Inferencia para proporciones · AP Statistics

Capítulo 6 · Inferencia para proporciones

intervalos y pruebas para p

Una proporción muestral estima una proporción poblacional. La inferencia dice cuánto confiar en ella.

En la figura se toman 50 muestras aleatorias de 500 adultos de una ciudad, donde una proporción p = 0.60 apoya una nueva ciclovía. La figura conoce p; una encuesta real nunca la conoce.

Cada muestra da su propia p̂ (un punto) y un intervalo de confianza del 95% a su alrededor (una barra). La línea vertical es p. 47 de los 50 intervalos la cubren; 3, en rojo, no la capturan.

Este capítulo construye esos intervalos y explica qué significa y qué no significa “95% de confianza”. Luego da la vuelta a la pregunta: una prueba de significancia pregunta si una muestra sería sorprendente si un valor afirmado de p fuera cierto, y qué errores puede cometer esa decisión. Por último, las mismas dos herramientas para la diferencia entre dos proporciones.

6.1 · ¿Por qué normal?

la distribución muestral de p̂

Las proporciones muestrales varían de una muestra a otra. Cuando la muestra es suficientemente grande, su distribución es aproximadamente normal, así que un modelo normal indica qué resultados son poco comunes.

En la figura se extraen muestras aleatorias de una población con p = 0.1, y la p̂ de cada muestra cae en un histograma: muestras de 20 a la izquierda y de 200 a la derecha. La curva roja es el modelo normal.

\mu_{\hat p} = p \qquad \sigma_{\hat p} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}

p̂ está centrada en p: es un estimador insesgado. Su dispersión disminuye al crecer n: σ es 0.067 para n = 20 y 0.021 para n = 200. Con 10 veces la muestra, hay √10 veces menos dispersión.

Conteos grandes. La forma es aproximadamente normal cuando np ≥ 10 y n(1 − p) ≥ 10. Con n = 20, np = 2: el histograma está sesgado a la derecha y amontonado contra 0, y la curva normal pone 6.8% de su área por debajo de 0, adonde p̂ no puede llegar. Con n = 200, np = 20 y n(1 − p) = 180: la curva se ajusta.

La condición del 10%. La fórmula de σ supone observaciones independientes. Al muestrear sin reemplazo, esto se cumple lo bastante bien cuando la muestra es como máximo el 10% de la población.

Ejemplo. Con n = 200, ¿qué tan probable es p̂ ≥ 0.15? z = (0.15 − 0.1)/0.0212 = 2.36, y P(Z ≥ 2.36) = 0.0092. Una muestra tan por encima de 0.1 sería muy poco común solo por azar.

6.2 · Construcción de un intervalo de confianza

estadístico ± (valor crítico)(error estándar)

Un intervalo de confianza da un rango de valores plausibles para p: el valor p̂ de la muestra, más y menos un margen de error.

Una muestra aleatoria de 500 adultos de una ciudad: 290 apoyan una nueva ciclovía, así que p̂ = 290/500 = 0.580. Un intervalo z de una muestra para p:

\begin{aligned}\hat p &\pm z^*\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}} \\ &= 0.580 \pm 1.960\sqrt{\frac{(0.58)(0.42)}{500}} \\ &= 0.580 \pm 0.043 = (0.537,\ 0.623)\end{aligned}

z* = 1.960 para 95%: el 95% central de una normal estándar está entre −1.960 y 1.960. El error estándar usa p̂ en lugar del p desconocido. El margen de error es z* × SE = 0.043.

condición	verificación
Aleatoria	una muestra aleatoria de adultos
10%	500 ≤ 10% de los 820,000 adultos de la ciudad
Conteos grandes	np̂ = 290 y n(1 − p̂) = 210, ambos ≥ 10

Por qué funciona. En 95% de las muestras, p̂ cae a menos de 1.96σ de p (la banda azul). Cuando eso ocurre, el intervalo que se extiende 1.96 SE a cada lado de p̂ vuelve a abarcar p. En la figura, la muestra 6 cae fuera de la banda y su intervalo no lo captura.

En el examen, nombra el procedimiento, verifica las condiciones, haz los cálculos y expresa el intervalo en contexto.

6.2 · Margen de error y tamaño de muestra

elegir n antes de muestrear

El margen de error se reduce al crecer n, pero despacio: como 1/√n. Para planear una encuesta, elige primero el margen y luego despeja n.

\begin{aligned}&z^*\sqrt{\frac{p^*(1-p^*)}{n}} \le \text{ME} \\ &n \ge \Big(\frac{z^*}{\text{ME}}\Big)^2 p^*(1-p^*)\end{aligned}

p* es una estimación de p. Si no tienes ninguna, usa p* = 0.5: hace que p*(1 − p*) = 0.25, su valor máximo, así que la n obtenida alcanza sea cual sea el valor de p.

Ejemplo. Un margen de como máximo 0.03 con 95% de confianza:

n \ge \Big(\frac{1.960}{0.03}\Big)^2(0.5)(0.5) = 1067.1

así que n = 1068. Redondea siempre hacia arriba: 1067 daría un margen un poco mayor que 0.03. Con la estimación de un estudio piloto p* = 0.2, bastan 683 (la curva azul).

Reducir el margen a la mitad requiere una muestra cuatro veces mayor: n está bajo una raíz cuadrada.

El margen de error cubre solo la variación por azar del muestreo aleatorio. No dice nada sobre el sesgo por subcobertura, la falta de respuesta o una pregunta tendenciosa.

6.3 · Interpretación de un intervalo de confianza

qué significa el 95% de confianza y qué no significa

El intervalo es una afirmación sobre p. El nivel de confianza es una afirmación sobre el método que lo produjo.

El intervalo. “Tenemos 95% de confianza en que el intervalo de 0.537 a 0.623 captura la proporción verdadera de todos los adultos de la ciudad que apoyan la ciclovía.” Nombra el parámetro, en contexto.

El nivel de confianza. “Si tomáramos muchas muestras aleatorias de 500 y construyéramos un intervalo del 95% con cada una, aproximadamente el 95% de los intervalos capturaría la proporción verdadera.” En la figura, 47 de 50 lo hacen; los 3 rojos no la capturan, y nada en ellos nos lo advirtió.

No: “hay una probabilidad del 95% de que p esté entre 0.537 y 0.623.” p es fija; este intervalo la captura o no la captura. Tampoco se refiere al 95% de los adultos ni al 95% de las proporciones muestrales.

Justificar una afirmación. Cada valor dentro del intervalo es un valor plausible de p.

afirmación	a partir de (0.537, 0.623)
una mayoría lo apoya, p > 0.5	convincente: todos los valores plausibles están por encima de 0.5
p = 0.60	plausible: está dentro del intervalo
p ≥ 0.65	no plausible: el intervalo queda por debajo

Plausible no es demostrado: el intervalo no muestra que p = 0.60, solo que 0.60 no se puede descartar.

6.3 · Nivel de confianza y amplitud

más confianza cuesta amplitud; más datos la recuperan

Un nivel de confianza mayor necesita una z* más grande, y por tanto un intervalo más amplio. Una muestra más grande reduce el error estándar, y con él el intervalo.

nivel	z*	margen de error	intervalo
90%	1.645	0.036	(0.544, 0.616)
95%	1.960	0.043	(0.537, 0.623)
99%	2.576	0.057	(0.523, 0.637)
95%, n = 2,000	1.960	0.022	(0.558, 0.602)

Todo a partir de la misma p̂ = 0.58. En la figura, el intervalo rojo recorre niveles de 80.0% a 99.5%; el azul tiene una muestra cuatro veces mayor y la mitad del margen de error.

Un intervalo del 99% captura p con más frecuencia, pero dice menos. Querer a la vez alta confianza y un intervalo estrecho exige una muestra mayor.

El nivel de confianza se elige antes de los datos; no es la probabilidad de que un intervalo en particular sea correcto. Ni el nivel ni n cambian el centro del intervalo: p̂.

6.4 · Planteamiento de una prueba

hipótesis y condiciones, con p₀

Una prueba de significancia pregunta si una muestra aporta evidencia convincente en contra de una afirmación sobre p.

Un fabricante de teléfonos dice que 25% de sus teléfonos necesitan una reparación en un plazo de dos años. Un grupo de consumidores sospecha que son más. En una muestra aleatoria de 400 teléfonos del fabricante, 118 necesitaron una reparación: p̂ = 0.295.

H_0\!: p = 0.25 \qquad H_a\!: p > 0.25

donde p es la proporción de todos los teléfonos del fabricante que necesitan una reparación en un plazo de dos años. La hipótesis nula H₀ es la afirmación “no hay diferencia con 0.25”; la hipótesis alternativa H_a es aquello para lo que el grupo espera encontrar evidencia. Las hipótesis hablan del parámetro p, nunca de p̂, y se plantean antes de ver los datos.

H_a es unilateral (> o <) cuando la pregunta tiene una dirección, y bilateral (≠) cuando cualquier diferencia importa.

condición	verificación
Aleatoriedad	una muestra aleatoria de los teléfonos del fabricante
10%	400 ≤ 10% de todos sus teléfonos
Conteos grandes	np₀ = 100 y n(1 − p₀) = 300, ambos ≥ 10

Los conteos grandes usan p₀, no p̂: la prueba calcula lo que ocurriría si H₀ fuera verdadera. La figura dibuja 200 muestras de 400 con p = 0.25; se acumulan alrededor de la curva normal con centro 0.25 y desviación estándar 0.0217.

z = \frac{\hat p - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}} = \frac{0.295 - 0.25}{0.0217} = 2.08

6.5 · Interpretación de los valores p

qué tan sorprendente es, si H₀ fuera verdadera

El valor p es la probabilidad, suponiendo que H₀ es verdadera, de obtener un estadístico al menos tan extremo como el observado, en la dirección de H_a.

\text{p-value} = P(Z \ge 2.08) = 0.019

En la figura, 5 de las 200 muestras tomadas con p = 0.25 alcanzaron 0.295 o más: una fracción 0.025, cercana a 0.019 del modelo normal.

En contexto: “Suponiendo que 25% de todos los teléfonos del fabricante necesitan una reparación, hay una probabilidad de 0.019 de obtener una proporción muestral de 0.295 o mayor en una muestra aleatoria de 400 teléfonos, solo por azar.”

Un valor p pequeño significa que los datos serían raros si H₀ fuera verdadera: es evidencia en contra de H₀. Uno grande significa que los datos son del tipo que H₀ produce con frecuencia: no hay evidencia en su contra.

No es: la probabilidad de que H₀ sea verdadera, ni la probabilidad de que el resultado haya ocurrido por azar. El valor p se calcula suponiendo H₀.

En una H_a bilateral, se cuentan ambas colas: el valor p es el doble del área más allá de |z|.

6.6 · Conclusión de una prueba

compara el valor p con α

Antes de ver los datos, elige un nivel de significancia α. Si el valor p es menor que α, rechaza H₀; si no, no rechaces H₀.

Con α = 0.05: 0.019 < 0.05, así que se rechaza H₀. “Como el valor p de 0.019 es menor que α = 0.05, rechazamos H₀. Tenemos evidencia convincente de que más de 25% de todos los teléfonos del fabricante necesitan una reparación en un plazo de dos años.”

Con α = 0.01: 0.019 > 0.01, así que no se rechaza H₀. “No tenemos evidencia convincente de que más de 25% necesiten una reparación.”

Nunca “aceptes H₀”: no encontrar evidencia en contra de una afirmación no demuestra que sea verdadera.

La misma decisión con el estadístico de prueba: se rechaza cuando z está más allá del valor crítico, z* = 1.645 para α = 0.05 unilateral, 2.326 para 0.01. En la figura, α va de 0.005 a 0.1; la región azul está más allá de z*, y la decisión cambia cuando pasa por z = 2.08.

Un resultado con valor p menor que α se llama estadísticamente significativo a ese nivel. Significativo no es lo mismo que grande o importante.

6.7 · Errores y potencia

Error tipo I, error tipo II y la potencia para detectar

Una prueba puede equivocarse de dos maneras. Su potencia es la probabilidad de acertar cuando H₀ es falsa.

	H₀ verdadera	H₀ falsa
rechazar H₀	Error tipo I, probabilidad α	correcto: potencia
no rechazar	correcto	Error tipo II, probabilidad β

En contexto: un error tipo I sería concluir que más de 25% de los teléfonos necesitan reparación cuando en realidad 25% la necesitan; se acusa injustamente al fabricante. Un error tipo II sería no detectar un exceso real; los dueños seguirían pagando reparaciones.

Supón que la verdad es p = 0.3. Con α = 0.05 la prueba rechaza cuando p̂ > 0.2856. Con n = 400:

\begin{aligned}\text{power} &= P(\hat p > 0.2856 \mid p = 0.30) \\ &= 0.735 \\ \beta &= 1 - \text{power} = 0.265\end{aligned}

n	100	200	400	800
potencia	0.322	0.496	0.735	0.937

La potencia aumenta con una muestra más grande (las curvas se estrechan, como en la figura), con un α mayor (con α = 0.1 y n = 400, 0.834) y con un p verdadero más alejado de p₀. Reducir α disminuye los errores tipo I pero aumenta β: ambos se compensan con una n fija.

6.8 · Un intervalo para una diferencia

p̂₁ − p̂₂, a partir de dos muestras independientes

Para comparar dos proporciones, estima su diferencia: (p̂₁ − p̂₂) ± z* × SE.

Muestras aleatorias independientes de 400 adolescentes y 500 adultos: 248 adolescentes y 255 adultos dicen que se informan principalmente por redes sociales. p̂₁ = 0.62, p̂₂ = 0.51, una diferencia de 0.11.

\begin{aligned}\text{SE} &= \sqrt{\frac{\hat p_1(1-\hat p_1)}{n_1} + \frac{\hat p_2(1-\hat p_2)}{n_2}} \\ &= \sqrt{0.000589 + 0.000500} \\ &= 0.0330\end{aligned}

\begin{aligned}(\hat p_1 - \hat p_2) &\pm z^*\,\text{SE} \\ &= 0.11 \pm 1.960(0.0330) \\ &= 0.11 \pm 0.065 \\ &= (0.045,\ 0.175)\end{aligned}

Se suman las varianzas, no los errores estándar: la diferencia de dos estimaciones independientes varía más que cualquiera de ellas.

condición	verificación
Aleatoriedad	dos muestras aleatorias independientes (o dos grupos de un experimento aleatorizado)
10%	cada muestra ≤ 10% de su población
Conteos grandes	248, 152, 255, 245: los cuatro ≥ 10

Indica cuál es el grupo 1. El orden determina el signo: adultos menos adolescentes daría (-0.175, -0.045).

6.9 · Justificación de una afirmación sobre una diferencia

¿es 0 un valor plausible de p₁ − p₂?

Si 0 queda fuera del intervalo, los datos dan evidencia convincente de que las dos proporciones son distintas. Si 0 queda dentro, no.

En contexto: “Tenemos 95% de confianza en que el intervalo de 0.045 a 0.175 contiene la verdadera diferencia (adolescentes menos adultos) en las proporciones de quienes se informan principalmente por redes sociales.”

Todos los valores son mayores que 0, así que hay evidencia convincente de que una proporción mayor de adolescentes que de adultos lo hace: por entre 4.5 y 17.5 puntos porcentuales.

Un estudio más pequeño. Los mismos p̂ de 100 adolescentes y 100 adultos dan (-0.027, 0.247) (azul). 0 está dentro: una diferencia de 0 es plausible, así que estos datos no dan evidencia convincente de una diferencia.

Eso no es evidencia de que no haya diferencia: el intervalo también permite una diferencia tan grande como 0.25. Una muestra más grande lo estrecha.

Un intervalo completamente negativo sería evidencia de que p₁ < p₂. Un intervalo que contiene 0 equivale al veredicto de una prueba bilateral con α = 1 − C que no rechaza.

6.10 · Planteamiento de una prueba con dos muestras

H₀: no hay diferencia, y la proporción combinada

Una prueba z de dos muestras pregunta si la diferencia entre dos proporciones muestrales es mayor de lo que daría el azar.

En un experimento, 300 voluntarios fueron asignados al azar: 150 recibieron un recordatorio por mensaje de texto y 150 no. 87 del grupo con recordatorio se vacunaron contra la influenza (0.58) y 66 de los demás (0.44).

\begin{aligned}H_0\!&: p_1 - p_2 = 0 \\ H_a\!&: p_1 - p_2 > 0\end{aligned}

donde p₁ y p₂ son las proporciones verdaderas de quienes se vacunarían contra la influenza con recordatorio y sin él.

Combinación. H₀ dice que las dos proporciones son iguales, así que la prueba estima ese único valor común con los dos grupos juntos: la proporción combinada. En la figura, los dos grupos se fusionan y las vacunas se reparten por igual entre ellos:

\hat p_c = \frac{X_1 + X_2}{n_1 + n_2} = \frac{87 + 66}{150 + 150} = 0.510

condición	verificación
Aleatoriedad	asignación aleatoria a los dos tratamientos
10%	no se necesita: no se muestrea de una población
Conteos grandes	con p̂_c: 76.5, 73.5, 76.5, 73.5, todos ≥ 10

6.11 · Realización de una prueba con dos muestras

z, el valor p y una conclusión en contexto

El estadístico de prueba mide la diferencia observada en errores estándar, con el error estándar calculado a partir de p̂_c.

\begin{aligned}\text{SE} &= \sqrt{\hat p_c(1-\hat p_c)\Big(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}\Big)} \\ &= \sqrt{(0.51)(0.49)\Big(\frac{1}{150} + \frac{1}{150}\Big)} \\ &= 0.0577\end{aligned}

\begin{aligned}z &= \frac{(\hat p_1 - \hat p_2) - 0}{\text{SE}} \\ &= \frac{0.58 - 0.44}{0.0577} = 2.43\end{aligned}

valor p = P(Z ≥ 2.43) = 0.0076, la cola roja de la figura.

Conclusión. “Como el valor p de 0.0076 es menor que α = 0.05, rechazamos H₀. Tenemos evidencia convincente de que un recordatorio por mensaje de texto aumenta la proporción de personas como estos voluntarios que se aplican la vacuna contra la gripe.”

La asignación aleatoria permite que la conclusión sea causal. Los voluntarios no fueron una muestra aleatoria, así que la conclusión solo se extiende a personas como ellos.

Combina las muestras para la prueba, porque H₀ dice que p₁ = p₂. No las combines para el intervalo, que no hace ese supuesto.