Inferencia para medias · AP Statistics

Capítulo 7 · Inferencia para medias

Procedimientos t para μ

La media muestral es una buena estimación de la media poblacional, pero solo una estimación. La inferencia para medias dice qué tan buena es, usando solo la muestra.

La figura es una simulación, así que por una vez se conoce la verdad: una población con media μ = 250 y desviación estándar 5. Una y otra vez se toma una muestra aleatoria de 10 y, solo a partir de cada muestra, se construye un intervalo, x̄ ± t*·s/√n.

Los intervalos se mueven con sus muestras. 19 de estos 20 capturan a μ; el que falla es rojo. A la larga, 95% de ellos la capturan, y eso es lo que significa “95% de confianza”.

Este capítulo: por qué t y no z (7.1); intervalos de confianza y pruebas de significancia para una media (7.2–7.5), incluidos los datos pareados; lo mismo para la diferencia de dos medias (7.6–7.9); y cómo elegir un procedimiento (7.10).

7.1 · Las distribuciones t

¿debo preocuparme por el error?

Para estandarizar x̄ necesitamos σ, que casi nunca conocemos. Si ponemos en su lugar la s de la muestra, obtenemos un estadístico que varía más que z: tiene una distribución t.

En una muestra aleatoria, x̄ tiene media μ y desviación estándar σ/√n. Con s en lugar de σ, el error estándar de x̄ es s/√n, y

t = \frac{\bar{x} - \mu}{s/\sqrt{n}}, \qquad df = n - 1

s también cambia de una muestra a otra, y en una muestra pequeña suele ser demasiado pequeña, así que t cae lejos de 0 con más frecuencia que z. Una distribución t está centrada en 0, es simétrica y tiene forma de campana, con colas más pesadas que la normal estándar. Sus grados de libertad determinan su forma: al crecer df, s estima mejor a σ y la curva se acerca a la normal.

df	2	5	10	15	30	100	∞ (z)
t* para 95%	4.303	2.571	2.228	2.131	2.042	1.984	1.960

En la figura: con df = 4, P(|t| > 2) = 0.116, frente a 0.046 para z. Si usas z* = 1.96 con una muestra pequeña, los intervalos resultan demasiado estrechos: capturan a μ con menos frecuencia de la que afirman. t* corrige eso.

Siempre es posible equivocarse. Un intervalo puede no contener a μ; una prueba puede rechazar una hipótesis nula verdadera (error tipo I) o no rechazar una falsa (tipo II). Los métodos dicen con qué frecuencia ocurre, nunca si ocurrió esta vez.

7.2 · Un intervalo de confianza para μ

estadístico ± (valor crítico)(error estándar)

Un intervalo t de una muestra estima la media poblacional μ a partir de una muestra aleatoria.

Una máquina de café está ajustada para servir 250 mL. Una muestra aleatoria de 16 tazas (mL):

244.3	248.9	253.8	247.8	246.1	248.6	247.2	243.3
250.6	248.3	245.3	243.7	254.8	251.9	243.4	245.6

x̄ = 247.73 mL, s = 3.60 mL. Con df = 15, t* = 2.131 para 95% de confianza.

\begin{aligned}\bar{x} \pm t^*\frac{s}{\sqrt{n}} &= 247.73 \pm 2.131\cdot\frac{3.60}{\sqrt{16}} \\ &= 247.73 \pm 1.92 \\ &= (245.81,\ 249.64)\ \text{mL}\end{aligned}

En la figura, la bola azul es x̄, la barra oscura es un error estándar hacia cada lado y la barra roja es el intervalo completo: t* errores estándar hacia cada lado.

Interprétalo en contexto: tenemos 95% de confianza en que el intervalo de 245.81 a 249.64 mL captura el volumen medio verdadero de todas las tazas que sirve esta máquina.

El margen de error, t*·s/√n, crece con el nivel de confianza (90%: ±1.58; 99%: ±2.65) y disminuye al crecer n, como 1/√n: con una muestra cuatro veces mayor, el margen se reduce a la mitad.

7.2 · Revisar las condiciones

aleatoriedad, 10 % y muestra normal o grande

Un intervalo o una prueba t solo es confiable cuando se cumplen tres condiciones. Enuncia cada una, en contexto, antes de calcular.

Aleatoriedad. Los datos provienen de una muestra aleatoria o de un experimento aleatorizado.

10%. Si se muestrea sin reemplazo, n ≤ 10% de la población, de modo que las observaciones son casi independientes.

Normalidad/Muestra grande. La población es aproximadamente normal, o n ≥ 30. Si n < 30 y se desconoce la forma de la población, grafica la muestra: no debe haber sesgo fuerte ni valores atípicos.

La figura muestra tres muestras en una misma escala.

	n	la muestra	¿Normalidad/Muestra grande?
A	12	más o menos simétrica, sin valores atípicos	sí
B	12	fuertemente sesgada a la derecha, 1 valor atípico	no
C	40	sesgada a la derecha	sí, n ≥ 30

En B, Q₁ = 2.40 y Q₃ = 6.15, así que todo lo que supere 6.15 + 1.5(3.75) = 11.78 es un valor atípico: 13.7 lo es. Con solo 12 valores, x̄ y s se ven afectadas por él, y el procedimiento t no es seguro. C también está sesgada, pero con 40 valores el teorema del límite central hace que la distribución muestral de x̄ sea casi normal.

En las tazas de café, 16 < 30, pero su diagrama de puntos no muestra sesgo fuerte ni valores atípicos, así que el intervalo de 7.2 se mantiene.

7.3 · Justificar una afirmación con un intervalo

los valores plausibles de μ

Un intervalo de confianza da los valores plausibles de μ. Un valor afirmado fuera del intervalo no es plausible; uno dentro es plausible, pero no está demostrado.

El fabricante de la máquina afirma que sirve 250 mL en promedio. El intervalo de 95%, de 245.81 a 249.64 mL, no contiene 250 (la línea azul). Todos los valores plausibles están por debajo: el intervalo da evidencia convincente de que la máquina sirve menos de 250 mL en promedio.

Con 99% de confianza el intervalo va de 245.07 a 250.38 mL. Ese sí contiene 250, así que a este nivel la afirmación es plausible. Más confianza significa un intervalo más ancho y menos valores descartados.

Qué significa “95% de confianza”. El método captura a μ en 95% de todas las muestras aleatorias posibles, como en la figura inicial. Este intervalo en particular captura a μ o no; no sabemos cuál de las dos.

Errores comunes.

“Hay una probabilidad de 95% de que μ esté entre 245.81 y 249.64.” No: μ es fija; la probabilidad pertenece al método.
“95% de las tazas contienen entre 245.81 y 249.64 mL.” No: el intervalo es para la media, no para tazas individuales, que varían mucho más.
“250 está en el intervalo de 99%, así que la media es 250.” No: es solo uno de muchos valores plausibles.

7.4 · Plantear una prueba para μ

hipótesis sobre una media poblacional

Una prueba t de una muestra pregunta si una muestra da evidencia convincente en contra de un valor afirmado μ₀ de la media poblacional.

Un inspector de calidad verifica si la máquina se desvía del valor objetivo, en cualquier dirección:

H_0\!: \mu = 250 \qquad H_a\!: \mu \ne 250

donde μ es el volumen medio verdadero, en mL, de todas las tazas que sirve la máquina. Las hipótesis son sobre el parámetro μ, nunca sobre x̄, y se eligen antes de ver los datos. Si solo importara que sirviera de menos, H_a: μ < 250 sería unilateral.

El nivel de significancia, α = 0.05, también se elige de antemano: es la probabilidad de un error tipo I, rechazar H₀ cuando es verdadera.

Las condiciones son las del intervalo: una muestra aleatoria; 16 tazas son menos de 10% de todas las tazas servidas; no hay sesgo fuerte ni valores atípicos en la muestra, ya que 16 < 30.

La pregunta que responde la prueba: la media muestral, 247.73 mL (azul), está por debajo de 250. ¿Está lo bastante por debajo, medida en errores estándar, como para que el azar por sí solo sea una explicación poco probable?

7.5 · Realizar una prueba para μ

el estadístico t y su valor p

El estadístico de prueba cuenta a cuántos errores estándar está x̄ de μ₀. El valor p es la probabilidad de obtener un resultado al menos así de extremo si H₀ fuera verdadera.

\begin{aligned}t &= \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}} = \frac{247.73 - 250}{3.60/\sqrt{16}} \\ &= -2.53, \quad df = 15\end{aligned}

Para H_a: μ ≠ 250 cuentan ambas colas (rojo): valor p = 2P(t ≤ −2.53) = 0.023.

Concluye en contexto. Como 0.023 < α = 0.05, rechazamos H₀. Hay evidencia convincente de que el volumen medio verdadero de todas las tazas que sirve esta máquina no es 250 mL.

Interpreta el valor p: suponiendo que la media verdadera es 250 mL, hay una probabilidad de 0.023 de obtener una media muestral al menos tan alejada de 250 como 247.73 mL, en cualquier dirección, solo por azar en una muestra aleatoria de 16 tazas.

La prueba coincide con el intervalo de 95% de 7.3, que dejó fuera 250: una prueba bilateral con α = 0.05 rechaza exactamente los valores que un intervalo de 95% deja fuera. Con α = 0.01 no rechazaríamos, pues 250 está en el intervalo de 99%.

No rechazar nunca demuestra que H₀ sea verdadera; solo dice que la evidencia no es convincente.

7.5 · Datos pareados

una muestra de diferencias

Cuando a cada individuo se le mide dos veces, o los individuos forman pares emparejados, analiza las diferencias: son una sola muestra y se aplican los procedimientos t de una muestra.

12 estudiantes elegidos al azar presentan una prueba de velocidad de lectura (palabras por minuto) antes y después de un curso breve. En la figura, cada estudiante es una barra que une el antes (gris) con el después (negro). Las barras se deslizan para comenzar en 0 y sus longitudes son las diferencias d = después − antes:

antes	208	135	209	170	169	245	195	160	230	207	212	195
después	213	133	229	183	177	260	203	171	226	231	223	205
d	5	−2	20	13	8	15	8	11	−4	24	11	10

x̄_d = 9.92, s_d = 8.01. Contrasta H₀: μ_d = 0 contra H_a: μ_d > 0, donde μ_d es la verdadera ganancia media de estudiantes como estos.

\begin{aligned}t &= \frac{\bar{x}_d - 0}{s_d/\sqrt{n}} = \frac{9.92}{8.01/\sqrt{12}} \\ &= 4.29, \quad df = 11\end{aligned}

valor p = 0.0006: evidencia convincente de que el curso aumenta la velocidad media de lectura. El intervalo de confianza del 95% para μ_d va de 4.83 a 15.00 palabras por minuto (rojo).

Las condiciones se verifican sobre las diferencias: una muestra aleatoria, 12 < 10% de todos los estudiantes de este tipo y, como 12 < 30, un diagrama de puntos de las diferencias sin sesgo fuerte ni valores atípicos.

7.6 · Un intervalo de confianza para μ₁ − μ₂

dos muestras independientes

Para comparar las medias de dos poblaciones (o dos tratamientos), usa el intervalo t de dos muestras para μ₁ − μ₂.

Un revisor prueba muestras aleatorias de dos marcas de pilas en la misma linterna (horas de luz):

	n	x̄ (h)	s (h)
marca A	14	11.94	1.27
marca B	12	10.68	1.07

\begin{aligned}SE &= \sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}} \\ &= \sqrt{\frac{1.27^2}{14} + \frac{1.07^2}{12}} = 0.460 \\[4pt] &(\bar{x}_1 - \bar{x}_2) \pm t^*\,SE \\ &= 1.26 \pm 2.064(0.460) \\ &= (0.31,\ 2.21)\ \text{h}\end{aligned}

Grados de libertad. La tecnología usa una fórmula que aquí da df = 24.0, de modo que t* = 2.064. Sin ella, la opción conservadora es la menor n − 1 = 11, t* = 2.201: un intervalo un poco más ancho, (0.25, 2.27). Indica cuál usaste.

Condiciones: dos muestras aleatorias independientes (o dos grupos formados por asignación aleatoria); cada n ≤ 10% de su población; cada n ≥ 30, o ninguna muestra muestra sesgo fuerte ni valores atípicos.

Interpreta: tenemos 95% de confianza en que el intervalo de 0.31 a 2.21 horas captura la verdadera diferencia en la duración media de las pilas, marca A menos marca B.

7.7 · Justificar una afirmación sobre μ₁ − μ₂

¿dónde cae el 0?

Para una diferencia de medias, el valor que se busca suele ser 0: no hay diferencia. Si 0 queda fuera del intervalo, el intervalo da evidencia convincente de una diferencia.

Afirmación 1: la marca A dura más en promedio. Todos los valores de 0.31 a 2.21 horas son positivos, así que 0 no es plausible: hay evidencia convincente de que μ_A − μ_B > 0, es decir, de que la marca A dura más en promedio.

Afirmación 2: la marca A dura al menos 2 horas más en promedio. 2 está dentro del intervalo, así que es plausible, pero también lo son valores bastante menores, hasta 0.31. El intervalo no da evidencia convincente a favor de esta afirmación (ni en contra).

Lee el signo según el orden de la resta. A − B de 0.31 a 2.21 es lo mismo que B − A de −2.21 a −0.31.

La conclusión trata de las medias de las poblaciones muestreadas. Si los datos vinieran de un experimento aleatorizado, también trataría de causa y efecto; con muestras aleatorias no.

7.8 · Plantear una prueba para μ₁ − μ₂

¿pareada o de dos muestras?

Primero decide cómo se obtuvieron los datos. Dos mediciones en cada individuo, o pares emparejados, requieren una prueba t pareada sobre las diferencias; dos grupos independientes requieren una prueba t de dos muestras.

Para dos grupos independientes:

\begin{aligned}&H_0\!: \mu_1 - \mu_2 = 0 \\ &H_a\!: \mu_1 - \mu_2 > 0,\ < 0 \text{ or } \ne 0\end{aligned}

definiendo μ₁ y μ₂ en contexto e indicando cuál se resta de cuál. Para pares, el parámetro es la única diferencia media μ_d.

Por qué importa. Las velocidades de lectura de 7.5, tratadas erróneamente como dos muestras independientes:

	SE	t	valor p
pareada (correcta)	2.31	4.29	0.0006
dos muestras (incorrecta)	13.30	0.75	0.232

Mismas medias, misma diferencia 9.92. Pero los estudiantes difieren entre sí mucho más (s ≈ 31 palabras por minuto) de lo que cambia un mismo estudiante (s_d = 8.01). El análisis de dos muestras cuenta toda esa dispersión entre estudiantes como ruido; el emparejamiento la elimina. En la figura, el intervalo azul es el análisis incorrecto y el rojo, el correcto.

El procedimiento de dos muestras también exige que los grupos sean independientes, y las puntuaciones antes y después de un mismo estudiante no lo son.

7.9 · Realizar una prueba para μ₁ − μ₂

la prueba t de dos muestras

El estadístico de prueba es la diferencia de las medias muestrales, menos su valor bajo H₀, contada en errores estándar.

El revisor de 7.6 preguntó de antemano si la marca A dura más. H₀: μ_A − μ_B = 0, H_a: μ_A − μ_B > 0, donde cada μ es la verdadera duración media de esa marca en esta linterna, con α = 0.05.

\begin{aligned}t &= \frac{(\bar{x}_A - \bar{x}_B) - 0}{\sqrt{\dfrac{s_A^2}{n_A} + \dfrac{s_B^2}{n_B}}} \\ &= \frac{11.94 - 10.68}{0.460} = 2.74\end{aligned}

Con df = 24.0 (tecnología), el valor p es P(t ≥ 2.74) = 0.0057, la cola roja (ampliada en la esquina); con el df = 11 conservador es 0.0096. En ambos casos es menor que 0.05.

Concluye: se rechaza H₀. Hay evidencia convincente de que las pilas de la marca A duran más en promedio que las de la marca B en esta linterna.

No combines las dos desviaciones estándar: el curso AP usa el error estándar no combinado de arriba. Y no hagas dos pruebas de una muestra para compararlas: la pregunta es sobre la diferencia, así que el procedimiento también debe serlo.

7.10 · Elegir un procedimiento

seleccionar, ejecutar y comunicar

Casi todo el trabajo está en la elección. Pregunta, en orden: ¿qué tipo de parámetro?, ¿cuántas muestras? y ¿estimar o contrastar?

¿Media o proporción? Los datos cuantitativos (una medición por individuo) llevan a una media μ y a t. Los datos categóricos (sí o no) llevan a una proporción p y a z (capítulo 6). Las medias usan t porque σ se estima con s.

¿Una muestra, datos pareados o dos muestras? Los datos pareados son una muestra de diferencias. Dos muestras independientes, o dos grupos de tratamiento, usan los procedimientos de dos muestras.

¿Intervalo o prueba? “Estima” o “cuánto” pide un intervalo; “¿hay evidencia convincente?” pide una prueba.

procedimiento	error estándar	df
t de una muestra	s/√n	n − 1
t pareada	s_d/√n	n − 1 (pares)
t de dos muestras	√(s₁²/n₁ + s₂²/n₂)	tecnología, o la menor n − 1

Luego comunica, en cuatro pasos: Plantea el parámetro y las hipótesis (o el nivel de confianza) en contexto; Planifica: nombra el procedimiento y verifica las condiciones de aleatoriedad, 10% y muestra normal/grande; Haz: el estadístico, df y valor p o intervalo; Concluye en contexto, vinculado a α, sin afirmar más de lo que permite el diseño.