así que las áreas simplemente se suman:
Los dardos de la figura caen al azar, así que la proporción que cae en una región se acerca a su área: la proporción en A o B se acerca a 0.52. El resto, O o AB, tiene probabilidad 0.48 = 1 − 0.52.
Suma probabilidades de esta forma solo cuando los eventos son mutuamente excluyentes. Si pueden traslaparse, la parte común se cuenta dos veces (4.6).
la probabilidad de A, dado B
La probabilidad condicional P(A | B) es la probabilidad de que ocurra A, dado que ya ocurrió B. Saber B reduce el espacio muestral a B.
Una encuesta preguntó a 500 conductores si habían enviado mensajes de texto mientras manejaban en el último mes:
| texted | no | total |
|---|
| 16–24 | 72 | 48 | 120 |
| 25 años o más | 95 | 285 | 380 |
| total | 167 | 333 | 500 |
Elige un conductor al azar. Sea T “envió mensajes” y Y “tiene entre 16 y 24 años”. P(T) = 167/500 = 0.334. Pero dado que el conductor tiene 16–24 años, solo cuenta esa fila:
La figura de la derecha muestra cada fila por separado: 0.60 de los conductores jóvenes enviaron mensajes, frente a 0.25 de los mayores.
El orden importa. P(Y | T) = 72/167 = 0.431: de los conductores que enviaron mensajes, 43.1% eran jóvenes. El numerador es el mismo; el denominador es lo que se da como condición.
Reordenada, la definición es la regla de la multiplicación, P(A ∩ B) = P(B) · P(A | B): P(T ∩ Y) = 0.24 × 0.60 = 0.144 = 72/500.
multiplica a lo largo de las ramas, suma entre ellas
Cuando un proceso aleatorio ocurre por etapas, un diagrama de árbol muestra los resultados de cada etapa como ramas. La probabilidad de un camino es el producto de las probabilidades a lo largo de él.
4% de una población tiene una condición. Una prueba de detección da positivo en 90% de las personas que la tienen y en 10% de las que no. Las ramas de la segunda etapa son probabilidades condicionales: 0.9 es P(+ | condición).
| path | probability | por cada 1000 personas |
|---|
| con la condición, + | 0.04 × 0.9 = 0.036 | 36 |
| con la condición, − | 0.04 × 0.10 = 0.004 | 4 |
| sin la condición, + | 0.96 × 0.1 = 0.096 | 96 |
| sin la condición, − | 0.96 × 0.90 = 0.864 | 864 |
Dos caminos terminan en una prueba positiva. Son mutuamente excluyentes, así que sus probabilidades se suman: P(+) = 0.036 + 0.096 = 0.132.
Alguien da positivo. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga la condición (C)?
Solo alrededor de 27%. En 1000 personas hay 36 verdaderos positivos y 96 falsos: la condición es poco común, así que los pocos errores entre las muchas personas sanas superan en número a los casos. La figura envía 400 personas por el árbol al azar; observa las hojas rojas y azules.
la regla de la suma, y cuándo saber una cosa no dice nada de la otra
Los eventos A y B son independientes si saber que uno ocurrió no cambia la probabilidad del otro: P(A | B) = P(A).
En una escuela, 35% de los estudiantes cursan AP Statistics (S), 25% cursan AP Biology (B) y 10% cursan ambas. Los discos se traslapan.
La regla de la suma. Al sumar P(S) y P(B) se cuenta dos veces la intersección (en rojo), así que se resta una vez:
Así que 0.50 no cursan ninguna. Para eventos mutuamente excluyentes, P(A ∩ B) = 0 y la regla se convierte en la de la sección 4.4.
Cómo comprobar la independencia. P(S | B) = 0.10/0.25 = 0.40, pero P(S) = 0.35. Saber que un estudiante cursa Biología aumenta la probabilidad de que cure Estadística, así que S y B no son independientes. La misma comprobación de otra forma: si fueran independientes, P(S ∩ B) sería igual a P(S) · P(B) = 0.0875, no 0.10.
Solo para eventos independientes, la regla de la multiplicación se convierte en P(A ∩ B) = P(A) · P(B). Dos dados distintos son independientes: P(ambos seis) = 1/6 × 1/6 = 1/36.
No confundas las dos ideas. Los eventos mutuamente excluyentes (con probabilidades positivas) nunca son independientes: si uno ocurre, la probabilidad del otro baja a 0. En 4.5, P(envió mensajes | 16–24) = 0.600 ≠ P(envió mensajes) = 0.334, así que enviar mensajes y el grupo de edad no son independientes.
resultados como números
Una variable aleatoria toma valores numéricos que dependen del resultado de un proceso aleatorio. Su distribución de probabilidad da sus valores posibles y sus probabilidades.
Sea X el número de autos que tiene un hogar elegido al azar en una ciudad. X es discreta: toma una lista de valores separados.
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|
| P(X = x) | 0.08 | 0.32 | 0.38 | 0.15 | 0.07 |
| P(X ≤ x) | 0.08 | 0.40 | 0.78 | 0.93 | 1.00 |
Una distribución válida tiene todas las probabilidades entre 0 y 1, y suman 1. En la figura, las barras son P(X = x). Los escalones negros son las probabilidades acumuladas P(X ≤ x), las barras sumadas desde la izquierda.
Lee con cuidado las palabras:
P(X ≥ 2), “al menos dos”: 0.38 + 0.15 + 0.07 = 0.60, o 1 − P(X ≤ 1) = 1 − 0.40.
P(X > 2), “más de dos”: 0.22, sin el 2.
P(1 ≤ X ≤ 3) = P(X ≤ 3) − P(X ≤ 0) = 0.93 − 0.08 = 0.85.
Los puntos rojos son hogares elegidos al azar: la proporción de cada valor hasta ahora. Conforme se acumulan las muestras, se acercan a las barras. Es de nuevo la ley de los grandes números: una distribución de probabilidad es el patrón a largo plazo de los valores.
el punto de equilibrio y una distancia típica a él
La media (valor esperado) μX de una variable aleatoria es su valor promedio a largo plazo. La desviación estándar σX es una distancia típica de sus valores a esa media.
Cada valor se pondera por su probabilidad:
La media es el punto de equilibrio del histograma (la cuña roja). No tiene que ser un valor que X pueda tomar: ningún hogar tiene 1.81 autos.
En contexto. “Si se eligieran muchos hogares al azar, el promedio de autos por hogar sería de alrededor de 1.81.” “El número de autos de un hogar elegido al azar suele variar respecto a la media de 1.81 en unos 1.02 autos.”
La varianza es σ2X = 1.0339. Un atajo da el mismo número: Σx2P(x) − μ2 = 4.31 − 1.812 = 1.0339.
Bajo el eje, la bola negra es la media de todos los hogares elegidos hasta ahora. Se mueve y luego se estabiliza en μ: la ley de los grandes números, para medias.
una transformación lineal: Y = a + bX
Sumar una constante a una variable aleatoria desplaza su media y no cambia su dispersión. Multiplicar por una constante multiplica ambas.
Se gira una ruleta una vez. X, el número en que cae, tiene esta distribución:
| x | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|
| P(X = x) | 0.4 | 0.3 | 0.2 | 0.1 |
μX = 2 y σX = 1. Jugar cuesta $7, y el premio es $3 por el número. La ganancia neta es Y = 3X − 7 dólares.
La figura lo hace en dos pasos. Multiplicar por 3 separa las barras 3 veces más: la media y la desviación estándar se triplican. Restar 7 baja cada barra en 7: la media se mueve, la dispersión no. Ningún paso cambia las alturas, así que la forma sigue igual.
En contexto. Después de muchos juegos, un jugador pierde en promedio $1 por juego. Un jugador gana dinero solo cuando X ≥ 3: P(Y > 0) = 0.3.
La varianza se multiplica por b2: σ2Y = 32 × 1 = 9. Sumar una constante cambia el centro (media, mediana, cuartiles); multiplicar cambia el centro y todas las medidas de dispersión (DE, RIC, rango).
las medias se suman; para variables independientes, las varianzas se suman
La media de una suma es la suma de las medias. Cuando las variables son independientes, la varianza de una suma, y de una diferencia, es la suma de las varianzas.
Gira la ruleta (X, de la página anterior) y lanza un dado justo (Y, media 3.5, DE 1.708). El giro y el lanzamiento son independientes. Su total T = X + Y tiene la distribución en rojo, que se obtiene sumando cada par de resultados.
Las desviaciones estándar no se suman: 1 + 1.71 = 2.71 es demasiado grande. Se combinan como los lados de un triángulo rectángulo (a la derecha de la figura).
Diferencias. D = Y − X tiene media 3.5 − 2 = 1.5, y su varianza sigue siendo σ2X + σ2Y, así que σD = 1.979. Restar una cantidad aleatoria agrega variabilidad; nunca la quita.
La regla de las medias vale para cualquier variable aleatoria. La regla de la varianza necesita independencia. Y dos giros X1 + X2 no es 2X: su DE es √2 σX, mientras que 2X tiene DE 2σX.
Variables normales. La suma o diferencia de variables aleatorias normales independientes es normal. Los dos tramos de un relevo duran N(24, 1.5) y N(26.5, 2) minutos. El total es N(50.5, 2.5), con √(1.52 + 22) = 2.5. P(total < 48) = P(z < −1.00) = 0.1587.
contar éxitos en n ensayos
Una variable aleatoria binomial cuenta los éxitos en un número fijo de ensayos independientes que tienen la misma probabilidad de éxito.
Comprueba las cuatro condiciones (BINS): Binario, cada ensayo es un éxito o un fracaso; ensayos Independientes; un Número fijo de ensayos, n; la Smisma probabilidad de éxito, p, en cada ensayo.
En el tablero, cada clavija es un ensayo y “derecha” es un éxito: n = 10, p = 0.5. X, el número de veces a la derecha, es el compartimento donde cae una bola. Para caer en el compartimento 6, una bola debe ir a la derecha en 6 de las 10 clavijas. Cada ruta así tiene probabilidad (1/2)10, y hay C(10, 6) = 210 de ellas:
El compartimento 6 debería recibir 240 × 0.205 ≈ 49 de las bolas; recibió 47.
En contexto. Una jugadora encesta 70% de sus tiros libres y lanza 10, que tratamos como independientes. X, el número de encestes, es binomial con n = 10, p = 0.7.
P(X = 8) = C(10, 8)(0.7)8(0.3)2 = 0.2335.
P(X ≥ 8) = 1 − P(X ≤ 7) = 1 − 0.6172 = 0.3828: “al menos” usa la probabilidad acumulada del complemento.
No son binomiales: sacar cartas sin reemplazo (los ensayos no son independientes); contar los lanzamientos hasta la primera cara (no hay n fijo: eso es 4.12).
μ = np, σ = √(np(1 − p))
Una distribución binomial queda determinada por sus dos parámetros, n y p. Su media y su desviación estándar se obtienen a partir de ellos.
Para el tablero, μ = 10(0.5) = 5 y σ = √(10 × 0.5 × 0.5) = 1.58. Las barras a una σ de la media, 4, 5, 6, concentran 0.656 de la probabilidad.
Estas son las reglas de 4.9 en acción. X es la suma de 10 ensayos independientes, cada uno con valor 1 con probabilidad p y 0 en caso contrario. Un ensayo tiene media p y varianza p(1 − p). Las medias se suman, y las varianzas también.
En contexto. Para los tiros libres, μ = 10(0.7) = 7 y σ = √(10 × 0.7 × 0.3) = 1.45. “En muchas series de 10 tiros libres, ella convierte 7 en promedio; el número de aciertos suele variar respecto de 7 en aproximadamente 1.45.”
Forma. Con p = 0.5 la distribución es simétrica. Con p cercana a 0 o a 1 es asimétrica, y lo es menos a medida que n crece. Cuando np ≥ 10 y n(1 − p) ≥ 10, es casi normal, lo cual se usa en la unidad 5.
La condición del 10%. Muestrear sin reemplazo hace que los ensayos sean dependientes. Si la muestra es como máximo el 10% de la población, la dependencia es leve y el modelo binomial sigue siendo bueno.
ensayos hasta el primer éxito
Una variable aleatoria geométrica cuenta los ensayos hasta el primer éxito, incluido este, en ensayos independientes que tienen la misma probabilidad de éxito.
Una marca de cereal pone un premio en 20% de sus cajas. Abres cajas una por una hasta encontrar un premio; X es el número de cajas abiertas. No hay un número fijo de ensayos, así que X no es binomial. Para tener el primer éxito en el ensayo x (x = 1, 2, 3, …), los primeros x − 1 ensayos deben fallar:
Cada barra es 0.8 veces la anterior, así que la distribución siempre es asimétrica a la derecha y su valor más probable siempre es 1.
P(X ≤ 3) = 1 − P(ningún premio en las primeras 3) = 1 − 0.83 = 0.488.
P(X > 5) = 0.85 = 0.328: las primeras cinco cajas fallan.
En contexto. “Si esto se repitiera muchas veces, se necesitarían 5 cajas en promedio para encontrar un premio.” La figura reproduce una corrida tras otra: se abren cajas hasta la roja, y luego la bola marca la X de esa corrida.
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